C03 — Cinématique du solide : déterminer les lois de pilotage en mouvement

\(\vec\Omega_{1/0}=\dot\theta\,\vec z_0\). Par Bour : \(\big[\tfrac{d\vec x_1}{dt}\big]_0=\vec\Omega_{1/0}\wedge\vec x_1=\dot\theta\,\vec z_0\wedge\vec x_1=\dot\theta\,\vec y_1\).

\(\big[\tfrac{d\vec y_1}{dt}\big]_0=\dot\theta\,\vec z_0\wedge\vec y_1=-\dot\theta\,\vec x_1\).

\(\dfrac{d\vec x_1}{dt}\Big|_0=\dot\theta\,\vec y_1\), \(\dfrac{d\vec y_1}{dt}\Big|_0=-\dot\theta\,\vec x_1\)

Vitesse

\(\vec V_{B/0}=\dot\lambda\,\vec x_1+\lambda\,\big[\tfrac{d\vec x_1}{dt}\big]_0=\dot\lambda\,\vec x_1+\lambda\dot\theta\,\vec y_1\) (le terme \(a\vec z_0\) est constant).

\(\vec V_{B/0}=\dot\lambda\,\vec x_1+\lambda\dot\theta\,\vec y_1\)

Accélération

En dérivant (\(\tfrac{d\vec x_1}{dt}=\dot\theta\vec y_1\), \(\tfrac{d\vec y_1}{dt}=-\dot\theta\vec x_1\)) :

\(\vec\gamma_{B/0}=(\ddot\lambda-\lambda\dot\theta^2)\,\vec x_1+(2\dot\lambda\dot\theta+\lambda\ddot\theta)\,\vec y_1\)

On reconnaît les termes centripète \(-\lambda\dot\theta^2\) et de Coriolis \(2\dot\lambda\dot\theta\).

\(\vec\Omega_{1/0}=\vec\Omega_{1/2}+\vec\Omega_{2/0}=-\omega\vec z_0\). RSG : \(\vec V_{J\in1/0}=\vec0\).

Varignon en \(A\) (centre roue, \(\vec{AJ}=-R\vec y_0\)) : \(\vec V_{A\in1/0}=\vec V_{J\in1/0}+\vec{AJ}\wedge\vec\Omega_{1/0}=-R\vec y_0\wedge(-\omega\vec z_0)=R\omega\,\vec x_0\).

Or \(A\) est sur l'axe pivot (1)-(2) : \(\vec V_{A\in1/0}=\vec V_{A\in2/0}=V\vec x_0\).

\(V=R\omega\)

Vecteur position et coordonnées de \(B\) dans \(R_0\)

\(\vec{OB}=a\vec x_1+b\vec x_2\), avec \(\vec x_1=\cos\alpha\,\vec x_0+\sin\alpha\,\vec y_0\) et \(\vec x_2=\cos(\alpha+\beta)\vec x_0+\sin(\alpha+\beta)\vec y_0\).

\(X=a\cos\alpha+b\cos(\alpha+\beta)\), \(Y=a\sin\alpha+b\sin(\alpha+\beta)\), \(Z=0\) (homogène : des mètres)

Contrainte de sécurité \(\|\vec{OB}\|\leqslant R\)

\(\|\vec{OB}\|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\beta}\leqslant R\) soit \(\cos\beta\leqslant\dfrac{R^2-a^2-b^2}{2ab}\).

Q1 — Coordonnées \(X,Y,Z\) de \(D\) dans \(R_0\) (par projection)

\(X=\vec{OD}\cdot\vec x_0\), etc. En passant \(\vec x_2=\cos\theta\,\vec x_1+\sin\theta\,\vec y_1\) puis \(\vec x_1\) dans \(B_0\) :

\(X=(x\cos\theta-R)\cos\alpha\), \(\quad Y=b+x\sin\theta\), \(\quad Z=(R-x\cos\theta)\sin\alpha\)

Q2–Q3 — Modèle inverse (retrouver \(\alpha,\theta,x\))

Rapport \(\dfrac ZX=-\tan\alpha\) ; puis \(\theta\) via \(Y\) et \(X\) :

\(\alpha=-\arctan\dfrac ZX\), \(\quad\theta=\arctan\dfrac{Y-b}{\frac{X}{\cos\alpha}+R}\), \(\quad x(t)=\dfrac{Y-b}{\sin\theta}\)

Q4 — Trajectoire rectiligne verticale (X, Y constants, Z variable)

Condition \(Z_0=(R-x\cos\theta)\sin\alpha=0\) : si \(\alpha=\alpha_0=0\), alors \(\theta=\pm\arccos\dfrac{L+R}{x(t)}\) (avec \(X_0=L\) constante).

\(\alpha=0\) et \(\theta=\pm\arccos\dfrac{L+R}{x(t)}\) pilotent une montée verticale de la nacelle

Bases & mouvement

Parallélogramme ⟹ \(\vec x_2=\vec x_3\) et \(\vec x_1=\vec x_4\) : seulement 3 bases \(B_0,B_1,B_2\). Repère lié à (3) : \(R_3(B,\vec x_2,\vec y_2,\vec z)\).

\(M_1\) bloqué (\(\alpha\) constant), \(\beta\) varie

(3)/(0) = rotation d'axe \((B,\vec z)\) ; \(T_{J/0}\), \(T_{C/0}\) cercles de centre \(B\).

\(M_2\) bloqué (\(\beta\) constant), \(\alpha\) varie

(3)/(0) = translation à trajectoire circulaire de rayon \(AB\) ; \(T_{C/0}\) cercle de centre \(E\).

Trajectoire verticale de \(J\) à distance \(d\) de \(A\)

\(\vec{AJ}=L\vec x_1+H\vec x_2\), condition \(\vec{AJ}\cdot\vec x_0=d=\)cste :

\(d=L\cos\alpha+H\cos\beta=\text{cste}\) (loi liant les deux moteurs)

Q3 — Vitesse \(\vec V_{G\in2/0}\)

\(\vec{OG}=a\vec x_1+b\vec x_2\). \(\tfrac{d\vec x_1}{dt}|_0=\dot\alpha\vec y_1\) ; \(\vec\Omega_{2/0}=\dot\alpha\vec z_1+\dot\beta\vec y_2\), d'où \(\tfrac{d\vec x_2}{dt}|_0=\dot\alpha\cos\beta\,\vec y_1-\dot\beta\,\vec z_2\).

\(\vec V_{G\in2/0}=\dot\alpha\,(a+b\cos\beta)\,\vec y_1-b\dot\beta\,\vec z_2\)

Q4 — Accélération (\(\beta\) constant, \(\dot\beta=0\))

\(\vec V_{G\in2/0}=\dot\alpha(a+b\cos\beta)\vec y_1\) ; par Bour :

\(\vec\gamma_{G/0}=-\dot\alpha^2(a+b\cos\beta)\,\vec x_1+\ddot\alpha(a+b\cos\beta)\,\vec y_1\)

Q5 — \(\omega\) du bras pour 9 g (cabine verticale \(\beta=90^\circ\), \(\dot\alpha\) constant)

\(\cos90^\circ=0\), \(\ddot\alpha=0\) : \(\|\vec\gamma_G\|=a\dot\alpha^2=9g\), donc \(\dot\alpha=\sqrt{\dfrac{9g}{a}}=\sqrt{\dfrac{9\times9{,}81}{3}}\approx5{,}4\) rad·s⁻¹.

\(\dot\alpha=\dfrac{5{,}4\times60}{2\pi}\approx51{,}8\) tr·min⁻¹

Q1 — Mouvement de (3)/(0)

Translation à trajectoire circulaire de rayon \(AB\), paramétrée par \(\alpha(t)\).

Q3 — Vitesse \(\vec V_{P\in4/0}\)

\(\vec{AP}=L\vec y_1+b\vec y_0+\mu\vec z_0\). Dérivation (\(\tfrac{d\vec y_1}{dt}|_0=\dot\alpha\vec z_1\... \), via \(\vec\Omega_{1/0}=\dot\alpha\vec x_0\)) :

\(\vec V_{P\in4/0}=\dot\alpha L\,\vec z_1+\dot\mu\,\vec z_0\), soit avec \(\vec z_1=\cos\alpha\,\vec z_0-\sin\alpha\,\vec y_0\) :

\(\vec V_{P\in4/0}=-\dot\alpha L\sin\alpha\,\vec y_0+(\dot\alpha L\cos\alpha+\dot\mu)\,\vec z_0\)

Q4 — Condition de coupe droite

La lame doit avancer selon \(\vec y_0\) à la vitesse \(V_s\) du savon : \(\vec V_{P\in4/0}\cdot\vec y_0=V_s\).

\(V_s=-\dot\alpha L\sin\alpha\)

Q5 — \(\alpha(t)\) avec \(\alpha(0)=90^\circ\)

En intégrant \(V_s=-\dot\alpha L\sin\alpha=\dfrac{d}{dt}(L\cos\alpha)\) : \(V_s\,t=L\cos\alpha(t)\) (cste \(=0\)).

\(\alpha(t)=\arccos\dfrac{V_s\,t}{L}\) (pour \(\alpha\in[0,\tfrac\pi2]\))

Démarche

On exprime \(\vec V_{P/0}\) en fonction de \(\dot\lambda,\dot\alpha,\dot\beta\) puis on projette la contrainte \(\vec V_{P/0}=V\vec x_0\) sur \(\vec x_0,\vec y_0,\vec z_0\). La projection sur \(\vec z_0\) donne \(\beta\) ; les deux autres donnent \(\dot\lambda\) et \(\dot\alpha\).

\(\dot\lambda=\dfrac{V}{\tan\alpha}\), \(\qquad\dot\alpha=-\dfrac{V}{b\sin\alpha}\)

Ces deux EDO s'intègrent numériquement pour fournir les lois de pilotage \(\lambda(t)\) et \(\alpha(t)\) des axes.