Filtrage & diagrammes de Bode

Filtre RC série, sortie aux bornes de \(C\), avec \(R=3{,}3\ \text{k}\Omega\) et \(C=10\ \text{nF}\). Nature, \(f_0\), et gain à \(f=10\) kHz.

1) Nature et fonction de transfert

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\Rightarrow u_R=0\Rightarrow s=e\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=0\). Passe-bas. Pont diviseur : \(H=\dfrac{Z_C}{Z_R+Z_C}=\dfrac{1}{1+jRC\omega}=\dfrac{1}{1+jx}\), \(\omega_0=\frac{1}{RC}\).

2) Fréquence de coupure

\(\omega_0=\frac{1}{RC}=\frac{1}{3300\times10^{-8}}=3{,}03\cdot10^{4}\) rad/s, donc \(f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=4{,}8\) kHz.

3) Gain à 10 kHz

\(x=f/f_0=10/4{,}8=2{,}08\). \(|H|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+4{,}35}}=0{,}43\), soit \(G_{dB}=20\log(0{,}43)=-7{,}3\) dB.

RLC série, sortie aux bornes de \(R\), avec \(L=1\) mH, \(C=100\) nF, \(R=50\ \Omega\). Trouver \(\omega_0\), \(Q\), la bande passante, et la nature.

1) Nature et \(H\)

BF : \(C\) ouvert \(\Rightarrow s=0\) ; HF : \(L\) ouvert \(\Rightarrow s=0\). Passe-bande. \(H(x)=\dfrac{1}{1+jQ(x-1/x)}\).

2) Paramètres

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-3}\times10^{-7}}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-10}}}=10^{5}\) rad/s. \(Q=\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{50}\sqrt{\frac{10^{-3}}{10^{-7}}}=\frac{1}{50}\sqrt{10^{4}}=\frac{100}{50}=2\).

3) Bande passante

\(\Delta\omega=\frac{\omega_0}{Q}=\frac{10^{5}}{2}=5\cdot10^{4}\) rad/s. Résonance en \(\omega_0\), \(|H|_{max}=1\) (pas de surtension pour la sortie sur \(R\)).

Filtre CR (sortie sur \(R\)), \(R=1\ \text{k}\Omega\), \(C=1\ \mu\text{F}\). On envoie un signal triangulaire de fréquence \(f=20\) Hz. Montrer qu'il se comporte en dérivateur et donner la sortie.

1) Fréquence de coupure

\(\omega_0=\frac{1}{RC}=\frac{1}{10^{3}\times10^{-6}}=10^{3}\) rad/s, soit \(f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=159\) Hz.

2) Comportement dérivateur

Le filtre CR est un passe-haut : \(H=\dfrac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\). À \(f=20\) Hz \(\ll f_0\), \(x=\omega/\omega_0\ll1\), donc \(1+jx\approx1\) et \(H\approx jx=\frac{j\omega}{\omega_0}\) : multiplication par \(j\omega\) = dérivation. \(s(t)=RC\,\dfrac{de}{dt}\).

3) Sortie

Un triangle a une dérivée constante par morceaux (pente positive puis négative). Sa dérivée est donc un signal créneau d'amplitude \(RC\times(\text{pente du triangle})\).

Filtre RC série, entrée \(e\), sortie \(s\) aux bornes du condensateur.

On se place en RSF (\(\underline e=E_0e^{j\omega t}\)). Pont diviseur de tension avec \(Z_C=\frac{1}{jC\omega}\) :

BF : la bobine se comporte comme un fil, la tension à ses bornes est nulle \(\Rightarrow s=0\).
HF : la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert, \(i=0\Rightarrow u_R=0\Rightarrow s=e\).

HF : \(C\) devient un fil (\(u_C=0\)) et \(L\) un interrupteur ouvert (\(i=0\)) \(\Rightarrow s=u_R=0\).
BF : \(C\) devient un interrupteur ouvert (\(i=0\)) \(\Rightarrow s=u_R=0\).

\(H(\omega)=\dfrac{R}{R+jL\omega}\), poser \(\omega_0=R/L\), \(x=\omega/\omega_0\).

On divise par \(R\) : \(H=\dfrac{1}{1+j\frac{L\omega}{R}}=\dfrac{1}{1+jx}\).

\(H(\omega)=\dfrac{1/jC\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}+jL\omega}\), \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(Q=\frac1R\sqrt{L/C}\).

On multiplie par \(jC\omega\) : \(H=\dfrac{1}{1-LC\omega^2+jRC\omega}\). Avec \(LC\omega^2=x^2\) et \(RC\omega=x/Q\) :

Pour l'argument, on multiplie par \(-j\) en haut et en bas pour rendre la partie réelle du dénominateur positive :

\(H(\omega)=\dfrac{R}{R+jL\omega}\), \(\omega_0=R/L\).

\(G_{dB}=20\log|H|=-10\log\!\Big(1+\big(\frac{\omega}{\omega_0}\big)^2\Big)\).

BF : \(G_{dB}\approx-10\log(1)=0\) (asymptote horizontale). HF : \(G_{dB}\approx-10\log(x^2)=-20\log(x)\) (pente \(-20\) dB/décade).

\(H(x)=\dfrac{1}{1-x^2+jQx}\).

\(G_{dB}=-10\log\big((1-x^2)^2+(Qx)^2\big)\). BF : \(\approx-10\log(1)=0\) (horizontale). HF : \(\approx-10\log(x^4)=-40\log(x)\) (pente \(-40\) dB/décade).

Filtre RC, sortie aux bornes de \(R\), \(e(t)=E_0\cos(\omega t)\).

1) Nature

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\Rightarrow s=u_R=0\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=e\). Passe-haut.

2) Fonction de transfert

Pont diviseur : \(H=\dfrac{R}{R+\frac{1}{jC\omega}}=\dfrac{1}{1-j\frac{1}{RC}\frac{1}{\omega}}\). On pose \(\omega_0=\frac{1}{RC}\) : \(H(x)=\dfrac{1}{1-j/x}\).

3) Module et phase

\(|H(x)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+1/x^2}}\). La partie réelle du dénominateur \(=1>0\), donc \(\Delta\phi=0-\arctan(-1/x)=\arctan(1/x)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(|H|\to0\), \(\Delta\phi\to\frac{\pi}{2}\). \(x=1\) : \(|H|=\frac{1}{\sqrt2}\), \(\Delta\phi=\frac{\pi}{4}\). \(x\to\infty\) : \(|H|\to1\), \(\Delta\phi\to0\). Phase toujours \(>0\) : la sortie est en avance.

5–6) Gain et asymptotes

\(G_{dB}=-10\log(1+1/x^2)\). HF : \(0\) dB (horizontale). BF : \(+20\log(x)\) (pente \(+20\) dB/déc). Cohérent avec un passe-haut d'ordre 1.

7) Tracé

\(H(\omega)=\dfrac{1}{1+\frac{\omega_0}{j\omega}}\).

1) Type de filtre

Un passe-haut : filtre RC avec sortie sur \(R\), ou RL avec sortie sur \(L\).

2–3) Limite BF

Si \(\omega\to0\), \(1\ll\frac{\omega_0}{j\omega}\), on néglige le 1 : \(H\approx\dfrac{1}{\omega_0/(j\omega)}=\dfrac{j\omega}{\omega_0}\), donc \(\underline s=\dfrac{j\omega}{\omega_0}\underline e\).

4–5) Interprétation

\(H(\omega)=\dfrac{1}{1+\frac{j\omega}{\omega_0}}\).

1) Type

Un passe-bas : RC avec sortie sur \(C\), ou RL avec sortie sur \(R\).

2–3) Limite HF

Si \(\omega\to\infty\), \(1\ll\frac{j\omega}{\omega_0}\), on néglige le 1 : \(H\approx\dfrac{\omega_0}{j\omega}\), donc \(\underline s=\dfrac{\omega_0}{j\omega}\underline e\).

4–5) Interprétation

RLC série, sortie sur \(R\). \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(Q=\frac1R\sqrt{L/C}\).

1) Nature

BF : \(C\) ouvert \(\Rightarrow s=0\). HF : \(L\) ouvert \(\Rightarrow s=0\). Passe-bande.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{R}{R+\frac{1}{jC\omega}+jL\omega}=\dfrac{1}{1-j\frac{1}{RC\omega}+j\frac{L}{R}\omega}\). Avec \(\frac{1}{RC}=Q\omega_0\) et \(\frac{L}{R}=\frac{Q}{\omega_0}\) :

3) Module et phase

\(|H(x)|=\dfrac{1}{\sqrt{1+Q^2(x-1/x)^2}}\) ; partie réelle du dénominateur \(=1>0\) donc \(\Delta\phi=-\arctan\!\big(Q(x-\frac1x)\big)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(|H|\to0\), \(\Delta\phi\to+\frac{\pi}{2}\). \(x=1\) : \(|H|=1\), \(\Delta\phi=0\). \(x\to\infty\) : \(|H|\to0\), \(\Delta\phi\to-\frac{\pi}{2}\).

5) Résonance

Le dénominateur est minimal quand \(x-1/x=0\), soit \(x=1\) : résonance toujours en \(\omega_R=\omega_0\), avec \(|H|_{max}=1\) (pas de surtension, quel que soit \(Q\)). Comme \(i=u_R/R\), il y a toujours résonance en intensité pour un RLC série.

6–7) Gain et asymptotes

\(G_{dB}=-10\log\big(1+Q^2(x-1/x)^2\big)\). BF : \(+20\log(x)\) ; à \(x=1\) : \(0\) dB ; HF : \(-20\log(x)\). Passe-bande d'ordre 2 (deux pentes de 20 dB/déc).

8) Bande passante

\(|H|=\frac{1}{\sqrt2}\Rightarrow 1+Q^2(x-1/x)^2=2\Rightarrow x-\frac1x=\pm\frac1Q\Rightarrow x^2\mp\frac1Q x-1=0\). Les racines positives \(x_1

Passe-bas : \(f>6{,}2\) kHz atténuées d'au moins \(9\) dB ; \(f<1{,}9\) kHz atténuées de moins de \(3\) dB.

1) Décades de transition

\(\log(6{,}2\cdot10^{3})-\log(1{,}9\cdot10^{3})\approx0{,}5\) décade.

2) Atténuation minimale

\(-9+3=-6\) dB sur \(0{,}5\) décade, soit \(-6/0{,}5=-12\) dB/décade.

3) Ordre minimal

\(12<20\) : un filtre d'ordre 1 (\(-20\) dB/déc) suffit.

4) Fréquences de coupure extrêmes

Dans la pente, \(G_{dB}\approx-20\log(f/f_0)\).
• \(f=1{,}9\) kHz, \(-3\) dB : \(f_0=f\cdot10^{-3/20}\approx1{,}3\) kHz.
• \(f=6{,}2\) kHz, \(-9\) dB : \(f_0=f\cdot10^{-9/20}\approx2{,}2\) kHz.
Toute \(f_0\in[1{,}3\,;\,2{,}2]\) kHz convient.

5) Résistance (RC, \(C=47\) nF, \(f_0=2\) kHz)

\(R=\frac{1}{\omega_0 C}=\frac{1}{2\pi f_0 C}=\frac{1}{2\pi\times2\cdot10^{3}\times47\cdot10^{-9}} \approx1{,}7\) k\(\Omega\).

Pont diviseur : \(H=\dfrac{R}{R+\frac{1}{jC\omega}}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{jRC\omega}}\).

Système masse-ressort : \(\ddot u+\frac{\lambda}{m}\dot u+\frac{k}{m}u=\frac{k}{m}x_A(t)\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}\), \(Q=\frac1\lambda\sqrt{km}\). Trouver \(H=u/x_A\).

En RSF : \(\dot u\to j\omega\underline u\), \(\ddot u\to-\omega^2\underline u\). L'équation devient \((-\omega^2)\underline u+\frac{\omega_0}{Q}j\omega\underline u+\omega_0^2\underline u =\omega_0^2\underline{x_A}\).

Ex 3 — RC (sortie aux bornes de \(C\))

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\Rightarrow u_R=0\), donc \(s=u_C=e\). HF : \(C\) fil, \(u_C=0\Rightarrow s=0\). Passe-bas.

Ex 4 — CR (sortie aux bornes de \(R\))

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\Rightarrow u_R=0\), donc \(s=0\). HF : \(C\) fil, \(u_C=0\Rightarrow s=e\). Passe-haut.

Ex 5 — LR (sortie aux bornes de \(R\))

BF : \(L\) fil, \(u_L=0\Rightarrow s=e\). HF : \(L\) ouvert, \(i=0\Rightarrow s=0\). Passe-bas.

1) Sortie \(s=u_L\)

HF : \(C\) fil (\(u_C=0\)) et \(L\) ouvert (\(i=0\)) \(\Rightarrow u_R=0\), donc \(s=e\). BF : \(L\) fil \(\Rightarrow s=0\). Passe-haut.

2) Sortie \(s=u_C\)

HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=0\). BF : \(L\) fil, \(C\) ouvert (\(i=0\Rightarrow u_R=0\)) \(\Rightarrow s=e\). Passe-bas.

\(H(\omega)=\dfrac{jL\omega}{R+jL\omega}\), \(\omega_0=R/L\).

On divise par \(jL\omega\) : \(H=\dfrac{1}{1+\frac{R}{jL\omega}}=\dfrac{1}{1-j/x}\).

\(H(\omega)=\dfrac{jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}+jL\omega}\), \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(Q=\frac1R\sqrt{L/C}\).

On divise par \(jL\omega\) : \(H=\dfrac{1}{1-\frac{\omega_0^2}{\omega^2}-j\frac1Q\frac{\omega_0}{\omega}} =\dfrac{1}{1-\frac{1}{x^2}-j\frac{1}{Qx}}\) (car \(\frac{R}{L}=\frac{\omega_0}{Q}\)). On multiplie par \(j\) pour rendre la partie réelle du dénominateur positive :

\(H(\omega)=\dfrac{jL\omega}{R+jL\omega}\), soit \(|H|=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) avec \(x=\omega/\omega_0\), \(\omega_0=R/L\).

\(G_{dB}=20\log\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=-10\log\!\big(1+\tfrac{1}{x^2}\big)\) (forme équivalente). BF : \(+20\log(x)\) (pente \(+20\) dB/déc). HF : \(0\) dB (horizontale).

\(H(x)=\dfrac{1}{1-x^2+j\frac{1}{Q}x}\) (forme donnée).

\(G_{dB}=-10\log\big((1-x^2)^2+\frac{1}{Q^2}x^2\big)\). BF : \(-10\log(x^4)=+40\log(x)\) (pente \(+40\) dB/déc, en fait le module tend vers 0 en BF). HF : \(-10\log(1)=0\) (horizontale).

1) Nature

BF : \(C\) ouvert, \(i=0\Rightarrow s=e\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=0\). Passe-bas.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{Z_C}{Z_R+Z_C}=\dfrac{1}{1+jRC\omega}=\dfrac{1}{1+jx}\), \(\omega_0=\frac{1}{RC}\).

3) Module et phase

\(|H(x)|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) ; partie réelle \(=1>0\) donc \(\Delta\phi=-\arctan(x)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(|H|\to1\), \(\Delta\phi\to0\). \(x=1\) : \(\frac{1}{\sqrt2}\), \(-\frac{\pi}{4}\). \(x\to\infty\) : \(0\), \(-\frac{\pi}{2}\). Phase toujours \(<0\) : sortie en retard.

5–6) Gain et asymptotes

\(G_{dB}=-10\log(1+x^2)\). HF : \(-20\log(x)\) ; BF : \(0\) dB. Passe-bas d'ordre 1.

7) Tracé

1) Nature

BF : \(L\) fil \(\Rightarrow s=e\). HF : \(L\) ouvert, \(i=0\Rightarrow s=0\). Passe-bas.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{R}{R+jL\omega}=\dfrac{1}{1+j\frac{L}{R}\omega}=\dfrac{1}{1+jx}\), avec \(\omega_0=\frac{R}{L}\).

1) Nature

BF : \(L\) fil \(\Rightarrow s=0\). HF : \(L\) ouvert, \(i=0\Rightarrow u_R=0\Rightarrow s=e\). Passe-haut.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{jL\omega}{R+jL\omega}=\dfrac{1}{1-j\frac{R}{L}\frac{1}{\omega}}=\dfrac{1}{1-j/x}\), avec \(\omega_0=\frac{R}{L}\).

1) Nature

BF : \(C\) ouvert (\(i=0\)) et \(L\) fil (\(u_L=0\)) \(\Rightarrow s=e\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=0\). Passe-bas.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{1/jC\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}+jL\omega}=\dfrac{1}{1-LC\omega^2+jRC\omega}\). Avec \(RC=\frac{1}{Q\omega_0}\) et \(LC=\frac{1}{\omega_0^2}\) :

3) Module et phase

\(|H(x)|=\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2+\frac{x^2}{Q^2}}}\). En multipliant par \(-j\) : \(\Delta\phi=-\frac{\pi}{2}-\arctan\!\big(Q(x-\frac1x)\big)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(|H|\to1\), \(\Delta\phi\to0\). \(x=1\) : \(|H|=Q\), \(\Delta\phi=-\frac{\pi}{2}\). \(x\to\infty\) : \(|H|\to0\), \(\Delta\phi\to-\pi\).

5) Résonance

On minimise \(f(x)=(1-x^2)^2+x^2/Q^2\) : \(f'(x)=0\Rightarrow x_R^2=1-\frac{1}{2Q^2}\). Réel positif seulement si \(Q>\frac{1}{\sqrt2}\). Alors \(\omega_R=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}\) et

6–7) Gain et asymptotes

\(G_{dB}=-10\log\big((1-x^2)^2+x^2/Q^2\big)\). BF : \(0\) dB ; HF : \(-40\log(x)\). Passe-bas d'ordre 2.

8) Bande passante (pour \(Q<1/\sqrt2\))

Pas de résonance, max \(=1\) en \(\omega=0\). \(|H|=\frac{1}{\sqrt2}\Rightarrow x^4+(\frac{1}{Q^2}-2)x^2-1=0\), une seule racine positive \(x_1^2\). Bande de \(\omega=0\) à \(\omega_1=\omega_0\sqrt{x_1^2}\).

9) Tracé

1) Nature

BF : \(L\) fil \(\Rightarrow s=0\). HF : \(C\) fil (\(u_C=0\)) et \(L\) ouvert (\(i=0\Rightarrow u_R=0\)) \(\Rightarrow s=e\). Passe-haut.

2) Fonction de transfert

\(H=\dfrac{jL\omega}{R+\frac{1}{jC\omega}+jL\omega}=\dfrac{1}{1-j\frac{R}{L}\frac{1}{\omega} -\frac{1}{LC\omega^2}}\). Avec \(\frac{R}{L}=\frac{\omega_0}{Q}\) et \(LC=\frac{1}{\omega_0^2}\) :

3) Module et phase

\(|H(x)|=\dfrac{1}{\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{1}{Q^2x^2}}}\). En multipliant par \(j\) : \(\Delta\phi=\frac{\pi}{2}-\arctan\!\big(Q(x-\frac1x)\big)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(|H|\to0\), \(\Delta\phi\to\pi\). \(x=1\) : \(|H|=Q\), \(\Delta\phi=\frac{\pi}{2}\). \(x\to\infty\) : \(|H|\to1\), \(\Delta\phi\to0\).

5) Résonance

On minimise \(f(x)=(1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{1}{Q^2x^2}\) : \(x_R=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}}\), possible si \(Q>\frac{1}{\sqrt2}\). Même valeur max qu'à l'ex.14 :

6–7) Gain et asymptotes

\(G_{dB}=-10\log\big((1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{1}{Q^2x^2}\big)\). BF : \(+40\log(x)\) ; HF : \(0\) dB. Passe-haut d'ordre 2.

8–9) Bande passante et tracé

\(\omega>4\cdot10^{4}\) atténuées d'au moins \(15\) dB ; \(\omega<10^{4}\) atténuées de moins de \(3\) dB. RLC série, \(C=47\) nF.

1) Décades de transition

\(\log(4\cdot10^{4})-\log(10^{4})=\log 4\approx0{,}6\) décade.

2) Atténuation minimale

\(-15+3=-12\) dB sur \(0{,}6\) décade : \(-12/0{,}6=-20\) dB/décade.

3) Ordre minimal

\(20\) dB/déc = ordre 1 tout juste ; par sécurité on prend l'ordre 2.

4) Pulsations de coupure extrêmes

Pente \(-40\log(\omega/\omega_0)\).
• \(\omega=10^{4}\), \(-3\) dB : \(\omega_0=\omega\cdot10^{-3/40}\approx0{,}8\cdot10^{4}\) rad/s.
• \(\omega=4\cdot10^{4}\), \(-15\) dB : \(\omega_0=\omega\cdot10^{-15/40}\approx1{,}7\cdot10^{4}\) rad/s.

5) Inductance (\(\omega_0=10^{4}\), \(C=47\) nF)

\(L=\frac{1}{\omega_0^2 C}=\frac{1}{(10^{4})^2\times47\cdot10^{-9}}=0{,}213\) H \(=213\) mH.

6) Résonance ?

Il faut éviter la résonance (sinon on amplifie autour de \(\omega_0\)). Condition \(Q<\frac{1}{\sqrt2}\) soit \(R>\sqrt2\sqrt{L/C}=\sqrt2\sqrt{0{,}213/47\cdot10^{-9}}\approx3011\ \Omega\).

Laisser passer \([100\text{ Hz},2\text{ kHz}]\) (voix, atténuée < 10 dB), couper au-delà de l'audible (\(>40\) dB). Passe-bande RLC (sortie sur \(R\)).

2) Fréquence centrale (log-centrée)

Les pentes du RLC sont symétriques en échelle log : on centre les logarithmes. \(\log(f_0)=\frac{\log(100)+\log(2000)}{2}=2{,}7\Rightarrow f_0\approx501\) Hz. (Centrer en linéaire donnerait \(1050\) Hz, faux.)

3) Facteur de qualité

\(\Delta f=\frac{f_0}{Q}\) : pour une bande large il faut \(Q\) petit. Avec \(\Delta f=[100,2000]\) Hz : \(Q=\frac{f_0}{\Delta f}=\frac{501}{1900}=0{,}26\) (faible \(Q\) → pas de résonance, bienvenu).

4) Ordre nécessaire

Pentes requises : côté grave \(\frac{-30}{0{,}7}\approx43\) dB/déc, côté aigu \(\frac{-30}{1}=30\) dB/déc. Il faut donc un ordre \(\geq6\) (un ordre 4 ne donne que \(40\) dB/déc, insuffisant côté grave). On associe 3 RLC — mais via un montage adaptateur pour que les fonctions de transfert se multiplient (la simple mise en série ne suffit pas à cause des charges).

Deux étages RL, sortie \(s_2=u_L\) du second étage. \(\omega_0=R/L\), \(x=\omega/\omega_0\).

1) Nature

BF : bobines = fils \(\Rightarrow s_2=0\). HF : bobines = interrupteurs ouverts, \(i=0\Rightarrow s_2=e\). Passe-haut.

2) Fonction de transfert (par étapes)

a) Pont diviseur sur le 2ᵉ étage : \(s_2=s_1\dfrac{jx}{1+jx}\).
b) Impédance équivalente vue par \(s_1\) : les deux dipôles de droite en série (\(jL\omega+R\)) puis en parallèle avec la 1ʳᵉ bobine : \(Z_{eq}=\dfrac{jL\omega(jL\omega+R)}{2jL\omega+R}=\dfrac{Rjx(1+jx)}{1+2jx}\).
c) Pont diviseur : \(s_1=e\dfrac{Z_{eq}}{Z_{eq}+R}\). En reportant et en simplifiant \((1+jx)\) :

3) Module et phase

\(|H(x)|=\dfrac{1}{\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})^2+\frac{9}{x^2}}}\) ; en multipliant par \(j\) : \(\Delta\phi=\frac{\pi}{2}-\arctan\!\big(\frac{x}{3}-\frac{1}{3x}\big)\).

4) Cas limites

\(x\to0\) : \(0\), \(\Delta\phi\to\pi\). \(x=1\) : \(|H|=\frac13\), \(\frac{\pi}{2}\). \(x\to\infty\) : \(1\), \(0\).

5) Résonance

Le facteur d'amortissement « effectif » est \(3>1\) donc pas de minimum du dénominateur : pas de résonance (maximum atteint en \(+\infty\)).

6–8) Gain, asymptotes, tracé

Filtre coupe-bande (\(L\) et \(C\) en parallèle dans la branche série, sortie sur \(R\)). Supprimer le \(50\) Hz.

1) Nature

BF : \(L\) fil (court-circuite le bouchon) \(\Rightarrow s=e\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=e\). Les BF et HF passent : c'est un coupe-bande (le bouchon \(LC\) bloque autour de \(\omega_0\)).

2) Fonction de transfert

\(Z_{eq}=\dfrac{jL\omega\cdot\frac{1}{jC\omega}}{jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}=\dfrac{L/C}{\frac{1}{jC\omega}-jL\omega\cdot(-1)}\)… pont diviseur \(H=\dfrac{R}{R+Z_{eq}}\), on trouve après simplification :

3) Minimum

\(H=0\) exactement pour \(x=1\) : le gain tend vers \(-\infty\) (réjection totale à \(\omega_0\)).

4) Valeur interdite et réalisme

À \(x=1\) le filtre idéal a un gain \(-\infty\) et un saut de phase brutal. C'est dû aux \(L\) et \(C\) idéaux. En réalité, il faut ajouter les résistances des composants réels (\(R_L\) série, \(R_C\) parallèle) : la réjection devient finie et la phase continue.

5) Dimensionnement (\(L=10\) mH)

\(\omega_0^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow C=\frac{1}{L\omega_0^2}=\frac{1}{10^{-2}\times(2\pi\cdot50)^2} \approx1{,}0\) mF.

6) Sélectivité

Filtre RC (\(R=1\) k\(\Omega\), \(C=47\) nF), sortie sur \(C\), observée par un oscilloscope modélisé par \(R_O\parallel C_O\).

1) Nature

BF : condensateurs ouverts, le circuit est un pont diviseur résistif \(s=e\frac{R_O}{R_O+R}\). HF : condensateurs = fils, \(s=0\). Passe-bas.

2) Fonction de transfert

Les 3 dipôles de droite (\(R_O\), \(C\), \(C_O\)) sont en parallèle : \(Z_{eq}=\dfrac{R_O}{1+j\omega R_O(C+C_O)}\). Pont diviseur \(s=e\frac{Z_{eq}}{Z_{eq}+R}\), et en mettant \(R_O+R\) en facteur :

3–4) Pulsation de coupure

\(\omega_0=\dfrac{1}{\frac{R_OR}{R_O+R}(C+C_O)}\), à comparer à \(\omega_0'=\frac{1}{RC}\) du RC seul.

5) Condition de non-perturbation

\(\frac{R_OR}{R_O+R}(C+C_O)\to RC\) si \(R_O\gg R\) (alors \(\frac{R_OR}{R_O+R}\to R\)) et \(C_O\ll C\).

6) Application (\(R_O=1\) M\(\Omega\), \(C_O=20\) pF)

\(\omega_0=21288\) rad/s vs \(\omega_0'=21276\) rad/s, écart \(\epsilon\approx0{,}06\%\).

Passe-bas RC (sortie sur \(C\), \(C=47\) nF) : garder la composante continue, supprimer l'alternatif (\(f>1\) kHz atténué de \(\geq40\) dB).

1) Nature / \(H\)

Passe-bas : \(H=\dfrac{1}{1+jRC\omega}\).

2) Fréquence de coupure

\(G_{dB}(1\text{ kHz})=-40\) dB \(\Rightarrow\) division par \(\approx100\Rightarrow f=100f_0\Rightarrow f_0=\frac{1000}{100}=10\) Hz.

3) Résistance

\(\omega_0=\frac{1}{RC}=2\pi\times10\Rightarrow R=\frac{1}{20\pi\times47\cdot10^{-9}}\approx339\) k\(\Omega\).

4) Sortie pour \(e(t)=2+\cos(2\pi\cdot1000t+\frac{\pi}{3})+5\cos(2\pi\cdot2000t)\)

Les composantes à \(1\) et \(2\) kHz (\(\gg f_0\)) sont atténuées ; seule la composante continue subsiste : \(s(t)=2\) V.

5) Créneau 2–4 V à 1 kHz

Wien : branche série \((R,C)\) et branche parallèle \((R\parallel C)\), sortie sur la branche parallèle. \(R=1\) k\(\Omega\), \(C=0{,}5\ \mu\text{F}\), \(\omega_0=\frac{1}{RC}\).

1) Nature

BF : \(C\) ouvert \(\Rightarrow i=0\Rightarrow s=0\). HF : \(C\) fil \(\Rightarrow s=0\). Passe-bande.

2) Fonction de transfert

\(Z_{//}=\dfrac{R}{1+jRC\omega}\), \(Z_{s}=R+\frac{1}{jC\omega}\). Pont diviseur \(s=e\frac{Z_{//}}{Z_{//}+Z_s}\), on développe \(1+(R+\frac{1}{jC\omega})(\frac1R+jC\omega)=3+j(RC\omega-\frac{1}{RC\omega})\), d'où en divisant par 3 :

3) Module, phase, limites

\(|H|=\dfrac{1/3}{\sqrt{1+\frac19(x-\frac1x)^2}}\), \(\phi=-\arctan\!\big(\frac13(x-\frac1x)\big)\). \(x\to0\) : \(0\), \(+\frac{\pi}{2}\). \(x=1\) : \(\frac13\), \(0\). \(x\to\infty\) : \(0\), \(-\frac{\pi}{2}\).

4) Maximum

Dénominateur minimal en \(x=1\) : \(H_{max}=H(1)=\frac13\), soit \(s=e/3\).

5) Bande passante

\(1+\frac19(x-\frac1x)^2=2\Rightarrow x-\frac1x=\pm3\Rightarrow x^2\mp3x-1=0\). Racines positives \(x_1,x_2\) : \(\Delta x=x_2-x_1=3\).

6–7) Gain

\(G_{dB}=20\log\frac13-10\log\big(1+\frac19(x-\frac1x)^2\big)\). BF \(+20\log x\), HF \(-20\log x\), à \(x=1\) : \(-20\log 3\approx-9{,}5\) dB.

8) Sortie pour \(5\cos\omega t+5\cos10\omega t+5\cos100\omega t\), \(\omega=200\) rad/s

\(\omega_0=\frac{1}{RC}=\frac{1}{10^{3}\times0{,}5\cdot10^{-6}}=2000\) rad/s. Les trois pulsations : \(200\) (\(x=0{,}1\), \(-20\) dB, \(\div10\)), \(2000\) (\(x=1\), \(\div3\)), \(20000\) (\(x=10\), \(-20\) dB, \(\div10\)).

Pont : branche gauche divise \(e\) via \(R\) puis \(C\) (\(u_1\) sur \(C\)), branche droite via \(C\) puis \(R\) (\(u_2\) sur \(R\)) ; sortie \(s=u_1-u_2\).

1–2) Tensions

\(u_1=e\dfrac{Z_C}{Z_C+Z_R}=\dfrac{e}{1+jRC\omega}\) ; \(u_2=e\dfrac{Z_R}{Z_C+Z_R}=\dfrac{e\,jRC\omega}{1+jRC\omega}\).

3) Différence

\(s=u_1-u_2=e\dfrac{1-jRC\omega}{1+jRC\omega}\).

4) Module

Avec \(x=RC\omega\) : \(H=\dfrac{1-jx}{1+jx}\), donc \(|H|=\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=1\) : amplitude inchangée à toutes les fréquences.

5) Déphasage

\(\Delta\phi=\arg(1-jx)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)-\arctan(x)=-2\arctan(x)\).

Diagramme de Bode (gain) donné : bosse centrée, pentes \(\pm20\) dB/déc, maximum en \(\omega_0\).

1) Type et \(\omega_0\)

Coupe HF et BF avec des pentes de \(\pm20\) dB/déc : passe-bande d'ordre 2. Le maximum est lu à \(\omega_0=10^{3}\) rad/s.

2) Pulsations du signal d'entrée

D'après les périodes indiquées : \(\omega_1=\frac{2\pi}{20\pi/\omega_0}=\frac{\omega_0}{10}\) ; \(\omega_2=\frac{2\pi}{2\pi/\omega_0}=\omega_0\) ; \(\omega_3=\frac{2\pi}{\pi/(5\omega_0)}=10\omega_0\).

3) Signal de sortie

À \(\omega_1\) et \(\omega_3\), atténuation de \(20\) dB (division par 10) par rapport à \(\omega_0\). Il ne reste quasiment que \(\omega_0\) : sortie sinusoïdale à \(\omega_0\) (10 périodes sur \(\frac{20\pi}{\omega_0}\)) → signal a). Le b) (que la HF) vient d'un passe-haut ; le c) (que la BF) d'un passe-bas ; le d) (HF+BF sans le milieu) d'un coupe-bande.

4) Quels filtres conviennent ?

Circuit : \((R_1\parallel C)\) en série avec \(R_2\), sortie sur \(R_2\).

1) Fonction de transfert

\(Z_{//}=\dfrac{R_1}{1+jR_1C\omega}\), \(H=\dfrac{R_2}{R_2+Z_{//}}\). En factorisant :

2) Diagramme

HF : \(C\) court-circuite \(R_1\Rightarrow s=e\) (gain \(0\) dB). BF : \(C\) ouvert, pont diviseur \(s=e\frac{R_2}{R_1+R_2}\) (gain \(\alpha<1\), négatif en dB). C'est un « passe-haut adouci » : gain constant \(20\log\alpha\) en BF, montée, puis \(0\) dB en HF.

3) \(\omega_2\)

\(\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{R_1+R_2}{R_2}\) ; le graphe montre 2 décades d'écart, donc \(\omega_1=10^{2}\Rightarrow\omega_2=10^{4}\) rad/s.

4) \(R_1\) (\(R_2=100\ \Omega\))

En BF, \(G_{dB}=-40=20\log\frac{R_2}{R_1+R_2}\Rightarrow\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{1}{100}\Rightarrow R_1=99R_2=9900\ \Omega\).