C13 — Déterminer les actions internes de structures fermées en équilibre
Utiliser le principe fondamental de la statique pour obtenir la loi entrée-sortie en effort d'un transmetteur en chaîne fermée : torseur des actions transmissibles des liaisons parfaites, actions usuelles (ressort, amortisseur, pression, contact), problème plan, ensembles soumis à 2 forces, bielles et vérins, structures « pieuvre » et stratégie d'isolement.
1. Résumé de cours détaillé
1.1 Objectif et modèle de comportement statique
On veut déterminer les actions transmises entre les composants d'un mécanisme modélisé par une structure fermée, en utilisant le principe fondamental de la statique (PFS).
• les actions mécaniques transmissibles par les liaisons ;
• les actions mécaniques d'entrée et de sortie associées aux chaînes fonctionnelles (couple d'un moteur, effort d'un vérin…) ;
• des actions mécaniques internes ou externes sollicitant le modèle : poids, ressort, amortisseur…
Il est représenté par un graphe de structure associé aux modèles des actions d'E/S et des sollicitations, et par un schéma cinématique complété de la représentation des actions.
Utilisations : relation d'entrée/sortie d'un transmetteur linéaire ou non linéaire ; actions transmises par une liaison ; conditions d'équilibre (en particulier de non-basculement). Exemple du cours (échelle EPAS) : 3 paramètres de position pilotés \(x,\alpha,\theta\), une sollicitation (poids des parties mobiles en \(D\)) et 3 actions d'E/S \(C_m\), \(F_v\), \(F_{2-3}\) correspondant aux 3 chaînes fonctionnelles.
1.2 Actions transmissibles par des liaisons parfaites
• pour chaque blocage, il existe un paramètre statique ; • pour chaque DDL, il existe une composante nulle dans le torseur des actions transmissibles.
\[n_{DDL}+n_{blocages}=6\quad\Longrightarrow\quad n_{paramètres\ cinématiques}+n_{paramètres\ statiques}=6.\] Le domaine de validité du torseur d'actions transmissibles est le même que celui du torseur cinématique.
Exemple 1 — glissière de direction \(\vec x\) entre 1 et 2 : 1 DDL (\(T_X\)) ⟹ la liaison ne peut pas transmettre la force élémentaire \(F_X\), donc \(X_{12}=0\). En tout point \(A\) :
\[\{\mathcal T_{1\to2}\}=\Big\{\begin{array}{l}Y_{12}\vec y+Z_{12}\vec z\\ L_{12}\vec x+M_{12}\vec y+N_{12}\vec z\end{array}\Big\}_A\ \Leftrightarrow\ \vec R_{1\to2}\cdot\vec x=0\]
5 paramètres statiques ↔ 5 blocages. Torseur cinématique correspondant : \(\{\mathcal V_{2/1}\}=\{\vec 0;\,V_{12}\vec x\}\).
Exemple 2 — liaison sphérique de centre \(A\) : 3 rotations libres, 3 translations bloquées ⟹ elle ne peut pas transmettre les couples \(C_X,C_Y,C_Z\) mais peut transmettre \(F_X,F_Y,F_Z\) :
\(\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{\vec R_{1\to2};\vec0\}_A\) (valable uniquement au centre \(A\)). 3 paramètres statiques.
Torseurs d'actions transmissibles des liaisons usuelles
Forme du torseur dans le repère de la liaison, au point \(A\) du domaine de validité (axe, centre, plan…), pour les liaisons parfaites. On obtient chaque ligne en annulant les composantes associées aux DDL :
| Liaison | DDL | Résultante \(\vec R_{1\to2}\) | Moment \(\vec M_{A,1\to2}\) | Nb param. statiques |
|---|---|---|---|---|
| Encastrement | 0 | \(X,Y,Z\) | \(L,M,N\) | 6 |
| Pivot d'axe \((A,\vec x)\) | \(R_x\) | \(X,Y,Z\) | \(0,M,N\) (\(\vec M\cdot\vec x=0\)) | 5 |
| Glissière de direction \(\vec x\) | \(T_x\) | \(0,Y,Z\) (\(\vec R\cdot\vec x=0\)) | \(L,M,N\) | 5 |
| Hélicoïdale d'axe \((A,\vec y)\), pas \(p\) | \(R_y\equiv T_y\) | \(X,Y,Z\) | \(L,M,N\) avec \(M=\mp\dfrac p{2\pi}Y\) | 5 |
| Pivot glissant d'axe \((A,\vec x)\) | \(R_x,T_x\) | \(0,Y,Z\) | \(0,M,N\) | 4 |
| Appui plan de normale \(\vec z\) | \(T_x,T_y,R_z\) | \(0,0,Z\) | \(L,M,0\) | 3 |
| Sphérique de centre \(A\) | \(R_x,R_y,R_z\) | \(X,Y,Z\) | \(\vec0\) (au centre) | 3 |
| Sphère-cylindre d'axe \((A,\vec x)\) | \(R_x,R_y,R_z,T_x\) | \(0,Y,Z\) | \(\vec0\) | 2 |
| Sphère-plan de normale \((A,\vec y)\) | \(R_x,R_y,R_z,T_x,T_z\) | \(0,Y,0\) (\(\vec R_{1\to2}=Y_{12}\vec y\)) | \(\vec0\) | 1 |
1.3 Actions mécaniques usuelles
Ressort et amortisseur de traction/compression
Deux ensembles (1) et (2) reliés par un ressort et un amortisseur en parallèle, attachés en \(A\in1\) et \(B\in2\). \(L\) est leur longueur : \(\vec{AB}=L\,\vec u\).
Amortisseur linéaire (coefficient \(\lambda\) en N/(m·s⁻¹)) : force qui s'oppose au mouvement, proportionnelle à la vitesse de variation de longueur : \(\vec F_{1\to2}=-\lambda\,\dot L\,\vec u\) ; torseur \(\{\mathcal T^{am}_{1\to2}\}=\{-\lambda\dot L\vec u;\vec0\}_A\).
Ressorts en parallèle : les raideurs s'ajoutent (\(k=k_1+k_2\)). Ressorts en série : les souplesses (inverse de la raideur) s'ajoutent (\(\tfrac1k=\tfrac1{k_1}+\tfrac1{k_2}\)).
Action hydraulique sur une surface plane à pression constante
Contact ponctuel sans « frottement »
1.4 Cas d'un problème plan
La cinématique plane ne comprend que 3 mouvements élémentaires (2 translations dans le plan, 1 rotation ⟂ plan) et 3 actions élémentaires (2 forces dans le plan, 1 couple ⟂ plan).
Pour un problème plan \((O,\vec x,\vec y)\) : \(\{\mathcal V_{j/i}\}=\{\omega_{z}\vec z;\,u_x\vec x+v_y\vec y\}\) et tous les torseurs d'actions mécaniques ont la forme \(\{\mathcal T_{i\to j}\}=\{X\vec x+Y\vec y;\ N\vec z\}\). De même pour \((O,\vec y,\vec z)\) (composantes \(Y,Z,L\)) et \((O,\vec x,\vec z)\) (composantes \(X,Z,M\)). Il faut être capable de simplifier soi-même les torseurs en annulant les composantes, même si l'énoncé ne dit pas « problème plan ».
1.5 Relation entre 2 sollicitations (loi E/S en effort) dans un système fermé
La démarche consiste à définir la stratégie d'isolement : la succession des isolements à réaliser et, pour chacun, la ou les équations du PFS à écrire. Elle demande de connaître quelques cas particuliers (ensemble soumis à 2 forces, bielle, vérin) et de comprendre la cinématique.
Ensembles soumis à 2 forces
• résultante : \(\vec F_1+\vec F_2=\vec0\Rightarrow\vec F_1=-\vec F_2\) (opposées) ;
• moment en \(A\) : \(\vec M_{A,1\to\Sigma}=\vec0\) et \(\vec M_{A,2\to\Sigma}=\vec M_{B,2\to\Sigma}+\vec{AB}\wedge\vec F_2=\vec{AB}\wedge\vec F_2\) (car \(\vec M_B=\vec0\)), donc \(\vec{AB}\wedge\vec F_2=\vec0\) : \(\vec F_2\) est colinéaire à \(\vec{AB}\).
Avec \(\vec u=\vec{AB}/\|\vec{AB}\|\) : \(\vec F_1=F\vec u\), \(\vec F_2=-F\vec u\). Les droites d'action sont confondues avec \((AB)\) et la seule inconnue restante est l'intensité \(F\) (positive en traction ou compression selon le signe).
Identifier des actions de type « force » transmissibles par les liaisons
Vérin linéaire articulé de poids négligé : relation poussée / pression
Un vérin linéaire est un composant de longueur variable pouvant imposer une longueur ou un effort de poussée. Il est modélisé par 2 ensembles (corps et tige), articulé à ses deux extrémités.
2. Théorème de la résultante statique appliqué à l'un des ensembles du vérin (corps ou tige), projeté sur la direction reliant les articulations, pour relier la poussée aux efforts internes (pression, ressort…).
Structures « pieuvre »
Démarche générale et règles d'isolement
- Modéliser / représenter : graphe de structure, figures de changement de base.
- Analyser : identifier les paramètres d'E/S ; chercher les ensembles soumis à 2 forces et nommer le paramètre restant sur le graphe ; repérer les ensembles en liaison élémentaire avec le bâti et les éléments de couplage.
- Choisir une stratégie d'isolement : isoler tour à tour les ensembles à 2 forces ; choisir les autres ensembles à isoler ; choisir théorème de la résultante ou du moment et la direction de projection à partir des DDL des liaisons.
- Recenser les AM extérieures (torseurs en tenant compte du caractère 3D ou plan).
- Appliquer le PFS (résultante ou moment selon le choix préalable).
- Résoudre si cela répond à la problématique ; applications numériques.
2. Applications du cours corrigées
Questions A1, A2 (vérin pneumatique) et A3 (structure « pieuvre » bielle-manivelle) du CM : le cours laisse les réponses en blanc, on les rédige entièrement.
Cadre. Problème traité à l'équilibre. Notation : \(F_p\) = intensité de la poussée du vérin sur (1) ; \(\vec x_2\) dirigé de \(D\) vers \(B\) (de sorte que \(F_p>0\) correspond à une poussée).
A1 — Isoler le vérin et définir l'action de poussée \(F_p\) sur (1)
Système isolé : le vérin \(\{2+3\}\). Actions extérieures :
• action de (1) sur la tige (2) en \(B\) : liaison sphérique de centre \(B\) ⟹ torseur de la forme \(\{\vec R_{1\to2};\vec0\}_B\) (force en \(B\)) ;
• action du bâti (0) sur le corps (3) en \(D\) : liaison sphérique de centre \(D\) ⟹ \(\{\vec R_{0\to3};\vec0\}_D\) (force en \(D\)) ;
• poids de (2) et (3) : négligés ; pressions et pivot glissant (2/3) : actions intérieures à l'ensemble isolé.
L'ensemble est donc soumis à 2 forces aux points \(B\) et \(D\) : à l'équilibre, les résultantes sont opposées et de droite d'action \((BD)\). On pose \(\vec R_{2\to1}=F_p\,\vec x_2\) (poussée sur (1)), d'où : \[\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{-F_p\,\vec x_2;\vec0\}_B,\qquad \{\mathcal T_{0\to3}\}=\{+F_p\,\vec x_2;\vec0\}_D\ \ (\text{et }\{\mathcal T_{3\to0}\}=\{-F_p\vec x_2;\vec0\}_D).\]
L'action de poussée du vérin sur (1) est une force de droite d'action \((B,\vec x_2)=(BD)\) : \(\{\mathcal T_{vérin\to1}\}=\{F_p\vec x_2;\vec0\}_B\). On l'obtient sans connaître la pression.
A2 — Relation entre la poussée et les pressions
Étape 2 de la stratégie : on isole un seul des deux ensembles du vérin, ici la tige (2) avec son piston, et on projette le théorème de la résultante sur \(\vec x_2\).
Actions sur (2) projetées sur \(\vec x_2\) :
• de (1) sur (2) en \(B\) : \(-F_p\,\vec x_2\) (résultat de A1) → \(-F_p\) ;
• de la pression \(p_1\) (chambre 1) sur la face du piston de section \(S_1\) : elle pousse le piston vers \(B\), donc dans le sens \(+\vec x_2\) : \(+p_1S_1\) (force \(-pS\vec n\) avec \(\vec n=-\vec x_2\) normale sortante du piston) ;
• de la pression \(p_2\) (chambre 2) sur la face de section \(S_2=S_1-S_{tige}\) : elle pousse le piston vers \(D\), donc \(-p_2S_2\) ;
• du corps (3) sur la tige (2) par le pivot glissant parfait d'axe \(\vec x_2\) : aucune composante sur \(\vec x_2\) (liaison parfaite, la glissière ne transmet pas d'effort suivant sa direction).
Équation de résultante sur \(\vec x_2\) : \[-F_p+p_1S_1-p_2S_2=0.\]
\[\boxed{F_p=p_1\,S_1-p_2\,S_2}\] La poussée est la différence des forces pressantes sur les deux faces du piston. Pour un vérin à tige : \(S_2<S_1\) (la tige occupe une partie de la chambre 2), donc à \(p_1=p_2\) le vérin pousse (\(F_p>0\)) mais moins qu'à \(p_2=0\).
Lien avec le poids (complément)
On isole (1) : actions extérieures : poids \(\{m\vec g;\vec0\}_G\), poussée \(\{F_p\vec x_2;\vec0\}_B\) et liaison pivot d'axe \((A,\vec y_0)\) (dont le moment sur \(\vec y_0\) est nul). Le théorème du moment statique en \(A\), projeté sur \(\vec y_0\) (qui élimine la liaison inconnue) : \[\vec y_0\cdot(\vec{AG}\wedge m\vec g)+\vec y_0\cdot(\vec{AB}\wedge F_p\vec x_2)=0.\] En notant \(d_G\) le bras de levier du poids et \(d_B\) celui de la poussée par rapport à l'axe \((A,\vec y_0)\), avec le poids et la poussée en sens contraires de rotation : \(F_p\,d_B=m\,g\,d_G\). D'où, avec A2 : \(\ p_1S_1-p_2S_2=m\,g\,\dfrac{d_G}{d_B}\ \). (Application numérique : exercice D.)
Cadre. Entrée : \(C\) (action sur la liaison pivot 1/0). Sortie : \(F\) (action sur la glissière 3/0). On cherche \(F\) en fonction de \(C\) (ou l'inverse), en un paramètre de position \(\alpha\) donné. Plan : 3 équations de PFS par isolement, mais on n'écrit que celle qui élimine les liaisons inconnues.
Étape 1 — Isoler la bielle (2) : ensemble à 2 forces
La bielle est soumise à 2 actions de liaisons à 3 (resp. 1 en plan) rotations libres en \(A\) et \(B\), donc à deux forces ; son poids est négligé. Elle est à l'équilibre sous 2 glisseurs ⟹ les résultantes sont opposées et portées par \((AB)\), direction \(\vec x_2\). On pose : \[\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{-X_{12}\vec x_2;\vec0\}_A,\qquad \{\mathcal T_{3\to2}\}=\{+X_{12}\vec x_2;\vec0\}_B,\] donc (principe des actions réciproques) \(\{\mathcal T_{2\to1}\}=\{+X_{12}\vec x_2;\vec0\}_A\) et \(\{\mathcal T_{2\to3}\}=\{-X_{12}\vec x_2;\vec0\}_B\). L'unique inconnue de la bielle est \(X_{12}\).
Étape 2 — Isoler le coulisseau (3) : relier \(X_{12}\) à \(F\)
Choix de l'équation. Liaison avec le bâti = glissière de direction \(\vec x_0\) : elle transmet des efforts \(\perp\vec x_0\) (inconnus) mais aucun effort suivant \(\vec x_0\). On projette donc le théorème de la résultante sur \(\vec x_0\), qui élimine l'action du bâti.
Actions extérieures sur (3) : de la bielle \(-X_{12}\vec x_2\) ; de l'environnement \(-F\vec x_0\) ; du bâti (glissière) : composante \(Y_{03}\vec y_0\), sans composante sur \(\vec x_0\). Sur \(\vec x_0\) : \[-X_{12}\cos\beta-F=0\ \Longrightarrow\ X_{12}=-\frac{F}{\cos\beta}.\] (\(X_{12}<0\) pour \(F>0\) : la bielle est comprimée.)
Étape 3 — Isoler la manivelle (1) : relier \(C\) à \(X_{12}\)
Choix de l'équation. Liaison avec le bâti = pivot d'axe \((O,\vec z_0)\) : elle transmet une force quelconque mais aucun moment sur \(\vec z_0\). On projette donc le théorème du moment statique en \(O\) sur \(\vec z_0\), qui élimine le bâti.
Moment en \(O\) sur \(\vec z_0\) : du couple moteur \(C\) ; de la bielle \(\vec{OA}\wedge X_{12}\vec x_2=a\,X_{12}\,(\vec x_1\wedge\vec x_2)\) avec \(\vec x_1\wedge\vec x_2=\big(\cos\alpha\cdot(-\sin\beta)-\sin\alpha\cos\beta\big)\vec z_0=-\sin(\alpha+\beta)\,\vec z_0\) ; du bâti : 0 (pivot parfait, et sa force passe par \(O\)). D'où \[C-a\,X_{12}\sin(\alpha+\beta)=0\ \Longrightarrow\ C=a\,X_{12}\sin(\alpha+\beta).\]
Étape 4 — Éliminer \(X_{12}\) (relations de proportionnalité)
En remplaçant \(X_{12}=-F/\cos\beta\) : \[\boxed{C=-\,a\,F\,\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{F}{|C|}=\frac{1}{a}\,\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.\] Le signe « − » : pour \(F>0\) (force qui repousse le coulisseau vers \(O\)), le moteur doit exercer un couple négatif (sens horaire) qui retient/entraîne l'ensemble, cohérent avec la compression de la bielle.
Contrôle par la cinématique (C11). La loi E/S en vitesse est \(\dot x=-a\,\dot\alpha\,\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}=\dot\alpha\,f'(\alpha)\). La loi statique avec liaisons parfaites doit être \(\dfrac{F}{C}=\dfrac{1}{|f'|}\) (conservation de la puissance \(C\dot\alpha+(-F\vec x_0)\cdot\dot x\vec x_0=0\)) : \(C\dot\alpha-F\dot x=0\Rightarrow C=F\,\dfrac{\dot x}{\dot\alpha}=F\,f'(\alpha)=-aF\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}\). ✔ Les deux méthodes (PFS par isolements successifs et énergétique) donnent le même résultat.
Représentation du coefficient \(|C|/(aF)\) pour \(a=50\) mm, \(L=200\) mm
3. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
Seul le CM de C13 a été fourni (pas de TD) : exercices créés à partir du cours.
Écrire la forme du torseur d'actions transmissibles (parfait) de 1 sur 2 pour :
1) pivot d'axe \((A,\vec z)\) : 1 DDL (\(R_z\)) ⟹ \(N_{12}=0\). \(\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ L\vec x+M\vec y\}_A\) (5 paramètres).
2) glissière de direction \(\vec y\) : \(Y_{12}=0\). \(\{\mathcal T\}=\{X\vec x+Z\vec z;\ L\vec x+M\vec y+N\vec z\}\) (5 paramètres).
3) sphérique de centre \(B\) : \(\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ \vec0\}_B\) (3 paramètres, valable au seul point \(B\)).
4) appui plan de normale \(\vec x\) : DDL \(T_y,T_z,R_x\) ⟹ \(Y=Z=0\), \(L=0\). \(\{\mathcal T\}=\{X\vec x;\ M\vec y+N\vec z\}\) (3 paramètres).
5) hélicoïdale d'axe \((A,\vec z)\), pas à droite \(p=8\) mm : \(N_{12}=-\dfrac p{2\pi}Z_{12}=-1{,}27\cdot10^{-3}\,Z_{12}\) (m). Si \(Z_{12}=500\) N : \(N_{12}=-0{,}637\) N·m.
Vérification : DDL + paramètres statiques = 6 pour chaque liaison (1+5, 1+5, 3+3, 3+3, 1+5).
Q1 — Action du ressort
\(L-L_0=-0{,}040\) m (comprimé) ⟹ \(\vec F^r_{1\to2}=-2000\times(-0{,}040)\vec u=+80\,\vec u\) N : le ressort pousse (2) loin de \(A\).
Q2 — Action de l'amortisseur
\(\vec F^{am}_{1\to2}=-150\times0{,}2\,\vec u=-30\,\vec u\) N : il freine l'allongement.
Q3 — Action totale et ressorts équivalents
\(\vec F_{1\to2}=(80-30)\vec u=+50\,\vec u\) N.
Deux ressorts \(k_1=3000\) N/m et \(k_2=6000\) N/m : en parallèle \(k=9000\) N/m ; en série \(\dfrac1k=\dfrac1{3000}+\dfrac1{6000}=\dfrac{3}{6000}\Rightarrow k=2000\) N/m. La série est plus souple que chaque ressort pris seul.
\(S=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi\times0{,}050^2}{4}=1{,}963\cdot10^{-3}\) m². Force : \(F=pS\) (de norme), de droite d'action passant par le centre du piston, dirigée vers l'extérieur de la chambre (\(\vec F=-pS\vec n\) avec \(\vec n\) normale sortante du piston).
\(F=6\cdot10^5\times1{,}963\cdot10^{-3}\approx1178\) N (≈ 120 kgf)
Q1 — Poussée nécessaire
\(F_p\,d_B=m\,g\,d_G\Rightarrow F_p=\dfrac{40\times9{,}81\times0{,}40}{0{,}20}=784{,}8\) N.
Q2 — Sections
\(S_1=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi\times0{,}063^2}{4}=3{,}117\cdot10^{-3}\) m² ; \(S_{tige}=\dfrac{\pi d^2}{4}=3{,}142\cdot10^{-4}\) m² ; \(S_2=S_1-S_{tige}=2{,}803\cdot10^{-3}\) m².
Q3 — Pression \(p_1\)
a) échappement libre (\(p_2=0\)) : \(p_1=\dfrac{F_p}{S_1}=\dfrac{784{,}8}{3{,}117\cdot10^{-3}}=2{,}52\cdot10^5\) Pa.
b) avec une contre-pression \(p_2=1\) bar : \(p_1=\dfrac{F_p+p_2S_2}{S_1}=\dfrac{784{,}8+1\cdot10^5\times2{,}803\cdot10^{-3}}{3{,}117\cdot10^{-3}}=\dfrac{784{,}8+280{,}3}{3{,}117\cdot10^{-3}}=3{,}42\cdot10^5\) Pa.
a) \(p_1\approx2{,}5\) bar ; b) \(p_1\approx3{,}4\) bar (la contre-pression coûte \(\approx0{,}9\) bar)
On applique \(|C|=aF\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}\) avec \(\sin\beta=\dfrac aL\sin\alpha\) :
| \(\alpha\) | \(\sin\beta=\tfrac14\sin\alpha\) | \(\beta\) | \(\sin(\alpha+\beta)/\cos\beta\) | \(|C|=0{,}05\times1000\times(\cdot)\) |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 0,1250 | 7,18° | 0,6091 | 30,5 N·m |
| 60° | 0,2165 | 12,50° | 0,9769 | 48,8 N·m |
| 90° | 0,2500 | 14,48° | 1,0000 | 50,0 N·m |
| 120° | 0,2165 | 12,50° | 0,7551 | 37,8 N·m |
Le couple varie fortement avec la position (0 aux points morts, ≈ 50 N·m au maximum) : c'est le caractère « non linéaire » du transmetteur. À \(\alpha=60^\circ\), \(\omega=10\) rad/s : \(P=|C|\omega=488\) W \(=F\,|\dot x|=1000\times0{,}488\) ✔.
Pour chaque cas, dire si l'ensemble est soumis à 2 forces et en déduire l'inconnue restante
1) Bielle articulée par 2 sphériques, poids négligé, aucune autre action : oui ; actions = 2 forces opposées portées par la droite joignant les centres ; 1 inconnue : l'intensité.
2) Levier articulé en \(O\) (pivot), chargé en \(A\) et poussé en \(B\) : non (3 actions : pivot + 2 forces) ; il faut écrire les moments.
3) Vérin dont le poids n'est pas négligé : non (3 actions : 2 liaisons + poids) ; la poussée n'est plus portée par \((BD)\).
4) Pièce encastrée au bâti : non (l'encastrement transmet 6 paramètres, dont un couple).
5) Ressort massless entre deux points d'attache : oui ; la force est portée par la droite des points d'attache, d'intensité \(k(L-L_0)\).
Condition clé : exactement deux actions, chacune réductible à une force (liaison à rotations libres ou action de type glisseur).
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