C02 — Définir la structure fonctionnelle et identifier les performances d'un système asservi
Chaîne fonctionnelle (chaîne d'énergie : alimenter → moduler → convertir → transmettre → agir ; chaîne d'information : acquérir → traiter → communiquer) ; puissance \(P=e\cdot f\) (effort × flux) ; structure d'un asservissement (IHM, comparateur, correcteur, capteur) ; performances : stabilité (dépassements), rapidité (\(t_{r5\%}\)), précision (erreur en régime permanent).
1. Résumé de cours détaillé
1.1 Chaîne fonctionnelle
• la chaîne d'information : traite l'information (utilisateur + capteurs) pour définir les ordres des pré-actionneurs ;
• la chaîne d'énergie : gère la puissance nécessaire pour modifier la matière d'œuvre via l'effecteur.
(alimentation → pré-actionneur → actionneur → transmetteur → effecteur).
Chaîne d'information : ACQUÉRIR → TRAITER → COMMUNIQUER
(capteurs / IHM → unité de commande → périphérique / interface).
| Famille (fonction) | Rôle |
|---|---|
| Alimentation (ALIMENTER) | Conditionner / adapter la puissance entrante (+ sécurité : disjoncteur…) |
| Pré-actionneur (MODULER / DISTRIBUER) | Moduler la puissance utile selon l'ordre de l'unité de commande (variateur, hacheur, pont en H…) |
| Actionneur (CONVERTIR) | Convertir la puissance en un autre type (souvent méca) : moteur, vérin… |
| Transmetteur (TRANSMETTRE) | Transmettre / adapter la puissance : réducteur, poulie-courroie, vis-écrou, bielle-manivelle… |
| Effecteur (AGIR) | Agir directement sur la matière d'œuvre : pince, outil, tapis… |
| Capteur (ACQUÉRIR) | Prélever une grandeur physique → image exploitable par l'unité de commande |
| Unité de commande (TRAITER) | Traiter (programme) capteurs + IHM → ordres des pré-actionneurs |
1.2 Puissance : effort × flux
| Puissance | Effort \(e(t)\) | Flux \(f(t)\) |
|---|---|---|
| Électrique | Tension \(u\) (V) | Intensité \(i\) (A) |
| Méca. translation | Force \(F\) (N) | Vitesse \(V\) (m·s⁻¹) |
| Méca. rotation | Couple \(C\) (N·m) | Vitesse angulaire \(\omega\) (rad·s⁻¹) |
| Hydraulique / Pneu. | Pression \(p\) (Pa) | Débit \(q_v\) (m³·s⁻¹) |
| Thermique | Température \(T\) (K) | Flux d'entropie \(\dot S\) (J·K⁻¹·s⁻¹) |
1.3 Structure fonctionnelle d'un système asservi
• Capteur : image de la réponse (+ ADAPTER si la grandeur mesurée ≠ réponse) ;
• Comparateur : \(\varepsilon(t)=e'(t)-s'(t)\), image de l'erreur ;
• Correcteur : corrige l'ordre pour améliorer stabilité / rapidité / précision.
Erreur : \(er(t)=e(t)-s(t)\) (consigne − réponse).
1.4 Performances : stabilité, rapidité, précision
• La précision n'a de sens que si entrée et sortie sont de même nature (ex. four : entrée en V, sortie en °C → précision non évaluable).
• \(t_{r5\%}\) se compte à partir de l'instant d'application de l'échelon \(t_{init}\), pas de \(t=0\).
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
1) Puissance mécanique
\(P_{méca}=C\cdot\omega=8\times150=1200\) W.
\(P_{méca}=1200\) W
2) Puissance électrique
\(P_{élec}=u\cdot i=48\times30=1440\) W.
\(P_{élec}=1440\) W
3) Rendement
\(\eta=\dfrac{P_{méca}}{P_{élec}}=\dfrac{1200}{1440}\approx0{,}83\).
\(\eta\approx83\%\) (les 240 W perdus = pertes Joule + méca)
1) Variation finale
\(\Delta s(+\infty)=6-2=4\).
\(\Delta s(+\infty)=4\)
2) Premier dépassement
\(D_1=|7{,}2-6|=1{,}2\) ; \(D_1\%=\dfrac{1{,}2}{4}=30\%\).
\(D_1=1{,}2\), \(D_1\%=30\%\)
3) Erreur statique
\(e_r=\Delta e-\Delta s=5-4=1\) ; \(e_r\%=\dfrac{1}{5}=20\%\).
\(e_r=1\) (20 %)
4) Tube à 5 %
\([6-0{,}05\cdot4\,;\,6+0{,}05\cdot4]=[5{,}8\,;\,6{,}2]\).
La réponse doit rester dans \([5{,}8\,;\,6{,}2]\) pour définir \(t_{r5\%}\)
3. Correction intégrale du TD
Source : S2I-C02-TD + corrigé officiel LECONTE. TD 1 (décrire par chaînes fonctionnelles) puis TD 2 (structure et performances d'un système asservi). Les schémas de chaînes sont des figures ; on restitue les réponses attendues.
TD 1 — Décrire un système par les chaînes fonctionnelles
Q1 — Composants de chaque chaîne
Chaîne d'information : codeur incrémental, capteurs capacitifs avant (×4), capteurs capacitifs arrière (×2), potentiomètre linéaire, calculateur.
Chaîne d'énergie : batterie (16 V), hacheur, moteur à courant continu (MCC), réducteur poulie-courroie, vis-écrou.
Q2 — Matière d'œuvre & effecteur
Matière d'œuvre : la position de la semelle (de l'horizontale à inclinée). Effecteur : le système vis-écrou.
Q3 — Ordre chaîne info → chaîne énergie
Le calculateur transmet l'ordre (fonction TRAITER) ; le hacheur le reçoit (fonction MODULER).
Q4 — Diagramme des deux chaînes
Chaîne d'énergie : Batterie (NRJ élec. continue) → Hacheur MODULER (élec. modulée)
→ MCC CONVERTIR (méca. rotation) → Poulie-courroie TRANSMETTRE → Vis-écrou TRANSMETTRE
(méca. translation) → AGIR sur la semelle.
Chaîne d'information : Codeur + Potentiomètre ACQUÉRIR → Calculateur TRAITER → ordre au hacheur.
Q1 — Chaînes de l'activité « sectionner une branche » + grandeurs effort/flux
Chaîne d'énergie, avec effort (rouge) / flux (bleu) à chaque étage :
Batterie \(U_{batt}\) (V) / \(I_{batt}\) (A) → Pont en H DISTRIBUER \(U_{mot}\) / \(I_{mot}\) → MCC CONVERTIR \(C_{mot}\) (N·m) / \(\omega_{mot}\) (rad·s⁻¹) → Réducteur TRANSMETTRE \(C_{red}\) / \(\omega_{red}\) → Vis-écrou TRANSMETTRE \(F\) (N) / \(V\) (m·s⁻¹) → AGIR (lame).
Chaîne d'information : capteurs à effet Hall ACQUÉRIR → UTC (unité de traitement) TRAITER.
Chaque puissance transmise se lit comme un couple effort × flux cohérent avec le domaine physique.
Q1 — Diagramme chaîne info / énergie de l'activité « couper l'arrivée d'eau »
Chaîne d'information : Capteur à effet Hall ACQUÉRIR (image du débit d'eau) + acquisition du réarmement du levier ; COMMUNIQUER via réseau local (100 Mbps).
Chaîne d'énergie : ventouse magnétique + ressort de torsion CONVERTIR → levier ¼ tour en ≈ 1/10 s → vanne ¼ tour AGIR (coupe l'eau).
Actionnement rapide (¼ tour ≈ 0,1 s) déclenché par un ordre logique ; réarmement manuel.
TD 2 — Structure et performances d'un système asservi
Q1 — Système asservi ? Grandeur asservie ? Perturbations ?
Oui : à chaque instant la position \(x(t)\) du chariot est comparée à une consigne via des grandeurs électriques (continu dans le temps). Grandeur asservie : position \(x(t)\) du chariot. Perturbations : effort trop grand sur la vis-écrou, jeux aux paliers, courroie distendue/élastique…
Q2–Q3 — Chaîne fonctionnelle & structure de l'asservissement
Chaîne d'énergie : Transfo ALIMENTER → Variateur MODULER → Moteur CONVERTIR → Poulie-courroie + Vis-écrou TRANSMETTRE → chariot. Unité de commande (à entourer) = comparateur + correcteur (+ adapter), avec \(\varepsilon(t)=u_c(t)-u_{mes}(t)\).
Q4 — Composant non pris en compte dans l'asservissement
La fonction ALIMENTER (transformateur) : on suppose l'alimentation idéale (correctement dimensionnée).
Q5 — Performances du test 1 (échelon +20 mm depuis 10 mm)
Stable (converge vers 29 mm). Dépassement : \(D_1\%=\left|\dfrac{s(t_1)-s(\infty)}{s(\infty)-s(t_0)}\right|=\left|\dfrac{32-29}{29-10}\right|\approx15{,}8\%\) (2 dépassements). Rapidité : \(t_{r5\%}=1{,}4\) s. Précision : \(e_r=\Delta e-\Delta s=(30-10)-(29-10)=\mathbf{1\ mm}\).
Test 1 : stable, \(D_1\%\approx15{,}8\%\), \(t_{r5\%}=1{,}4\) s, \(e_r=1\) mm
Q6 — Performances du test 2 (échelon −10 mm depuis 29 mm)
Stable (converge vers 19 mm). Aucun dépassement (\(D_1\%=0\)). \(t_{r5\%}=1{,}1\) s. \(e_r=(30-20)-(29-19)=\mathbf{0\ mm}\).
Test 2 : stable, \(D_1\%=0\), \(t_{r5\%}=1{,}1\) s, \(e_r=0\) mm
Q7 — Conclusion vs exigences
Exigences : \(0{,}6\,\text{s}
Précision OK (test 2), rapidité non conforme dans les deux cas
Q8 — Erreur de poursuite (test 3)
La consigne est une rampe → oui, on peut évaluer l'erreur de poursuite : \(e_p=\mathbf{4\ mm}\).
Q1 — Grandeur asservie & consigne
Grandeur asservie : le niveau (hauteur) d'eau \(h(t)\). Grandeur de consigne : la tension image \(u_c(t)\).
Q2 — Chaîne fonctionnelle
Acquérir : potentiomètre (consigne) + limnimètre (niveau) → Corriger (correcteur) → Moduler (régulateur) → Moteur CONVERTIR → Réducteur + Vanne TRANSMETTRE/AGIR sur le débit \(Q_e(t)\). Unité de commande = comparateur + correcteur.
Q3 — Performances des deux essais (initial 10 m, consigne 14 m)
| Performance | 1ᵉʳ essai | 2ᵉ essai |
|---|---|---|
| Stabilité | stable, valeur finale ≈ 15 m, \(D_1\%=0\) | stable, ≈ 15 m, \(D_1\%=0\) |
| Rapidité \(t_{r5\%}\) | 500 min | 100 min |
| Précision \(e_r\%\) | 25 % | 25 % |
Erreur statique relative : \(e_r\%=\dfrac{|\Delta e-\Delta s|}{\Delta e}=\dfrac{|(140-100)-(150-100)|}{140-100}=\dfrac{10}{40}=25\%\) (valeurs lues sur le graphe, en dm : 10 m → 14 m visé, 15 m atteint).
Après réglage : même précision (25 %) mais 80 % plus rapide (\(\tfrac{500-100}{500}=80\%\)).
Q1 — Stabilité
Stable : la température tend vers une valeur finie 150 °C (en ≈ 700 s). \(\Delta s(+\infty)=150-100=50\) °C. Dépassement : \(D_1=|159-150|=9\) °C, \(D_1\%=\dfrac{9}{50}=18\%\) (1 dépassement).
Stable, \(D_1\%=18\%\), 1 dépassement
Q2 — Rapidité
\(t_{r5\%}=400\) s (tube \([147{,}5\,;\,152{,}5]\) °C)
Q3 — Précision
Non évaluable : l'entrée (tension, V) et la sortie (température, °C) ne sont pas de même nature → l'erreur n'a pas de sens ici.
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