C11 — Comportement cinématique et statique d'un transmetteur non linéaire
Loi entrée-sortie d'un mécanisme en chaîne fermée : en position (\(x=f(\alpha)\)), en vitesse (\(v_s=\omega_e\,f'(\alpha)\)) et en effort (\(\tfrac{\text{effort}_s}{\text{effort}_e}=\tfrac{\eta}{f'}\)). Quatre méthodes : fermeture géométrique, fermeture cinématique, propriété angulaire, non-pénétration au contact. Mécanismes usuels : bielle-manivelle, 3 et 4 barres, cames, joints de cardan et d'Oldham.
1. Résumé de cours détaillé
1.1 Loi entrée-sortie cinématique d'un mécanisme en chaîne fermée
Un transmetteur en chaîne fermée n'a qu'une seule liaison « motorisée » (celle qui reçoit la puissance de la chaîne d'énergie). À cause de la boucle, le mouvement de cette seule liaison entraîne celui de tout le mécanisme. Exemple du cours : une barrière — le solide 1 tourne en continu (motoréducteur) et la bielle fait osciller le solide 4 qui porte la lisse. Le même mouvement d'entrée donne ainsi un mouvement de sortie alternatif : c'est un transformateur de mouvement.
• Loi E/S en position : relation entre des paramètres de position des liaisons, ex. \(x=f(\alpha)\).
• Loi E/S en vitesse : relation entre des paramètres cinématiques des liaisons, ex. \(v_s=g(\omega_e)\).
À chaque instant la grandeur de sortie est proportionnelle à la grandeur d'entrée ; le coefficient de proportionnalité dépend de la position (ici de \(\alpha\)) : c'est ce qui rend le transmetteur non linéaire.
Exemple du cours (système bielle-manivelle) : 4 liaisons, donc 4 DDL / 4 paramètres cinématiques. Torseurs retenus : \(\{\mathcal V_{1/0}\}=\{\omega_{10}\vec z_0;\vec 0\}_O\) avec \(\omega_{10}=\dot\alpha\) et \(\{\mathcal V_{3/0}\}=\{\vec0;v_{30}\vec x_0\}\) avec \(v_{30}=\dot x\). Les grandeurs d'E/S sont \(\omega_e=\omega_{10}\) et \(v_s=v_{30}\).
1.2 Loi entrée-sortie statique (en effort)
• à l'équilibre, en régime permanent ou quasi-statique, liaisons parfaites (\(P_s=P_e\)) : \(\boxed{\dfrac{\text{paramètre en effort sortie}}{\text{paramètre en effort entrée}}=\dfrac1{f(\text{positions})}}\)
• en régime permanent / quasi-statique avec rendement \(\eta\) (\(P_s=\eta\,P_e\)) : \(\boxed{\dfrac{\text{effort}_s}{\text{effort}_e}=\dfrac{\eta}{f(\text{positions})}}\)
La grandeur en effort de sortie est donc proportionnelle à celle d'entrée, avec un coefficient qui dépend de la position. Interprétation : si la vitesse est « démultipliée » dans une position (\(|f'|\) petit), l'effort est « multiplié » dans cette même position (\(1/|f'|\) grand) — c'est le principe du levier / de la conservation de la puissance.
1.3 Les 4 méthodes pour obtenir une loi E/S d'une chaîne fermée
Après avoir identifié les paramètres d'entrée et de sortie :
| # | Méthode | Donne directement |
|---|---|---|
| 1 | Fermeture géométrique | loi en position (puis vitesse par dérivation) |
| 2 | Fermeture cinématique | loi en vitesse (puis position par intégration) |
| 3 | Produit scalaire (angle constant) | loi en position (propriété angulaire) |
| 4 | Condition de non-glissement / non-pénétration | loi en vitesse (contact) |
1.4 Fermeture géométrique
2. Projeter dans une base choisie pour faire apparaître les paramètres d'E/S et éliminer les paramètres intermédiaires (en général la base de référence). On obtient 3 équations scalaires pour un modèle spatial (2 pour un modèle plan).
3. Éliminer les paramètres intermédiaires en combinant les équations
OU écrire la norme au carré d'un des termes de la fermeture : \(\|\vec{AE}\|^2=(\vec{AB}+\vec{BC}+\dots+\vec{DE})^2\).
Outils trigonométriques d'élimination
Équation \(A\cos\alpha+B\sin\alpha=C\) avec \(\left|\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|\le1\) : \(\cos(\alpha-\varphi)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\), donc \(\alpha=\pm\arccos\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\ [2\pi]+\arctan\dfrac BA\ [\pi]\). Les « bonnes » solutions se choisissent d'après la géométrie du système. (Autre pose possible : \(\sin\varphi=\tfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(\cos\varphi=\tfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\), \(\tan\varphi=\tfrac AB\), \(\sin(\alpha+\varphi)=\tfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\).)
1.5 Fermeture cinématique
2. Selon les domaines de validité des liaisons et les paramètres d'E/S à faire apparaître, choisir : l'équation vectorielle (rotation ou vitesse) ; le point de composition (en général le point d'intersection des domaines de validité des liaisons intermédiaires) ; la direction de projection.
1.6 Propriété angulaire (produit scalaire)
1.7 Mécanismes de transformation de mouvement usuels
Mécanisme 3 barres / système bielle-manivelle (à connaître)
Fermeture géométrique dans un triangle déformable (A, B, C) avec un angle et une longueur variables, avec ou sans transformation de mouvement. Le système bielle-manivelle : (1) manivelle, (2) bielle, (3) coulisseau. Utilisé dans les moteurs, compresseurs… Entrée / sortie : \(\alpha\) et \(x\).
Variantes (cours) : coulisseau désaxé ; 3 barres avec bielle de longueur variable pilotée (par un vérin électrique par exemple) ; 3 barres avec bielle de longueur variable non pilotée (liaison sphère-cylindre non pilotée) qui transforme une rotation continue en rotation alternative.
• ou écrire la longueur au carré de la bielle (d'une manière générale, du côté opposé à l'angle à conserver) : c'est la relation d'Al-Kashi.
Mécanisme 4 barres
Fermeture géométrique dans un quadrilatère déformable (A, B, C, D), souvent avec des pièces de longueurs constantes. (1) et (3) sont les manivelles, (2) la bielle ; l'entrée est généralement sur une manivelle et la sortie est soit la deuxième manivelle, soit la bielle. Les lois obtenues sont très variables selon les longueurs relatives. Méthode : fermeture géométrique, projection dans la base de définition des angles, élimination de l'angle intermédiaire — une résolution numérique est souvent pertinente.
Système à came
Une came couple le mouvement de 2 pièces par contact. Cinématiquement, le contact (supposé ponctuel) impose le maintien d'un point sur une surface : c'est une liaison sphère-plan (ou sphère-cylindre). La surface peut être plane ou cylindrique (structures simples) ou beaucoup plus complexe pour imposer des lois de mouvement particulières (par exemple avec continuité de la dérivée de l'accélération).
| Came | Contrainte imposée | Transformation | Remarques |
|---|---|---|---|
| à plateau axial | le point de contact reste sur un plan | rotation continue → translation alternative sinusoïdale | directions perpendiculaires ; \(x_{max}=R+e\), \(x_{min}=R-e\) ; amplitude \(=2e\) |
| à plateau incliné | le point de contact reste sur un plan | rotation continue → translation alternative sinusoïdale | directions parallèles |
| circulaire excentrée | le point de contact reste sur un cercle | rotation continue → translation alternative | amplitude \(=2e\) (\(e\) : excentricité) |
• Loi cinématique directe : fermeture cinématique en vitesse au point de contact, projetée sur la normale au contact : propriété de la liaison sphère-cylindre (non-pénétration), \(\ \vec V_{B\in2/1}\cdot\vec n=0\).
Joint d'accouplement
Un joint d'accouplement couple le mouvement de 2 arbres en rotation dont les axes ne sont pas confondus. Il est dit homocinétique si la vitesse angulaire de sortie vaut, à tout instant, celle d'entrée.
| Joint | Description | Propriété | Méthode |
|---|---|---|---|
| Cardan | (1) et (2) = fourches ; (3) = croisillon, en pivot avec les 2 fourches ; axes des pivots perpendiculaires et coïncidents | non homocinétique | produit scalaire nul entre les directions des axes des pivots |
| Oldham | disque intermédiaire en glissière avec les plateaux d'entrée et de sortie | homocinétique | fermeture cinématique |
2. Applications du cours corrigées — bielle-manivelle
Questions A1, A2, A3 du CM : « Déterminer la relation E/S en position du système bielle-manivelle avec \(AB=e\), \(BC=L\) ». Le CM laisse les réponses en blanc, on les rédige entièrement.
Cadre. Paramètres d'entrée/sortie : \(\alpha\) (pivot 1/0) et \(x\) (glissière 3/0). Paramètre intermédiaire à éliminer : \(\beta\) (angle de la bielle). Formules utilisées : relation de Chasles et \(\cos^2+\sin^2=1\).
A1 — Écrire la fermeture géométrique
On parcourt la boucle \(A\to B\to C\to A\) : \[\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec0\quad\Longleftrightarrow\quad e\,\vec x_1+L\,\vec x_2-x\,\vec x_0=\vec0 .\]
Fermeture géométrique : \(e\,\vec x_1+L\,\vec x_2=x\,\vec x_0\).
A2 — Projeter l'équation et identifier le paramètre à éliminer
On projette dans la base de référence \((\vec x_0,\vec y_0)\). Avec \(\vec x_1=\cos\alpha\,\vec x_0+\sin\alpha\,\vec y_0\) et \(\vec x_2=\cos\beta\,\vec x_0-\sin\beta\,\vec y_0\) :
\[\text{sur }\vec x_0:\ \ e\cos\alpha+L\cos\beta=x\qquad(1)\] \[\text{sur }\vec y_0:\ \ e\sin\alpha-L\sin\beta=0\qquad(2)\]
Les paramètres d'E/S sont \(\alpha\) et \(x\) ; \(\beta\) est intermédiaire. Il apparaît dans un cosinus (1) et un sinus (2), multiplié par la constante \(L\) : on utilise l'élimination d'un angle par la somme des carrés.
Paramètre à éliminer : l'angle \(\beta\) (2 équations, 3 inconnues \(\alpha,\beta,x\) ⟹ une relation entre \(\alpha\) et \(x\)).
A3 — Relation E/S en position
Cas 1 : l'entrée est \(\alpha\), on cherche \(x=f(\alpha)\). De (1) : \(L\cos\beta=x-e\cos\alpha\). De (2) : \(L\sin\beta=e\sin\alpha\). Somme des carrés : \[L^2=(x-e\cos\alpha)^2+e^2\sin^2\alpha\ \Longrightarrow\ x-e\cos\alpha=\pm\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}.\] Choix du signe (géométrie) : le coulisseau est du côté de \(\vec x_0>0\) par rapport à la manivelle et \(L>e\) donc \(L\cos\beta>0\) : on retient le +.
\[x=f(\alpha)=e\cos\alpha+\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}\] (valable car \(L\ge e\) assure \(L^2-e^2\sin^2\alpha>0\)).
Cas 2 : l'entrée est \(x\) (« en supposant \(x\) l'entrée », cf. énoncé du CM), on cherche \(\alpha=g(x)\). On utilise la norme au carré du terme opposé à l'angle conservé : \(L\,\vec x_2=x\,\vec x_0-e\,\vec x_1\), donc \[L^2=x^2-2xe\,\vec x_0\cdot\vec x_1+e^2=x^2-2xe\cos\alpha+e^2\ \ \text{(relation d'Al-Kashi)}.\] \[\cos\alpha=\frac{x^2+e^2-L^2}{2\,x\,e}\ \Longrightarrow\ \alpha=\pm\arccos\!\Big(\frac{x^2+e^2-L^2}{2\,x\,e}\Big)\ [2\pi].\] Le \(\pm\) traduit les deux positions symétriques de la manivelle (au-dessus ou au-dessous de l'axe) pour une même position du coulisseau : on choisit selon le sens de rotation / la configuration.
\[\cos\alpha=\frac{x^2+e^2-L^2}{2\,x\,e}\quad(\text{et }\ \sin\beta=\tfrac{e}{L}\sin\alpha)\]
Loi E/S en vitesse (dérivation)
On dérive \(f(\alpha)=e\cos\alpha+\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}\) : \[f'(\alpha)=-e\sin\alpha+\frac{-2e^2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}}=-e\sin\alpha\left(1+\frac{e\cos\alpha}{\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}}\right).\] Or \(\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}=L\cos\beta\) et \(e\sin\alpha=L\sin\beta\). Donc \(f'(\alpha)=-e\sin\alpha-\dfrac{e\cos\alpha\,L\sin\beta}{L\cos\beta}=-e\,\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\beta}\).
\[\boxed{\dot x=-e\,\dot\alpha\,\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}}\qquad\text{i.e.}\quad v_s=\omega_e\,f'(\alpha)\ \ \text{avec}\ \ f'(\alpha)=-e\,\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}\]
Contrôle par la fermeture cinématique (autre méthode)
Composition : \(\{\mathcal V_{3/0}\}=\{\mathcal V_{3/2}\}+\{\mathcal V_{2/1}\}+\{\mathcal V_{1/0}\}\). Avec \(\vec\Omega_{1/0}=\dot\alpha\,\vec z_0\) et \(\vec\Omega_{2/0}=-\dot\beta\,\vec z_0\) (l'angle de \(\vec x_2\) est \(-\beta\)). Au point \(B\), \(\vec V_{B\in1/0}=\dot\alpha\,\vec z_0\wedge e\,\vec x_1=e\dot\alpha\,\vec y_1\). Au point \(C\) (centre de la sphérique 3/2 : \(\vec V_{C\in3/2}=\vec0\)) : \[\dot x\,\vec x_0=\vec V_{C\in3/0}=\vec V_{C\in2/0}=\vec V_{B\in2/0}+\vec{CB}\wedge\vec\Omega_{2/0}=e\dot\alpha\,\vec y_1+(-L\vec x_2)\wedge(-\dot\beta\,\vec z_0)=e\dot\alpha\,\vec y_1-L\dot\beta\,\vec y_2,\] car \(\vec x_2\wedge\vec z_0=-\vec y_2\). Pour éliminer \(\dot\beta\), on projette sur \(\vec x_2\) (direction de la bielle, orthogonale à \(\vec y_2\)) : \[\dot x\,(\vec x_0\cdot\vec x_2)=e\dot\alpha\,(\vec y_1\cdot\vec x_2)\ \Longrightarrow\ \dot x\cos\beta=e\dot\alpha\,(-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)=-e\dot\alpha\sin(\alpha+\beta).\] On retrouve exactement \(\dot x=-e\,\dot\alpha\,\sin(\alpha+\beta)/\cos\beta\). ✔
Représentation (\(e=50\) mm, \(L=200\) mm)
3. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
Seul le CM de C11 a été fourni (pas de TD) : les exercices ci-dessous sont créés à partir du cours.
Q1 — Position \(x\) et angle \(\beta\) pour \(\alpha=60^\circ\)
\(e\sin\alpha=50\times0{,}8660=43{,}30\) mm, donc \((e\sin\alpha)^2=1875\) mm². \(\sqrt{L^2-e^2\sin^2\alpha}=\sqrt{40000-1875}=\sqrt{38125}=195{,}26\) mm. \(e\cos\alpha=25\) mm.
\(x=25+195{,}26=220{,}26\) mm
\(\sin\beta=\dfrac{e\sin\alpha}{L}=\dfrac{43{,}30}{200}=0{,}2165\Rightarrow\beta=12{,}50^\circ\).
Q2 — \(f'(\alpha)\) et vitesse du coulisseau
\(f'(60^\circ)=-e\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta}=-50\times\dfrac{\sin72{,}50^\circ}{\cos12{,}50^\circ}=-50\times\dfrac{0{,}9537}{0{,}9763}=-48{,}85\) mm/rad. \(\omega_e=\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{2\pi\times100}{60}=10{,}47\) rad/s.
\(\dot x=\omega_e f'=10{,}47\times(-48{,}85)\approx-511\) mm/s (≈ −0,51 m/s : le coulisseau se rapproche de \(A\))
Q3 — Positions extrêmes et course
\(\alpha=0\) : \(x=e+L=250\) mm. \(\alpha=180^\circ\) : \(x=-e+L=150\) mm.
Course \(=2e=100\) mm ; vitesse nulle (\(f'=0\)) aux deux extrémités (points morts).
Q1 — Effort en l'absence de pertes
Liaisons parfaites : \(P_s=P_e\Rightarrow F\,|\dot x|=C_m\,\omega_e\Rightarrow F=\dfrac{C_m}{|f'|}\) avec \(|f'|=48{,}85\cdot10^{-3}\) m/rad.
\(F=\dfrac{20}{0{,}04885}=409{,}4\) N.
Q2 — Avec rendement
\(P_s=\eta P_e\Rightarrow \dfrac{F}{C_m}=\dfrac{\eta}{|f'|}\Rightarrow F=0{,}9\times409{,}4\).
\(F\approx368{,}5\) N (le rendement diminue l'effort disponible en sortie)
Q1 — Loi de position
Le point de contact reste sur le plateau (plan) ; la distance de l'axe de rotation au plateau est celle du centre de la came majorée de \(R\) : \(x=R+e\cos\alpha\) avec l'origine de \(\alpha\) prise à \(x_{max}\) (\(x_{max}=R+e=38\) mm, \(x_{min}=R-e=22\) mm).
Course \(=x_{max}-x_{min}=2e=16\) mm ; mouvement sinusoïdal.
Q2 — Loi en vitesse
\(\dot x=-e\,\dot\alpha\sin\alpha=-e\,\omega\sin\alpha\) (\(f'(\alpha)=-e\sin\alpha\)). Maximum en \(\alpha=90^\circ\) : \(|\dot x|_{max}=e\,\omega=8\times6{,}283=50{,}3\) mm/s.
\(|\dot x|_{max}\approx50{,}3\) mm/s (nulle aux positions extrêmes)
Q1 — Plage de variation du rapport \(\omega_2/\omega_1\)
\(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}=\dfrac{\cos\gamma}{1-\sin^2\gamma\cos^2\theta_1}\). Maximum pour \(\cos^2\theta_1=1\) (\(\theta_1=0\)) : le dénominateur vaut \(1-\sin^2\gamma=\cos^2\gamma\), donc \(\dfrac1{\cos\gamma}=1{,}0642\). Minimum pour \(\cos^2\theta_1=0\) (\(\theta_1=90^\circ\)) : \(\cos\gamma=0{,}9397\).
Q2 — Vitesse de sortie
\(N_{2,min}=3000\times0{,}9397=2819\) tr/min ; \(N_{2,max}=3000\times1{,}0642=3193\) tr/min.
La vitesse de sortie oscille, 2 fois par tour, entre ≈ 2819 et ≈ 3193 tr/min (≈ \(\pm6\) %). Un seul cardan n'est donc pas homocinétique ; un joint d'Oldham l'est (\(\omega_2=\omega_1\)).
Associer à chaque besoin la méthode la plus directe
1) Loi en position d'une bielle-manivelle : fermeture géométrique (projection puis somme des carrés, ou norme au carré / Al-Kashi).
2) Loi en vitesse d'un mécanisme dont on n'a pas besoin de la loi en position : fermeture cinématique (composition des torseurs, projection bien choisie).
3) Loi E/S d'un cardan (axes de pivots perpendiculaires constamment) : produit scalaire \(\vec x_i\cdot\vec x_j=0\).
4) Loi E/S d'une came en vitesse : non-pénétration \(\vec V_{B\in2/1}\cdot\vec n=0\) ; en position : fermeture passant par le point de contact.
5) Mécanisme à parallélogramme déformable : analyse géométrique seule (translation circulaire, sortie = entrée).
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