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SII · C06 — Modéliser en SLCI & identifier un modèle

C06 — Modéliser en SLCI et identifier un modèle de comportement

SLCI (Système Linéaire Continu Invariant) ; transformée de Laplace et fonction de transfert \(H(p)=\tfrac{S(p)}{E(p)}\) ; forme canonique (gain statique \(K\), classe \(\alpha\), ordre \(n\)) ; stabilité par les pôles ; théorème de la valeur finale ; identification d'un modèle du 1ᵉʳ ordre \(\tfrac{K}{1+\tau p}\) et du 2ᵉ ordre.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — C06 Modéliser en SLCI
SLCILinéaire, Continu, Invariant : équation différentielle linéaire à coefficients constants
Laplace\(\mathcal L[f^{(n)}]=p^nF(p)\) ; échelon \(E_0\to E_0/p\) ; blocs en série : \(H_{eq}=H_1H_2\)
Fonction de transfert\(H(p)=S(p)/E(p)=N(p)/D(p)\), indépendante de l'entrée
Forme canoniquefactoriser \(N(p)\) et \(D(p)\) par leur terme de plus bas degré → identifier \(K\) (gain), \(\alpha\) (classe), \(n\) (ordre)
Stabilitépôles à partie réelle \(<0\) ⟺ classe 0 et tous les coefficients de \(D(p)\) de même signe (suffisant ordre 1-2 ; ordre 3 : en plus \(a_1a_2>a_0a_3\))
Valeur finale\(s(+\infty)=\lim_{p\to0}pS(p)\) ; classe 0 + échelon \(E_0\) : \(s(+\infty)=KE_0\)
Superposition\(S=H_1E+H_2P\), poursuite \(=S/E|_{P=0}\), régulation \(=S/P|_{E=0}\)
1ᵉʳ ordre\(s(t)=KE_0(1-e^{-t/\tau})\), 63 % à \(t=\tau\), \(t_{r5\%}\approx3\tau\)
2ᵉ ordre — régimes\(z\geqslant1\) non oscillatoire ; \(0
2ᵉ ordre non oscillatoiresi \(\tau_1/\tau_2<0{,}25\) : \(1/\omega_0^2=\tau_1\tau_2\), \(2z/\omega_0=\tau_1+\tau_2\)
Rapidité optimale\(t_{r5\%}\) minimal pour \(z=0{,}69\) (\(t_{r5\%}\omega_0\approx3\))
Identifier un 2ᵉ ordre oscillatoire\(K=\Delta s(\infty)/E_0\) ; \(z\) via \(D_1\%=e^{-z\pi/\sqrt{1-z^2}}\) ; \(\omega_0=\omega_a/\sqrt{1-z^2}\) via \(T_a\) mesurée

1. Résumé de cours détaillé

1.1 SLCI & transformée de Laplace

SLCI Système Linéaire (superposition), Continu (grandeurs continues du temps), Invariant (paramètres constants). Régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants \(a_n s^{(n)}+\dots+a_0 s=b_m e^{(m)}+\dots+b_0 e\) (\(m\leqslant n\), causal).
Laplace (conditions de Heaviside : CI nulles) \(\mathcal L[f](p)=\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt\). Propriétés : linéarité, \(\mathcal L[f^{(n)}]=p^n F(p)\), \(\mathcal L[\int f]=\tfrac{F(p)}{p}\). Échelon d'amplitude \(E_0\) : \(\mathcal L=\tfrac{E_0}{p}\).

1.2 Fonction de transfert & forme canonique

Définition \(H(p)=\dfrac{S(p)}{E(p)}=\dfrac{N(p)}{D(p)}\) (fraction de deux polynômes en \(p\)), indépendante de l'entrée. Composants en série : \(H_{eq}=H_1\times H_2\).
Forme canonique \(H(p)=\dfrac{K}{p^{\alpha}}\cdot\dfrac{1+\dots p+\dots}{1+\dots p+\dots}\) : \(K\) = gain statique, \(\alpha\) = classe (nb d'intégrateurs), \(n\) = ordre (degré du dénominateur). On factorise chaque polynôme par son terme de plus bas degré.

1.3 Stabilité

Critère Stable ⟺ les pôles (racines de \(D(p)\)) sont à partie réelle strictement négative ⟺ (nécessaire) classe 0 et coefficients de \(D(p)\) tous de même signe (aucun nul). Suffisant pour ordre 1 et 2. Ordre 3 (\(D=a_0+a_1p+a_2p^2+a_3p^3\)) : en plus \(a_1a_2>a_0a_3\).

1.4 Valeur finale, perturbation, précision

Théorème de la valeur finale Si la limite existe : \(s(+\infty)=\displaystyle\lim_{p\to0^+}p\,S(p)\). Pour un système stable de classe 0 soumis à un échelon \(E_0\) : \(s(+\infty)=K\,E_0\).
Superposition & précision Deux entrées (consigne \(E\), perturbation \(P\)) : \(S=H_1E+H_2P\). Poursuite \(=\tfrac SE|_{P=0}\), régulation \(=\tfrac SP|_{E=0}\). Précis en poursuite (échelon) si \(H_1\) est classe 0 et \(K=1\) ; insensible à la perturbation si \(H_2\) est de classe « négative » (dérivateur).

1.5 Modèle du 1ᵉʳ ordre \(\;H(p)=\dfrac{K}{1+\tau p}\)

Réponse indicielle \(s(t)=K E_0\big(1-e^{-t/\tau}\big)\). \(\tau\) (constante de temps) : 63 % de la variation atteinte à \(t=\tau\) ; \(t_{r5\%}\approx3\tau\) ; tangente à l'origine coupe l'asymptote à \(t=\tau\). Variation finale \(=KE_0\). Identification : pas de dépassement, pente à l'origine non nulle, pas de point d'inflexion.

1.6 Modèle du 2ᵉ ordre \(\;H(p)=\dfrac{K}{1+\frac{2z}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\)

Régimes (facteur d'amortissement \(z\)) \(z\geqslant1\) : non oscillatoire (pas de dépassement) ; \(0oscillatoire amorti (pseudo-pulsation \(\omega_a=\omega_0\sqrt{1-z^2}\), pseudo-période \(T_a=\tfrac{2\pi}{\omega_a}\)). Variation finale \(KE_0\), pente à l'origine nulle, un point d'inflexion.
Identification (oscillatoire amorti) • \(K\) : \(\Delta s(+\infty)=KE_0\).
• \(z\) : par le 1ᵉʳ dépassement \(D_1\%=\exp\!\Big(-\dfrac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}\Big)\) ⟹ \(z=\sqrt{\dfrac{(\ln D_1\%)^2}{\pi^2+(\ln D_1\%)^2}}\).
• \(\omega_0\) : \(T_a\) entre deux extrémums, \(\omega_a=\tfrac{2\pi}{T_a}\), puis \(\omega_0=\tfrac{\omega_a}{\sqrt{1-z^2}}\).
Rapidité : \(t_{r5\%}\) minimal pour \(z=0{,}69\) (\(t_{r5\%}\omega_0\approx3\), \(D_1\%=5\%\)) ; abaque du temps de réponse réduit \(t_{r5\%}\omega_0\) sinon.
Non oscillatoire (\(z\geqslant1\)) — pôle dominant Si \(\tau_1/\tau_2<0{,}25\) : \(H=\dfrac{K}{(1+\tau_1p)(1+\tau_2p)}\), avec \(\tfrac1{\omega_0^2}=\tau_1\tau_2\) et \(\tfrac{2z}{\omega_0}=\tau_1+\tau_2\).
Modèles usuels Gain pur \(K\) ; intégrateur \(\tfrac Kp\) (classe 1) ; dérivateur \(Kp\).

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Forme canonique, classe, stabilité, valeur finale♦♦◊
\(3\ddot s+2\dot s+6s=4\dot e+8e\). Entrée : échelon \(E_0\).

Laplace : \((3p^2+2p+6)S=(4p+8)E\), \(H=\dfrac{8+4p}{6+2p+3p^2}=\dfrac{8}{6}\cdot\dfrac{1+\frac12 p}{1+\frac13 p+\frac12 p^2}\).

\(K=\tfrac43\), classe 0, ordre 2 ; stable (coeffs \(6,2,3>0\)) ; \(s(+\infty)=\tfrac43 E_0\)

Exercice B — Identification 1ᵉʳ ordre♦♦◊
Réponse à un échelon \(E_0=4\) V : valeur finale \(8\) rad/s, atteinte à 63 % après 20 ms.

Pas de dépassement → 1ᵉʳ ordre. \(K=\dfrac{\Delta s}{E_0}=\dfrac84=2\) (rad/s)/V ; \(\tau=20\) ms ; \(t_{r5\%}=3\tau=60\) ms.

\(H(p)=\dfrac{2}{1+0{,}02\,p}\)

3. Correction du TD

Source : S2I-C06-TD (TD1 fonctions de transfert/stabilité/valeur finale, TD2 1ᵉʳ ordre, TD3 2ᵉ ordre). Pas de corrigé officiel → résolu et vérifié maison.

Exercice 1.1 — Formes canoniques & stabilité♦♦◊

A) \(7\dot s+3s=5e\)

\(H=\dfrac{5}{3+7p}=\dfrac{5/3}{1+\frac73 p}\). \(K=\tfrac53\), classe 0, ordre 1, stable. VF \(=\tfrac53 E_0\).

B) \(s=8e\)

\(H=8\). Gain pur, classe 0, ordre 0, stable. VF \(=8E_0\).

C) \(5\ddot s+4\dot s+7s=3\dot e+2e\)

\(H=\dfrac{2+3p}{7+4p+5p^2}=\dfrac{2/7\,(1+\frac32 p)}{1+\frac47 p+\frac57 p^2}\). \(K=\tfrac27\), classe 0, ordre 2, stable. VF \(=\tfrac27 E_0\).

D) \(M\ddot s=-f\dot s+i\,e\)

\(H=\dfrac{i}{Mp^2+fp}=\dfrac{i/f}{p\,(1+\frac Mf p)}\). Gain \(\tfrac if\), classe 1 (intégrateur), ordre 2, instable (classe ≠ 0). Pas de VF finie.

E) \(\dddot s+7\ddot s+12\dot s+90 s=2\ddot e+5\dot e\)

\(H=\dfrac{p(5+2p)}{90+12p+7p^2+p^3}\) : numérateur en \(p\) (dérivateur), ordre 3. Stabilité ordre 3 : \(a_1a_2=12\cdot7=84\) vs \(a_0a_3=90\cdot1=90\), \(84<90\) ⟹ instable.

Stables : A, B, C. Instables : D (intégrateur), E (\(a_1a_2

Exercice 1.2 — Four électrique♦♦◊
\(2\ddot\theta+6\alpha\dot\theta+4\alpha^2\theta=K u\), \(K>0\).

Q1 — Fonction de transfert & stabilité

\(H=\dfrac{K}{4\alpha^2+6\alpha p+2p^2}=\dfrac{K/4\alpha^2}{1+\frac{3}{2\alpha}p+\frac{1}{2\alpha^2}p^2}\). Classe 0, ordre 2, \(K_{stat}=\dfrac{K}{4\alpha^2}\).

Stable ⟺ tous les coeffs de même signe ⟺ \(\alpha>0\)

Q2–Q3 — Réponse à l'échelon \(U_0\)

\(U(p)=\dfrac{U_0}{p}\), \(\Theta(p)=\dfrac{K U_0}{p(4\alpha^2+6\alpha p+2p^2)}\).

Q4 — Variation finale

\(\theta(+\infty)=\displaystyle\lim_{p\to0}p\,\Theta(p)=\dfrac{K U_0}{4\alpha^2}\).

Q5 — Condition sur les mesures (\(\Delta U_0=25\) V ⟹ \(\Delta\theta=50\) °C)

\(\dfrac{K\,U_0}{4\alpha^2}=\Delta\theta\) : avec 25 V → 50 °C, \(\dfrac{K}{4\alpha^2}=2\) °C/V (soit \(K=8\alpha^2\))

Exercice 1.3 — Système RAMSES (chaîne d'énergie)♦♦♦
Régulateur \(u_m=K_r u_r\) ; moteur \(\tau\dot\omega_m+\omega_m=K_m u_m\) ; réducteur \(r\) ; vanne \(q_e=K_v\theta_v\), \(\omega_v=\dot\theta_v\) ; réservoir \(q_e=S\dot h\).

Q1 — Blocs

Régulateur \(K_r\) ; moteur \(\dfrac{K_m}{1+\tau p}\) ; réducteur \(\dfrac1r\) ; \(\theta_v=\dfrac{\omega_v}{p}\) → \(\dfrac1p\) ; vanne \(K_v\) ; réservoir \(\dfrac1{Sp}\).

Q2 — FT globale \(H(p)/U_r(p)\)

\(\dfrac{H(p)}{U_r(p)}=K_r\cdot\dfrac{K_m}{1+\tau p}\cdot\dfrac1r\cdot\dfrac1p\cdot K_v\cdot\dfrac1{Sp}=\dfrac{K_rK_mK_v}{rS}\cdot\dfrac{1}{p^2(1+\tau p)}\).

Gain \(\dfrac{K_rK_mK_v}{rS}\), classe 2 (double intégration), ordre 3 → instable en boucle ouverte (d'où la nécessité de l'asservissement)

Exercice 2.1 — Moteur d'hémodialyse (1ᵉʳ ordre)♦♦◊
\(\dfrac{\Omega_m(p)}{U_m(p)}=\dfrac{1200}{100+p}\).

Q1 — Stabilité & rapidité

Forme canonique : \(\dfrac{12}{1+0{,}01p}\), \(K=12\) (rad/s)/V, \(\tau=\dfrac{1}{100}=0{,}01\) s. Pôle \(-100<0\) → stable. \(t_{r5\%}=3\tau=0{,}03\) s.

Stable, \(\tau=10\) ms, \(t_{r5\%}=30\) ms

Q2 — Réponse à \(U_0=7\) V

Variation finale \(=K U_0=12\times7=84\) rad/s ; 63 % (≈53 rad/s) à \(t=10\) ms ; 95 % à 30 ms

Exercice 3.1 — Caméra PTZ (2ᵉ ordre)♦♦♦
\(\dfrac{\Theta(p)}{\Theta_c(p)}=\dfrac{9800}{10^4+600p+35p^2}\).

Q1 — Paramètres

Canonique : \(\dfrac{0{,}98}{1+0{,}06p+0{,}0035p^2}\). \(\dfrac{1}{\omega_0^2}=0{,}0035\Rightarrow\omega_0=16{,}9\) rad/s ; \(\dfrac{2z}{\omega_0}=0{,}06\Rightarrow z=0{,}51\) ; \(K=0{,}98\).

\(K=0{,}98\), \(\omega_0\approx16{,}9\) rad/s, \(z\approx0{,}51\)

Q2 — Régime & pseudo-période

\(z<1\) → oscillatoire amorti. \(\omega_a=\omega_0\sqrt{1-z^2}=16{,}9\cdot0{,}86=14{,}6\) rad/s, \(T_a=\dfrac{2\pi}{\omega_a}\approx0{,}43\) s.

Q3 — Temps de réponse à 5 %

Abaque \(z\approx0{,}5\) → \(t_{r5\%}\omega_0\approx5{,}3\), donc \(t_{r5\%}\approx\dfrac{5{,}3}{16{,}9}\approx0{,}31\) s.

Q4 — Dépassements pour \(\theta_c=20°\)

\(D_1\%=\exp\!\Big(-\dfrac{z\pi}{\sqrt{1-z^2}}\Big)=e^{-1{,}85}\approx15{,}8\%\) ; \(D_2\%=(D_1\%)^2\approx2{,}5\%\) ; \(D_3\%\approx0{,}4\%<1\%\).

Variation finale \(\Delta\theta=K\theta_c=0{,}98\cdot20=19{,}6°\). Absolus : \(D_1=0{,}158\cdot19{,}6\approx3{,}1°\), \(D_2\approx0{,}49°\).

2 dépassements > 1 % : \(D_1\%=15{,}8\%\) (\(3{,}1°\)), \(D_2\%=2{,}5\%\) (\(0{,}5°\))

Bilan C06 Cœur de l'automatique linéaire : passer d'une équation différentielle à une fonction de transfert (Laplace, CI nulles), la mettre en forme canonique (\(K,\alpha,n\)), en déduire stabilité (pôles / signes) et valeur finale (\(KE_0\)), puis identifier un modèle du 1ᵉʳ ordre (\(K,\tau\)) ou du 2ᵉ ordre (\(K,z,\omega_0\)) à partir d'une réponse indicielle. Autres exercices du TD (positionnement robot, capteur plateforme 6 axes, asservissements angulaires, identification non oscillatoire) : même démarche d'identification.

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