C04 — Modéliser le comportement cinématique des transmetteurs linéaires

Rapport global

Roue-vis : \(i_1=\dfrac{Z_{vis}}{Z_{roue}}=\dfrac{2}{40}=\dfrac1{20}\). Engrenage ext. : \(i_2=-\dfrac{Z_a}{Z_b}=-\dfrac{20}{60}=-\dfrac13\).

\(i=i_1\,i_2=-\dfrac{1}{60}\).

\(N_s=|i|\cdot1500=\dfrac{1500}{60}=25\) tr/min (sens inversé)

\(\omega=\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{2\pi\cdot600}{60}=62{,}8\) rad·s⁻¹. \(V=\dfrac{p}{2\pi}\omega=\dfrac{p\,N}{60}=\dfrac{5\cdot600}{60}\) mm/s.

\(V=50\) mm·s⁻¹ (\(=p\times\) tours/s : cohérent, 10 tr/s × 5 mm)

Q2 — Rapports & réduction globale

Engr. 1-2a (ext.) : \(\dfrac{\omega_{2}}{\omega_1}=-\dfrac{Z_1}{Z_{2a}}=-\dfrac{31}{52}\). Engr. 2b-3 (ext.) : \(\dfrac{\omega_3}{\omega_2}=-\dfrac{Z_{2b}}{Z_3}=-\dfrac{24}{79}\).

\(i=\dfrac{\omega_3}{\omega_1}=\Big(-\dfrac{31}{52}\Big)\Big(-\dfrac{24}{79}\Big)=\dfrac{31\cdot24}{52\cdot79}=\dfrac{744}{4108}\).

\(i\approx0{,}181\) (réduction ≈ 1/5,5, même sens de rotation)

Q3 — Entraxe \(a_{12}\)

\(a_{12}=m_1\dfrac{Z_1+Z_{2a}}{2}=1{,}5\cdot\dfrac{31+52}{2}=1{,}5\cdot41{,}5\).

\(a_{12}=62{,}25\) mm

Q4 — Module \(m_2\) pour arbres coaxiaux

Coaxialité ⟹ \(a_{23}=a_{12}\) : \(m_2\dfrac{Z_{2b}+Z_3}{2}=62{,}25\Rightarrow m_2=\dfrac{2\cdot62{,}25}{24+79}=\dfrac{124{,}5}{103}\).

\(m_2\approx1{,}21\) mm (obtenu par correction de denture)

Q2 — Loi entrée-sortie \(V_3/\omega_1\)

Poulie-courroie : \(\omega_{vis}=\omega_2=\dfrac{R_1}{R_2}\omega_1=\dfrac12\,\omega_1\).

Vis-écrou : \(V_3=\dfrac{p_v}{2\pi}\,\omega_{vis}=\dfrac{p_v}{2\pi}\cdot\dfrac{\omega_1}{2}\).

\(\dfrac{V_3}{\omega_1}=\dfrac{p_v}{4\pi}=\dfrac{10}{4\pi}\approx0{,}80\) mm par rad·s⁻¹

Pour chaque configuration (entrée / sortie / pièce fixe) on part de \(\omega_A-\lambda\omega_B+(\lambda-1)\omega_{PoSa}=0\) et on annule la vitesse de la pièce fixe :

• Planétaire B fixe (\(\omega_B=0\)) : \(i=\dfrac{\omega_{PoSa}}{\omega_A}=\dfrac{1}{1-\lambda}\).
• Porte-satellite fixe : \(i=\dfrac{\omega_B}{\omega_A}=\dfrac1\lambda\) (train simple).
• Planétaire A fixe : \(i=\dfrac{\omega_{PoSa}}{\omega_B}=\dfrac{-\lambda}{1-\lambda}=\dfrac{\lambda}{\lambda-1}\).
• Deux planétaires liés (\(\omega_A=\omega_B\)) : tout tourne en bloc, \(i=1\).

Le même \(\lambda\) donne tous les rapports selon la pièce bloquée.

Q1 — Raison & Willis

Sun (3) → satellite (2) (ext.) puis satellite → couronne (4) (int.) : \(\lambda=\dfrac{\omega_{3/1}}{\omega_{4/1}}=-\dfrac{Z_4}{Z_3}=-\dfrac{78}{30}=-2{,}6\).

\(\dfrac{\omega_g-\omega_m}{\omega_s-\omega_m}=\lambda=-2{,}6\)

Q2 — \(\omega_s/\omega_m\)

De \(\omega_g-\omega_m=\lambda(\omega_s-\omega_m)\) : \(\dfrac{\omega_s}{\omega_m}=\dfrac1\lambda\dfrac{\omega_g}{\omega_m}+\Big(1-\dfrac1\lambda\Big)\).

Q3 — Pourquoi un CVT ?

En faisant varier continûment \(\omega_g\) (génératrice asservie en vitesse), on règle continûment \(\omega_s/\omega_m\) : le rapport est variable en continu. L'élément de contrôle est la génératrice électrique.

Q4 — Véhicule à l'arrêt (\(\omega_s=0\))

\(\dfrac{\omega_g-\omega_m}{-\omega_m}=\lambda\Rightarrow\omega_g=\omega_m(1-\lambda)=\omega_m\,(1+2{,}6)\).

\(\dfrac{\omega_g}{\omega_m}=1-\lambda=3{,}6\)

Q5 — \(\omega_s=3250\) tr/min, \(\omega_m=2700\) tr/min

\(\omega_g=\omega_m+\lambda(\omega_s-\omega_m)=2700+(-2{,}6)(3250-2700)=2700-1430\).

\(\omega_g=1270\) tr/min

Q1 — Raison & Willis

Les deux planétaires sont symétriques (mêmes \(Z\), satellites coniques) : \(\lambda=-1\). Willis : \(\omega_G-(-1)\omega_D+(-1-1)\omega_{boîtier}=0\), soit \(\omega_G+\omega_D=2\,\omega_{boîtier}\).

\(\omega_{G/0}+\omega_{D/0}=2\,\omega_{boîtier/0}\) (moyenne des vitesses des roues = vitesse du boîtier)

Q3 — En ligne droite

\(\omega_G=\omega_D=\omega_{boîtier}\) : les satellites ne tournent pas par rapport au boîtier.

\(\omega_{3/2}=0\) (satellite immobile / boîtier) — en virage, il tourne pour répartir les vitesses