Fiches méthodes par exercice

Quand ? « Classer par ordre de négligeabilité », « montrer que \(u_n=o(v_n)\) ».

1. Écrire chaque terme sous la forme \(n^\alpha(\ln n)^\beta a^n\) (en simplifiant les racines : \(\sqrt{ne^n}=\sqrt n\,e^{n/2}\)).
2. Hiérarchie des croissances comparées : \((\ln n)^\beta\ll n^\alpha\ll a^n\ll n!\) (\(\alpha>0,\ a>1\)). À même famille, on compare les exposants.
3. En cas de doute : quotient \(\dfrac{u}{v}\) et sa limite (\(\to0\Rightarrow u=o(v)\)).
4. Écrire la chaîne finale du plus petit au plus grand avec \(\ll\).

Quand ? « Déterminer un équivalent simple », ou comme outil pour une limite produit/quotient.

1. Somme : factoriser / garder le terme dominant (le plus gros pour \(n\to\infty\), le plus petit exposant en 0).
2. Produit, quotient, puissance fixe : on peut remplacer chaque facteur par son équivalent.
3. Écrire sous la forme \(\ln(1+u)\), \(e^u-1\), \(\sin u\), \(1-\cos u\), \((1+u)^\alpha-1\) avec \(u\to0\) puis : \(\ln(1+u)\sim u\), \(e^u-1\sim u\), \(\sin u\sim\tan u\sim u\), \(1-\cos u\sim\frac{u^2}2\), \((1+u)^\alpha-1\sim\alpha u\).
4. Différence de racines : multiplier par la quantité conjuguée.
5. Somme \(\sum_{k\le n}\) dont le dernier terme écrase les autres (\(\sum k!\sim n!\)).

Quand ? « Calculer la limite de … » avec \(\frac00\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\).

1. Ramener en 0 : \(h=x-a\) (limite en \(a\)) ou \(u=1/x\) (limite en \(\infty\)).
2. Si l'expression est un produit/quotient pur : équivalents usuels (méthode A2) suffisent.
3. Si une somme ou différence s'annule au premier ordre : DL du numérateur et du dénominateur jusqu'au premier terme non nul.
4. Choix de l'ordre : si on divise par \(x^p\), il faut développer le numérateur à l'ordre \(p\) (au moins). On s'arrête dès qu'un terme non nul apparaît.
5. Diviser les termes dominants → la limite (ou la divergence \(\sim x^{p-q}\)).

Quand ? Une expression de la forme \(u(x)^{v(x)}\) ou \(\big(1+\tfrac an\big)^n\).

1. Réécrire \(u^v=\exp\big(v\ln u\big)\).
2. Poser \(u=1+\varepsilon\) avec \(\varepsilon\to0\) et développer \(\ln(1+\varepsilon)=\varepsilon-\frac{\varepsilon^2}2+\dots\).
3. Calculer la limite de l'exposant \(v\ln u\) (c'est lui qui contient l'indétermination) en le développant jusqu'au terme \(o(1)\).
4. Conclure par continuité de \(\exp\) : \(u^v\to e^{L}\). Pour un DL de \(u^v\) : \(e\times e^{w}\) avec \(w\to0\).

Quand ? « Donner le DL à l'ordre \(n\) de \(f\) en 0 ».

1. Table à connaître : \(e^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6\) · \(\sin x=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}\) · \(\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\) · \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4\) · \(\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3\) · \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}6x^3\) · \(\operatorname{sh}x=x+\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}\) · \(\operatorname{ch}x=1+\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}\) · \(\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5\) · \(\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}\).
2. Somme : on additionne terme à terme (même ordre).
3. Produit \(f\,g\) : DL de chaque facteur à l'ordre \(n-\)(valuation de l'autre), multiplication degré par degré, on tronque à \(n\).
4. Composée \(F(u(x))\) avec \(u\to0\) : DL de \(F\) en \(u\), remplacer \(u\) par son DL, calculer \(u^2,u^3,\dots\) jusqu'à ce que \(u^k=o(x^n)\) ; les termes de même degré se regroupent (certains s'annulent).
5. Quotient : écrire \(\frac1{v}=\frac1{1+w}=1-w+w^2-\dots\) avec \(w\to0\) (ou diviser par la puissance de \(x\) commune au préalable).
6. Puissance variable \(u^v=e^{v\ln u}\) (méthode A4).
7. Fonction divisée par \(x^p\) (\(\frac{\operatorname{sh}x-x}{x^3}\)) : développer le numérateur à l'ordre \(n+p\), puis diviser.
8. Parité : \(f\) paire ⇒ seulement des puissances paires ; impaire ⇒ impaires (vérification gratuite).
9. Binôme généralisé pour \(\sqrt{\ }\), \(1/\sqrt{\ }\), \((1+x)^\alpha\).

Quand ? « DL de \(f\) en \(a=\frac\pi4\), \(1\), \(2\), … ».

1. Poser \(x=a+h\) avec \(h\to0\) et développer en \(h\).
2. Angle remarquable : formules d'addition \(\sin(a+h)=\sin a\cos h+\cos a\sin h\), puis DL de \(\cos h,\sin h\).
3. \(\frac1x\) en \(a\) : \(\frac1{a+h}=\frac1a\cdot\frac1{1+h/a}\) ; \(\ln x\) en \(a\) : \(\ln a+\ln(1+h/a)\).
4. Fonction dont les dérivées sont simples (\(\arctan\)) : Taylor-Young \(f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}2h^2+\dots\)
5. Remplacer \(h\) par \(x-a\) à la fin.

Quand ? « Étudier \(f\) au voisinage de \(x_0\) : tangente, position de la courbe ».

1. Si \(f\) n'est pas définie en \(x_0\) : mettre \(x\) en facteur, faire le DL, prolonger par continuité (\(f(x_0)=a_0\)).
2. DL assez loin : \(f(x_0+h)=a_0+a_1h+a_kh^k+o(h^k)\) avec \(a_k\) le premier coefficient non nul après \(a_1\).
3. Tangente : \(y=a_0+a_1(x-x_0)\) (dérivable en \(x_0\) car DL à l'ordre \(\ge1\) ; \(f'(x_0)=a_1\)).
4. Position : signe de \(a_kh^k\). \(k\) pair : même côté des deux bords (\(a_k>0\) au-dessus, \(<0\) en dessous). \(k\) impair : la courbe traverse la tangente (point d'inflexion).

Quand ? « Montrer que la courbe admet une asymptote en \(+\infty\), étudier la position ».

1. Poser \(u=\frac1x\to0^+\) ; factoriser le terme dominant (\(x\) ou \(x^2\)) pour faire apparaître \(1+\dots\)
2. DL en \(u\) assez loin : après remultiplication par \(x=\frac1u\) (ou \(x^2\)) on doit atteindre le terme en \(u=\frac1x\).
3. Obtenir \(f(x)=ax+b+\dfrac cx+o\big(\tfrac1x\big)\) ⇒ asymptote \(y=ax+b\).
4. Position : signe de \(c\) (premier terme restant) : \(c>0\) au-dessus, \(c<0\) en dessous.

Quand ? « Soit \(x_n\) l'unique solution de … ; étudier \(x_n\) ».

1. Bien définie : \(\varphi\) continue et strictement monotone sur l'intervalle, limites aux bornes ⇒ bijection (TVI strict) ⇒ \(x_n=\varphi^{-1}(n)\).
2. Monotonie : \(\varphi(x_{n+1})=n+1>n=\varphi(x_n)\) et \(\varphi\) strictement croissante ⇒ \(x_{n+1}>x_n\).
3. Limite : suite croissante ; si elle était majorée par \(M\) on aurait \(n=\varphi(x_n)\le\varphi(M)\) pour tout \(n\) : absurde ⇒ \(x_n\to+\infty\).
4. Équivalent : isoler le terme dominant (\(e^{x_n}\sim n\)), montrer que le rapport \(\to1\), prendre le \(\ln\) du rapport ⇒ \(x_n=\ln n+o(1)\).
5. Terme suivant (DA) : réécrire l'équation en \(x_n=g(n,x_n)\) (ici \(x_n=\ln n+\ln(1-x_n/n)\)) et réinjecter l'équivalent connu dans le seul terme correctif.

Quand ? « Montrer que \(P(x)\le f(x)\le Q(x)\) pour \(x\ge0\) » en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral.

1. Écrire \(f(x)=\sum_{k\le p}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\displaystyle\int_0^x\frac{f^{(p+1)}(t)}{p!}(x-t)^p\,dt\) (calcul des dérivées successives).
2. Pour \(t\in[0,x]\) : encadrer \(f^{(p+1)}(t)\) (c'est monotone, donc bornes aux extrémités \(t=0\) et \(t=x\)).
3. Multiplier par \((x-t)^p\ge0\), intégrer (bornes dans le bon sens car \(x\ge0\)) : \(\int_0^x(x-t)^p\,dt=\frac{x^{p+1}}{p+1}\).
4. Ajouter le polynôme de Taylor aux deux membres ⇒ \(P\) et \(Q\).

Quand ? « Montrer que \(F\) est un sev et donner des générateurs ».

1. Fixer une base de l'espace ambiant (\(1,X,X^2,\dots\) pour les polynômes) et écrire un élément général avec ses coordonnées.
2. Traduire la condition (\(P(1)=0\), \(\int_0^1P=0\), …) en équations linéaires sur les coordonnées.
3. Résoudre : exprimer certaines coordonnées en fonction des autres (paramètres libres).
4. Factoriser par chaque paramètre : on obtient les vecteurs générateurs ⇒ \(F=\operatorname{Vect}(\dots)\) ; le nombre de paramètres libres = \(\dim F\).
5. Rappel : tout \(\operatorname{Vect}\) est un sev ; l'image d'une application linéaire aussi.

Quand ? « La famille \((v_1,v_2,v_3)\) est-elle une base ? Coordonnées de \(w\) ? »

1. Autant de vecteurs que la dimension : libre \(\Leftrightarrow\) génératrice \(\Leftrightarrow\) base \(\Leftrightarrow\det\ne0\). On calcule donc le déterminant (ou on échelonne).
2. Coordonnées de \(w\) : résoudre \(\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=w\) (système à 3 inconnues, résolu par combinaisons) — ou \(P^{-1}w\) si on a la matrice de passage.
3. Pour plusieurs vecteurs cibles (\(e_1,e_2,e_3,w\)) : résoudre le système une fois avec second membre général \((x,y,z)\).
4. Exemples demandés : libre non génératrice = moins de \(n\) vecteurs indépendants ; génératrice non libre = base + un vecteur de trop.
5. Contrôle : la linéarité des coordonnées (coord\((w)\) = combinaison des coord\((e_i)\)).

Quand ? « Montrer que \(u\) est linéaire », « parmi ces applications, lesquelles sont linéaires ? »

1. Linéaire : soient \(x,y\) et \(\lambda,\mu\) quelconques ; calculer \(u(\lambda x+\mu y)\) et regrouper : \(=\lambda u(x)+\mu u(y)\). Raccourci : chaque composante est une combinaison linéaire des coordonnées (pas de constante, pas de produit, pas de carré, pas de valeur absolue).
2. Opérations linéaires à connaître : dérivation, évaluation \(P\mapsto P(a)\), intégrale, conjugaison (\(\mathbb R\)-linéaire), multiplication par un polynôme fixé, somme \(F\times G\to E\).
3. Non linéaire : donner un contre-exemple chiffré (\(u(2x)\ne2u(x)\), ou \(u(0)\ne0\)).
4. Si l'espace de départ est un produit \(F\times G\) : opérations composante par composante.

Quand ? « Déterminer \(\ker u\), \(\operatorname{Im}u\), étudier injectivité / surjectivité / bijectivité ».

1. Noyau : résoudre \(u(x)=0\) (système) ; exprimer la solution avec ses paramètres libres ⇒ \(\ker u=\operatorname{Vect}(\dots)\).
2. Image : \(\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}\big(u(e_1),\dots,u(e_n)\big)\) ; on retire les vecteurs redondants (relation du type \(u(e_3)=2u(e_1)+3u(e_2)\)) pour avoir une base.
3. Théorème du rang : \(\dim E=\dim\ker u+\dim\operatorname{Im}u\). Dès qu'on a le noyau, on connaît la dimension de l'image sans la calculer.
4. Injective \(\Leftrightarrow\ker u=\{0\}\) ; surjective \(\Leftrightarrow\dim\operatorname{Im}u=\dim\) arrivée ; en même dimension les trois propriétés (inj., surj., bij.) sont équivalentes (donc \(\det\ne0\) suffit).
5. Équation cartésienne d'un plan \(\operatorname{Im}u\) : vecteur normal = produit vectoriel de deux générateurs, puis tester les générateurs.
6. Noyau d'une application sur les polynômes : \(P\) avec racines imposées ⇒ divisible par \(\prod(X-r_i)\) ; degré borné ⇒ multiple d'un seul polynôme.

Quand ? « \(u\) est l'endomorphisme tel que \(u(e_1)=\dots\) : exprimer \(u(x_1,x_2,x_3)\) ».

1. Écrire \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\).
2. Linéarité : \(u(x)=x_1u(e_1)+x_2u(e_2)+x_3u(e_3)\), puis regrouper par composante. (Les images sont les colonnes de la matrice.)

Quand ? « Trouver (si possible) les antécédents de \(y\) par \(u\) ».

1. Résoudre le système \(u(x)=y\) en gardant les inconnues.
2. Système incompatible (on tombe sur \(4=-1\)) ⇒ \(y\notin\operatorname{Im}u\) ⇒ aucun antécédent.
3. Compatible : un antécédent particulier ; l'ensemble des antécédents = particulier \(+\ker u\) (unique si \(\ker u=\{0\}\)).
4. Recoupement : \(\det U=0\) annonce qu'il existe des vecteurs sans antécédent ; on peut tester \(y\) dans l'équation cartésienne de \(\operatorname{Im}u\).

Quand ? « Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) ».

1. Trouver une base de chaque sev et leur dimension (sev défini par une équation dans \(\mathbb R^3\) = plan, dimension 2 ; \(\operatorname{Vect}(u)\) = droite).
2. \(F\cap G=\{0\}\) : prendre un élément général de l'un (paramètre \(\lambda\)), imposer qu'il vérifie l'équation de l'autre ⇒ \(\lambda=0\).
3. Dimensions : \(\dim F+\dim G=\dim E\), donc \(\dim(F+G)=\dim E\) et \(F+G=E\) (formule de Grassmann).
4. Raccourci droite + plan : \(F=\operatorname{Vect}(u)\), \(G:\ \varphi=0\) sont supplémentaires \(\Leftrightarrow\varphi(u)\ne0\).

Quand ? « Exprimer la projection \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) (et la symétrie \(s\)) ».

1. Pour \(w=(x,y,z)\) : décomposition unique \(w=u+v\), \(u\in F\), \(v\in G\).
2. Paramétrer un des deux (\(u=\lambda\cdot\text{dir}(F)\) ou \(v=\mu\cdot\text{dir}(G)\)) et écrire que l'autre composante vérifie son équation ⇒ une équation en \(\lambda\) (ou \(\mu\)).
3. \(p(w)=u\). Symétrie par rapport à \(G\) parallèlement à \(F\) : \(s(w)=v-u=w-2p(w)\) (par rapport à \(F\) // \(G\) : \(s=2p-\mathrm{id}\)).
4. Vérifications : \(p\) = identité sur \(F\), nulle sur \(G\) ; \(s\) = identité sur l'espace « fixé », opposé sur l'autre.

Quand ? « Montrer que \(\varphi\) est un projecteur », « déterminer Im, Ker ».

1. Endomorphisme : vérifier la linéarité (\(\varphi(\lambda z+\mu w)=\lambda\varphi(z)+\mu\varphi(w)\)), en dimension finie aussi que l'image reste dans l'espace.
2. Projecteur : calculer \(\varphi\circ\varphi\) et montrer \(\varphi\circ\varphi=\varphi\) (dans \(\mathbb C\) : calculer d'abord \(\overline{\varphi(z)}\)).
3. Ker et Im : écrire \(z=x+iy\) (ou les coordonnées) et obtenir \(\varphi(z)\) explicitement ; noyau = annulation, image = valeurs atteintes (ex. \(\frac{x+y}2(1+i)\)).
4. Vérification : \(\dim\ker+\dim\operatorname{Im}=\dim E\) ; pour un projecteur, \(E=\ker\varphi\oplus\operatorname{Im}\varphi\) et \(\operatorname{Im}\varphi=\ker(\varphi-\mathrm{id})\).

Quand ? « Écrire la matrice de \(f\) dans la base canonique / dans \(\mathcal B\) ».

1. Choisir les bases (départ \(\mathcal B\), arrivée \(\mathcal B'\)) ; taille = \(\dim\) arrivée \(\times\dim\) départ.
2. Calculer l'image de chaque vecteur de la base de départ (polynômes : \(f(1),f(X),f(X^2)\) ; matrices : \(f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22})\)).
3. Écrire chaque image dans la base d'arrivée : ses coordonnées forment une colonne.
4. Vérifier que l'image reste dans l'espace d'arrivée (ex. les termes en \(X^3\) s'annulent) et tester la matrice sur un vecteur.

Quand ? « Donner une base de \(\ker f\) et de \(\operatorname{Im}f\) », « rang de \(f\) ».

1. Noyau : résoudre \(AX=0\) ; image = colonnes de \(A\) (retirer les colonnes combinaisons des autres, ex. \(c_3=c_1+c_2\)).
2. Rang = nombre de pivots (ou de colonnes indépendantes) ; théorème du rang : \(\operatorname{rg}f+\dim\ker f=\dim E\).
3. Si les lignes sont proportionnelles (rang 1) : le noyau est le plan d'équation « une ligne \(=0\) ».
4. Reconvertir les coordonnées en vecteurs de l'espace (polynômes…) si besoin.

Quand ? « Montrer que \((u,f(e_1),f(e_2))\) est une base et donner la matrice de \(f\) dedans », « trouver une base dans laquelle la matrice est … ».

1. Lire la matrice cible colonne par colonne : elle dicte l'action de \(f\) sur chaque vecteur (\(f(b_1)=0\), \(f(b_2)=-b_2\), \(f(b_3)=b_2-b_3\), …).
2. En déduire la nature des vecteurs : \(b_1\in\ker f\) ; \(b_2\) propre ; \(b_3\) tel que \((f+\mathrm{id})b_3=b_2\) ; ou image/noyau (\(\mathbb R^3=\ker f\oplus\operatorname{Im}f\)).
3. Trouver ces vecteurs en résolvant des systèmes (\(AX=0\), \((A+I)X=0\), \((A+I)X=b_2\)).
4. Prouver que c'est une base : \(\det P\ne0\) (colonnes = vecteurs), ou exprimer les \(e_i\) dans la nouvelle famille.
5. Matrice : pour chaque \(b_j\), calculer \(f(b_j)\) et l'écrire dans la base \((b)\) → colonne \(j\). Résultat par blocs si \(E=\ker\oplus\operatorname{Im}\).
6. Vérifier \(A\,b_j\) pour chaque \(j\).

Quand ? « Matrice de passage de la base canonique à \(\mathcal B\) », « coordonnées de \(P\) dans \(\mathcal B\) ».

1. Matrice de passage \(P\) (ancienne \(\to\) nouvelle) : colonnes = coordonnées des nouveaux vecteurs dans l'ancienne base. \(\det P\ne0\) ⇔ c'est une base.
2. Inverse \(P^{-1}\) : 2×2 par \(\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) ; 3×3 par comatrice, Gauss, ou en exprimant chaque \(e_i\) dans la nouvelle base (les colonnes de \(P^{-1}\)).
3. Coordonnées : \(X_{\text{ancienne}}=P\,X_{\text{nouvelle}}\) donc \(X_{\text{nouvelle}}=P^{-1}X_{\text{ancienne}}\).
4. Vérifier \(PP^{-1}=I\) ligne par colonne, et la décomposition obtenue (ex. \(5(X^2+1)-3(X+1)-2(2X^2-X)=X^2-X+2\)).

Quand ? « Matrice de \(f\) dans une autre base » ; « \(A\) et \(B\) sont semblables ».

1. \(A=\operatorname{Mat}_{\text{can}}(f)\), \(P\) = passage canonique \(\to\) nouvelle base. Alors \(\boxed{B=\operatorname{Mat}_{\text{nouv}}(f)=P^{-1}AP}\) (et \(A=PBP^{-1}\)).
2. Variante : calculer \(f(b_j')\) puis exprimer le résultat dans la base \(\mathcal B'\) (système, ou \(P^{-1}\)).
3. Convention départ \(\mathcal B'\) / arrivée canonique : \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(f)=AP\) (une seule multiplication).
4. Contrôles : la trace, le déterminant et le rang ne changent pas.

Quand ? « Calculer \(f(\vec w)\) pour \(\vec w=2\vec u-\vec v\) ».

1. Voie 1 : coordonnées canoniques de \(\vec w\) puis \(A\,X\).
2. Voie 2 : coordonnées de \(\vec w\) dans \(\mathcal B'\) avec \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(f)\) (arrivée canonique, aucune reconversion).
3. Voie 3 : avec \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(f)\) le résultat est dans \(\mathcal B'\) : le reconvertir avant de conclure.
4. Voie 4 (contrôle) : linéarité \(f(2u-v)=2f(u)-f(v)\).

Quand ? « Calculer \(A^n\) pour tout \(n\) ».

1. Trouver une base où la matrice \(B\) est simple (méthode M3) : \(A=PBP^{-1}\) ⇒ \(\boxed{A^n=PB^nP^{-1}}\).
2. \(B\) diagonale : \(B^n=\operatorname{diag}(\lambda_i^n)\).
3. \(B\) non diagonale : écrire par blocs ; un bloc \(\lambda I+N\) avec \(N^2=0\) (\(N\) nilpotente, commute avec \(\lambda I\)) → binôme : \((\lambda I+N)^n=\lambda^nI+n\lambda^{n-1}N\).
4. Calculer \(PB^n\) puis \(PB^nP^{-1}\) (poser \(s=(-1)^n\), \(r=3^{-n}\) pour alléger).
5. Contrôles : \(n=0\) (doit donner \(I\)), \(n=1\) (doit redonner \(A\)), éventuellement \(n=2\).

Quand ? « \(\varphi(P)=(x^2+x+1)P'-(2x-1)P\) : matrice, bijectivité, puis résoudre l'équation différentielle ».

1. Endomorphisme : linéarité (dérivation) + degré de l'image \(\le n\) (le terme de plus haut degré s'annule).
2. Matrice dans \((1,X,X^2)\) : images de \(1,X,X^2\), coordonnées en colonnes (méthode M1).
3. Bijectivité : \(\det M\ne0\) ⇒ bijective ⇒ pour tout second membre polynomial de degré \(\le n\), un seul antécédent polynomial (résoudre \(MX=\) coordonnées).
4. Équation différentielle \(a(x)y'+b(x)y=g(x)\) : solution générale = solution particulière (le polynôme de la question précédente !) + solution de l'équation homogène.
5. Homogène : \(\frac{y'}y=\frac{2x-1}{x^2+x+1}\) ; décomposer \(2x-1=(2x+1)-2\) pour reconnaître \(\ln(x^2+x+1)\) + un \(\arctan\) (forme canonique \((x+\frac12)^2+\frac34\)).
6. Vérifier en réinjectant le polynôme trouvé.

Quand ? « Calculer \(A^2\), montrer \(\operatorname{Im}f\subset\ker f\), \(A\) semblable à … ».

1. Calculer \(A^2\) (ligne \(\times\) colonne) : \(=0\) ⇒ \(\operatorname{Im}f\subset\ker f\) (si \(y=f(x)\), \(f(y)=f^2(x)=0\)).
2. Rang : colonnes proportionnelles ⇒ \(\operatorname{rg}=1\) ; théorème du rang ⇒ \(\dim\ker=2\) (plan d'équation « une ligne = 0 »).
3. Forme normale : chaîne \(b_1\mapsto b_2\mapsto0\) plus \(b_3\in\ker f\) : \(b_1\notin\ker f\) (par ex. \(e_1\)), \(b_2=f(b_1)\), \(b_3\in\ker f\) non colinéaire à \(b_2\). Dans \((b_1,b_2,b_3)\), la matrice est \(\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\).
4. Base : \(\det(b_1\ b_2\ b_3)\ne0\) ; alors \(Q^{-1}AQ=\) forme normale.

Quand ? « Déterminer les suites \((x_n),(y_n)\) telles que \(x_{n+1}=\dots,\ y_{n+1}=\dots\) ».

1. Poser \(X_n=\binom{x_n}{y_n}\) : \(X_{n+1}=AX_n\) ⇒ \(X_n=A^nX_0\).
2. Décomposer \(X_0=a\,e_1+b\,e_2\) dans la base propre : alors \(X_n=a\lambda_1^ne_1+b\lambda_2^ne_2\) → lecture directe de \(x_n,y_n\).
3. Ensemble des solutions = plan vectoriel (\(\dim2\)) engendré par une suite constante et une suite géométrique ; limite si \(|\lambda_2|<1\).
4. Vérification : \(AX_n=X_{n+1}\).

Classer \(\frac1n,\frac1{n^2},\frac{\ln n}n,\frac{e^n}{n^3},n,1,\sqrt{ne^n}\) par ordre de négligeabilité.

Idée clé : réécrire \(\sqrt{ne^n}=\sqrt n\,e^{n/2}\) ; \(\dfrac{e^n}{n^3}\) l'emporte sur \(\sqrt{ne^n}\) car \(e^n\gg e^{n/2}\) → A1

↗ Voir la correction détaillée dans le chapitre

Six suites dont on veut un équivalent simple (quotient de polynômes, \(\ln\), différence de racines, \(\sum k!\), puissance variable).

• 1) \(\dfrac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-5}\) → A2
  ⚡ terme dominant en haut (\(n^{5/2}\)) et en bas (\(2n\)) : \(\sim\frac12n^{3/2}\)
• 2) \(\ln\dfrac{n^2+1}{n^2+2}\) → A2
  ⚡ mettre sous la forme \(\ln(1+\varepsilon)\) avec \(\varepsilon=-\frac1{n^2+2}\) puis \(\ln(1+\varepsilon)\sim\varepsilon\)
• 3) \(\dfrac{\ln(n^2+1)}{n^2+2}\) → A2
  ⚡ \(\ln(n^2+1)\sim\ln n^2=2\ln n\) (le \(+1\) est négligeable devant \(n^2\)), \(n^2+2\sim n^2\)
• 4) \(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\) → A2
  ⚡ quantité conjuguée : numérateur \(2n\), dénominateur \(\sim2n\)
• 5) \(\sum_{k=0}^nk!\) → A2
  ⚡ le dernier terme écrase les autres : \(\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n\to0\)
• 6) \(\dfrac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt n}}\) → A2 A4
  ⚡ passer au log : \(\ln u_n=\sqrt{n+1}\ln n-\sqrt n\ln(n+1)\), DL à l'ordre \(\frac1n\) → \(\ln u_n\to0\), donc \(u_n\sim1\)

↗ Voir la correction détaillée dans le chapitre

Quatre limites : \(\sqrt{n^2-1}-n\), \(\frac{(n+2)!}{(n^2+1)n!}\), \(n(\sqrt[n]3-\sqrt[n]5)\), \(\frac{\cos(1/n)-1}{(e^{1/n}-1)\sin(1/n)}\).

• 1) \(\sqrt{n^2-1}-n\) → A3 A5
  ⚡ factoriser \(n\sqrt{1-1/n^2}\), DL de la racine : \(-\frac1{2n}\to0\)
• 2) \(\dfrac{(n+2)!}{(n^2+1)n!}\) → A3
  ⚡ \((n+2)!=(n+1)(n+2)\,n!\) → quotient de polynômes de même degré
• 3) \(n(\sqrt[n]3-\sqrt[n]5)\) → A4 A5
  ⚡ \(\sqrt[n]a=e^{\ln a/n}=1+\frac{\ln a}n+o(\frac1n)\), la différence vaut \(\frac{\ln3-\ln5}n\)
• 4) \(\dfrac{\cos(1/n)-1}{(e^{1/n}-1)\sin(1/n)}\) → A2
  ⚡ \(h=\frac1n\) : \(\cos h-1\sim-\frac{h^2}2\), \(e^h-1\sim h\), \(\sin h\sim h\)

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Huit suites dont on étudie la convergence (racines, \(1^\infty\), \(\ln\sqrt{\ }\), \(\big(\frac{n}{n-x}\big)^n\)).

• 1) \(n\big(\sqrt{1+\sin\frac1n}-\cos\frac1n\big)\) → A3 A5
  ⚡ DL à l'ordre 2 en \(h\) (car on divise par \(h\)) ; les termes constants se simplifient
• 2) \(\big(e^{1/n}\big)^{n\ln\cos(1/n)}\) → A4
  ⚡ simplification algébrique : \(e^{\ln\cos(1/n)}=\cos\frac1n\to1\)
• 3) \(\big(1+\sin\frac1n\big)^n\) → A4 A5
  ⚡ \(\ln u_n=n\ln(1+\sin h)\) : DL à l'ordre 2 → \(1-\frac h2\to1\)
• 4) \((5n+1)^2\ln\big(1+\frac1{3n^2}\big)\) → A2
  ⚡ produit d'équivalents : \(25n^2\times\frac1{3n^2}\)
• 5) \(n\ln\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}\) → A2
  ⚡ \(\frac12\ln\big(1+\frac2{n-1}\big)\sim\frac1{n}\)
• 6) \(n^2\big(\sqrt{1-\frac1{n^2}}-1\big)\) → A5
  ⚡ DL de la racine : \(-\frac1{2n^2}\) ⇒ limite \(-\frac12\)
• 7) \(\big(\frac{2n-1}{2n+1}\big)^n\) → A4 A2
  ⚡ exposant : \(n\ln\big(1-\frac2{2n+1}\big)\to-1\)
• 8) \(\big(\frac{n}{n-x}\big)^n\) → A4 A5
  ⚡ \(-n\ln(1-\frac xn)\to x\) : limite \(e^x\)

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Ordonner \(x,e^x,\frac1x,2,\ln x,\sqrt x\ln x,\frac{e^x}{\sqrt x}\) au voisinage de \(+\infty\).

Idée clé : \(\sqrt x\ln x\ll x\) (car \(\frac{\sqrt x}{\ln x}\to\infty\)) ; \(\frac{e^x}{\sqrt x}\ll e^x\) → A1

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Onze fonctions : équivalent et limite en \(a\) (\(0\), \(1\), \(\pi/2\), \(+\infty\)).

• 1) \(\sqrt{1-x^2}\) en 1 → A2
  ⚡ factoriser \((1-x)(1+x)\), \(1+x\to2\)
• 2) \(\frac{\ln(1+x)+x^2}{x^2+x^3}\) en 0 → A2 A5
  ⚡ numérateur \(\sim x\) (le terme \(x^2\) est négligeable), dénominateur \(\sim x^2\)
• 3) \(\frac{\tan x-\sin3x}{\ln(1+x)}\) en 0 → A3
  ⚡ DL d'ordre 1 du numérateur : \(x-3x=-2x\)
• 4) \(\frac{\operatorname{ch}x-1}{\arcsin^2x}\) en 0 → A2
  ⚡ \(\operatorname{ch}x-1\sim\frac{x^2}2\), \(\arcsin x\sim x\)
• 5) \(\frac{\ln x}{\sqrt x-1}\) en 1 → A3
  ⚡ \(x=1+h\) : \(\ln(1+h)\sim h\), \(\sqrt{1+h}-1\sim\frac h2\)
• 6) \(x^3\arctan(e^{-x})\) en \(+\infty\) → A2 A1
  ⚡ \(\arctan(e^{-x})\sim e^{-x}\), puis \(x^3e^{-x}\to0\)
• 7) \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt x}{\ln\frac{e^x-1}{e^x+1}}\) en \(+\infty\) → A2
  ⚡ conjugué en haut, \(\ln(1-2e^{-x})\sim-2e^{-x}\) en bas
• 8) \(\frac{\sqrt{x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2+2}}\) en \(+\infty\) → A2
  ⚡ terme dominant : \(x^{3/2-2/3}=x^{5/6}\)
• 9) \(\frac1{\cos x}-\tan x\) en \(\frac\pi2\) → A3
  ⚡ réduire au même dénominateur, \(x=\frac\pi2-h\) : \(\frac{1-\cos h}{\sin h}\sim\frac h2\)
• 10) \(\big(1+\frac\lambda x\big)^x\) en \(+\infty\) → A4
  ⚡ exposant \(x\ln(1+\lambda/x)\to\lambda\)
• 11) \(\big(1+\sin\frac{\ln x}x\big)^{x/\ln x}\) → A4
  ⚡ poser \(t=\frac{\ln x}x\to0\) : exposant \(=\frac{\sin t-t^2/2}{t}\to1\)

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Encadrer \(\ln(1+x)\) et \(\sqrt[3]{1+x}\) pour \(x\ge0\) par des polynômes.

• 1) \(\ln(1+x)\) → A10
  ⚡ \(f'''(t)=\frac2{(1+t)^3}\in\big[\frac2{(1+x)^3},2\big]\) ; \(\int_0^x(x-t)^2dt=\frac{x^3}3\)
• 2) \(\sqrt[3]{1+x}\) → A10
  ⚡ \(g'''(t)=\frac{10}{27}(1+t)^{-8/3}\le\frac{10}{27}\) ; majoration du reste par \(\frac{5x^3}{81}\)

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Seize DL à des ordres imposés (produits, composées, quotients, puissances, parité).

• 1) \(\cos x\,e^x\) (ordre 3) → A5
  ⚡ produit
• 2) \(\ln(1+x^2)\) (ordre 6) → A5
  ⚡ composée \(\ln(1+u)\), \(u=x^2\)
• 3) \(\sin2x+\cos x^2\) (ordre 7) → A5
  ⚡ somme ; \(\cos(x^2)\) n'a que \(1-\frac{x^4}2\) jusqu'à l'ordre 7
• 4) \(e^{3x}\sin2x\) (ordre 4) → A5
  ⚡ produit degré par degré
• 5) \(\frac{\ln(1+x)}{1+x}\) (ordre 3) → A5
  ⚡ produit par \(\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3\)
• 6) \(\frac{\operatorname{sh}x-x}{x^3}\) (ordre 6) → A5
  ⚡ numérateur à l'ordre \(6+3=9\), puis diviser par \(x^3\)
• 7) \(e^{\sin x}\) (ordre 4) → A5
  ⚡ composée \(e^u\), \(u=\sin x\) ; le terme en \(x^3\) s'annule
• 8) \(\sin^6x\) (ordre 9) → A5
  ⚡ factoriser \(x^6(1-\frac{x^2}6)^6\) ; parité ⇒ pas de terme impair
• 9) \(\ln\cos x\) (ordre 6) → A5
  ⚡ composée \(\ln(1+u)\), \(u=\cos x-1\)
• 10) \(\frac1{\cos x}\) (ordre 4) → A5
  ⚡ \(\frac1{1-v}\), \(v=1-\cos x\)
• 11) \(\tan x\) (ordre 5) → A5
  ⚡ \(\sin x\times\frac1{\cos x}\) (résultat à connaître par cœur)
• 12) \(\frac{\sin x}{\operatorname{sh}x}\) (ordre 4) → A5
  ⚡ factoriser \(x\) en haut et en bas, quotient \(\frac{1-x^2/6}{1+x^2/6}\)
• 13) \((1+x)^{1/(1+x)}\) (ordre 3) → A5 A4
  ⚡ \(e^{w}\), \(w=\frac{\ln(1+x)}{1+x}\) (question 5)
• 14) \(\sqrt{1+x}\) (ordre 4) → A5
  ⚡ binôme généralisé \(\alpha=\frac12\)
• 15) \(\frac1{\sqrt{1-x}}\) (ordre 3) → A5
  ⚡ binôme \(\alpha=-\frac12\) avec \(u=-x\)
• 16) \((1+x)^{1/x}\) (ordre 3) → A5 A4
  ⚡ \(e\cdot e^{w}\), \(w=\frac{\ln(1+x)}x-1\to0\)

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Cinq DL en \(\frac\pi4\), \(1\), \(2\), \(\frac\pi3\), \(1\).

• 1) \(\sin x\) en \(\frac\pi4\) (ordre 3) → A6
  ⚡ formule d'addition \(\frac{\sqrt2}2(\cos h+\sin h)\)
• 2) \(\frac{\ln x}{x^2}\) en 1 (ordre 4) → A6 A5
  ⚡ \(x=1+h\) : produit \(\ln(1+h)\times(1+h)^{-2}\)
• 3) \(\frac1x\) en 2 (ordre 3) → A6
  ⚡ \(\frac12\cdot\frac1{1+t/2}\)
• 4) \(\sin x\cos3x\) en \(\frac\pi3\) (ordre 2) → A6
  ⚡ \(\cos(\pi+3h)=-\cos3h\) ; produit de deux DL
• 5) \(\arctan x\) en 1 (ordre 3) → A6
  ⚡ Taylor-Young : dérivées de \(\arctan\) simples

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Dix limites d'indéterminations variées en 0, 1, \(+\infty\).

• 1) \(x-x^2\ln(1+\frac1x)\) en \(+\infty\) → A3
  ⚡ \(u=\frac1x\), DL de \(\ln(1+u)\) à l'ordre 3
• 2) \(\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}\) en 0 → A3
  ⚡ DL à l'ordre 2
• 3) \(\sqrt{x^2+x+1}-x\) en \(+\infty\) → A3
  ⚡ factoriser \(x\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}\), DL de la racine
• 4) \(x\,\frac{\ln(1+x)-\sin x}{\tan x-x}\) en 0 → A3
  ⚡ ordre 3 : \(-\frac{x^2}2\) en haut, \(\frac{x^3}3\) en bas
• 5) \(\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}{x^4}\) en 0 → A3
  ⚡ ordre 4 obligatoire (on divise par \(x^4\)) : les termes en \(x^2\) s'annulent
• 6) \(\frac{(1+3x)^{1/3}-1-\sin x}{1-\cos x}\) en 0 → A3
  ⚡ binôme \(\alpha=\frac13\), numérateur d'ordre 2
• 7) \(\big(\frac{\tan x}x\big)^{1/x^2}\) en 0 → A4
  ⚡ exposant \(\frac1{x^2}\ln(1+\frac{x^2}3)\to\frac13\)
• 8) \(\frac{\sin(x-\sin x)}{\sqrt{1+x^3}-1}\) en 0 → A2
  ⚡ \(x-\sin x\sim\frac{x^3}6\to0\) donc \(\sin(x-\sin x)\sim\frac{x^3}6\)
• 9) \(\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}\) en 0 → A4 A3
  ⚡ \((1+x)^{1/x}=e\,e^{-x/2+o(x)}\)
• 10) \(\frac{\ln(2x^2-1)}{\tan(x-1)}\) en 1 → A3
  ⚡ \(h=x-1\), \(2x^2-1=1+4h+2h^2\)

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DL à l'ordre 2 en 0 de \(\frac x{e^x-1}\), puis tangente et position de la courbe.

• 1) DL à l'ordre 2 → A5
  ⚡ \(e^x-1=x(1+\frac x2+\frac{x^2}6)\), puis \(\frac1{1+u}\)
• 2) tangente et position → A7
  ⚡ tangente \(y=1-\frac x2\) ; terme en \(x^2\) positif ⇒ au-dessus

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Tangente et position en \(x_0=0\) et en \(x_0=1\).

• 0 \(x_0=0\) → A7 A5
  ⚡ composée \(\ln(1+u)\), \(u=x+x^2\) ; \(a_2=\frac12>0\) ⇒ au-dessus
• 1 \(x_0=1\) → A7 A6
  ⚡ Taylor-Young ordre 2 : \(f''(1)=-\frac13<0\) ⇒ en dessous

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\(\frac1x(e^{\sin x}-1)\) en 0 ; \(\frac{\arctan x}{\sin^3x}-\frac1{x^2}\) en 0 ; \(\sqrt{\tan x}\) en \(\frac\pi4\).

• 1) \(\frac{e^{\sin x}-1}{x}\) en 0 → A7 A5
  ⚡ DL de \(e^{\sin x}\) à l'ordre 4 ; \(a_2=0\), \(a_3=-\frac18\) ⇒ traverse la tangente (inflexion)
• 2) \(\frac{\arctan x}{\sin^3x}-\frac1{x^2}\) en 0 → A7 A5
  ⚡ développer \(\arctan x\) et \(\sin^3x\) à l'ordre 5 pour que \(\frac1{x^2}\) se simplifie
• 3) \(\sqrt{\tan x}\) en \(\frac\pi4\) → A7 A6
  ⚡ \(\tan(\frac\pi4+h)=\frac{1+\tan h}{1-\tan h}\) puis \(\sqrt{1+t}\)

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Trois fonctions : \((x^2-1)\ln\frac{x+1}{x-1}\), \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\), \(x^2\arctan\frac1{1+x}\).

• 1) \((x^2-1)\ln\frac{x+1}{x-1}\) → A8 A5
  ⚡ \(\ln\frac{1+u}{1-u}=2(u+\frac{u^3}3+\frac{u^5}5)\) ⇒ \(2x-\frac4{3x}\) : en dessous
• 2) \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\) → A8 A5
  ⚡ \(x(\sqrt{1+u^2}+\sqrt{1-u^2})\) ⇒ \(2x-\frac1{4x^3}\) : en dessous
• 3) \(x^2\arctan\frac1{1+x}\) → A8 A5
  ⚡ \(z=\frac u{1+u}\), \(\arctan z=z-\frac{z^3}3\) ⇒ \(x-1+\frac2{3x}\) : au-dessus

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Étudier la suite \((x_n)\) telle que \(e^{x_n}+x_n=n\) : existence, monotonie, limite, équivalent, développement.

• 1) \(x_n\) bien définie → A9
  ⚡ \(\varphi(x)=e^x+x\) continue, strictement croissante, limites \(\mp\infty\)
• 2) croissance et limite → A9
  ⚡ \(\varphi(x_{n+1})>\varphi(x_n)\) ; si majorée, contradiction
• 3) \(x_n\sim\ln n\) → A9 A2
  ⚡ \(\frac n{e^{x_n}}\to1\), puis \(\ln\) du rapport
• 4) développement à deux termes → A9
  ⚡ \(x_n=\ln n+\ln(1-\frac{x_n}n)\) puis \(\ln(1-\varepsilon)\sim-\varepsilon\)

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Sept ensembles de polynômes (\(P(1)=0\), dérivées, \(P(1)=P(2)=0\), \(\int_0^1P=0\), …) à écrire comme \(\operatorname{Vect}\).

• 1) \(\{P\in\mathbb R_3[X]\mid P(1)=0\}\) → L1
  ⚡ \(a_0=-a_1-a_2-a_3\) ⇒ \(\operatorname{Vect}(X-1,X^2-1,X^3-1)\)
• 2) \(\{P'\mid P\in\mathbb R_n[X]\}\) → L1 L4
  ⚡ image d'une application linéaire ⇒ sev ; \(=\mathbb R_{n-1}[X]\)
• 3) \(\{a(x^3-1)+b(x^2-2)+c(x+4)\}\) → L1
  ⚡ déjà donné sous forme de Vect
• 4) \(\{P\in\mathbb R_4[X]\mid P(1)=P(2)=0\}\) → L1
  ⚡ 2 équations, 3 paramètres libres ; \(P=(X-1)(X-2)\times\) polynôme de degré \(\le2\)
• 5) \(\{P\in\mathbb R_2[X]\mid\int_0^1P=0\}\) → L1
  ⚡ \(a+\frac b2+\frac c3=0\) ⇒ \(\operatorname{Vect}(2X-1,3X^2-1)\) (multiplier pour effacer les fractions)
• 6) \(\{P\in\mathbb R_2[X]\mid P'=0\}\) → L1
  ⚡ \(P\) constant ⇒ \(\operatorname{Vect}(1)\)
• 7) \(\{P\in\mathbb R_3[X]\mid P''=0\}\) → L1
  ⚡ \(\deg P\le1\) ⇒ \(\operatorname{Vect}(1,X)\)

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Deux familles de trois vecteurs (base ? coordonnées de \(w\), de \(e_1,e_2,e_3\)) puis deux exemples de familles particulières.

• 1) \(v_1=(0,1,1),v_2=(1,0,1),v_3=(1,1,0)\), \(w=(1,1,1)\) → L2
  ⚡ \(\det=2\ne0\) ; système symétrique : additionner les 3 équations
• 2) \(v_1=(1,1,1),v_2=(-1,1,0),v_3=(1,0,-1)\) ; \(e_1,e_2,e_3,w\) → L2
  ⚡ \(\det=-3\) ; résoudre une fois pour \((x,y,z)\) général : \(\alpha=\frac{x+y+z}3\)
• 3) libre non génératrice → L2
  ⚡ \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) : 2 vecteurs indépendants ne peuvent pas engendrer \(\mathbb R^3\)
• 4) génératrice non libre → L2
  ⚡ base canonique + \((1,1,1)\) : 4 vecteurs en dimension 3

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\(u(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3,\ 2x_1+x_2-x_3)\) : linéaire ? noyau ?

• 1) \(u\) est linéaire → L3
  ⚡ regrouper les termes en \(\lambda\) et en \(\mu\)
• 2) \(\ker u\) → L4
  ⚡ système 2×3 ⇒ 1 paramètre libre : \(\operatorname{Vect}((2,-3,1))\) ; \(\dim\ker=1\) ⇒ pas injective

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\(f_1(x,y)=(2x+y,x-y)\) ; \(f_2(x,y,z)=(xy,x,y)\) ; \(f_3\) ; \(f_4(P)=(P(-1),P(0),P(1))\).

• f₁ \(\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) → L3
  ⚡ composantes linéaires ⇒ linéaire
• f₂ \((xy,x,y)\) → L3
  ⚡ contre-exemple : \(f_2(2,2,2)=(4,2,2)\ne2f_2(1,1,1)\)
• f₃ \(\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) → L3
  ⚡ composantes linéaires ⇒ linéaire
• f₄ \(P\mapsto(P(-1),P(0),P(1))\) → L3
  ⚡ \((\lambda P+\mu Q)(a)=\lambda P(a)+\mu Q(a)\)

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Pour chaque application linéaire de l'exercice 4 : noyau, image, injective ? surjective ?

• f₁ \(\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) → L4
  ⚡ \(\ker=\{0\}\) ⇒ injective ⇒ (même dimension) bijective
• f₃ \(\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) → L4
  ⚡ \(\ker=\operatorname{Vect}((1,-1,-1))\) ; \(\operatorname{Im}\) = plan \(x+y-2z=0\) (produit vectoriel) ⇒ ni inj. ni surj.
• f₄ \(\mathbb R_3[X]\to\mathbb R^3\) → L4
  ⚡ 3 racines \(-1,0,1\) ⇒ \(P=k(X^3-X)\) ; rang \(4-1=3\) ⇒ surjective, pas injective

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\(u(e_1)=(1,-1,2)\), \(u(e_2)=(-3,2,-1)\), \(u(e_3)=(-7,4,1)\) : formule, antécédents, injectivité.

• 1) expression de \(u\) → L5
  ⚡ \(u(x)=x_1u(e_1)+x_2u(e_2)+x_3u(e_3)\)
• 2) antécédents de \((-1,1,8)\) et \((-2,1,3)\) → L6
  ⚡ les deux systèmes sont incompatibles (\(4=-1\), \(-1=-2\)) ⇒ aucun antécédent ; \(u(e_3)=2u(e_1)+3u(e_2)\)
• 3) injective / surjective / bijective → L4
  ⚡ \(\ker u=\operatorname{Vect}((-2,-3,1))\) ⇒ rang 2 ⇒ ni inj. ni surj.

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\(F=\operatorname{Vect}((1,1,1))\), \(G:\ 2x+y-z=0\) : supplémentaires, projection sur \(F\) // \(G\), symétrie.

• 1) \(F\oplus G=\mathbb R^3\) → L7
  ⚡ \(F\cap G=\{0\}\) (\(2\lambda=0\)), \(1+2=3\)
• 2) projection \(p\) sur \(F\) // \(G\) → L8
  ⚡ \(\lambda=\frac{2x+y-z}2\), \(p(w)=\lambda(1,1,1)\)
• 3) symétrie \(s\) par rapport à \(G\) // \(F\) → L8
  ⚡ \(s=\mathrm{id}-2p\) ; vérifier \(s=\mathrm{id}\) sur \(G\), \(s=-\mathrm{id}\) sur \(F\)

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\(F:\ 2x-y+z=0\), \(G=\operatorname{Vect}((1,2,-1))\) : base de \(F\), supplémentaires, projection.

• 1) base de \(F\) ; \(F\oplus G=\mathbb R^3\) → L7
  ⚡ \(y=2x+z\) ⇒ base \((1,2,0),(0,1,1)\) ; \(F\cap G=\{0\}\), \(2+1=3\)
• 2) projection sur \(F\) // \(G\) → L8
  ⚡ \(\mu=-2x+y-z\) ; \(p(w)=w-\mu(1,2,-1)\)

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\(\varphi(z)=\frac12z+\frac i2\bar z\) : endomorphisme, projecteur, image et noyau.

• 1) \(\varphi\in\operatorname{End}_{\mathbb R}(\mathbb C)\) → L3 L9
  ⚡ \(\overline{\lambda z+\mu w}=\lambda\bar z+\mu\bar w\) pour \(\lambda,\mu\in\mathbb R\)
• 2) \(\varphi\circ\varphi=\varphi\) → L9
  ⚡ calculer d'abord \(\overline{\varphi(z)}=\frac12\bar z-\frac i2z\)
• 3) image, noyau, dimensions → L9 L4
  ⚡ \(\varphi(x+iy)=\frac{x+y}2(1+i)\) ⇒ \(\ker=\operatorname{Vect}_{\mathbb R}(1-i)\), \(\operatorname{Im}=\operatorname{Vect}_{\mathbb R}(1+i)\)

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\(E\) un \(\mathbb K\)-ev, \(F,G\) sev : linéarité de \(f\), noyau, image, conditions d'injectivité / surjectivité.

• 1) \(f\) est linéaire → L3
  ⚡ produit \(F\times G\) : opérations composante par composante
• 2) \(\ker f\) et \(\operatorname{Im}f\) → L4
  ⚡ \(x+y=0\Rightarrow y=-x\in G\) ⇒ \(\ker f\cong F\cap G\) ; \(\operatorname{Im}f=F+G\)
• 3) inj. / surj. / bij. → L7
  ⚡ injective ⇔ \(F\cap G=\{0\}\) ; surjective ⇔ \(F+G=E\) ; bijective ⇔ \(F\oplus G=E\)

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Quatre applications : \(\mathbb R^3\to\mathbb R^3\), \((2X+1)P-X^2P'\), \(\int_X^{X+2}P\), \(M\mapsto AM+MB\) sur \(\mathcal M_2\).

• 1) \(\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) → M1
  ⚡ colonnes \(f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)\)
• 2) \((2X+1)P-X^2P'\) sur \(\mathbb R_2[X]\) → M1
  ⚡ images de \(1,X,X^2\) ; le terme en \(X^3\) s'annule pour \(X^2\)
• 3) \(\int_X^{X+2}P(t)\,dt\) → M1
  ⚡ \(\int_X^{X+2}t^k=\frac{(X+2)^{k+1}-X^{k+1}}{k+1}\) ⇒ triangulaire sup.
• 4) \(M\mapsto AM+MB\) sur \(\mathcal M_2(\mathbb R)\) → M1
  ⚡ base \((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\) ⇒ matrice \(4\times4\)

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\(A=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\2&0&2\\0&1&1\end{pmatrix}\) : base de \(\ker\), de \(\operatorname{Im}\), supplémentaires ; matrice dans \((u,f(e_1),f(e_2))\) puis \((u,e_1,e_2)\).

• 1) noyau, image, supplémentaires ? → M2 L7
  ⚡ \(\ker=\operatorname{Vect}(u)\), \(u=(1,1,-1)\) ; \(f(e_3)=f(e_1)+f(e_2)\) ; \(u\notin\operatorname{Im}\)
• 2) matrice dans \((u,f(e_1),f(e_2))\) → M3 M4
  ⚡ base car \(\det P=-3\) ; \(f(u)=0\) ; bloc \(\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}\)
• 3) matrice dans \((u,e_1,e_2)\) → M3
  ⚡ exprimer \(e_3=e_1+e_2-u\), puis \(f(e_2)=-u-e_1+e_2\)

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Projection sur \(\mathbb R\vec\imath\) // \(\mathbb R(\vec\imath+\vec\jmath)\) : \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B}\), \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}\), \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}\), image de \(\vec w\).

• 1) \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal B}\) → M1
  ⚡ \(f(\vec\imath)=\vec\imath\), \(f(\vec\imath+\vec\jmath)=0\) ⇒ \(f(\vec\jmath)=-\vec\imath\)
• 2) \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}\) → M5
  ⚡ \(AP\) (départ \(\mathcal B'\), arrivée canonique)
• 3) \(\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}\) → M5 M4
  ⚡ \(P^{-1}AP\) ; contrôle trace \(=1\), det \(=0\)
• 4) image de \(2\vec u-\vec v\) → M6
  ⚡ 4 méthodes qui doivent donner \((9,0)\)

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\(\varphi(P)=(X^2+X+1)P'-(2X-1)P\) : endomorphisme, matrice, bijectivité, antécédent de \(X^2-1\), équation différentielle associée.

• 1) endomorphisme et matrice → M8 M1
  ⚡ le terme en \(X^3\) s'annule ; images de \(1,X,X^2\)
• 2) bijective ? antécédent de \(X^2-1\) → M8
  ⚡ \(\det M=14\ne0\) ; résoudre \(MX=(-1,0,1)\) ⇒ \(\frac{X^2-4X-3}7\)
• 3) résoudre \((x^2+x+1)y'-(2x-1)y=x^2-1\) → M8
  ⚡ particulière = \(P_0\) ; homogène : \(C(x^2+x+1)e^{-\frac4{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}}\)

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Matrice de \(\Phi\), noyau ; nouvelle base \((f_1,f_2,f_3)\) ; matrice \(B\) ; matrice de passage \(P\) et \(P^{-1}\) avec \(B=P^{-1}AP\).

• 1) matrice \(A\) et noyau → M1 M2
  ⚡ \(\ker\Phi=\operatorname{Vect}(e_1-e_3)\)
• 2) \(e_i\) en fonction des \(f_j\) ; base ? → M4
  ⚡ \(f_2+f_3=e_3\), \(e_1=f_1+f_2+f_3\), \(e_2=f_1+f_3\) ⇒ génératrice ⇒ base
• 3) \(\Phi(f_j)\) ; matrice \(B\) ; nature → M3
  ⚡ \(B=\operatorname{diag}(0,1,1)\) ⇒ projecteur (\(B^2=B\))
• 4) \(P\), \(P^{-1}\), \(B=P^{-1}AP\) → M4 M5
  ⚡ colonnes de \(P\) = \(f_j\) en base canonique ; colonnes de \(P^{-1}\) = \(e_i\) en base \((f)\)

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Trouver \((b_1,b_2,b_3)\) dans laquelle \(f\) a pour matrice \(B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}\), puis calculer \(B^n\) et \(A^n\).

• 1) base \((b_1,b_2,b_3)\) → M3
  ⚡ \(f(b_1)=0\), \(f(b_2)=-b_2\), \(f(b_3)=b_2-b_3\) ⇒ résoudre \(AX=0\), \((A+I)X=0\), \((A+I)X=b_2\) ; pas diagonalisable
• 2) \(B^n\) puis \(A^n\) → M7
  ⚡ \(A^n=(-1)^n\begin{pmatrix}2-n&1-n&n-2\\n&n+1&-n\\1&1&-1\end{pmatrix}\), valable pour \(n\ge1\)

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\(\mathcal B=(X^2+1,X+1,2X^2-X)\) : base, matrices de passage, coordonnées de \(X^2-X+2\), matrice de \(\varphi(P)=XP'\) dans \(\mathcal B\).

• 1) \(\mathcal B\) est une base → M4
  ⚡ \(\det P=1\ne0\) en dimension 3
• 2) matrices de passage canonique ↔ \(\mathcal B\) → M4
  ⚡ \(P\) et \(P^{-1}\) ; vérifier \(PP^{-1}=I\)
• 3) coordonnées de \(X^2-X+2\) → M4
  ⚡ \(P^{-1}(2,-1,1)=(5,-3,-2)\)
• 4) \(\varphi(P)=XP'\) dans \(\mathcal B\) → M1 M5
  ⚡ \(D=\operatorname{diag}(0,1,2)\) en canonique ; \(P^{-1}DP\) devient une matrice pleine

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\(A=\begin{pmatrix}3&-3&6\\1&-1&2\\-1&1&-2\end{pmatrix}\) : \(A^2\), \(\operatorname{Im}f\subset\ker f\), rang, bases, forme normale.

• 1) \(A^2=0\) et \(\operatorname{Im}f\subset\ker f\) → M9
  ⚡ \(y=f(x)\Rightarrow f(y)=f^2(x)=0\)
• 2) rang, bases du noyau et de l'image → M2
  ⚡ colonnes proportionnelles ⇒ rang 1 ; \(\ker\) : plan \(x-y+2z=0\)
• 3) semblable à la forme normale → M9 M3
  ⚡ \(b_1=e_1\), \(b_2=f(b_1)\), \(b_3\in\ker f\) ⇒ \(\det Q=1\)

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\(A=\begin{pmatrix}2&\frac23\\-\frac52&-\frac23\end{pmatrix}\), vecteurs \(e_1,e_2\) : base, matrice \(D\), \(A^n\), suites \((x_n),(y_n)\).

• 1) base et matrice dans cette base → M5 M4
  ⚡ \(\det P=-4\) ; \(Ae_1=e_1\), \(Ae_2=\frac13e_2\) ⇒ \(D=\operatorname{diag}(1,\frac13)\)
• 2) \(A^n\) → M7
  ⚡ \(A^n=PD^nP^{-1}\) avec \(D^n=\operatorname{diag}(1,3^{-n})\) (valable dès \(n=0\))
• 3) suites couplées → M10
  ⚡ \(X_0=ae_1+be_2\) ⇒ \(x_n=-2a-2b3^{-n}\), \(y_n=3a+5b3^{-n}\)

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