C14 — Modéliser les résistances au mouvement et les actions locales
Modéliser une action mécanique à partir d'un modèle local (champs de forces volumiques / surfaciques / linéiques) ; en déduire le modèle global (pesanteur, centre de gravité) ; modéliser les actions de contact avec frottement : cinématique du contact ponctuel, lois de Coulomb, cône d'adhérence, arc-boutement, résistance au roulement et au pivotement.
1. Résumé de cours détaillé
1.1 Notion d'adhérence et de frottement
Les phénomènes de frottement et d'adhérence sont omniprésents dans l'étude du comportement et la conception des systèmes. Ils peuvent être :
- utiles lorsqu'il s'agit de freiner ou d'accélérer un solide ;
- néfastes lorsqu'ils sont à l'origine de pertes d'énergie ou d'usure trop importante ;
- négligés dans de nombreuses études (liaisons parfaites).
• Frottement s'il existe un mouvement relatif (glissement) ;
• Adhérence s'il n'existe pas de mouvement relatif (pas de glissement).
Ces phénomènes sont présents pour des actions mécaniques de contact surfacique et ponctuel ; ils sont liés au glissement et plus généralement au roulement et au pivotement, c'est-à-dire à la cinématique du contact.
1.2 Cinématique du contact ponctuel
Soient deux solides (1) et (2) en contact en un point \(J\) de normale \(\vec n\). La condition de non-pénétration et de maintien du contact s'écrit \(\ \vec V_{J\in2/1}\cdot\vec n=0\). Le torseur cinématique de 2/1 est \[\{\mathcal V_{2/1}\}=\Big\{\begin{array}{l}\vec\Omega_{2/1}\\ \vec V_{J\in2/1}\end{array}\Big\}_J=\Big\{\begin{array}{l}\Omega_{piv\,2/1}\,\vec n+\vec\Omega_{roul\,2/1}\\ \vec V_{J\in2/1}\end{array}\Big\}_J .\]
• \(\vec\Omega_{roul\,2/1}\) : composante de roulement de 2/1 — perpendiculaire à \(\vec n\), donc parallèle au plan tangent commun ;
• \(\vec V_{J\in2/1}\) : vitesse de glissement de 2/1 — parallèle au plan tangent commun (puisque \(\vec V\cdot\vec n=0\)).
• Pivotement et roulement : on cherche le vecteur rotation \(\vec\Omega_{2/1}\), puis on le projette suivant la normale (\(\Omega_{piv}=\vec\Omega_{2/1}\cdot\vec n\)) et suivant le plan tangent (\(\vec\Omega_{roul}=\vec\Omega_{2/1}-\Omega_{piv}\vec n\)).
1.3 Résistance au glissement et loi de Coulomb
Mise en évidence (expérience du colis)
Un colis \(S_2\) est posé sur un plan horizontal \(S_1\). On lui applique un effort horizontal \(\vec F\) de plus en plus important, de droite d'action passant par \(G\), pour le faire glisser. On suppose l'équilibre à tout instant. Actions sur \(S_2\) : le poids \(\vec P_2\), l'effort \(\vec F\), et l'action de \(S_1\) sur \(S_2\). L'action équivalente à \(\vec P_2\) et \(\vec F\) est une force, donc (PFS) l'action de \(S_1\) sur \(S_2\) est aussi une force passant par \(G\), de résultante \(\vec R_{1\to2}=\vec N_{1\to2}+\vec T_{1\to2}\) : \(\vec N_{1\to2}\) composante normale, \(\vec T_{1\to2}\) composante tangentielle (adhérence ou frottement).
| Situation | Au repos | Tendance au glissement | Limite ou glissement |
|---|---|---|---|
| Effort \(\vec F\) | \(\|\vec F\|=0\) | \(\vec F\) agit sur \(S_2\), tend à le faire glisser | \(S_2\) est à la limite de glisser (ou glisse dans le même sens que \(\vec F\)) |
| Action de \(S_1\) sur \(S_2\) | \(\vec N_{1\to2}=-\vec P_2\), \(\vec T=\vec0\) | \(\vec T_{1\to2}\ne\vec0\) s'oppose au mouvement relatif ; \(\vec R\) inclinée de \(\varphi\) par rapport à la normale | \(\vec T=\vec T_{lim}\), \(\varphi=\varphi_{lim}\) |
| Norme de \(\vec T\) | \(\|\vec T\|=\|\vec F\|=0\) | \(\|\vec T\|=\|\vec F\|<\|\vec T_{lim}\|\) | \(\|\vec T\|=\|\vec F\|=\|\vec T_{lim}\|\) |
| Nom | repos | Adhérence (équilibre stable) | Adhérence limite ou frottement |
\(\vec T_{lim}\) est l'action tangentielle limite à partir de laquelle l'équilibre est rompu : \(S_2\) se met à glisser par rapport à \(S_1\). Au-delà, le « comportement dynamique » : l'équilibre est rompu, l'accélération est non nulle, le solide glisse.
Lois de Coulomb
Pour deux solides (1) et (2) en contact supposé ponctuel en \(P\), le torseur d'action mécanique de (1) sur (2) s'écrit \(\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{\vec R_{1\to2}=\vec N_{1\to2}+\vec T_{1\to2};\ \vec0\}_P\), avec \(\vec N_{1\to2}\) normale au contact et \(\vec T_{1\to2}\) tangentielle (dans le plan tangent commun).
• Si \(\vec V_{P\in2/1}\ne\vec0\) : \(\|\vec T_{1\to2}\|=\mu\|\vec N_{1\to2}\|\) → frottement ;
et la composante tangentielle s'oppose au glissement. Avec \(\vec t=\dfrac{\vec V_{P\in2/1}}{\|\vec V_{P\in2/1}\|}\) (dans le plan tangent) : \(\ \vec T_{1\to2}=-\mu\|\vec N_{1\to2}\|\,\vec t\), d'où \(\vec T_{1\to2}\wedge\vec V_{P\in2/1}=\vec0\) (colinéaire) et \(\vec T_{1\to2}\cdot\vec V_{P\in2/1}<0\) (opposée).
1. Supposer un mouvement de 2/1 en cas de rupture de l'adhérence ;
2. En déduire la direction de la composante tangentielle \(\vec T_{1\to2}=-T_{1\to2}\vec t\), avec \(\vec t=\vec V_{P\in2/1}/\|\vec V_{P\in2/1}\|\) ;
3. Appliquer la loi de Coulomb (égalité) : \(\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{\vec N_{1\to2}-\mu\|\vec N_{1\to2}\|\vec t;\ \vec0\}_P\) ;
4. Vérifier l'équilibre de \(S_2\) (PFS) : cela valide l'hypothèse cinématique.
Cône de frottement (ou d'adhérence)
Hypothèses sur le coefficient d'adhérence \(\mu\)
| \(\mu\) ne dépend pas… | \(\mu\) dépend essentiellement… |
|---|---|
| de l'intensité de la force élémentaire de pression ; de l'étendue de la surface de contact | de la nature des matériaux en contact ; de la présence ou non de lubrifiant (et aussi de l'état de rugosité, de la température…) |
Ordres de grandeur de \(f\) ou \(\mu\) :
| Matériaux en contact | Surfaces sèches | Surfaces lubrifiées |
|---|---|---|
| Téflon / Acier | 0,04 | — |
| Acier / Bronze | 0,10 | 0,09 |
| Acier / Acier | 0,15 | |
| Bronze / Bronze | 0,2 | |
| Acier / Fonte | 0,16 | 0,08 à 0,04 |
| Fonte / Bronze | 0,20 | 0,08 à 0,04 |
| Nylon / Acier | 0,35 | 0,12 |
| Bois / Bois | 0,4 à 0,2 | 0,16 à 0,04 |
| Pneu / Route | 0,6 | 0,30 à 0,10 |
1.4 Phénomène d'arc-boutement
1.5 Phénomènes de roulement et de pivotement
Le raisonnement du glissement s'applique par analogie au roulement et au pivotement : une résistance au roulement (resp. pivotement) est modélisée par un moment de résistance, qui s'oppose au roulement (resp. pivotement) ou à sa tendance. Soit \(A\) un point de contact entre (1) et (2), torseur de (1) sur (2) en \(A\) :
| Phénomène | Torseur de (1) sur (2) | Condition |
|---|---|---|
| Glissement (Coulomb) | \(\{\vec N_{1\to2}+\vec T_{1\to2};\ \vec0\}_A\) | \(\|\vec T_{1\to2}\|\le\mu\|\vec N_{1\to2}\|\), \(\mu\) sans dimension ; \(\vec T\) s'oppose au glissement (ou à sa tendance) |
| Pivotement | \(\{\vec N_{1\to2};\ \vec M^p_{A,1\to2}\}_A\) | \(\|\vec M^p_{A,1\to2}\|\le\delta\|\vec N_{1\to2}\|\), \(\delta\) paramètre de résistance au pivotement (en m) ; \(\vec M^p\) s'oppose au pivotement |
| Roulement | \(\{\vec N_{1\to2};\ \vec M^r_{A,1\to2}\}_A\) | \(\|\vec M^r_{A,1\to2}\|\le\eta\|\vec N_{1\to2}\|\), \(\eta\) paramètre de résistance au roulement (en m) ; \(\vec M^r\) s'oppose au roulement |
| Cas général | \(\{\vec N_{1\to2}+\vec T_{1\to2};\ \vec M^p_{A,1\to2}+\vec M^r_{A,1\to2}\}_A\) | combinaison de tous les mouvements ou tendances aux mouvements ; toujours les relations pour \(\vec T,\vec M^p,\vec M^r\) en fonction de \(\vec N\) |
N.B. tous ces vecteurs sont obtenus par projection sur la normale et sur le plan tangent commun en \(A\) à (1) et (2). Les paramètres \(\delta\) et \(\eta\) ont la dimension d'une longueur (car moment ÷ force).
1.6 Modèle local et modèle global d'une action mécanique
1.6.1 Modèle local des actions à distance et de contact
Les actions locales modélisent finement les actions à distance et de contact (cette modélisation est aussi nécessaire pour la prise en compte des résistances au glissement) par des champs de forces volumiques ou surfaciques.
• Action de contact locale de (1) sur (2) sur la surface élémentaire \(dS\) centrée en \(Q\) : \(d\vec F_{1\to2}(Q)=\vec q(Q)\,dS\), passant par \(Q\).
• Torseur d'action locale : \(\{d\mathcal T_{1\to2}\}(Q)=\{d\vec F_{1\to2}(Q);\vec0\}_Q\).
| Nature de l'élément | Élément | Densité de l'action \(\vec q\) | \(d\vec F_{1\to2}(Q)\) |
|---|---|---|---|
| Ligne | \(dl\) (\(dx\), \(dy\), \(r\,d\theta\)) | linéique, en N·m⁻¹ | \(\vec q\,dl\) |
| Surface | \(dS\) (\(dx\,dy\), \(r\,d\theta\,dr\)) | surfacique, en N·m⁻² (= Pa) | \(\vec q\,dS\) |
| Volume | \(dV\) | volumique, en N·m⁻³ | \(\vec q\,dV\) |
L'ensemble des forces élémentaires sur l'ensemble des éléments concernés définit un champ de forces associé à l'action mécanique.
1.6.2 Du modèle local au modèle global
1.6.3 Cas de la pesanteur
Si un solide est supposé homogène, sa masse volumique est constante : \(\rho(Q)=\rho\) pour tout \(Q\) du solide. Ordres de grandeur : acier \(\rho=7800\) kg·m⁻³ ; aluminium \(2700\) kg·m⁻³ ; PVC \(\approx1400\) kg·m⁻³.
Point de vue local : la pesanteur est une action mécanique à distance, le champ de force est \(\ \forall Q\in1,\ d\vec F_{pes\to1}(Q)=dm\,\vec g=\rho\,dV\,\vec g\).
Point de vue global : les forces locales sont de résultantes parallèles à \(\vec g\), donc le torseur global est nécessairement une force orientée selon \(\vec g\) : le poids. La résultante : \[\vec R_{pes\to1}=\int_{V_1}\rho\,dV\,\vec g=\rho\vec g\int_{V_1}dV=\rho\,\vec g\,V_1=m_1\vec g\qquad(V_1:\text{volume},\ m_1:\text{masse}).\] Soit \(G_1\) le centre de gravité de (1) : par définition, c'est le barycentre des masses : \(\displaystyle\int_{V_1}\vec{G_1Q}\,dm=\vec0\). Alors \[\vec M_{G_1,pes\to1}=\int_{V_1}\vec{G_1Q}\wedge d\vec F_{pes\to1}(Q)=\int_{V_1}\vec{G_1Q}\wedge(\vec g\,dm)=\underbrace{\Big(\int_{V_1}\vec{G_1Q}\,dm\Big)}_{=\vec0\ \text{par déf. de }G_1}\wedge\vec g=\vec0.\]
1.6.4 Point de vue local des actions de contact avec adhérence ou frottement
• \(d\vec N_{1\to2}(P)=-p(P)\,dS\,\vec n_{21}(P)\) : composante normale locale (\(p(P)\) : pression en \(P\), \(\vec n_{21}(P)\) : normale sortante à \(S_2\)) ;
• \(d\vec T_{1\to2}(P)\) : composante tangentielle locale (dans le plan tangent commun en \(P\)).
La loi de Coulomb s'applique aux actions locales : \(\ \|d\vec T_{1\to2}\|\le\mu\|d\vec N_{1\to2}\|\Rightarrow\|d\vec T_{1\to2}\|\le\mu\,p\,dS\) en adhérence ; \(\ \|d\vec T_{1\to2}\|=\mu\,p\,dS\) en glissement, avec \(\vec t(P)=\dfrac{\vec V_{P\in2/1}}{\|\vec V_{P\in2/1}\|}\) et \(d\vec T_{1\to2}(P)=-\mu\,p(P)\,dS\,\vec t(P)\).
1. Supposer un mouvement de 2/1 en cas de rupture d'adhérence, en définissant un torseur cinématique \(\{\mathcal V_{2/1}\}\) ;
2. En déduire la direction de la composante tangentielle en tout point de la surface : \(\vec t(P)=\vec V_{P\in2/1}/\|\vec V_{P\in2/1}\|\) ;
3. Appliquer Coulomb à l'action locale : \(\ \{d\mathcal T_{1\to2}\}(P)=\{(\vec n_{21}(P)-\mu\,\vec t(P))\,p(P)\,dS;\ \vec0\}_P\) ;
4. Déterminer l'action globale par intégration avec une hypothèse sur le champ de pression ;
5. Vérifier l'équilibre de \(S_2\) (PFS) : cela valide l'hypothèse cinématique et l'hypothèse sur le champ de pression.
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
Seul le CM de C14 a été fourni (pas de TD) : exercices créés à partir du cours.
Cadre. Équilibre vertical : \(N=mg\). Loi de Coulomb : \(T\le\mu N\).
Q1 — Effort limite
\(N=mg=20\times9{,}81=196{,}2\) N ; \(T_{lim}=\mu N=0{,}4\times196{,}2=78{,}5\) N.
Le colis glisse dès que \(F>78{,}5\) N.
Q2 — \(F=50\) N
\(F<T_{lim}\) : équilibre horizontal \(T=F\) (la composante tangentielle s'oppose à \(F\)). Adhérence : \(T=50\) N (et non \(78{,}5\) N).
Q3 — \(F=100\) N
\(F>T_{lim}\) : glissement, \(T=\mu N=78{,}5\) N (opposée au mouvement). PFS horizontal : \(ma=F-T\Rightarrow a=\dfrac{100-78{,}5}{20}=1{,}08\) m/s².
\(T=50\) N (adhérence) ; \(T=78{,}5\) N et \(a\approx1{,}08\) m/s² (glissement)
Q1 — Condition d'équilibre
Base liée au plan : \(\vec x\) le long de la pente (vers le bas), \(\vec y\) normale. PFS à l'équilibre : sur \(\vec y\) : \(N=mg\cos\theta\) ; sur \(\vec x\) : \(T=mg\sin\theta\) (\(T\) dirigée vers le haut). Donc \(\dfrac TN=\tan\theta\). Coulomb : \(\tan\theta\le\mu\), soit \(\theta\le\varphi_{lim}=\arctan\mu\).
\(\varphi_{lim}=\arctan0{,}3=16{,}7^\circ\) — la condition ne dépend pas de la masse : c'est la définition du cône d'adhérence (\(\vec R=-m\vec g\) est verticale et doit rester dans le cône d'axe la normale).
Q2 — \(\theta=15^\circ\)
\(\tan15^\circ=0{,}268<0{,}3\) : adhérence. \(N=98{,}1\times\cos15^\circ=94{,}76\) N ; \(T=98{,}1\times\sin15^\circ=25{,}39\) N \(<\mu N=28{,}43\) N ✔.
Q3 — \(\theta=20^\circ\)
\(\tan20^\circ=0{,}364>0{,}3\) : glissement. \(N=98{,}1\times\cos20^\circ=92{,}19\) N ; \(T=\mu N=27{,}66\) N. Accélération : \(a=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)=9{,}81\times(0{,}3420-0{,}2819)=0{,}59\) m/s².
\(\theta=15^\circ\) : adhérence, \(T=25{,}4\) N ; \(\theta=20^\circ\) : glissement, \(T=27{,}7\) N, \(a=0{,}59\) m/s²
Cadre. En \(A\) et \(B\) : action = composante normale horizontale \(N_A,N_B\) + composante tangentielle verticale \(T_A,T_B\) (vers le haut, car la tendance est de glisser vers le bas). Problème plan, 3 équations.
Q1 — Équations d'équilibre
Résultante horizontale : \(N_A=N_B=N\). Résultante verticale : \(T_A+T_B=P\). Moment en \(B\) (on néglige le diamètre de la colonne) : \(P\,d=N\,h\Rightarrow N=\dfrac{P\,d}{h}\).
Q2 — Condition d'adhérence
\(T_A\le\mu N\) et \(T_B\le\mu N\) donc \(P=T_A+T_B\le2\mu N=2\mu\dfrac{P\,d}{h}\). On simplifie par \(P>0\) :
\[1\le\frac{2\mu d}{h}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{d\ge\frac{h}{2\mu}}\] La condition ne dépend pas de \(P\) : si elle est satisfaite, l'étagère tient quelle que soit la charge — c'est l'arc-boutement.
Q3 — Application numérique
\(h=3\) cm, \(\mu=0{,}15\) (acier/acier sec) : \(d\ge\dfrac{3}{2\times0{,}15}=10\) cm. Pour une charge plus près de la colonne (\(d<10\) cm), l'étagère glisse. Lubrifier (\(\mu\) plus petit) augmente la distance minimale ; augmenter \(h\) aussi.
Angle de la résultante : \(\tan\varphi=\dfrac TN=0{,}30\Rightarrow\varphi=16{,}7^\circ\). Angle limite : \(\varphi_{lim}=\arctan0{,}35=19{,}3^\circ\).
\(\varphi=16{,}7^\circ<\varphi_{lim}=19{,}3^\circ\) : \(\vec R\) est dans le cône ⟹ adhérence. Marge : \(T_{lim}=\mu N=175\) N, il reste 25 N avant le glissement.
Q1 — Position de \(G\)
\(G\) est sur l'axe de symétrie : \(x_G=0\). Plaque mince : élément de surface en polaires, \(dS=r\,dr\,d\theta\), \(y=r\sin\theta\), \(\theta\in[0,\pi]\), \(r\in[0,R]\). Aire \(S=\dfrac{\pi R^2}{2}\). \[y_G=\frac1S\iint y\,dS=\frac1S\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^R r^2\,dr=\frac1S\times2\times\frac{R^3}{3}=\frac{2R^3/3}{\pi R^2/2}=\frac{4R}{3\pi}.\]
\(y_G=\dfrac{4R}{3\pi}=\dfrac{4\times50}{3\pi}=21{,}2\) mm
Q2 — Poids
\(S=\dfrac{\pi\times0{,}05^2}{2}=3{,}927\cdot10^{-3}\) m² ; \(V=S\,e=1{,}963\cdot10^{-5}\) m³ ; \(m=\rho V=7800\times1{,}963\cdot10^{-5}=0{,}153\) kg ; \(P=mg=0{,}153\times9{,}81=1{,}50\) N.
\(\{\mathcal T_{pes\to1}\}=\{-1{,}50\,\vec y;\vec0\}_G\) (si \(\vec y\) vertical ascendant), \(G\) à \(21{,}2\) mm de \(O\) sur l'axe de symétrie.
Local : sur une bande horizontale \(dS=b\,dy\) à la profondeur \(y\), \(d\vec F=-p(y)\,dS\,\vec n\) de norme \(dF=\rho_e g\,y\,b\,dy\), perpendiculaire à la paroi.
Q1 — Résultante (global)
\(F=\displaystyle\int_0^h\rho_eg\,b\,y\,dy=\rho_eg\,b\,\frac{h^2}{2}=1000\times9{,}81\times2\times\frac{9}{2}\).
\(F=88\,290\) N \(\approx88\) kN
Q2 — Point d'application (profondeur du centre de poussée)
Les forces élémentaires sont parallèles ⟹ le torseur global est une force. Moment par rapport à la surface libre : \(F\,y_c=\displaystyle\int_0^h y\,dF=\rho_eg\,b\frac{h^3}{3}\Rightarrow y_c=\dfrac{h^3/3}{h^2/2}=\dfrac{2h}{3}\).
\(y_c=\dfrac{2h}{3}=2\) m sous la surface (soit \(1\) m au-dessus du fond) : plus bas que le centre géométrique (1,5 m) car la pression augmente avec la profondeur. Moment sur la base : \(F\times1=88\,290\) N·m.
Q1 — Moment de résistance au roulement
En mouvement, \(\|\vec M^r\|=\eta\,N=0{,}002\times500=1{,}0\) N·m (opposé au roulement).
Q2 — Force motrice horizontale pour maintenir la vitesse
Équilibre des moments au centre de la roue en régime permanent (vitesse constante) : \(F\,R=\eta N\Rightarrow F=\dfrac{\eta N}{R}=\dfrac{1{,}0}{0{,}25}\).
\(F=4\) N (soit \(F/N=\eta/R=0{,}8\%\)) — très inférieur à la force pour glisser (\(\mu N\approx75\) N pour \(\mu=0{,}15\)) : c'est pourquoi on utilise des roues.
📂 Documents donnés
Document original du chapitre (cours magistral). Cliquez pour ouvrir le PDF.
Les documents sont inclus dans ce dossier (sous-dossier documents\) — le paquet est autonome et partageable tel quel.