Physique · Électrocinétique

Régime sinusoïdal forcé, résonance & filtrage

Cours complet reconstruit à partir du polycopié Moodle Cours_RSF_filtrage (E. Thibierge) et des fiches-résumés. On y traite tout l'enchaînement : le régime sinusoïdal forcé (RSF) et la notation complexe, la résonance en tension et en courant, l'analyse de Fourier d'un signal périodique (valeur moyenne, valeur efficace, théorème de Parseval), puis le filtrage : fonction de transfert, diagramme de Bode, les quatre filtres de référence, l'action d'un filtre sur un signal (moyenneur / dérivateur / intégrateur) et l'association de filtres (charge, impédances d'entrée/sortie, mise en cascade). Chaque résultat-clé est démontré, chaque application du cours est corrigée intégralement.

📌 À lire d'abord Ce chapitre est complémentaire de la fiche « Filtrage & diagrammes de Bode » (chapitre 6) : celui-ci part du RSF et de la résonance, ajoute l'analyse de Fourier et l'association de filtres. Les deux se recoupent sur les fonctions de transfert et Bode — c'est voulu, la répétition fait mémoriser.

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Cours détaillé
2. Applications du cours corrigées
📂 Documents donnés (cours, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — RSF, résonance & filtrage

Déphasage synchrone\(\Delta\varphi=\varphi'-\varphi\) : \(0\) en phase, \(\pi\) opposition, \(\pm\pi/2\) quadrature

Représentation complexe\(\underline u=U_m e^{j(\omega t+\varphi)}\) ; \(\tfrac{d}{dt}\leftrightarrow\times j\omega\), \(\int dt\leftrightarrow\div j\omega\)

Résonance en tension (\(u_C\))existe si \(Q>1/\sqrt2\) ; \(\omega_{réz}=\omega_0\sqrt{1-\tfrac1{2Q^2}}\), \(|U_C|_{max}\approx QE\)

Résonance en courant (\(u_R,i\))toujours présente, \(\omega_{réz}=\omega_0\) quel que soit \(Q\), \(|I|_{max}=E/R\)

Bande passante\(\Delta\omega=\omega_0/Q\) (exacte en courant, approchée si \(Q\gg1\) en tension)

Décomposition de Fourier\(y(t)=Y_0+\sum_n Y_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\) : \(Y_0\) continue, \(n=1\) fondamental, \(n\geq2\) harmoniques

Valeur moyenne\(\langle y\rangle=Y_0\) ; un sinus pur a une moyenne nulle

Valeur efficace\(Y_{eff}=Y_m/\sqrt2\) pour un signal sinusoïdal

Parseval\(\langle y^2\rangle=Y_0^2+\tfrac12\sum_n Y_n^2\)

Repères Bode\(-3\)dB \(\Leftrightarrow|H|=1/\sqrt2\) ; \(\pm20\)dB/déc = ordre 1, \(\pm40\)dB/déc = ordre 2

Bande passante à \(-3\)dB\(|H|>H_{réf}/\sqrt2\Leftrightarrow G_{dB}>G_{réf}-3\)dB

Cascade de filtres\(H_{tot}=H_1H_2\) seulement si \(|Z_{s1}|\ll|Z_{e2}|\) ; sinon \(H_{tot}=\dfrac{H_1H_2}{1+Z_{s1}/Z_{e2}}\)

Nature d'un filtre sans calculremplacer \(C,L\) par leurs équivalents BF/HF et regarder si \(s=e\) (passe) ou \(s=0\) (coupe)

Moyenneur / dérivateur / intégrateurmoyenneur = passe-bas \(f_c\ll f\) ; dérivateur = passe-haut 1er ordre \(f\ll f_c\) ; intégrateur = passe-bas 1er ordre \(f\gg f_c\)

1. Cours détaillé

1.1 Régime sinusoïdal forcé & déphasage entre signaux synchrones

Régime sinusoïdal forcé (RSF) Un circuit linéaire alimenté par une source sinusoïdale \(e(t)=E_m\cos(\omega t)\) atteint, après extinction du régime transitoire (durée \(\sim\tau\)), un régime établi où toutes les tensions et tous les courants sont sinusoïdaux à la même pulsation \(\omega\) que la source — mais avec une amplitude et un déphasage qui dépendent de \(\omega\).

Déphasage de deux signaux synchrones Pour \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\) et \(u'(t)=U'_m\cos(\omega t+\varphi')\) de même pulsation, on appelle déphasage de \(u'\) par rapport à \(u\) : \[\boxed{\ \Delta\varphi=\varphi'-\varphi\ }\qquad \Delta\varphi\in\,]-\pi,\,+\pi]\]

\(\Delta\varphi=0\) : signaux en phase ;
\(\Delta\varphi=\pi\) : en opposition de phase ;
\(\Delta\varphi=\pm\frac{\pi}{2}\) : en quadrature ;
\(\Delta\varphi>0\) : \(u'\) est en avance sur \(u\) (il atteint son maximum en premier) ; \(\Delta\varphi<0\) : \(u'\) est en retard.

Déphasage ↔ décalage temporel \[|\Delta\varphi|=\omega\,\Delta t=\frac{2\pi}{T}\,\Delta t\] En pratique : on lit le décalage \(\Delta t\) entre deux maxima proches sur l'oscilloscope pour obtenir \(|\Delta\varphi|\), puis on ajoute le signe « à la main » selon lequel des deux signaux est en avance.

Démonstration de la relation \(|\Delta\varphi|=\omega\Delta t\) Soient \(t_{\max}\) et \(t'_{\max}\) deux instants proches où \(u\) et \(u'\) sont maximaux. Un cosinus est maximal quand son argument vaut \(2k\pi\) : \[\omega t_{\max}+\varphi=2k\pi \quad\text{et}\quad \omega t'_{\max}+\varphi'=2k\pi\] En soustrayant : \(\varphi'-\varphi=-\omega(t'_{\max}-t_{\max})\), d'où \(|\Delta\varphi|=\omega|\Delta t|\). \(\blacksquare\)

1.2 Représentation complexe d'un signal sinusoïdal

Représentation & amplitude complexes À \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\) on associe \[\underline u(t)=U_m\,e^{j(\omega t+\varphi)}=\underline U\,e^{j\omega t}\qquad\text{avec}\qquad \underline U=U_m\,e^{j\varphi}\] \(\underline U\) est l'amplitude complexe ; \(j\) est le complexe de module \(1\) et d'argument \(\pi/2\) (\(j^2=-1\)). On récupère le signal réel par \[u(t)=\mathrm{Re}\big(\underline u(t)\big)\qquad\Longleftrightarrow\qquad U_m=|\underline U|,\quad \varphi=\arg\underline U\]

⚠ Notation La barre en dessous \(\underline U\) désigne une grandeur complexe (physique). Elle n'a rien à voir avec le conjugué (barre au-dessus en maths) : en physique le conjugué se note d'une étoile, \(\underline U^{\star}\).

Les deux propriétés qui font toute la puissance de la méthode

Le passage au complexe est linéaire : l'amplitude complexe d'une combinaison linéaire de signaux synchrones est la combinaison linéaire des amplitudes complexes.
Il commute avec la dérivation et l'intégration : \[\boxed{\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\ \longleftrightarrow\ \times\, j\omega\ ,\qquad \int\!\mathrm dt\ \longleftrightarrow\ \div\, j\omega\ }\]

Conséquence capitale : une équation différentielle linéaire devient, en complexe, une simple équation algébrique. On n'a plus jamais à résoudre d'équation différentielle en RSF.

Démonstration de \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\to \times j\omega\) Pour \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\), \(\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}=-\omega U_m\sin(\omega t+\varphi)=\omega U_m\cos\!\big(\omega t+\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big)\). En complexe : \[\underline{\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}}=\omega U_m\,e^{j(\omega t+\varphi+\pi/2)} =\underbrace{e^{j\pi/2}}_{=\,j}\,\omega U_m\,e^{j(\omega t+\varphi)}=j\omega\,\underline u\qquad\blacksquare\]

Calcul d'un argument — le piège de l'arctan \(\arg(x+jy)=\arctan\!\frac{y}{x}\) uniquement si \(x>0\). Si \(x<0\), on factorise par \(-1\) : \[\arg(x+jy)=\arg\!\big(-(-x-jy)\big)=\pi+\arctan\frac{y}{x}\] Rappel : les arguments suivent les règles des logarithmes — l'argument d'un produit est la somme des arguments, celui d'un quotient la différence : \(\arg\frac{N}{D}=\arg N-\arg D\).

1.3 Impédances complexes, associations, ponts diviseurs

Loi d'Ohm complexe : \(\underline U=\underline Z\,\underline I\)

Dipôle (conv. récepteur)	Loi	Impédance \(\underline Z=\underline U/\underline I\)	BF \((\omega\to0)\)	HF \((\omega\to\infty)\)
Résistance \(R\)	\(u=Ri\)	\(R\)	\(R\)	\(R\)
Condensateur \(C\)	\(i=C\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}\)	\(\dfrac{1}{jC\omega}\)	\(\infty\) → interrupteur ouvert	\(0\) → fil
Bobine \(L\)	\(u=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\)	\(jL\omega\)	\(0\) → fil	\(\infty\) → interrupteur ouvert

L'admittance est \(\underline Y=1/\underline Z\). En complexe, tous les circuits deviennent résistifs : toutes les lois de comportement s'écrivent comme la loi d'Ohm.

Associations & ponts diviseurs (valables en complexe)

Série : \(\underline Z_{\text{éq}}=\underline Z_1+\underline Z_2\).
Parallèle : \(\dfrac{1}{\underline Z_{\text{éq}}}=\dfrac{1}{\underline Z_1}+\dfrac{1}{\underline Z_2}\), soit \(\underline Y_{\text{éq}}=\underline Y_1+\underline Y_2\).
Diviseur de tension : \(\underline U_2=\dfrac{\underline Z_2}{\underline Z_1+\underline Z_2}\,\underline U\).
Diviseur de courant : \(\underline I_2=\dfrac{\underline Y_2}{\underline Y_1+\underline Y_2}\,\underline I\).

Astuce analyse dimensionnelle : \([\underline Z]=\Omega\), donc \([L]=\Omega\cdot\text{s}\) et \([1/C\omega]=\Omega \Rightarrow [C]=\text{s}/\Omega=\text{F}\).

1.4 Résonance en tension (RLC série, sortie sur \(u_C\))

Phénomène de résonance Il y a résonance lorsque la réponse d'un oscillateur forcé prend une très grande amplitude pour une pulsation de forçage particulière, voisine de la pulsation propre \(\omega_0\). Le forçage apporte alors de l'énergie « au bon moment » à chaque période. (Analogie mécanique exacte : élongation d'un système masse-ressort amorti forcé.)

Amplitude complexe de \(u_C\) Avec \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) (pulsation propre) et \(Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\) (facteur de qualité) : \[\underline{U_C}=\frac{1}{\ 1-\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}+j\,\dfrac{\omega}{Q\omega_0}\ }\,\underline E\] Comme \(\underline E=E_m\in\mathbb R\), l'argument de \(\underline{U_C}\) est directement le déphasage de \(u_C\) par rapport à \(e\).

Étude qualitative (3 limites)

Régime	\(\underline{U_C}\) équivalent	\(\|U_C\|\)	\(\varphi=\arg\underline{U_C}\)	Interprétation
BF \((\omega\ll\omega_0)\)	\(\approx \underline E\)	\(E\)	\(0\)	\(C\) = interrupteur ouvert : toute la tension est sur \(C\)
\(\omega=\omega_0\)	\(-jQ\,\underline E\)	\(QE\)	\(-\frac{\pi}{2}\)	amplitude multipliée par \(Q\) : surtension
HF \((\omega\gg\omega_0)\)	\(-\frac{\omega_0^2}{\omega^2}\underline E\)	\(\to0\)	\(-\pi\)	\(C\) = fil : tension nulle

Condition d'existence de la résonance en tension En posant \(x=\omega/\omega_0\), \(|U_C|=\dfrac{E_m}{\sqrt{f(x)}}\) avec \(f(x)=(1-x^2)^2+\dfrac{x^2}{Q^2}\). L'étude de \(f'(x)=x\Big(x^2-1+\dfrac{1}{2Q^2}\Big)\) donne : \[\boxed{\ \text{résonance en tension}\ \Longleftrightarrow\ Q>\frac{1}{\sqrt2}\ }\qquad \omega_{\text{rés}}=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\] Dans la limite \(Q\gg1\) : \(\omega_{\text{rés}}\to\omega_0\) et \(|U_C|_{\max}\simeq Q\,E\).

⚠ Ne pas confondre les deux seuils de \(Q\) \(Q=\tfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\) est le seuil d'existence d'une résonance (RSF). Il est différent de \(Q=\tfrac12\), qui est le seuil de nature du régime transitoire (apériodique / pseudo-périodique).

Acuité — bande passante La largeur de résonance \(\Delta\omega\) est l'intervalle où \(|U(\omega)|>\dfrac{U_{\max}}{\sqrt2}\). Dans la limite \(Q\gg1\) : \[\boxed{\ \Delta\omega=\frac{\omega_0}{Q}\ }\] Plus \(Q\) est grand, plus la résonance est aiguë (étroite) : mesurer \(\Delta\omega\) est une méthode expérimentale pour estimer \(Q\).

1.5 Résonance en courant (RLC série, sortie sur \(i\) ou \(u_R\))

Amplitude complexe du courant En raisonnant sur \(u_R=Ri\) : \[\underline I=\frac{1}{\ 1+jQ\Big(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\Big)\ }\,\frac{\underline E}{R} \qquad\Longrightarrow\qquad |I|=\frac{1}{\sqrt{\,1+Q^2\big(x-\frac1x\big)^2\,}}\,\frac{E}{R}\]

Résultat — toujours une résonance, à \(\omega_0\) Le dénominateur est une somme de carrés minimale quand le terme entre parenthèses s'annule, donc \(|I|\) passe toujours par un maximum, quel que soit \(Q\), à \[\boxed{\ \omega_{\text{rés}}=\omega_0\ }\qquad |I|_{\max}=\frac{E}{R},\quad \varphi=0\ (\text{courant en phase avec }e)\] La largeur de résonance vaut \(\Delta\omega=\dfrac{\omega_0}{Q}\) — ici résultat exact, valable pour tout \(Q\) (contrairement à la résonance en tension où c'est une approximation \(Q\gg1\)).

Deux phénoménologies à distinguer

Résonance en tension (sur \(u_C\), \(u_L\), ou en élongation mécanique) : conditionnelle (\(Q>\frac{1}{\sqrt2}\)), \(\omega_{\text{rés}}<\omega_0\).
Résonance en courant/intensité (sur \(u_R\), ou en vitesse mécanique) : systématique, \(\omega_{\text{rés}}=\omega_0\).

1.6 Analyse de Fourier d'un signal périodique

Décomposition en série de Fourier Tout signal \(y\) périodique de pulsation \(\omega\) se décompose en une somme de sinusoïdes de pulsations multiples de \(\omega\) : \[y(t)=Y_0+\sum_{n=1}^{+\infty}Y_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\qquad(Y_n\ge0)\]

\(Y_0\) = composante continue (harmonique de rang 0, pulsation nulle) ;
\(n=1\) = fondamental (même fréquence que le signal) ;
\(n\ge2\) = harmoniques de rang \(n\), pulsation \(n\omega\) ;
le spectre d'amplitude représente les \(Y_n\) en fonction de la fréquence \(f_n=n\omega/2\pi\).

Coefficients de Fourier Avec \(T=2\pi/\omega\) : \(Y_0=\dfrac1T\displaystyle\int_0^T y\,\mathrm dt\), et pour \(n>0\) \[A_n=\frac2T\int_0^T y\cos(n\omega t)\,\mathrm dt,\quad B_n=\frac2T\int_0^T y\sin(n\omega t)\,\mathrm dt,\quad Y_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\quad \tan\varphi_n=-\frac{B_n}{A_n}\] Exemple (créneau \(0\)/\(E\)) : \(\displaystyle y(t)=\frac E2+\frac{2E}{\pi}\sum_{p=0}^{\infty}\frac{1}{2p+1}\sin\big((2p+1)\omega t\big)\) (harmoniques impaires seulement).

Contenu physique des harmoniques Les premières harmoniques codent l'allure générale du signal ; les harmoniques de rang élevé codent ses variations rapides : discontinuités, fronts, bruit. → Un passe-bas « lisse » un signal, un passe-haut en extrait les fronts.

1.7 Valeur moyenne, valeur efficace, théorème de Parseval

Valeur moyenne \[\langle y\rangle=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}y(t)\,\mathrm dt\qquad(\text{indépendante de }t_0)\] Opération linéaire. Un signal sinusoïdal est de moyenne nulle : \(\langle\cos(\omega t+\varphi)\rangle=0\). Donc la moyenne d'un signal quelconque est égale à sa composante continue : \(\langle y\rangle=Y_0\).

Valeur efficace (RMS) \[Y_{\text{eff}}=\sqrt{\langle y^2\rangle}=\sqrt{\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}y(t)^2\,\mathrm dt}\] Non linéaire. Pour un sinusoïdal : \(\boxed{\,Y_{\text{eff}}=\dfrac{Y_m}{\sqrt2}\,}\). (Le secteur EDF : \(230\) V efficaces, \(50\) Hz, soit une amplitude \(\approx325\) V.)

Démonstration de \(Y_{\text{eff}}=Y_m/\sqrt2\) Avec \(y=Y_m\cos(\omega t+\varphi)\), on linéarise \(y^2=\dfrac{Y_m^2}{2}\big(1+\cos(2\omega t+2\varphi)\big)\). La moyenne du cosinus (pulsation \(2\omega\ne0\)) est nulle, donc \(Y_{\text{eff}}^2=\langle y^2\rangle=\dfrac{Y_m^2}{2}\). \(\blacksquare\)

Théorème de Parseval-Plancherel Le carré de la valeur efficace est la somme des carrés des valeurs efficaces des harmoniques : \[\langle y^2\rangle=\sum_{n=0}^{+\infty}\langle y_n^2\rangle =Y_0^2+\frac12\sum_{n=1}^{+\infty}Y_n^2\] Interprétation énergétique : l'énergie (\(\propto\) carré du signal) se répartit sur les harmoniques et s'ajoute sans terme croisé, car les produits d'harmoniques distinctes sont de moyenne nulle.

1.8 Filtre linéaire & fonction de transfert

Filtre Système (quadripôle : 2 bornes d'entrée, 2 de sortie) qui transmet vers la sortie \(s(t)\) l'information du signal d'entrée \(e(t)\) sélectionnée selon un critère fréquentiel. On se limite aux filtres passifs (aucune alimentation interne) et analogiques. Un filtre est linéaire s'il vérifie le principe de superposition ; critère pratique : \(e\) et \(s\) sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Fonction de transfert harmonique Pour une entrée sinusoïdale, on définit \[\boxed{\ H(\omega)=\frac{\underline S}{\underline E}\ }\qquad |H|=\frac{S_m}{E_m}\ (\text{rapport des amplitudes}),\qquad \arg H=\varphi_s-\varphi_e=\Delta\varphi_{s/e}\ (\text{déphasage sortie/entrée})\]

Lien équation différentielle ↔ fonction de transfert Comme \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\leftrightarrow \times j\omega\), l'équa. diff. et \(H\) se déduisent l'une de l'autre. On écrit \(H\) comme un quotient de polynômes en \(j\omega\) (sans division résiduelle) puis on identifie. L'ordre du filtre = puissance la plus élevée de \(j\omega\) = ordre de la dérivée la plus élevée. (En Laplace : \(\times j\omega\leftrightarrow \times p\).)

1.9 Diagramme de Bode & bande passante

Gain en décibels \[\boxed{\ G_{dB}(\omega)=20\log|H(\omega)|\ }\qquad |H|=10^{\,G_{dB}/20}\] \(G_{dB}<0\Leftrightarrow|H|<1\) : signal atténué. \(G_{dB}>0\Leftrightarrow|H|>1\) : signal amplifié. Le diagramme de Bode trace \(G_{dB}\) et \(\Delta\varphi\) en fonction de \(\omega\), l'axe des pulsations en échelle logarithmique (une décade = un facteur 10).

Repères à connaître par cœur

\(G_{dB}\)	\(-1\)	\(-3\)	\(0\)	\(+20\)	\(-20\)	\(-40\)
\(\|H\|\)	\(0{,}9\)	\(\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}7\)	\(1\)	\(10\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)

Une pente de \(\pm20\) dB/décade ⇒ ordre 1 ; \(\pm40\) dB/décade ⇒ ordre 2. De faibles variations en dB cachent de fortes variations d'amplitude.

Bande passante à \(-3\) dB \[\omega\in\text{BP}\ \Longleftrightarrow\ |H(\omega)|>\frac{H_{\text{réf}}}{\sqrt2} \ \Longleftrightarrow\ G_{dB}(\omega)>G_{\text{réf}}-3\ \text{dB}\] \(H_{\text{réf}}\) est le gain maximal du filtre. Les bornes de la BP sont les pulsations de coupure.

1.10 Les quatre filtres de référence

Méthode — nature d'un filtre « sans calcul » On remplace \(C\) et \(L\) par leurs équivalents BF/HF, on regarde \(s\) : si \(s=e\) le signal passe, si \(s=0\) il est coupé.

Nature	BF	HF
Passe-bas	\(s=e\)	\(s=0\)
Passe-haut	\(s=0\)	\(s=e\)
Passe-bande	\(s=0\)	\(s=0\)

Formes canoniques & diagrammes asymptotiques

Filtre	Forme canonique	Asymptotes en gain	Phase
Passe-bas 1ᵉʳ ordre	\(\dfrac{H_0}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}\)	\(0\) dB (BF), \(-20\) dB/déc (HF)	\(0\to-\frac{\pi}{2}\)
Passe-haut 1ᵉʳ ordre	\(\dfrac{jH_0\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}=\dfrac{H_0}{1-j\frac{\omega_c}{\omega}}\)	\(+20\) dB/déc (BF), \(0\) dB (HF)	\(+\frac{\pi}{2}\to0\)
Passe-bande 2ᵉ ordre	\(\dfrac{H_0}{1+jQ\left(x-\frac1x\right)}\), \(x=\frac{\omega}{\omega_0}\)	\(\pm20\) dB/déc de part et d'autre	\(+\frac{\pi}{2}\to-\frac{\pi}{2}\)
Passe-bas 2ᵉ ordre	\(\dfrac{H_0}{1-x^2+j\frac{x}{Q}}\), \(x=\frac{\omega}{\omega_0}\)	\(0\) dB (BF), \(-40\) dB/déc (HF)	\(0\to-\pi\)

À retenir sur les ordres 2

Passe-bande : \(\omega_0\) = pulsation centrale ; largeur \(\Delta\omega=\dfrac{\omega_0}{Q}\). Plus \(Q\) grand, plus le filtre est sélectif.
Passe-bas 2ᵉ ordre : pente HF de \(-40\) dB/déc, soit une atténuation 10× plus forte qu'un ordre 1. La résonance dégrade le comportement passe-bas ⇒ facteur de qualité optimal \(Q=\frac{1}{\sqrt2}\) (seul cas où \(\omega_c=\omega_0\)).

1.11 Action d'un filtre sur un signal

Point de vue fréquentiel Pour une entrée sinusoïdale \(e(t)=E_m\cos(\omega_e t+\varphi_e)\), la sortie est sinusoïdale de même pulsation : \[s(t)=|H(\omega_e)|\,E_m\cos\!\big(\omega_e t+\varphi_e+\arg H(\omega_e)\big)\] Pour une entrée quelconque (superposition sur son développement de Fourier) : \[s(t)=|H(0)|\,E_0+\sum_{n=1}^{+\infty}|H(n\omega)|\,E_n\cos\!\big(n\omega t+\varphi_n+\arg H(n\omega)\big)\]

⚠ Une harmonique = une pulsation \(|H|\) et \(\arg H\) doivent être recalculés pour chaque harmonique, à sa propre pulsation \(n\omega\). On ne prend pas une seule valeur. Remarque : entrée et sortie contiennent exactement les mêmes harmoniques (preuve de linéarité d'un système inconnu).

Point de vue temporel — 3 comportements

Comportement	Sortie	\(H\) idéal	Signature Bode	Réalisation
Moyenneur	\(s=H_0\langle e\rangle\)	—	coupe toutes les harmoniques sauf \(Y_0\)	passe-bas, \(f_c\ll f\)
Dérivateur	\(s=\tau\dfrac{\mathrm de}{\mathrm dt}\)	\(j\omega\tau\)	\(+20\) dB/déc & \(\Delta\varphi=+\frac{\pi}{2}\)	passe-haut 1ᵉʳ ordre, \(f\ll f_c\)
Intégrateur	\(s=\dfrac1\tau\displaystyle\int e\,\mathrm dt\)	\(\dfrac{1}{j\omega\tau}\)	\(-20\) dB/déc & \(\Delta\varphi=-\frac{\pi}{2}\)	passe-bas 1ᵉʳ ordre, \(f\gg f_c\)

⚠ Pièges Un dérivateur/intégrateur parfait à toute fréquence n'existe pas (gain infini). En plus d'être dérivé/intégré, le signal est fortement atténué. Et un ordre 2 n'agit jamais en dérivateur/intégrateur, même en limite.

1.12 Association de filtres & impédances d'entrée/sortie

Influence de la charge Une fonction de transfert est presque toujours établie en sortie ouverte (\(I_s=0\)). Dès qu'on branche une charge \(Z_c\), le pont diviseur change : \(H\) n'est plus valable. Pour que la charge ne perturbe pas le filtre, il faut \(|Z_c|\) le plus grand possible.

Modèle du quadripôle linéaire Tout quadripôle se modélise par une impédance d'entrée \(Z_e\), une impédance de sortie \(Z_s\) et une tension de sortie ouverte \(\underline{S_0}=H\underline E\). Quand \(I_s\ne0\) : \(\underline S=\underline{S_0}-Z_s\underline{I_s}\ne H\underline E\).

Mise en cascade — on ne multiplie PAS les \(H\) Pour deux filtres en cascade, \[H_{\text{tot}}=\frac{1}{\,1+\dfrac{Z_{s1}}{Z_{e2}}\,}\,H_1 H_2\] \[\boxed{\ H_{\text{tot}}=H_1\times H_2\ \text{seulement si}\ |Z_{s1}|\ll|Z_{e2}|\ }\] D'où la règle de conception : forte impédance d'entrée, faible impédance de sortie pour pouvoir chaîner les blocs. Sinon le second filtre « charge » le premier et fausse le résultat (cf. Application 9 : deux RC en cascade donnent \(Q=\tfrac13\) au lieu de \(\tfrac12\)).

2. Applications du cours corrigées

Les applications du polycopié, reprises intégralement avec leur correction officielle. Elles balaient tout le cours : notation complexe, résonance, Bode, action sur un signal, cascade.

Partie A — RSF & résonance

App. 2 — Circuit RC en régime établi par les complexes ♦◊◊

Résoudre \(\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+\dfrac1\tau u_C=\dfrac{e(t)}{\tau}\) avec \(e=E_m\cos(\omega t)\), \(\tau=RC\), en RSF (solution particulière).

1) Passage en complexe

\(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\to j\omega\), donc l'équation devient algébrique : \(j\omega\,\underline{U_C}+\dfrac1\tau\underline{U_C}=\dfrac1\tau\underline E\), soit \(\underline{U_C}\big(j\omega+\tfrac1\tau\big)=\tfrac1\tau\underline E\).

2) Fonction de transfert

\[\underline{U_C}=\frac{1}{1+j\omega\tau}\,\underline E\]

3) Amplitude & phase

\(U_{C,m}=|\underline{U_C}|=\dfrac{E_m}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}\) et \(\varphi=\arg\underline{U_C}=-\arg(1+j\omega\tau)=-\arctan(\omega\tau)\) (partie réelle \(>0\), arctan direct).

\(\underline{U_C}=\dfrac{\underline E}{1+j\omega\tau}\) : passe-bas 1ᵉʳ ordre, \(U_{C,m}=\dfrac{E_m}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}\), \(\varphi=-\arctan(\omega\tau)\in[-\frac{\pi}{2},0]\).

App. 3 — Circuit RL série : tension \(u_L\) ♦◊◊

RL série alimenté par \(e=E_m\cos(\omega t)\). Exprimer \(u_L(t)\) sans équation différentielle, en faisant apparaître \(\tau\).

1) Pont diviseur de tension

\[\underline{U_L}=\frac{jL\omega}{R+jL\omega}\,\underline E=\frac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\,\underline E \qquad\text{avec}\quad \tau=\frac LR\]

2) Amplitude & phase

\(U_{L,m}=\dfrac{\omega\tau}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}E_m\) et \(\varphi=\arg(j\omega\tau)-\arg(1+j\omega\tau)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(\omega\tau)\).

\(\underline{U_L}=\dfrac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\underline E\), \(\tau=L/R\) : passe-haut 1ᵉʳ ordre (la bobine « garde » la tension en HF).

App. 5 — Tension aux bornes de \(C\) d'un RLC série ♦♦◊

Exprimer \(\underline{U_C}\) et retrouver la forme canonique avec \(\omega_0\) et \(Q\).

Pont diviseur puis mise en forme

\(\underline{U_C}=\dfrac{Z_C}{R+jL\omega+Z_C}\underline E\) avec \(Z_C=\frac{1}{jC\omega}\). En multipliant haut et bas par \(jC\omega\) : \[\underline{U_C}=\frac{1}{1-LC\omega^2+jRC\omega}\,\underline E =\frac{1}{1-\dfrac{\omega^2}{\omega_0^2}+j\dfrac{\omega}{Q\omega_0}}\,\underline E\] avec \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) et \(Q=\dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}\) (car \(LC=1/\omega_0^2\) et \(RC=\frac{1}{Q\omega_0}\)).

Forme canonique du passe-bas 2ᵉ ordre : \(\underline{U_C}=\dfrac{\underline E}{1-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}+j\frac{\omega}{Q\omega_0}}\).

App. 7 — Étude de la résonance en tension ♦♦♦

Montrer qu'il n'y a résonance sur \(u_C\) que si \(Q\) dépasse un seuil, et donner \(\omega_{\text{rés}}\).

1) Module

\(|U_C|=\dfrac{E_m}{\sqrt{f(x)}}\) avec \(x=\frac{\omega}{\omega_0}\) et \(f(x)=(1-x^2)^2+\dfrac{x^2}{Q^2}\).

2) Dérivée et signe

\(f'(x)=2(1-x^2)(-2x)+\dfrac{2x}{Q^2}=x\Big(4x^2-4+\dfrac{2}{Q^2}\Big)=4x\Big(x^2-1+\dfrac{1}{2Q^2}\Big)\). Sur \(\mathbb R^+\), le signe est celui de \(x^2-\big(1-\frac{1}{2Q^2}\big)\).

3) Discussion

• Si \(Q<\frac{1}{\sqrt2}\) : \(1-\frac{1}{2Q^2}<0\), donc \(f'>0\) partout, \(f\) croissante, \(|U_C|\) décroissante : pas de résonance.
• Si \(Q>\frac{1}{\sqrt2}\) : \(f'\) s'annule en \(x_{\text{rés}}=\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\), \(f\) passe par un minimum donc \(|U_C|\) par un maximum : résonance.

Résonance \(\Leftrightarrow Q>\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707\), à \(\omega_{\text{rés}}=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\) ; si \(Q\gg1\), \(|U_C|_{\max}\simeq QE\).

App. 8 — Intensité dans un RLC série ♦♦◊

En raisonnant sur \(u_R\), exprimer \(\underline I\) sous forme canonique.

Fonction de transfert du courant

\(\underline I=\dfrac{\underline E}{R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}\). En factorisant \(R\) au dénominateur et avec \(L\omega=\frac{Q}{\omega_0}R\cdot\omega\)… on aboutit à \[\underline I=\frac{1}{1+jQ\Big(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\Big)}\,\frac{\underline E}{R}\]

Résonance

\(|I|=\dfrac{1}{\sqrt{1+Q^2(x-\frac1x)^2}}\dfrac ER\) est maximal quand \(x-\frac1x=0\), soit \(\omega=\omega_0\), toujours (somme de carrés).

\(\underline I=\dfrac{1}{1+jQ(x-1/x)}\dfrac{\underline E}{R}\) : résonance systématique en \(\omega_0\), \(|I|_{\max}=E/R\), courant en phase avec \(e\).

Partie B — Filtrage

App. 1 (filtrage) — RC : équa. diff. ↔ fonction de transfert ♦◊◊

RC série, sortie \(s=u_C\), entrée \(e\). Établir l'équa. diff., puis \(H\), et retrouver l'équa. diff. depuis \(H\).

1) Équation différentielle

Loi des mailles \(e=Ri+u_C\) avec \(i=C\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\) : \(\boxed{RC\dfrac{\mathrm ds}{\mathrm dt}+s=e}\).

2) Fonction de transfert

Pont diviseur : \(H=\dfrac{Z_C}{R+Z_C}=\dfrac{1}{1+jRC\omega}\).

3) Retour à l'équa. diff.

\(H=\frac{\underline S}{\underline E}\Rightarrow (1+jRC\omega)\underline S=\underline E\). En remplaçant \(j\omega\to\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\) : \(s+RC\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=e\). Identique. ✔

\(RC\dot s+s=e\ \Longleftrightarrow\ H=\dfrac{1}{1+jRC\omega}\) : correspondance \(\times j\omega\leftrightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\).

App. 2 (filtrage) — Passe-bas RC : nature, canonique, Bode, BP ♦♦◊

Le RC (sortie sur \(C\)). Montrer « passe-bas », mettre sous forme canonique, tracer le Bode en gain, donner la BP.

1) Nature par équivalence

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\), pas de chute dans \(R\) ⇒ \(s=e\) (transmis). HF : \(C\) fil ⇒ \(s=0\) (coupé). Passe-bas.

2) Forme canonique

\(H=\dfrac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}\) avec \(H_0=1\) et \(\omega_c=\dfrac{1}{RC}\).

3) Bode en gain (asymptotes)

\(G_{dB}=-20\log\sqrt{1+x^2}\), \(x=\omega/\omega_c\). BF (\(x\ll1\)) : \(G_{dB}\approx0\) dB. HF (\(x\gg1\)) : \(G_{dB}\approx-20\log x\) ⇒ pente \(-20\) dB/déc. À \(x=1\) : \(G_{dB}=-3\) dB.

4) Bande passante

\(|H|>\frac{1}{\sqrt2}\Leftrightarrow x<1\Leftrightarrow \omega<\omega_c\). BP \(=[0,\omega_c]\) → les basses fréquences passent : « passe-bas ». ✔

Passe-bas, \(H_0=1\), \(\omega_c=\frac{1}{RC}\), pente HF \(-20\) dB/déc, BP \([0,\omega_c]\).

App. 3 (filtrage) — Passe-haut RC (sortie sur \(R\)) ♦♦◊

Montage CR (\(C\) puis \(R\), sortie sur \(R\)). Montrer « passe-haut », forme canonique, Bode, BP.

1) Nature

BF : \(C\) ouvert ⇒ \(i=0\) ⇒ \(u_R=s=0\) (coupé). HF : \(C\) fil ⇒ \(s=e\) (transmis). Passe-haut.

2) Forme canonique

\(H=\dfrac{R}{R+\frac{1}{jC\omega}}=\dfrac{jRC\omega}{1+jRC\omega} =\dfrac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1+j\frac{\omega}{\omega_c}}\), \(\omega_c=\frac{1}{RC}\), \(H_0=1\).

3) Bode & BP

BF : \(H\approx jx\) ⇒ pente \(+20\) dB/déc, \(\Delta\varphi=+\frac{\pi}{2}\). HF : \(H\approx1\) ⇒ \(0\) dB. BP \(=[\omega_c,+\infty[\). ✔

Passe-haut, \(\omega_c=\frac{1}{RC}\) ; asymptote BF \(+20\) dB/déc (⇒ dérivateur en BF), \(0\) dB en HF.

App. 6 (filtrage) — Construire la sortie (3 harmoniques) ♦♦♦

Filtre passe-bas dont le Bode donne : \(x=0{,}01\Rightarrow G_{dB}\approx0\), \(\Delta\varphi\approx0\) ; \(x=1\Rightarrow G_{dB}=-3\), \(\Delta\varphi=-\frac{\pi}{4}\) ; \(x=50\Rightarrow G_{dB}\approx-34\), \(\Delta\varphi\approx-\frac{\pi}{2}\). Entrée \(e=E_0\cos\!\big(\frac{\omega_0}{100}t-\frac{\pi}{6}\big)+E_0\cos(\omega_0 t+\frac{\pi}{4})+E_0\cos(50\omega_0 t)\).

Méthode : chaque harmonique séparément

On applique \(|H|\) et \(\arg H\) à chaque pulsation :

\(x=0{,}01\) : \(|H|=10^{0/20}=1\), déphasage \(0\) ⇒ terme \(\approx E_0\cos(\frac{\omega_0}{100}t-\frac{\pi}{6})\) (transmis intact).
\(x=1\) : \(|H|=10^{-3/20}\approx0{,}71\), déphasage \(-\frac{\pi}{4}\) ⇒ \(0{,}71E_0\cos(\omega_0 t+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=0{,}71E_0\cos(\omega_0 t)\).
\(x=50\) : \(|H|=10^{-34/20}\approx0{,}02\), déphasage \(-\frac{\pi}{2}\) ⇒ \(0{,}02E_0\cos(50\omega_0 t-\frac{\pi}{2})\) (quasi éliminé).

\(s(t)\approx E_0\cos\!\big(\frac{\omega_0}{100}t-\frac{\pi}{6}\big)+0{,}71\,E_0\cos(\omega_0 t) +0{,}02\,E_0\cos\!\big(50\omega_0 t-\frac{\pi}{2}\big)\). La haute fréquence est écrasée : le filtre « lisse » le signal.

App. 8 (filtrage) — Passe-bas RC sur charge résistive ♦♦◊

RC passe-bas fermé sur une charge \(R_c\) en parallèle sur \(C\). Pourquoi \(H=\frac{1}{1+jRC\omega}\) n'est plus valable ? Établir \(H'\).

1) Pourquoi \(H\) change

\(R_c\) en parallèle sur \(C\) : \(R\) et \(C\) ne forment plus un pont diviseur seul (le courant se partage). Il faut inclure \(R_c\).

2) Nouvelle fonction de transfert

Impédance de sortie \(=R_c\parallel Z_C\), d'admittance \(Y=\frac{1}{R_c}+jC\omega\). Pont diviseur : \[H'=\frac{1}{1+R\,Y}=\frac{1}{1+\frac{R}{R_c}+jRC\omega} =\frac{\frac{R_c}{R+R_c}}{1+j\frac{R_c R}{R+R_c}C\omega}\]

3) Effet de la charge

Toujours un passe-bas 1ᵉʳ ordre, mais le gain statique \(\frac{R_c}{R+R_c}<1\) et la pulsation de coupure \(\omega_c'=\frac{R+R_c}{R_cR C}\) sont modifiés. Pour ne pas perturber : \(R_c\gg R\) (\(R/R_c\ll1\)).

\(H'=\dfrac{R_c/(R+R_c)}{1+j\frac{R_cR}{R+R_c}C\omega}\) : nature conservée, gain statique et \(\omega_c\) modifiés ; charge « transparente » si \(R_c\gg R\).

App. 9 (filtrage) — Passe-bas + passe-haut = passe-bande ? ♦♦♦

Cascade d'un RC passe-bas puis d'un RC passe-haut (mêmes \(R,C\)). La \(H\) totale vaut-elle le produit des \(H\) en sortie ouverte ?

Calcul direct de l'ensemble

En traitant tout le circuit (le 2ᵉ étage charge le 1ᵉʳ), on obtient \[H=\frac{jRC\omega}{1-(RC\omega)^2+3jRC\omega}\]

Comparaison au produit

Le produit des \(H\) en sortie ouverte donnerait un dénominateur \(1-(RC\omega)^2+2jRC\omega\), soit \(Q=\frac12\). Le calcul réel donne \(3jRC\omega\), soit \(Q=\frac13\) : le terme croisé \(\frac{Z_{s1}}{Z_{e2}}\) n'est pas négligeable.

Non : \(H\ne H_1^{\text{s.o.}}\times H_2^{\text{s.o.}}\). On trouve \(Q=\frac13\) (au lieu de \(\frac12\)) car le passe-haut charge le passe-bas. On ne multiplie les \(H\) que si \(|Z_{s1}|\ll|Z_{e2}|\).

✅ Récap du chapitre RSF → tout devient algébrique en complexe (\(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\to j\omega\)) ; impédances \(R\), \(\frac{1}{jC\omega}\), \(jL\omega\) + ponts diviseurs ; résonance en tension conditionnelle (\(Q>\frac{1}{\sqrt2}\)) vs en courant systématique (\(\omega_0\)), largeur \(\Delta\omega=\omega_0/Q\) ; Fourier (moyenne \(=Y_0\), efficace \(Y_m/\sqrt2\), Parseval) ; fonction de transfert \(H=\underline S/\underline E\), gain \(G_{dB}=20\log|H|\), Bode par asymptotes, BP à \(-3\) dB ; 4 filtres de référence + moyenneur/dérivateur/ intégrateur ; cascade \(\ne\) produit sauf \(|Z_{s1}|\ll|Z_{e2}|\).

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