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SII · C12 — Comportement fréquentiel des SLCI (Bode)

C12 — Prévoir le comportement fréquentiel des SLCI

Réponse harmonique : gain \(G(\omega)=|H(j\omega)|\) et déphasage \(\varphi(\omega)=\arg H(j\omega)\) ; diagrammes de Bode (gain en dB, semi-log) ; systèmes usuels (gain, intégrateur, dérivateur, 1ᵉʳ et 2ᵉ ordre) ; résonance (\(z<\tfrac{1}{\sqrt2}\)), facteur de surtension \(Q\) ; filtres, bande passante, pulsation de coupure ; lien bande passante ↔ rapidité.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — C12 Diagrammes de Bode
Réponse harmonique\(p\to j\omega\) : \(G(\omega)=|H(j\omega)|\), \(\varphi(\omega)=\arg H(j\omega)\)
Diagrammes de Bode\(G_{dB}=20\log|H(j\omega)|\) ; produit de FT ⟹ dB et phases s'ajoutent
Repères dB0 dB = gain 1 ; +20 dB = ×10 ; −3 dB ≈ ×0,707 ; décade = ω → 10ω
Éléments simples\(K\) : horizontale ; \(K/p\) : −20 dB/déc, −90° ; \(Kp\) : +20 dB/déc, +90°
1ᵉʳ ordrecoupure \(\omega_c=1/\tau\) : −3 dB et −45° ; BF gain \(K\), HF −20 dB/déc
2ᵉ ordre — asymptotesBF gain \(K\), HF −40 dB/déc, coupure \(\omega_c=\omega_0\)
Résonancesi \(z<1/\sqrt2\) : \(\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2z^2}\), \(Q=\dfrac{1}{2z\sqrt{1-z^2}}\)
Bande passante ↔ rapidité\(\omega_c\) grand ⟺ \(t_{r5\%}\) petit ⟺ système rapide
Retard pur & \(K<0\)retard : \(G_{dB}=0\), \(\varphi=-\tau\omega\) ; \(K<0\) : module inchangé, phase \(+180°\)
Construire un Bodeforme canonique en produit d'éléments simples → classer les pulsations de cassure croissantes → partir de \(K/(j\omega)^\alpha\) et ajouter chaque cassure

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Réponse harmonique

Principe Un SLCI soumis à \(e(t)=E_0\sin(\omega t)\) répond en régime permanent par \(s(t)=S_0\sin(\omega t+\varphi)\), de même pulsation. On remplace \(p\) par \(j\omega\) dans \(H\) : \[ G(\omega)=|H(j\omega)|=\frac{S_0}{E_0},\qquad \varphi(\omega)=\arg H(j\omega). \] \(G>1\) : sortie amplifiée ; \(\varphi>0\) : avance de phase, \(\varphi<0\) : retard.
Diagrammes de Bode Deux courbes en fonction de \(\omega\) (échelle semi-log) : le gain \(G_{dB}=20\log|H(j\omega)|\) et la phase \(\varphi\) (en °). Repères : 0 dB = gain 1 ; +20 dB = ×10 ; −3 dB ≈ −30 % (×0,707) ; −6 dB = −50 %. Une décade = de \(\omega\) à \(10\omega\). Produit de FT ⟹ les dB et les phases s'ajoutent ; inverse ⟹ symétrie / axe des abscisses. Une fonction \(K\omega^p\) est une droite de pente \(20p\) dB/décade (et \(\varphi=p\times90°\)).

1.2 Systèmes élémentaires

\(H(p)\)Gain \(G_{dB}\)Phase
\(K\) (gain pur)horizontale à \(20\log K\)\(0°\)
\(\dfrac Kp\) (intégrateur)\(-20\) dB/déc, 0 dB en \(\omega=K\)\(-90°\)
\(\dfrac K{p^2}\)\(-40\) dB/déc, 0 dB en \(\sqrt K\)\(-180°\)
\(Kp\) (dérivateur)\(+20\) dB/déc, 0 dB en \(1/K\)\(+90°\)
\(Kp^2\)\(+40\) dB/déc\(+180°\)

1.3 Premier ordre \(\;H=\dfrac{K}{1+\tau p}\)

Asymptotes & coupure \(G_{dB}=20\log K-20\log\sqrt{1+\tau^2\omega^2}\), \(\varphi=-\arctan(\tau\omega)\). BF : gain pur \(K\) (\(0\) dB/déc) ; HF : intégrateur (\(-20\) dB/déc). Intersection en \(\omega_c=\dfrac1\tau\), qui est aussi \(\omega_{c-3dB}\) : \(G_{dB}(\omega_c)=G_0-3\) dB, \(\varphi(\omega_c)=-45°\).

1.4 Deuxième ordre \(\;H=\dfrac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Asymptotes BF : gain \(K\) ; HF : \(-40\) dB/déc (double intégrateur). Coupure \(\omega_c=\omega_0\) ; à \(\omega_0\) : \(G_{dB}=20\log K-20\log(2z)\), \(\varphi=-90°\).
Résonance (⚠ seulement si \(z<\tfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\)) Pulsation de résonance \(\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2z^2}\) (\(<\omega_0\)). Facteur de surtension : \[ Q=\frac{G(\omega_r)}{G(0)}=\frac{1}{2z\sqrt{1-z^2}},\qquad Q_{dB}=-20\log(2z\sqrt{1-z^2}). \] \(Q\) varie de 1 (\(z=0{,}707\)) à \(+\infty\) (\(z\to0\)). Ne pas confondre \(\omega_r\) (fréquentiel) avec \(\omega_a=\omega_0\sqrt{1-z^2}\) (temporel). Pour \(0{,}707pas de résonance fréquentielle. Réglage usuel : \(Q=1{,}3\) (\(=2{,}3\) dB).
Cas \(z>1\) \(H=K\cdot\dfrac{1}{1+\tau_1p}\cdot\dfrac{1}{1+\tau_2p}\) avec \(\omega_0=\tfrac{1}{\sqrt{\tau_1\tau_2}}\) : produit de deux 1ᵉʳ ordres (diagrammes s'additionnent, 2 cassures distinctes).

1.5 Retard pur, \(K<0\), filtres

Compléments Retard pur \(e^{-\tau p}\) : \(G_{dB}=0\) (module 1), \(\varphi=-\tau\omega\) (seule la phase change ; risque d'instabilité en BF). \(K<0\) : module inchangé, phase \(+180°\). Filtres : passe-bas \(]0,\omega_{c2}]\), passe-haut \([\omega_{c1},+\infty[\), passe-bande \([\omega_{c1},\omega_{c2}]\). La plupart des systèmes mécaniques sont des passe-bas.
Bande passante ↔ rapidité Système rapide ⟺ \(t_{r5\%}\) petit ⟺ \(\omega_c\) grand ⟺ large bande passante (apte à suivre des entrées rapides). Lien pente/phase : pente \(k\times20\) dB/déc ⟹ \(\varphi=k\times90°\).
Construire un Bode (méthode) 1) forme canonique = produit d'éléments simples (gain, intégrateurs \(\tfrac{K}{p^\alpha}\), 1ᵉʳ/2ᵉ ordres et leurs inverses) ; 2) classer les pulsations de cassure (\(1/\tau_i\), \(\omega_0\)) croissantes ; 3) partir de \(\tfrac{K}{(j\omega)^\alpha}\) et ajouter chaque cassure ; 4) affiner autour des cassures. Multiplier par \(K\) = translation verticale de \(20\log K\).

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Lire gain & phase d'un 1ᵉʳ ordre♦♦◊
\(H(p)=\dfrac{5}{1+0{,}1p}\). Réponse à \(\omega=10\) rad/s ?

\(\omega_c=1/\tau=10\) rad/s → on est à la coupure. \(G_{dB}=20\log5-3=14-3=11\) dB, soit \(G=10^{11/20}\approx3{,}5\). \(\varphi=-45°\).

Pour \(e=E_0\sin(10t)\) : \(s\approx3{,}5\,E_0\sin(10t-45°)\)

Exercice B — Résonance d'un 2ᵉ ordre♦♦◊
\(\omega_0=100\) rad/s, \(z=0{,}3\), \(K=1\). Résonance ?

\(z<0{,}707\) → résonance. \(\omega_r=\omega_0\sqrt{1-2z^2}=100\sqrt{1-0{,}18}=100\times0{,}906=90{,}6\) rad/s.

\(Q=\dfrac1{2z\sqrt{1-z^2}}=\dfrac1{2\cdot0{,}3\cdot0{,}954}=1{,}75\), \(Q_{dB}=20\log1{,}75\approx4{,}9\) dB.

Pic de \(+4{,}9\) dB à \(\omega_r\approx91\) rad/s

3. Correction du TD

Source : S2I-C12-TD (tracés asymptotiques de Bode, identification, A320). Corrigé officiel = tracés (figures) : on restitue les mises en forme canoniques, pulsations de cassure et résultats analytiques.

Exercice 1.2 — Mise sous forme de produit♦♦◊

\(F=\dfrac{10}{p}\)

Intégrateur gain 10 : \(-20\) dB/déc, 0 dB en \(\omega=10\), \(\varphi=-90°\).

\(G=\dfrac{2}{1+p/5}\)

1ᵉʳ ordre \(K=2\) (\(+6\) dB), cassure \(\omega_c=5\).

\(F_2=\dfrac{2000}{p(100+p)}=\dfrac{20}{p\,(1+p/100)}\)

Intégrateur gain 20 (0 dB en 20) + pôle en 100 : \(-20\) puis \(-40\) dB/déc.

\(F=\dfrac{1000(2+p)}{p(100+p)}=\dfrac{20\,(1+p/2)}{p\,(1+p/100)}\)

Intégrateur (gain 20) × zéro en 2 × pôle en 100. Pentes : \(-20\) (ω<2), 0 (2→100, plateau à ≈20 dB), \(-20\) (ω>100). Croisement 0 dB à \(\omega=1000\).

Phase à la coupure 0 dB (\(\omega=1000\)) : \(-90°+90°-90°\approx\mathbf{-90°}\)

Exercice 1.3 — Formes canoniques (1ᵉʳ ordre)♦♦◊

\(F_1=\dfrac{20}{10+p}=\dfrac{2}{1+p/10}\)

\(K=2\) (6 dB), cassure \(\omega_c=10\), pente \(-20\) dB/déc après

\(F_2=\dfrac{0{,}05p+2}{1+0{,}1p}=\dfrac{2(1+0{,}025p)}{1+0{,}1p}\)

\(K=2\), zéro en 40, pôle en 10

\(F_3=\dfrac{4}{p(1+0{,}2p)}\)

Intégrateur gain 4, pôle en \(\omega=5\)

\(F_4=\dfrac{2+3p}{0{,}08(p+5)^2}=\dfrac{1+1{,}5p}{(1+p/5)^2}\)

\(K=1\), zéro en \(2/3\), pôle double en 5

Exercice 2.1 — Second ordre & bande passante♦♦♦

\(F_1=\dfrac{3}{2+0{,}1p+0{,}02p^2}=\dfrac{1{,}5}{1+0{,}05p+0{,}01p^2}\)

\(\dfrac1{\omega_0^2}=0{,}01\Rightarrow\omega_0=10\) rad/s ; \(\dfrac{2z}{\omega_0}=0{,}05\Rightarrow z=0{,}25\). \(z<0{,}707\) → résonance.

\(K=1{,}5\), \(\omega_0=10\), \(z=0{,}25\), \(\omega_r=10\sqrt{1-0{,}125}=9{,}35\) rad/s, \(Q\approx2{,}1\) (6,3 dB)

\(F_3=\dfrac{5(2+0{,}5p)}{(0{,}5+2p+10p^2)p}\)

Intégrateur × 1ᵉʳ ordre (zéro en 4) × inverse d'un 2ᵉ ordre (\(\omega_0=\sqrt{0{,}5/10}=0{,}22\), \(z=\tfrac{2}{2\cdot10\cdot0{,}22}\approx0{,}45\))

Exercice 3.1 — Asservissement de freinage A320♦♦♦
\(H_b=K_i\tfrac{1+\tau_ip}{\tau_ip}\) (PI), \(H_s=\tfrac{K_s}{(1+\tau_sp)^2}\), \(H_f=K_f\) ; \(K_s=100\), \(\tau_s=8{,}7\cdot10^{-2}\) s, \(\tau_i=1\) s.

Q1 — Bande passante de l'accéléromètre

Lue sur son Bode (pulsation à \(-3\) dB). Cahier des charges : bande passante > 10 Hz (≈ 63 rad/s). On vérifie que l'accéléromètre est plus rapide que l'exigence (sa BP ≫ celle attendue) → il ne limite pas l'asservissement. Forme : 2ᵉ ordre passe-bas.

Q2 — FTBO

\(FTBO=H_bH_sH_fH_a\) : le PI apporte un intégrateur (\(\tfrac1{\tau_ip}\)) → classe 1 → précision parfaite en poursuite échelon (décélération atteinte exactement, exigence validée).

Q3–Q4 — FTBF : asymptote BF & surtension

Asymptote BF horizontale à 0 dB ⟹ gain statique BF = 1 (précis). La surtension lue sur la FTBF (\(Q_{dB}\)) doit rester < 5 dB (cahier des charges). Une surtension fréquentielle ⟹ dépassements sur la réponse indicielle (\(z<0{,}707\)).

PI ⟹ précision assurée ; réglage de \(K_i\) pour surtension < 5 dB et bande passante > 10 Hz

Bilan C12 Point d'orgue de l'automatique : caractériser un SLCI par sa réponse harmonique (\(p\to j\omega\)) et la tracer dans Bode (produit ⟹ addition des dB et des phases). Connaître par cœur les diagrammes des éléments simples et des 1ᵉʳ/2ᵉ ordres (pente HF, coupure \(\omega_c\), résonance si \(z<0{,}707\), surtension \(Q\)). Retenir : large bande passante = système rapide. Application : identification de FT, dimensionnement de correcteurs, validation d'un cahier des charges fréquentiel (ex. freinage A320).

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