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SII · C07 — Performances d'un système asservi (modèle de connaissance)

C07 — Évaluer les performances d'un système asservi à partir d'un modèle de connaissance

Schéma-bloc (bloc, sommateur, prélèvement) ; algèbre des blocs (série, parallèle, boucle fermée \(\tfrac{D}{1+DR}\)) ; relation IHM–capteur \(K_{IHM}=\tfrac{K_{capt}}{H}\) ; théorème de superposition (poursuite / régulation) ; précision : erreur de poursuite (échelon, rampe) et erreur de régulation (perturbation).

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — C07 Performances d'un système asservi
Association série\(H=H_1H_2H_3\)
Association parallèle\(H=H_1+H_2\) (avec les signes des branches)
Boucle fermée\(H(p)=\dfrac{D(p)}{1+D(p)R(p)}\) ; retour unitaire : \(\dfrac{D}{1+D}\)
Relation IHM-capteur\(K_{IHM}=K_{capt}/H(p)\) pour une image de l'erreur cohérente
Précision en poursuite (échelon)\(e_{pour}=E_0(1-K)\) ; parfaitement précis ⟺ \(K=1\)
Précision en poursuite (rampe)pour \(H=1/(1+ap+bp^2)\) (\(K=1\)) : \(e_{pour}(+\infty)=aV_0\) ; si \(K\neq1\), erreur infinie
Superposition (2 entrées)\(S(p)=H_1(p)E(p)+H_2(p)P(p)\)
Erreur de régulation\(e_{reg}=-\Delta s(+\infty)\) ; insensible à la perturbation si \(\Delta s(+\infty)=0\) (action intégrale)
Réduire un schéma-bloctraiter les boucles internes d'abord, simplifier sans développer, forme canonique en dernier
Manipuler les sommateursmultiplier une branche entrante par \(-1\) change son signe ; multiplier la sortie par \(-1\) change tous les signes

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Schéma-bloc & algèbre des blocs

Trois éléments Bloc (une FT \(H(p)\)), sommateur/soustracteur (plusieurs entrées, une sortie : \(S=E_1+E_2-E_3\)), point de prélèvement (prélève sans modifier).
Associations Série : \(H=H_1H_2H_3\). Parallèle : \(H=H_1+H_2\) (avec les signes). Boucle fermée : \[ \boxed{\ H(p)=\frac{D(p)}{1+D(p)R(p)}\ } \] \(D\) = chaîne directe, \(R\) = chaîne de retour. Retour unitaire : \(R=1\) → \(\tfrac{D}{1+D}\). Démarche : traiter les boucles internes d'abord, simplifier sans développer, multiplier haut et bas par le dénominateur du dénominateur, puis forme canonique à la fin.
Relation IHM ↔ capteur (mesure indirecte) Pour que l'image de l'erreur \(\varepsilon\) soit nulle quand l'erreur l'est : \(K_{IHM}=\dfrac{K_{capt}}{H(p)}\) (image de la consigne et de la réponse proportionnelles avec le même coefficient). Composants usuels = gains purs (capteurs, hacheur, réducteur \(K=i\), vis-écrou \(K=\tfrac{p}{2\pi}\)).

1.2 Précision en poursuite (perturbation nulle)

Consigne en échelon \(E_0\) Modèle stable (classe 0) sans dérivateur. \(e_{pour}=E_0(1-K)\), erreur relative \(e_{pour}\%=1-K\). Parfaitement précis ⟺ gain statique \(K=1\) (sans dimension).
Consigne en rampe de pente \(V_0\) Erreur \(=\displaystyle\lim_{p\to0}p\,E_c(p)\,(1-H(p))\) avec \(E_c=\tfrac{V_0}{p^2}\). Pour \(H=\dfrac{1}{1+ap+bp^2}\) (\(K=1\)) : \(e_{pour}(+\infty)=a\,V_0\). Si \(K\neq1\), l'erreur → \(+\infty\) (pas de régime permanent).

1.3 Régulation & superposition

Théorème de superposition (2 entrées) \(S(p)=H_1(p)E(p)+H_2(p)P(p)\), avec \(H_1=\tfrac SE|_{P=0}\) (poursuite) et \(H_2=\tfrac SP|_{E=0}\) (régulation). La réponse totale = somme des réponses à chaque entrée.
Erreur de régulation (perturbation en échelon \(P_0\)) \(e_{reg}=-\Delta s(+\infty)\). Si \(\Delta s(+\infty)=0\) : insensible à la perturbation ; sinon sensibilité \(e_{reg}\%=-\dfrac{\Delta s(+\infty)}{P_0}\). Un correcteur à action intégrale rend insensible ; un correcteur proportionnel laisse une erreur.
Manipuler les sommateurs Multiplier une branche entrante par \(-1\) change son signe ; multiplier la sortie par \(-1\) change tous les signes. Un sommateur à 2 entrées dont une est nulle = gain unitaire du signe de l'entrée restante.

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Réduction de boucle fermée♦♦◊
Chaîne directe \(D(p)=\dfrac{K}{p(1+\tau p)}\), retour unitaire \(R=1\). FT en boucle fermée ?

\(H=\dfrac{D}{1+D}=\dfrac{\frac{K}{p(1+\tau p)}}{1+\frac{K}{p(1+\tau p)}}=\dfrac{K}{p(1+\tau p)+K}=\dfrac{K}{K+p+\tau p^2}\).

Canonique : \(H=\dfrac{1}{1+\frac1K p+\frac{\tau}{K}p^2}\).

\(K_{stat}=1\) (précis en poursuite échelon), classe 0, ordre 2. Identifiable à un 2ᵉ ordre : \(\omega_0=\sqrt{K/\tau}\), \(z=\tfrac{1}{2\sqrt{K\tau}}\).

Exercice B — Erreurs de poursuite♦♦◊
\(H(p)=\dfrac{0{,}8}{1+2p}\) (asservi, stable, sans dérivateur).

Échelon \(E_0=10\)

\(e_{pour}=E_0(1-K)=10(1-0{,}8)=2\), soit \(e\%=20\%\).

\(e_{pour}=2\) (20 %) — imprécis car \(K\neq1\)

Rampe

\(K\neq1\) ⟹ l'erreur en rampe diverge (\(+\infty\)) : pas de régime permanent.

Erreur de traînage infinie (à corriger par un intégrateur)

3. Correction du TD

Source : S2I-C07-TD (schéma-bloc, poursuite, régulation, superposition). Pas de corrigé officiel → résolu et vérifié maison.

Réduction de schéma-bloc (exemple du cours)♦♦♦
Réduire pas à pas : boucle interne \(\tfrac1p\) / retour 4, série \(\tfrac{2}{2+p}\), parallèle \(\tfrac1p\), série \(\tfrac{2}{p+2}\).

1) Boucle interne

\(H_1=\dfrac{1/p}{1+4/p}=\dfrac{1}{p+4}\).

2) Série

\(H_2=\dfrac{1}{p+4}\cdot\dfrac{2}{2+p}=\dfrac{2}{(p+4)(p+2)}\).

3) Parallèle

\(H_3=\dfrac{2}{(p+4)(p+2)}+\dfrac1p=\dfrac{p^2+8p+8}{p(p+4)(p+2)}\).

4) Série + forme canonique

\(H=H_3\cdot\dfrac{2}{p+2}=\dfrac{2(p^2+8p+8)}{p(p+4)(p+2)^2}\).

\(H=\dfrac1p\cdot\dfrac{1+p+\frac{p^2}{8}}{1+\frac54 p+\frac12 p^2+\frac1{16}p^3}\) : classe 1, gain statique unitaire, ordre 4

Exercice 2.4 — Moteur à courant continu (2 entrées)♦♦♦
\(U_m=E+(R+Lp)I\), \(E=K_e\Omega\), \(C_m=K_cI\), \(C_m-C_r-f\Omega=Jp\Omega\). Valeurs : \(R=2{,}5\,\Omega\), \(L=7{,}5\,\)mH, \(K_e=K_c=0{,}11\), \(J=5\cdot10^{-5}\), \(f=0{,}01\).

Q3–Q4 — Fonctions de transfert

En éliminant \(I\) et \(E\), on pose \(D(p)=(f+Jp)(R+Lp)+K_cK_e\). Alors :

\(\dfrac{\Omega}{U_m}\Big|_{C_r=0}=\dfrac{K_c}{D(p)}\) ; \(\dfrac{\Omega}{C_r}\Big|_{U_m=0}=\dfrac{-(R+Lp)}{D(p)}\)

Q5 — Superposition

\(\Omega(p)=\dfrac{K_c}{D(p)}U_m(p)-\dfrac{R+Lp}{D(p)}C_r(p)\).

Q6 — Valeur finale (échelons \(U_{m0}\), \(C_{r0}\))

\(\omega(+\infty)=\displaystyle\lim_{p\to0}p\,\Omega(p)=\dfrac{K_cU_{m0}-R\,C_{r0}}{fR+K_cK_e}\).

Q8 — Applications numériques

\(fR+K_cK_e=0{,}01\cdot2{,}5+0{,}11^2=0{,}025+0{,}0121=0{,}0371\).

\(U_{m0}\) (V)\(C_{r0}\) (N·m)\(\omega(+\infty)\) (rad/s)
100\(\frac{1{,}1}{0{,}0371}\approx29{,}6\)
100,3\(\frac{1{,}1-0{,}75}{0{,}0371}\approx9{,}4\)
00,3\(\frac{-0{,}75}{0{,}0371}\approx-20{,}2\)

Q10 — Conclusion

Système stable (2ᵉ ordre, coeffs positifs), mais très sensible au couple résistant (29,6 → 9,4 rad/s sous 0,3 N·m) : non asservi, il ne régule pas la vitesse — d'où l'intérêt de l'asservissement (C02, C06).

Exercice 2.1 — RAMSES (poursuite & régulation)♦♦♦
Correcteur dérivateur \(u_r=A\dot\varepsilon\) ; réservoir \(q_e-q_s=S\dot h\) (\(q_s\) = perturbation).

Q3 — \(F_1=\tfrac{H}{H_c}|_{Q_s=0}\), précision en poursuite

La chaîne directe contient un dérivateur (\(Ap\)) puis une intégration réservoir (\(\tfrac1{Sp}\)) : le \(p\) se simplifie, donnant une classe 0. Le gain statique dépend des gains ; s'il vaut 1 le système est précis en poursuite échelon.

La FT en poursuite est de classe 0 (dérivateur × intégrateur) : précis en échelon si \(K=1\).

Q4 — \(F_2=\tfrac{H}{Q_s}|_{H_c=0}\), sensibilité

Pour la perturbation \(q_s\), la chaîne de retour comporte le dérivateur : la FT en régulation possède un dérivateur (classe « négative »).

\(F_2\) avec dérivateur ⟹ \(\Delta h(+\infty)=0\) pour un \(q_s\) en échelon : système insensible à la perturbation de débit sortant (grâce au correcteur dérivateur/intégral).

Bilan C07 On assemble les modèles de connaissance en schéma-bloc, on le réduit (boucles internes d'abord, formule \(\tfrac{D}{1+DR}\)), on obtient les FT en poursuite et en régulation (superposition), puis on évalue la précision : erreur d'échelon \(E_0(1-K)\) (nulle ⟺ \(K=1\)), erreur de rampe \(aV_0\), erreur de régulation \(-\Delta s(+\infty)\) (nulle si action intégrale). Autres exercices du TD (axe machine-outil, enceinte chauffante, Cablecam, suspension camion, servocommande A380) : même démarche de synthèse + précision.

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