C10 — Représenter et modéliser le comportement cinématique
Degrés de liberté (DDL) et torseur cinématique d'une liaison ; tableau des liaisons usuelles ; hypothèse de liaison parfaite ; construction d'un schéma cinématique ; modélisation des guidages (contact direct / modèle fonctionnel) ; liaisons équivalentes (parallèle : addition des blocages ; série : addition des DDL).
1. Résumé de cours détaillé
1.1 DDL & torseur cinématique
1.2 Tableau des liaisons usuelles (à connaître)
| Liaison | DDL | Blocages | Torseur cinématique \(\{\mathcal V_{2/1}\}\) |
|---|---|---|---|
| Encastrement (complète) | 0 | 6 | \(\{\vec 0;\ \vec 0\}\) |
| Pivot axe \((O,\vec x)\) | 1 : \(R_x\) | 5 | \(\{\omega_x\vec x;\ \vec 0\}_O\) |
| Glissière direction \(\vec x\) | 1 : \(T_x\) | 5 | \(\{\vec 0;\ v_x\vec x\}\) |
| Hélicoïdale axe \((O,\vec x)\), pas \(p\) | 1 : \(R_x\!=\!T_x\) liés | 5 | \(\{\omega_x\vec x;\ \pm\tfrac{p}{2\pi}\omega_x\vec x\}_O\) |
| Pivot glissant axe \((O,\vec x)\) | 2 : \(R_x,T_x\) | 4 | \(\{\omega_x\vec x;\ v_x\vec x\}_O\) |
| Sphère à doigt centre \(C\) | 2 : \(R_y,R_z\) | 4 | \(\{\vec\Omega\!\cdot\!\vec x=0;\ \vec 0\}_C\) |
| Appui-plan normale \(\vec z\) | 3 : \(R_z,T_x,T_y\) | 3 | \(\{\omega_z\vec z;\ \vec V\!\cdot\!\vec z=0\}\) |
| Sphérique (rotule) centre \(O\) | 3 : \(R_x,R_y,R_z\) | 3 | \(\{\vec\Omega_{2/1};\ \vec 0\}_O\) |
| Cylindre-plan \((O,\vec x)\), normale \(\vec z\) | 4 : \(R_x,R_z,T_x,T_y\) | 2 | \(\{\vec\Omega\!\cdot\!\vec y=0;\ \vec V_A\!\cdot\!\vec z=0\}_A\) |
| Sphère-cylindre (linéaire annulaire) centre \(O\), dir. \(\vec x\) | 4 : \(R_x,R_y,R_z,T_x\) | 2 | \(\{\vec\Omega_{2/1};\ v_x\vec x\}_O\) |
| Sphère-plan (ponctuelle) normale \(\vec z\) | 5 : \(R_x,R_y,R_z,T_x,T_y\) | 1 : \(F_z\) | \(\{\vec\Omega;\ \vec V_A\!\cdot\!\vec z=0\}_A\) |
| Libre | 6 | 0 | \(\{\vec\Omega;\ \vec V_A\}_A\) |
1.3 Schéma cinématique & guidages
1.4 Liaisons équivalentes
Série (liaisons en chaîne via des solides intermédiaires) : addition des DDL, par composition des torseurs : \(\{\mathcal V_{n/1}^{eq}\}=\{\mathcal V_{n/n-1}\}+\dots+\{\mathcal V_{2/1}\}\) (exprimés au point commun aux domaines de validité).
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
2 paramètres non nuls : rotation \(R_x\) + translation \(T_x\) (même axe) → 2 DDL, 4 blocages.
Pivot glissant d'axe \((A,\vec x)\)
Parallèle → addition des blocages. Chaque pivot bloque tout sauf \(R_x\) ; l'union bloque encore tout sauf \(R_x\).
Équivalent : pivot d'axe \((O,\vec x)\) (les deux pivots coaxiaux se comportent comme un seul)
3. Correction du TD
Source : S2I-C10-TD (représenter/interpréter un schéma cinématique ; liaisons équivalentes). Pas de corrigé officiel → résolu maison. Beaucoup de questions sont graphiques (schémas) ; on restitue les résultats de modélisation.
Sphérique (\(A\)) + glissière (\(\vec y\)) en série
Composition : \(\{\vec\Omega;\ \vec 0\}_A+\{\vec 0;\ v\vec y\}_A=\{\vec\Omega;\ v\vec y\}_A\) → 4 DDL (3 rot. + \(T_y\)).
Sphère-cylindre de centre \(A\), direction \(\vec y\)
Sphérique (\(A\)) + sphérique (\(B\)) en série (biellette)
Deux rotules reliées par une barre rigide \(AB\) : translation possible le long de \(AB\) + rotations.
Sphère-cylindre de direction \(\vec{AB}\) (modèle d'une biellette)
Q1–Q2 — Modèle de chaque roulement
Roulement A (arrête aussi la translation axiale) : rotulage → 3 rotations mais pas de translation → sphérique (rotule) de centre \(A\) : \(\{\mathcal V\}=\{\vec\Omega_{1/0};\ \vec 0\}_A\).
Roulement B (libre axialement) : rotulage + glissement axial → sphère-cylindre de centre \(B\), direction \(\vec x\) : \(\{\mathcal V\}=\{\vec\Omega_{1/0};\ v_x\vec x\}_B\).
Q3–Q5 — Liaison équivalente (parallèle)
Les deux roulements relient (1) à (0) → parallèle → addition des blocages. Sphérique bloque \(T_x,T_y,T_z\) ; sphère-cylindre bloque \(T_y,T_z\). De plus, les 2 centres \(A,B\) alignés sur \(\vec x\) bloquent \(R_y,R_z\). Il ne reste que \(R_x\).
Équivalent : pivot d'axe \((AB)=(O,\vec x)\), torseur \(\{\omega_x\vec x;\ \vec 0\}_O\) (montage classique : une rotule fixe axialement + un palier libre pour éviter l'hyperstatisme)
Q3 — Liaison équivalente piston / plateau
Le piston (via patin) appuie sur le plateau incliné : contact → liaison qui autorise le glissement du patin sur le plateau + rotations. Transformation rotation continue → translation alternative.
Modèle : appui-plan (patin/plateau) en série avec les liaisons du piston → mouvement alternatif
Q5 — Rôle des patins
Les patins bronze réduisent le frottement (meilleur rendement, moins d'usure) entre piston et plateau incliné, en transformant un contact ponctuel/linéique glissant en un appui-plan lubrifié.
Q1–Q3 — Équivalent \(L_{4/7}\)
\(L_{4/6}\) sphérique en \(C\) + \(L_{6/7}\) sphérique en \(B\), en série : \(\{\vec\Omega_{4/6};\vec 0\}_C+\{\vec\Omega_{6/7};\vec 0\}_B\). En exprimant en \(C\), la translation le long de \(\vec{CB}\) apparaît.
Équivalent : sphère-cylindre de centre \(C\), direction \(\vec x_6\) (la biellette transmet un effort uniquement selon son axe)
📂 Documents donnés
Tous les documents originaux liés à ce chapitre (cours magistral, TD, corrigés…). Cliquez pour ouvrir le PDF.
Les documents sont inclus dans ce dossier (sous-dossier documents\) — le paquet est autonome et partageable tel quel.