C09 — Modéliser le comportement statique des transmetteurs

1) Réducteur \(i=0{,}25\), \(C_s=10\) N·m

\(\dfrac{C_s}{C_e}=\dfrac1i\Rightarrow C_e=i\,C_s=0{,}25\times10\).

\(C_e=2{,}5\) N·m

2) Multiplicateur \(i=5\), \(C_s=3\) N·m

\(C_e=i\,C_s=5\times3\).

\(C_e=15\) N·m (le multiplicateur augmente la vitesse mais réduit le couple de sortie)

Effort de poussée maximal (sans pertes)

\(C_e=k_cI_m=0{,}0525\times2{,}15=0{,}1129\) N·m. \(F_{max}=\dfrac{2\pi}{p}C_e=\dfrac{2\pi}{0{,}004}\times0{,}1129\).

\(F_{max}\approx177\) N

Avec rendement \(\eta=0{,}9\), pour un effort de 100 N

\(C_e=\dfrac{F_s\,p}{2\pi\,\eta}=\dfrac{100\times0{,}004}{2\pi\times0{,}9}\).

\(C_e\approx0{,}071\) N·m (71 mN·m)

Q1 — Chaîne « orienter la plate-forme » : \(C_{m36}\)

Effort à l'effecteur : \(C_{36}=eMg=2650\) N·m (donné). Motoréducteur \(r=\tfrac1{1000}\), \(\eta_{réd}=0{,}6\) : \(C_{36}=\dfrac{\eta}{r}C_{m36}\Rightarrow C_{m36}=\dfrac{C_{36}\,r}{\eta}=\dfrac{2650\times0{,}001}{0{,}6}\).

\(C_{m36}\approx4{,}4\) N·m

Q2 — Chaîne « déplacer le parc échelle » : \(C_{m23}\)

Effort : \(F_{23}=Mg\sin\theta=1870\) N (donné). Vis-écrou à billes \(p=10\) mm, \(\eta_{vis}=0{,}9\) : \(|C_{m23}|=\dfrac{F_{23}\,p}{2\pi\,\eta_{vis}}=\dfrac{1870\times0{,}010}{2\pi\times0{,}9}\).

\(|C_{m23}|\approx3{,}3\) N·m

Q1 — Couple d'orientation \(C_{01}\) (moment en \(O\) /\(z_0\))

Poids (verticaux) : moment /\(z_0\) nul. Vent \(F_v\vec y_1\) en \(G_1\) (\(\vec{OG_1}=L\vec x_1\)) : \(\vec{OG_1}\wedge F_v\vec y_1\cdot z_0=L F_v\).

\(|C_{01}|=L\,F_v=30\times5000=1{,}5\cdot10^5\) N·m (150 kN·m)

Q2 — Tension du câble de levage \(F_{23}\)

Le câble supporte le poids de la charge : \(F_{23}=M_3\,g=5000\times9{,}81\).

\(F_{23}\approx4{,}9\cdot10^4\) N (49 kN)

Q4–Q5 — Couple moteur « orienter » \(C_{m01}\)

Train épicycloïdal (couronne \(z_c=90\) fixe, planétaire \(z_p=18\)), 1 étage : \(i_{ét}=\dfrac1{1-\lambda}\) avec \(\lambda=-\dfrac{z_c}{z_p}=-5\), soit \(i_{ét}=\dfrac16\). Trois étages : \(i_{épi}=\big(\tfrac16\big)^3=\tfrac1{216}\).

Réducteur à axes fixes : \(|i_2|=\dfrac{z_A}{z_B}=\dfrac{18}{153}=0{,}118\). Total \(|i|=\dfrac1{216}\times0{,}118=5{,}45\cdot10^{-4}\).

\(C_{m01}=\dfrac{|C_{01}|\,|i|}{\eta_1\eta_2}=\dfrac{1{,}5\cdot10^5\times5{,}45\cdot10^{-4}}{0{,}8\times0{,}98}\).

\(C_{m01}\approx104\) N·m

Q7–Q8 — Chaîne « lever » : \(v_{3/2}\) et \(C_{m23}\)

Réducteur \(Z_{12}=Z_{13b}=50\), \(Z_{13a}=Z_{14}=100\) : \(i=\big(\tfrac{50}{100}\big)^2=0{,}25\). Tambour \(R=0{,}2\) m : \(v_{3/2}=R\,i\,\omega_{m}=0{,}05\,\omega_m\).

Sans pertes : \(C_{m23}=F_{23}\,R\,i=M_3g\times0{,}05\approx2452\) N·m. Avec \(\eta_{eng}^2\,\eta_{tamb}=0{,}9^2\times0{,}85=0{,}689\) : \(C_{m23}=\dfrac{2452}{0{,}689}\).

\(v_{3/2}=0{,}05\,\omega_m\) (m/s) ; \(C_{m23}\approx3560\) N·m avec rendements