Chapitre 1 — Filtres analogiques passifs

Retrouver le jeu de coefficients de l'ED du montage ci-dessus.

1) Cadre et notations

On note \(s\) la tension de sortie (aux bornes du parallèle \(C\parallel L\), donc aussi la tension commune à \(C\) et \(L\)). Le courant qui sort de \(R\) se partage entre la branche capacitive \(i_C\) et la branche inductive \(i_L\).

2) Loi des nœuds

Le courant dans \(R\) vaut \(i_R=\dfrac{e-s}{R}\). Au nœud de sortie :

\[ i_R=i_C+i_L \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{e-s}{R}=i_C+i_L \]

3) Lois de comportement des dipôles

On remplace les intensités par des tensions (la grandeur intéressante) :

\[ i_C=C\,\frac{ds}{dt}\ ,\qquad s=L\,\frac{di_L}{dt}\Rightarrow i_L=\frac1L\!\int s\,dt \] \[ \frac{e-s}{R}=C\frac{ds}{dt}+\frac1L\!\int s\,dt \]

4) Multiplication par \(R\) puis dérivation (pour supprimer l'intégrale)

\[ e-s=RC\frac{ds}{dt}+\frac{R}{L}\!\int s\,dt \] \[ \frac{de}{dt}-\frac{ds}{dt}=RC\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{R}{L}\,s \]

5) Regroupement sous la forme \(D_0s+D_1\dot s+D_2\ddot s=N_0e+N_1\dot e\)

\[ \boxed{\,RC\,\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{ds}{dt}+\frac{R}{L}\,s=\frac{de}{dt}\,} \]

Retrouver la FTH et l'écrire sous la forme \(\displaystyle \underline H=\frac{1}{1+jQ\!\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}\).

1) Impédance du parallèle \(C\parallel L\)

\[ \underline Z_{p}=\frac{\underline Z_C\,\underline Z_L}{\underline Z_C+\underline Z_L} =\frac{\frac{1}{jC\omega}\cdot jL\omega}{\frac{1}{jC\omega}+jL\omega} =\frac{\frac{L}{C}}{\frac{1-LC\omega^2}{jC\omega}} =\frac{jL\omega}{1-LC\omega^2} \]

2) Pont diviseur de tension

\[ \underline H=\frac{\underline Z_p}{R+\underline Z_p} =\frac{jL\omega}{R\left(1-LC\omega^2\right)+jL\omega} \]

3) Mise sous forme canonique — on divise haut et bas par \(jL\omega\)

\[ \underline H=\frac{1}{1+\dfrac{R(1-LC\omega^2)}{jL\omega}} =\frac{1}{1+jR\!\left(C\omega-\dfrac{1}{L\omega}\right)} \]

(on a utilisé \(\tfrac1j=-j\), d'où \(\tfrac{R}{jL\omega}=-j\tfrac{R}{L\omega}\) et \(-\tfrac{RC\omega}{j}=+jRC\omega\)).

4) Identification de \(\omega_0\) et \(Q\)

On veut faire apparaître \(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\). Avec \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) on a \(RC\omega_0=\dfrac{R}{L\omega_0}=R\sqrt{\tfrac{C}{L}}\), donc :

\[ R\!\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)=R\sqrt{\tfrac{C}{L}}\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right) \]

Identifier le filtre de Q2 et tracer ses diagrammes de Bode en gain et en phase pour \(Q=5\) et \(Q=0{,}5\).

Filtre : passe-bande 2ᵈ ordre, \(|\underline H|_{\max}=1\) en \(x=1\) (\(\omega=\omega_0\)). Avec \(x=\omega/\omega_0\) :

\[ G_{dB}(x)=20\log|\underline H|=-10\log\!\Big[1+Q^2\big(x-\tfrac1x\big)^2\Big]\ ,\qquad \varphi(x)=-\arctan\!\Big[Q\big(x-\tfrac1x\big)\Big] \]

Points remarquables

• \(Q=5\) : résonance marquée et étroite (filtre sélectif), bande passante réduite \(\Delta x=1/Q=0{,}2\).
• \(Q=0{,}5\) : résonance plate et large (peu sélectif), bande passante \(\Delta x=1/Q=2\).

Rappeler \(\log(1),\log(2),\log(5),\log(10)\), illustrer la correspondance axes \(x\) ↔ \(\log(x)\), puis montrer qu'à la coupure le gain vaut le gain max \(-3\) dB.

1) Valeurs de référence (log décimal)

Astuce : \(\log5=\log\frac{10}{2}=1-\log2\), et \(\log2+\log5=1\). Une décade (\(\times10\)) correspond à \(+1\) sur l'axe \(\log\) ; le milieu géométrique visuel d'une décade tombe vers \(x\approx3{,}16\) (\(\log\approx0{,}5\)).

2) Le gain « –3 dB » à la pulsation de coupure

Par définition, aux pulsations de coupure le gain (linéaire) vaut \(\dfrac{1}{\sqrt2}\) du gain maximal. En décibels :

\[ 20\log\!\left(\frac{|\underline H|_{\max}}{\sqrt2}\right) =20\log|\underline H|_{\max}-20\log\sqrt2 =G_{\max}-20\times\frac{\log 2}{2} \] \[ 20\times\frac{0{,}301}{2}\approx 3{,}01\ \text{dB} \]

Retrouver l'équation différentielle de Q1 à partir de la FTH de Q2.

1) Repartir de la forme « impédances » de Q2

\[ \underline H=\frac{\underline s}{\underline e} =\frac{jL\omega}{R(1-LC\omega^2)+jL\omega} \]

On « croise » (produit en croix) :

\[ \underline s\Big[R+jL\omega-RLC\omega^2\Big]=jL\omega\,\underline e \]

2) Traduction \(j\omega\to \dfrac{d}{dt}\), \((j\omega)^2\to\dfrac{d^2}{dt^2}\)

\[ R\,s+L\frac{ds}{dt}+RLC\frac{d^2s}{dt^2}=L\frac{de}{dt} \]

3) Division par \(L\)

\[ \boxed{\,RC\frac{d^2s}{dt^2}+\frac{ds}{dt}+\frac{R}{L}s=\frac{de}{dt}\,} \]

Montage : GBF → \(R\), \(L\), \(C\) en série ; l'oscilloscope mesure \(e\) sur CH1 (aux bornes du GBF) et \(s\) sur CH2 aux bornes de \(R\) (masses communes).

La sortie aux bornes de \(R\) donne \(\underline H=\dfrac{R}{R+j(L\omega-\frac{1}{C\omega})}\), maximale quand la partie imaginaire s'annule ⇒ résonance d'intensité :

\[ L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}\ \Longrightarrow\ \boxed{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\ ,\qquad \boxed{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}} \]

1) Pulsation cible

\[ \omega_0=2\pi f_0=2\pi(2000)=1{,}257\times10^{4}\ \text{rad·s}^{-1} \]

2) Condensateur (depuis \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\))

\[ C=\frac{1}{L\,\omega_0^{2}}=\frac{1}{0{,}25\times(1{,}257\times10^4)^2} \approx \boxed{2{,}53\times10^{-8}\ \text{F}=25{,}3\ \text{nF}} \]

3) Résistance (depuis \(Q=\frac1R\sqrt{L/C}\))

\[ \sqrt{\tfrac{L}{C}}=\sqrt{\tfrac{0{,}25}{2{,}53\times10^{-8}}}\approx 3{,}14\times10^3\ \Omega \quad(\,=L\omega_0\,) \] \[ R=\frac{1}{Q}\sqrt{\tfrac{L}{C}}=\frac{3{,}14\times10^3}{0{,}5} \approx \boxed{6{,}28\ \text{k}\Omega} \]

À la résonance, \(L\omega_0=1/C\omega_0\) : l'impédance série se réduit à \(R\), la tension de sortie \(=\) tension d'entrée.

En mode XY l'oscilloscope trace \(s\) en fonction de \(e\). Le déphasage produit une ellipse ; à la résonance \(\Delta\varphi=0\) ⇒ l'ellipse dégénère en une droite. Repérer l'instant où la figure devient une droite parfaite localise \(f_0\) bien plus précisément que la lecture d'un maximum (plat près du sommet).

Intensité dans le circuit à \(f_0\)

À la résonance \(Z=R\), donc \(I_m=\dfrac{E_m}{R}\) :

\[ I_m=\frac{3{,}0}{6{,}28\times10^3}\approx \boxed{4{,}8\times10^{-4}\ \text{A}=0{,}48\ \text{mA}} \]

Aux coupures : \(G=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\) et \(\Delta\varphi=\pm45^\circ\) (\(+45^\circ\) en \(f_{cB}\), \(-45^\circ\) en \(f_{cH}\)).

Bande passante

Propriété du 2ᵈ ordre passe-bande : \(\ \Delta f=\dfrac{f_0}{Q}\).

\[ \Delta f=\frac{2000}{0{,}5}=\boxed{4000\ \text{Hz}} \]

Avec \(f_{cB}\,f_{cH}=f_0^2\) et \(f_{cH}-f_{cB}=\Delta f\), on résout \(f_c=f_0\!\left(\mp\frac{1}{2Q}+\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}\right)\) :

\[ f_{cB}\approx 0{,}83\ \text{kHz}\ ,\qquad f_{cH}\approx 4{,}83\ \text{kHz} \]

Relever plusieurs points pertinents autour de \(f_0\) (typiquement \(f_{cB}\), \(f_0/2\), \(f_0\), \(2f_0\), \(f_{cH}\)…), avec \(x=f/f_0\), et reporter dans un tableur (fichier TP1.xlsx fourni). Astuce oscillo : menu Measure / CH2 / maximum et phase pour lire directement \(S_m\) et \(\Delta\varphi\) — beaucoup plus rapide qu'à la main.

On ne change que \(Q\) : \(R=\dfrac1Q\sqrt{L/C}=\dfrac{3{,}14\times10^3}{5}\approx \boxed{6{,}3\times10^2\ \Omega\ (\approx628\ \Omega)}\). Bande passante \(\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}=\dfrac{2000}{5}=\boxed{400\ \text{Hz}}\) ⇒ coupures \(f_{cB}\approx1{,}81\) kHz, \(f_{cH}\approx2{,}21\) kHz.

Modification : retirer la bobine \(L\) (on garde \(R\) et \(C\) en série) et prendre la sortie aux bornes de \(C\). On obtient un passe-bas du 1ᵉʳ ordre \(\underline H=\dfrac{1}{1+jRC\omega}\), de pulsation de coupure :

\[ \omega_c=\frac{1}{RC}\ \Longrightarrow\ f_c=\frac{1}{2\pi RC} \]

Grandeur à modifier pour \(f_c=2\) kHz (à \(C=25{,}3\) nF fixé)

\[ R=\frac{1}{2\pi f_c\,C}=\frac{1}{2\pi(2000)(2{,}53\times10^{-8})} \approx \boxed{3{,}1\ \text{k}\Omega} \]

Mesures Bode : gain plat (\(0\) dB) en BF puis pente \(-20\) dB/déc ; phase \(0^\circ\to-90^\circ\) (passant par \(-45^\circ\) en \(f_c\)). Pour les déphasages en très basses / très hautes fréquences, exploiter la méthode de Lissajous (mode XY) si la lecture directe est difficile.

1) Générateur idéal de tension

Un générateur idéal de tension impose entre ses bornes une tension \(E\) indépendante du courant qu'il débite : sa résistance interne est nulle, sa caractéristique \(u=E\) est une droite horizontale. Ici \(E\) est continue (constante dans le temps).

2) Tensions et intensités à \(t=0^{+}\)

On utilise les continuités : le courant dans une bobine et la tension aux bornes d'un condensateur ne peuvent pas sauter.

\[ i_L(0^+)=i_L(0^-)=0 \qquad,\qquad u_C(0^+)=u_C(0^-)=0 \]

Or \(C\), \(L\) et \(r\) sont en parallèle : \(u=u_C\). Donc \(\;u(0^+)=0\).

On en déduit tout le reste à \(t=0^+\)

• Tension de sortie : \(\;u(0^+)=0\).
• Courant dans \(r\) : \(\;i_r=\dfrac{u}{r}=0\).
• Courant dans \(L\) : \(\;i_L(0^+)=0\).
• Maille d'entrée : \(E=R\,i+u \Rightarrow i(0^+)=\dfrac{E-0}{R}=\dfrac{E}{R}\).
• Loi des nœuds \(i=i_L+i_C+i_r \Rightarrow i_C(0^+)=\dfrac{E}{R}\).
• Tension aux bornes de \(R\) : \(u_R=R\,i=E\).

3) Régime permanent \(t\to+\infty\)

En continu établi : le condensateur est ouvert (\(i_C=0\)), la bobine est un court-circuit (\(u_L=0\)). Comme \(u=u_L=0\) :

• \(u(\infty)=0\), donc \(i_r=u/r=0\) et \(i_C=0\).
• Maille : \(E=R\,i+u=R\,i \Rightarrow i(\infty)=\dfrac{E}{R}\).
• Nœuds : \(i_L(\infty)=i=\dfrac{E}{R}\).

4) Équation différentielle en \(u(t)\)

Loi des nœuds au nœud de sortie

\[ i=i_C+i_L+i_r \quad\text{avec}\quad i=\frac{E-u}{R} \]

Lois de comportement (on garde \(u\))

\[ i_C=C\frac{du}{dt}\ ,\quad i_r=\frac{u}{r}\ ,\quad i_L=\frac1L\!\int u\,dt \] \[ \frac{E-u}{R}=C\frac{du}{dt}+\frac{u}{r}+\frac1L\!\int u\,dt \]

On dérive (aide de l'énoncé) — \(E\) constante disparaît

\[ -\frac1R\frac{du}{dt}=C\frac{d^2u}{dt^2}+\frac1r\frac{du}{dt}+\frac1L\,u \]

On regroupe

\[ \boxed{\,C\frac{d^2u}{dt^2}+\Big(\frac1R+\frac1r\Big)\frac{du}{dt}+\frac1L\,u=0\,} \]

C'est une ED homogène du 2ᵈ ordre (le forçage a disparu : cohérent avec \(u(0^+)=u(\infty)=0\)). Forme canonique \(\ddot u+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot u+\omega_0^2u=0\) avec

\[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\ ,\qquad \frac{\omega_0}{Q}=\frac1C\Big(\frac1R+\frac1r\Big) \ \Rightarrow\ Q=\frac{1}{\frac1R+\frac1r}\sqrt{\frac{C}{L}} \]

5) Condition de régime pseudopériodique

Équation caractéristique \(C\,x^2+\big(\tfrac1R+\tfrac1r\big)x+\tfrac1L=0\), de discriminant

\[ \Delta=\Big(\frac1R+\frac1r\Big)^2-\frac{4C}{L} \]

Le régime est pseudopériodique (racines complexes, oscillations amorties) ssi \(\Delta<0\) :

1) Analyse qualitative → passe-haut

• BF (\(\omega\to0\)) : \(C\) se comporte comme un interrupteur ouvert (\(Z_C\to\infty\)) et \(L\) comme un fil (\(Z_L\to0\)). La sortie, prise sur \(L\) (fil), est \(\approx0\).
• HF (\(\omega\to\infty\)) : \(C\) est un fil (\(Z_C\to0\)), \(L\) un interrupteur ouvert (\(Z_L\to\infty\)) : presque toute la tension se retrouve sur \(L\), \(s\approx e\).

2) Fonction de transfert

Diviseur de tension (série)

\[ \underline H=\frac{\underline Z_L}{\underline Z_R+\underline Z_C+\underline Z_L} =\frac{jL\omega}{R+\dfrac{1}{jC\omega}+jL\omega} \]

On multiplie haut et bas par \(jC\omega\)

\[ \underline H=\frac{-LC\omega^2}{1-LC\omega^2+jRC\omega} \]

Forme canonique — on pose \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), \(x=\dfrac{\omega}{\omega_0}\)

Alors \(LC\omega^2=x^2\) et \(RC\omega=RC\omega_0\,x=\dfrac{x}{Q}\) en posant \(\dfrac1Q=RC\omega_0=R\sqrt{\tfrac{C}{L}}\). En factorisant \( \tfrac{jx}{Q}\) au dénominateur on obtient exactement la forme demandée :

3) Équivalents BF / HF, valeur en \(x=1\), tableau (\(Q=\tfrac12\))

\[ |\underline H|=\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2+(x/Q)^2}}\ ,\qquad \varphi=90^\circ-\arg\!\big(1-x^2+j\tfrac{x}{Q}\big) \]

4) Résonance ?

Un pic (gain > gain HF) n'apparaît que si \(Q>\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\). Ici on prend \(Q=\dfrac12<\dfrac{1}{\sqrt2}\).

5) Comportement dérivateur / intégrateur ?

• En BF : \(\underline H\approx(jx)^2\) ⇒ comportement doublement dérivateur (\(s\propto \mathrm d^2e/\mathrm dt^2\), pente +40 dB/déc, phase \(+180^\circ\)).
• En HF : \(\underline H\to1\) ⇒ simple suiveur (gain unité), ni dérivateur ni intégrateur.

1) Fonction de transfert (Millman + diviseur)

Millman au nœud \(B\) (relié à \(A\) par \(R\), à la masse par \(C\))

\[ \underline v_B=\frac{\underline v_A/R}{\,1/R+jC\omega\,}=\frac{\underline v_A}{1+jRC\omega} \]

Millman au nœud \(A\) (relié à \(e\) par \(R\), masse par \(nR\), à \(B\) par \(R\))

\[ \underline v_A=\frac{\dfrac{e}{R}+\dfrac{\underline v_B}{R}}{\dfrac1R+\dfrac{1}{nR}+\dfrac1R} =\frac{n\,(e+\underline v_B)}{2n+1} \]

On élimine \(\underline v_A\) avec \(\underline v_A=(1+jRC\omega)\,\underline v_B\)

\[ (2n+1)(1+jRC\omega)\underline v_B=n\,e+n\,\underline v_B \;\Rightarrow\; \big[(n+1)+(2n+1)jRC\omega\big]\underline v_B=n\,e \]

2) Équation différentielle associée

\(\underline H=\dfrac{s}{e}=\dfrac{H_0}{1+j\tau\omega}\) avec \(\tau=\dfrac{(2n+1)RC}{n+1}\). On « croise » puis \(j\omega\to\dfrac{d}{dt}\) :

\[ \boxed{\ (2n+1)RC\,\frac{ds}{dt}+(n+1)\,s=n\,e\ } \]

3) Nature par schémas redessinés BF / HF

• BF : \(C\) ouvert ⇒ aucun courant dans la 2ᵈ \(R\) ⇒ \(v_B=v_A\) ; \(A\) est un simple diviseur \(R/nR\) : \(s=\dfrac{nR}{R+nR}\,e=\dfrac{n}{n+1}\,e\). Gain \(=H_0\ne0\).
• HF : \(C\) court-circuité ⇒ \(v_B=0\) ⇒ \(s=0\).

4) Cohérence

\(\underline H(\omega\!\to\!0)=\dfrac{n}{n+1}=H_0\) et \(\underline H(\omega\!\to\!\infty)\to0\) : identiques aux limites trouvées sur les schémas. Un seul pôle ⇒ pente unique \(-20\) dB/déc. Tout est cohérent.

Question : pour quelle pulsation \(\omega\) l'intensité \(i\) traversant \(R\) est-elle indépendante de \(R\) ?

Mise en équation

La source \(e\) alimente, à travers \(C\) (série), le parallèle \(L\parallel R\). Notons \(V\) la tension aux bornes du parallèle ; alors \(i=\dfrac{V}{R}\) et, par diviseur de tension, \(V=e\,\dfrac{\underline Z_p}{\underline Z_C+\underline Z_p}\) avec \(\underline Z_p=\dfrac{jL\omega\,R}{R+jL\omega}\).

On calcule \(i\) et on simplifie (multiplier par \(jC\omega\))

\[ i=\frac{V}{R}=\frac{e\;jL\omega}{\,\dfrac{R+jL\omega}{jC\omega}+jL\omega R\,} =\frac{-\,e\,LC\omega^2}{\,R\,(1-LC\omega^2)+jL\omega\,} \]

Rendre \(i\) indépendant de \(R\)

\(R\) n'apparaît qu'au dénominateur, dans le terme \(R\,(1-LC\omega^2)\). Il disparaît ssi ce facteur s'annule :

\[ 1-LC\omega^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \omega=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\ } \]

1) Nature (analyse qualitative)

• BF : le \(C\) du bras série bloque (\(Z\to\infty\)) ⇒ \(s\to0\).
• HF : le \(C\) du bras parallèle court-circuite la sortie ⇒ \(s\to0\).

2) Fonction de transfert & forme canonique

\[ \underline H=\frac{\underline Z_2}{\underline Z_1+\underline Z_2} =\frac{jRC\omega}{1-(RC\omega)^2+3\,jRC\omega} \]

En posant \(\omega_0=\dfrac{1}{RC}\) et \(x=\dfrac{\omega}{\omega_0}=RC\omega\), on divise par \(3jRC\omega\) :

Au pont de Wien le maximum vaut \(H_0=\tfrac13\) (et non 1) : c'est un passe-bande peu sélectif (\(Q=1/3\)).

3) Fréquence de résonance

\[ f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times5\times10^4\times3{,}2\times10^{-9}} \approx \boxed{995\ \text{Hz}\ \approx1{,}0\ \text{kHz}} \]

4) Équation différentielle en \(v_s\)

À partir de \(\underline H=\dfrac{s}{e}=\dfrac{jRC\omega}{1-(RC\omega)^2+3jRC\omega}\), produit en croix puis \(j\omega\to\frac{d}{dt}\), \((j\omega)^2\to\frac{d^2}{dt^2}\) :

\[ \boxed{\ R^2C^2\,\frac{d^2v_s}{dt^2}+3RC\,\frac{dv_s}{dt}+v_s=RC\,\frac{de}{dt}\ } \]

5) Fréquences de coupure d'un passe-bande

Coupure : \(|\underline H|=\dfrac{H_0}{\sqrt2}\Rightarrow Q^2\!\left(x-\tfrac1x\right)^2=1\Rightarrow x-\dfrac1x=\pm\dfrac1Q\), soit \(x^2\mp\dfrac1Q x-1=0\). Racines positives :

6) Relation \(Q,\ f_0,\ \Delta f\)

\(\Delta f=f_{cH}-f_{cB}=f_0\!\left(\dfrac{\sqrt{\cdots}+1/Q}{2}-\dfrac{\sqrt{\cdots}-1/Q}{2}\right) =\dfrac{f_0}{Q}\). Donc

7) Comportement asymptotique & Bode

• BF \(x\ll1\) : \(|\underline H|\approx\dfrac{H_0}{Q}\,x\) ⇒ +20 dB/déc, \(\varphi\to+90^\circ\).
• HF \(x\gg1\) : \(|\underline H|\approx\dfrac{H_0}{Qx}\) ⇒ −20 dB/déc, \(\varphi\to-90^\circ\).
• \(x=1\) : \(|\underline H|=H_0=\tfrac13\) (\(-9{,}5\) dB), \(\varphi=0\).

8) Sortie pour une sinusoïde d'entrée de 1 kHz

\(f=1\ \text{kHz}\approx f_0\) ⇒ \(x\approx1{,}005\approx1\) : on est au sommet de la bande.

1) Schéma du montage

Les trois dipôles en série ; \(e\) est appliquée aux bornes de l'ensemble, \(s\) est prise aux bornes du sous-ensemble \(\{R_1,C\}\) (donc \(R_2\) est exclu de la sortie) :

2) Gains BF et HF (sur le schéma)

• BF : \(C\) ouvert, aucun courant ⇒ pas de chute dans \(R_1,R_2\) ; toute \(e\) est sur \(C\) ⇒ \(s=e\), gain \(=1\).
• HF : \(C\) court-circuité ⇒ diviseur résistif \(s=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,e\), gain \(=\dfrac{10}{100}=0{,}1\) (\(-20\) dB).

3) Fonction de transfert

\[ \underline H=\frac{R_1+\frac{1}{jC\omega}}{R_1+R_2+\frac{1}{jC\omega}} \;\xrightarrow{\times\,jC\omega}\; \boxed{\ \underline H=H_0\,\frac{1+j\omega\tau_1}{1+j\omega\tau_2}\ } \]

4) Valeurs de \(H_0,\ \tau_1,\ \tau_2\)

5) Décomposition \(\underline H=\underline H_1\times\underline H_2\)

\[ \underline H_1=1+j\omega\tau_1\quad(\text{zéro / avance})\ ,\qquad \underline H_2=\frac{1}{1+j\omega\tau_2}\quad(\text{pôle / passe-bas}) \]

6) \(G_{dB}\) et \(\Delta\varphi\)

Un produit devient une somme en dB et en phase :

\[ G_{dB}=G_{dB1}+G_{dB2}\ ,\qquad \Delta\varphi=\Delta\varphi_1+\Delta\varphi_2 \]

7) Bode asymptotique en amplitude

• \(\omega<\omega_2\) : plat à 0 dB.
• \(\omega_2<\omega<\omega_1\) : pôle actif ⇒ −20 dB/déc.
• \(\omega>\omega_1\) : zéro compense ⇒ plat à −20 dB (\(=R_1/(R_1+R_2)\)).

8) Pulsation de coupure à −3 dB

\(|\underline H|^2=\dfrac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+\omega^2\tau_2^2}=\dfrac12\Rightarrow \omega_c=\dfrac{1}{\sqrt{\tau_2^2-2\tau_1^2}}\).

\[ \omega_c=\frac{1}{\sqrt{10^{-6}-2\times10^{-8}}}\approx \boxed{1{,}01\times10^{3}\ \text{rad/s}} \ (\approx\omega_2,\ f_c\approx161\ \text{Hz}) \]

9) Équation différentielle

\[ \boxed{\ (R_1+R_2)C\,\frac{ds}{dt}+s=R_1C\,\frac{de}{dt}+e\ } \quad\Longleftrightarrow\quad \tau_2\,\dot s+s=\tau_1\,\dot e+e \]

10) Réponse à un échelon \(e=A\) (\(t>0\))

Pour \(t>0\), \(\dot e=0\) : \(\tau_2\dot s+s=A\). Solution \(s(t)=A+K e^{-t/\tau_2}\). Le saut initial est réglé par le gain HF (\(C\) déchargé se comporte en court-circuit) : \(s(0^+)=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}A=0{,}1A\). D'où \(K=-0{,}9A\) :

11) Entrée \(e(t)=A\cos^2(\omega t)\), \(A=1\) V, \(\omega=5\times10^4\) rad/s

Linéarisation : \(\cos^2(\omega t)=\dfrac{1+\cos(2\omega t)}{2}\) ⇒ une composante continue \(0{,}5\) V et une composante à \(\Omega=2\omega=10^5\) rad/s, d'amplitude \(0{,}5\) V.

• Continu (\(\omega=0\)) : \(\underline H(0)=H_0=1\) ⇒ passe intégralement : \(0{,}5\) V.
• \(\Omega=10^5\) rad/s : \(\omega\tau_1=10\), \(\omega\tau_2=100\) ⇒ \(\underline H=\dfrac{1+10j}{1+100j}\), \(|\underline H|\approx0{,}1005\), \(\arg\approx-5{,}1^\circ\).