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SII · C08 — Efforts aux effecteurs (statique, chaîne ouverte)

C08 — Déterminer les efforts aux effecteurs de structures ouvertes à l'équilibre

Action mécanique = torseur (résultante + moment) ; moment d'une force \(\vec M_A=\vec{AM}\wedge\vec F\) (bras de levier) ; torseur glisseur, couple, actions réciproques ; Principe Fondamental de la Statique (PFS) (6 équations scalaires) ; liaisons parfaites (pivot / glissière) ; démarche d'isolement pour trouver l'effort d'un effecteur en chaîne ouverte.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — C08 Statique (PFS)
Moment d'une force\(\vec M_A(\vec F)=\vec{AM}\wedge\vec F=F\,d\,\vec z\), \(d\)=bras de levier, nul sur la droite d'action
Champ de moment\(\vec M_B=\vec M_A+\vec{BA}\wedge\vec F\) (« BABAR »)
Torseur glisseur\(\{\vec F;\ \vec0\}_M\) (force seule, moment nul sur la droite d'action)
Torseur couple\(\{\vec0;\ \vec C\}\), champ de moment uniforme
Réciprocité\(\{T_{1\to2}\}=-\{T_{2\to1}\}\)
PFS\(\sum\vec R=\vec0\) et \(\sum\vec M_A=\vec0\) pour tout sous-système à l'équilibre (6 équations scalaires)
Glissière parfaite\(\vec R_{1\to2}\cdot\vec x=0\) (pas d'effort selon la direction de glissement)
Pivot parfait\(\vec M_{A,1\to2}\cdot\vec x=0\) (pas de moment autour de l'axe)
Actions équivalentes2 forces // même sens → force double sur la médiane ; 2 forces opposées distantes de \(d\) → couple \(F\cdot d\)
Isoler pour trouver l'effort d'un effecteurisoler l'extrémité de la chaîne, recenser les actions extérieures, puis choisir UNE projection (résultante // glissière, ou moment / axe pivot) qui élimine la liaison inconnue

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Action mécanique & torseur

Moment d'une force \(\vec M_A(\vec F)=\vec{AM}\wedge\vec F=F\,d\,\vec z\), avec \(d\) le bras de levier (distance de \(A\) à la droite d'action) et \(\vec z\perp(\vec{AM},\vec F)\). Nul sur la droite d'action. Champ : \(\vec M_B=\vec M_A+\vec{BA}\wedge\vec F\) (relation « BABAR », \(\vec F\) joue le rôle de \(\vec\Omega\)).
Torseurs types Glisseur (force) : \(\{T\}=\big\{\vec F;\ \vec 0\big\}_M\) (moment nul sur la droite d'action). Couple (2 forces opposées) : \(\{T\}=\big\{\vec 0;\ \vec C\big\}\), champ de moment uniforme. Réciprocité : \(\{T_{1\to2}\}=-\{T_{2\to1}\}\) (3ᵉ loi de Newton).
Actions usuelles Poids : \(\big\{m\vec g;\ \vec 0\big\}_G\). Vérin / moteur linéaire : force \(F_p\vec u\) sur la droite des points d'attache (\(\vec u=\vec{AB}/\|\vec{AB}\|\)). Moteur électrique : couple \(C_m\vec u\) (axe du moteur).

1.2 Principe Fondamental de la Statique

PFS Système \(\Sigma\) à l'équilibre (réf. galiléen) ⟺ pour \(\Sigma\) et tout sous-système : \(\displaystyle\sum\{T_{\bar\Sigma\to i}\}=\{0\}\). Deux théorèmes vectoriels : \[ \sum\vec R_{\bar\Sigma\to i}=\vec 0\qquad\text{(résultante)},\qquad \sum\vec M_{A,\bar\Sigma\to i}=\vec 0\qquad\text{(moment en }A). \] Soit 6 équations scalaires (3 + 3). Valable aussi en régime permanent ou quasi-statique (\(m\vec a\) négligeable).
Liaisons parfaites L'action transmise ne s'oppose pas au mouvement autorisé :
• Glissière parfaite de direction \(\vec x\) : \(\vec R_{1\to2}\cdot\vec x=0\) (pas d'effort dans la direction du glissement).
• Pivot parfait d'axe \((A,\vec x)\) : \(\vec M_{A,1\to2}\cdot\vec x=0\) (pas de moment autour de l'axe). Les 5 autres composantes bloquent les mouvements interdits.

1.3 Efforts aux effecteurs (chaîne ouverte)

Démarche d'isolement Un effecteur (actionneur) est en parallèle de chaque liaison. Pour trouver son effort :
1. Isoler l'extrémité de la chaîne (garder l'effecteur en action extérieure) ;
2. Recenser les actions extérieures (graphe de structure : chaque trait coupé = une action) ;
3. Choisir une seule équation :
  • liaison glissière // effecteur → théorème de la résultante projeté sur la direction de la glissière ;
  • liaison pivot // effecteur → théorème du moment en un point de l'axe, projeté sur l'axe.
Astuce : ces projections éliminent l'action de liaison inconnue (parfaite) → une équation à une inconnue.
Actions équivalentes 2 forces // de même intensité → force double sur la médiane ; 2 forces opposées distantes de \(d\) → couple \(F\cdot d\) ; 2 forces \(F_1,F_2\) // → force par \(I\) tel que \(F_1\,d(I,\Delta_1)=F_2\,d(I,\Delta_2)\).

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Barre en équilibre sur un pivot (couple moteur)♦♦◊
Bras (1) en pivot d'axe \((O,\vec z)\) / bâti, \(\vec{OG}=a\vec x_1\), poids \(-mg\vec y_0\) (\(\vec y_0\) vertical), couple moteur \(C\vec z\). Angle \(\alpha=(\vec x_0,\vec x_1)\).

Moment en \(O\) du poids sur \(\vec z\) : \(\vec{OG}\wedge(-mg\vec y_0)\cdot\vec z=a\,mg(\vec x_1\wedge\vec y_0)\cdot\vec z=amg\cos\alpha\).

Théorème du moment /\(\vec z\) (pivot parfait élimine la liaison) : \(C+amg\cos\alpha=0\).

\(C=-amg\cos\alpha\) : couple maximal (en valeur absolue) à l'horizontale (\(\alpha=0\)), nul à la verticale

Exercice B — Chariot sur glissière (effort du vérin)♦◊◊
Chariot (2) en glissière \(\vec x\) / bâti, poussé par un vérin \(F_v\vec x\), soumis à une résistance \(-R\vec x\) et à son poids \(-Mg\vec y\).

Glissière parfaite : le théorème de la résultante projeté sur \(\vec x\) élimine l'action de liaison (\(\vec R_{liaison}\cdot\vec x=0\)) et le poids (⊥\(\vec x\)) :

\(F_v-R=0\).

\(F_v=R\) : le vérin ne fournit que l'effort résistant selon l'axe (à l'équilibre quasi-statique)

3. Correction du TD

Source : S2I-C08-TD (appliquer le PFS ; efforts aux effecteurs). Pas de corrigé officiel exploitable → résolu et vérifié maison.

Exercice 1.1 — Châssis basculeur SPRAT♦♦♦
(1) pivot \((O,\vec z)\) / (0), \(m=26{,}3\) t, \(\vec{OG}=-a\vec x_1\) (\(a=9\) m). Vérin : \(-F\vec y_1\) en \(B\), \(\vec{OB}=b\vec x_1+c\vec y_1\) (\(b=2\) m). Poids \(-mg\vec y_0\). \(\alpha=(\vec x_0,\vec x_1)\).

Q3 — Effort du vérin (moment en \(O\) /\(\vec z\))

Poids : \(\vec{OG}\wedge(-mg\vec y_0)\cdot\vec z=(-a\vec x_1)\wedge(-mg\vec y_0)\cdot\vec z=amg\cos\alpha\).

Vérin : \(\vec{OB}\wedge(-F\vec y_1)\cdot\vec z=-bF\) (le terme \(c\vec y_1\wedge\vec y_1=0\)).

Pivot parfait : \(\vec M_{O,0\to1}\cdot\vec z=0\). Bilan : \(amg\cos\alpha-bF=0\).

\(F=\dfrac{a}{b}\,mg\cos\alpha=4{,}5\,mg\cos\alpha\) ; à \(\alpha=0\) : \(F\approx4{,}5\times26300\times9{,}81\approx1{,}16\cdot10^6\) N (≈ 1160 kN)

Q4 — Action de liaison (résultante, \(\alpha=0\))

\(\vec R_{0\to1}=mg\vec y_0+F\vec y_1\). À \(\alpha=0\) (\(\vec y_1=\vec y_0\)) : \(\vec R_{0\to1}=(mg+F)\vec y_0=mg\big(1+\tfrac ab\big)\vec y_0=5{,}5\,mg\,\vec y_0\).

\(\|\vec R_{0\to1}\|=5{,}5\times258000\approx1{,}42\cdot10^6\) N (≈ 1420 kN, vertical)

Exercice 1.2 — Lève-malade Maxi Move♦♦◊
(1) glissière verticale \(\vec y_0\) / (0). Vérin \(F_v\vec y_0\) ; ressort \(-k(y-y_0)\vec y_0\) ; poids \(-mg\vec y_0\).

Q4 — Effort de poussée du vérin

Glissière // vérin → théorème de la résultante /\(\vec y_0\) (élimine l'action de liaison, \(\vec R_{liaison}\cdot\vec y_0=0\)) :

\(F_v-k(y-y_0)-mg=0\).

\(F_v=mg+k(y-y_0)\) : le ressort compense une partie du poids et soulage le vérin

Q5 — Action de liaison (résultante)

Les composantes ⊥\(\vec y_0\) : \(\vec R_{0\to1}\cdot\vec x_0=0\) (rien d'horizontal ici, les forces sont verticales) ; le moment reprend le décalage \(a\) du poids.

\(\vec R_{0\to1}=\vec 0\) en projection utile (efforts verticaux repris par le vérin/ressort) ; le moment en \(O\) équilibre \(a\,mg\)

Exercice 1.3 — Console portante de bateau♦♦♦
(1) pivot vertical \((O,\vec z_0)\) motorisé / (0), \(m=4000\) kg, \(\vec{OG}=a\vec x_1+b\vec z_0\) (\(a=6\), \(b=4\) m). Vent \(-F_{vent}\vec y_1\) en \(G\) (\(F_{vent}=1500\) daN). Couple \(C_{01}\vec z_0\).

Q4 — Couple du motoréducteur (moment en \(O\) /\(\vec z_0\))

Poids \(-mg\vec z_0\) (vertical) : moment /\(\vec z_0\) nul (force parallèle à l'axe → \(\vec{OG}\wedge(-mg\vec z_0)\cdot\vec z_0=0\)).

Vent : \(\vec{OG}\wedge(-F_{vent}\vec y_1)\cdot\vec z_0=-a\,F_{vent}\) (seul le bras \(a\vec x_1\) compte : \(\vec x_1\wedge\vec y_1=\vec z_0\)).

Pivot parfait : \(\vec M_{O}\cdot\vec z_0=0\). Bilan : \(C_{01}-a\,F_{vent}=0\).

\(C_{01}=a\,F_{vent}=6\times15000=9{,}0\cdot10^4\) N·m (= 90 kN·m). Le poids ne charge pas le moteur (axe vertical) : seul le vent doit être compensé.

Bilan C08 Méthode statique invariante : modéliser chaque action par un torseur (résultante + moment), isoler intelligemment, puis choisir la bonne projection du PFS (résultante /direction de glissière, ou moment /axe de pivot) pour éliminer les liaisons parfaites et n'avoir qu'une inconnue. Les efforts obtenus servent à dimensionner vérins, moteurs et liaisons, et à définir les lois de pilotage en effort. Autres exercices du TD (SPRAT complet 2 DDL, maquette soufflerie ONERA 3 DDL, échelle EPAS 4 actionneurs) : même démarche d'isolement en chaîne ouverte.

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