Électrocinétique — Régime transitoire

Un condensateur \(C=10\ \mu\text{F}\), chargé sous \(U_0=12\) V, est connecté à \(t=0\) à une résistance \(R=4{,}7\ \text{k}\Omega\). Établir \(u_c(t)\), la constante de temps \(\tau\), le courant \(i(t)\), et l'énergie totale dissipée.

1) Équation différentielle et \(\tau\)

Maille (décharge, pas de générateur) : \(u_c-Ri=0\). Le condensateur se décharge, il est générateur, donc \(i=-C\dfrac{du_c}{dt}\). En remplaçant : \(u_c+RC\dfrac{du_c}{dt}=0\), soit

\[\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{\tau}=0,\qquad \tau=RC=4700\times10\cdot10^{-6}=47\ \text{ms}\]

2) Résolution avec la CI

Solution générale \(u_c(t)=K e^{-t/\tau}\). La tension aux bornes d'un condensateur est continue : \(u_c(0^+)=u_c(0^-)=U_0\), donc \(K=U_0\) :

\(u_c(t)=U_0\,e^{-t/\tau}=12\,e^{-t/0{,}047}\) (V).

3) Courant

\(i(t)=-C\dfrac{du_c}{dt}=\dfrac{U_0}{R}\,e^{-t/\tau}=\dfrac{12}{4700}e^{-t/\tau}\approx2{,}6\ \text{mA}\times e^{-t/\tau}\). Il décroît de \(i(0^+)=2{,}6\) mA vers 0.

4) Énergie dissipée

Le condensateur libère toute son énergie initiale dans \(R\) : \(E=\dfrac{1}{2}C U_0^2=\dfrac{1}{2}\times10^{-5}\times12^2=7{,}2\cdot10^{-4}\) J. Vérification par intégration : \(E=\int_0^\infty Ri^2 dt=R\big(\frac{U_0}{R}\big)^2\frac{\tau}{2}=\frac{C U_0^2}{2}\) ✔

Un générateur idéal \(E=6{,}0\) V alimente à \(t=0\) une bobine \(L=0{,}10\) H en série avec \(R=220\ \Omega\). Établir \(i(t)\), \(\tau\), la valeur finale et le temps pour atteindre 95 % de celle-ci.

1) Équation différentielle et \(\tau\)

Maille à \(t\) quelconque : \(E-Ri-u_L=0\) avec \(u_L=L\dfrac{di}{dt}\), d'où \(\dfrac{di}{dt}+\dfrac{R}{L}i=\dfrac{E}{L}\), soit \(\dfrac{di}{dt}+\dfrac{i}{\tau}=\dfrac{E}{L}\) avec

\(\tau=\dfrac{L}{R}=\dfrac{0{,}10}{220}=4{,}5\cdot10^{-4}\) s \(=0{,}45\) ms.

2) CI et solution

Le courant dans une bobine est continu : \(i(0^+)=i(0^-)=0\). Valeur finale (bobine = fil) : \(i_\infty=\dfrac{E}{R}=\dfrac{6{,}0}{220}=27{,}3\) mA. Solution :

\(i(t)=i_\infty\big(1-e^{-t/\tau}\big)=27{,}3\,(1-e^{-t/\tau})\) mA.

3) Temps pour 95 %

\(1-e^{-t/\tau}=0{,}95\Rightarrow e^{-t/\tau}=0{,}05\Rightarrow t=\tau\ln 20\approx3{,}0\,\tau=1{,}3\) ms.

Un condensateur \(C\) chargé sous \(U_0\) est connecté à \(t=0\) à une bobine \(L\) (résistance nulle). Établir \(u_c(t)\) et \(i(t)\), et montrer que l'énergie totale est constante.

1) Équation différentielle

Maille : \(u_c-u_L=0\) avec \(u_L=L\frac{di}{dt}\) et, le condensateur étant générateur, \(i=-C\frac{du_c}{dt}\). En dérivant \(u_c=L\frac{di}{dt}\) et en remplaçant \(i\) :

\[\frac{d^2u_c}{dt^2}+\omega_0^2\,u_c=0,\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\]

Il n'y a pas de résistance : \(Q\to\infty\), régime non amorti (oscillations harmoniques entretenues).

2) CI et solutions

\(u_c(0^+)=U_0\) (continuité) et \(i(0^+)=0\) (bobine, courant continu) donc \(\big(\frac{du_c}{dt}\big)_{0^+}=-\frac{i(0^+)}{C}=0\). D'où :

\(u_c(t)=U_0\cos(\omega_0 t)\), et \(i(t)=-C\dfrac{du_c}{dt}=C U_0\,\omega_0\sin(\omega_0 t)=U_0\sqrt{\dfrac{C}{L}}\sin(\omega_0 t)\).

3) Bilan énergétique

\(E_c=\frac12 C u_c^2=\frac12 C U_0^2\cos^2(\omega_0 t)\) et \(E_L=\frac12 L i^2=\frac12 L\,C^2U_0^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t)=\frac12 C U_0^2\sin^2(\omega_0 t)\) (car \(L C\omega_0^2=1\)). Somme :

\[E_{\text{tot}}=\tfrac12 C U_0^2\big(\cos^2+\sin^2\big)=\tfrac12 C U_0^2=\text{cste}\]

On ferme \(K\) à \(t=0\) ; circuits ouverts depuis longtemps, condensateurs déchargés. Déterminer \(u\) et \(i\) à \(t=0^+\) et en régime permanent (\(t\to\infty\)). Dans les 3 cas, condensateur déchargé \(\Rightarrow u_c(0^+)=u_c(0^-)=0\) (continuité).

Circuit 1 — RC (générateur réel \((E,R)\), \(C\) en parallèle avec une résistance \(R\))

À \(t=0^+\) : \(u\) est la tension aux bornes de \(C\), continue, donc \(u(0^+)=0\). Maille : \(E-Ri(0^+)-u(0^+)=0\Rightarrow i(0^+)=\dfrac{E}{R}\).
En RP : \(C\) = interrupteur ouvert, il reste \((E,R)\) en série avec \(R\), soit \(2R\) : \(i_\infty=\dfrac{E}{2R}\) et \(u_\infty=E-Ri_\infty=\dfrac{E}{2}\).

Circuit 2 — RLC (\(C\) en parallèle avec une bobine)

À \(t=0^+\) : \(u(0^+)=u_c(0^+)=0\), maille \(E-Ri(0^+)-u(0^+)=0\Rightarrow i(0^+)=\dfrac{E}{R}\).
En RP : \(C\) ouvert, bobine = fil, il reste \(E\) idéal en série avec \(R\) : \(i_\infty=\dfrac{E}{R}\) et \(u_\infty=E-Ri_\infty=0\) (tension nulle aux bornes du fil).

Circuit 3 — Deux circuits du premier ordre combinés

À \(t=0^+\) : condensateurs déchargés, maille du haut \(u(0^+)-2u_c(0^+)=0\Rightarrow u(0^+)=0\) ; grande maille \(E-u(0^+)-Ri(0^+)=0\Rightarrow i(0^+)=\dfrac{E}{R}\).
En RP : condensateurs ouverts, la branche non alimentée se retire, il reste \(E\) idéal + \(2R\) en série : \(i_\infty=\dfrac{E}{2R}\), \(u_\infty=E-Ri_\infty=\dfrac{E}{2}\).

Générateur réel \((E,R)\), bobine (branche \(i_1\)) en parallèle avec \(R_2\) (branche \(i_2\)) ; \(i=i_1+i_2\). Aucun courant avant fermeture.

1) Courants à \(t=0^+\)

Le courant dans la bobine est continu : \(i_1(0^+)=i_1(0^-)=0\). Maille : \(E-Ri(0^+)-R_2 i_2(0^+)=0\) ; nœud \(i=i_1+i_2\) avec \(i_1(0^+)=0\Rightarrow i(0^+)=i_2(0^+)\). Donc \(E-(R+R_2)i(0^+)=0\) :

\(i_1(0^+)=0,\quad i(0^+)=i_2(0^+)=\dfrac{E}{R+R_2}\). (La bobine se comporte initialement comme un interrupteur ouvert.)

2) Courants en régime permanent (bobine → fil)

\((E,R)\) alimente \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle, \(R_{eq}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). \(i_\infty=\dfrac{E}{R+R_{eq}}=\dfrac{(R_1+R_2)E}{RR_1+RR_2+R_1R_2}\). Par diviseur de courant :

\[i_{1\infty}=\frac{R_2}{R_1+R_2}i_\infty=\frac{R_2 E}{RR_1+RR_2+R_1R_2},\quad i_{2\infty}=\frac{R_1}{R_1+R_2}i_\infty=\frac{R_1 E}{RR_1+RR_2+R_1R_2}\]

Deux générateurs réels \((E,R)\), deux bobines (\(i_1\), \(i_2\)), branche centrale de courant \(i=i_1-i_2\). \(K\) ouvert depuis longtemps, fermé à \(t=0\).

1) Intensités à \(t=0^-\)

Régime permanent avant fermeture : bobines = fils, une seule maille, \(i_1=i_2\). Maille : \(E-Ri_1-E-Ri_1=0\)… en fait \(2E-2Ri_1(0^-)=0\Rightarrow i_1(0^-)=i_2(0^-)=\dfrac{E}{R}\). Nœud : \(i(0^-)=i_1-i_2=0\).

2) Intensités à \(t=0^+\)

Courant dans une bobine continu : \(i_1(0^+)=i_2(0^+)=\dfrac{E}{R}\), et \(i(0^+)=i_1-i_2=0\).

3) Nouveau régime permanent

Bobines redevenues fils. Mailles : \(E-2Ri_{1\infty}+Ri_{2\infty}=0\) et \(E-2Ri_{2\infty}+Ri_{1\infty}=0\). Résolution : \(i_{1\infty}=i_{2\infty}=\dfrac{E}{R}\), donc \(i_\infty=0\).

4) Équations différentielles et \(i(t)=0\ \forall t\)

Mailles à \(t\) quelconque avec \(u_L=L\frac{di}{dt}\) :

\[\frac{di_1}{dt}+\frac{2R}{L}i_1-\frac{R}{L}i_2=\frac{E}{L},\qquad \frac{di_2}{dt}+\frac{2R}{L}i_2-\frac{R}{L}i_1=\frac{E}{L}\]

Système couplé. En soustrayant, avec \(i=i_1-i_2\) : \(\dfrac{di}{dt}+\dfrac{3R}{L}i=0\), donc \(i(t)=Ke^{-3Rt/L}\) ; or \(i(0^+)=0\Rightarrow K=0\).

RC série, échelon d'amplitude \(E\) pendant \(T\), \(\tau=RC\), \(u(0^-)=0\).

1) Équation différentielle

Maille \(e(t)-Ri-u=0\), \(i=C\frac{du}{dt}\) : \(\dfrac{du}{dt}+\dfrac{u}{\tau}=\dfrac{e(t)}{\tau}\).

2) Loi \(u(t)\) par intervalles

• \(t\le0\) : \(u=0\).
• \(t\in[0,T]\) : \(e=E\), \(u=Ke^{-t/\tau}+E\) ; CI \(u(0)=0\Rightarrow u(t)=E(1-e^{-t/\tau})\) (charge).
• \(t>T\) : \(e=0\), \(u=K'e^{-t/\tau}\) ; continuité en \(T\) : \(u(T)=E(1-e^{-T/\tau})\Rightarrow K'=E(e^{T/\tau}-1)\), soit \(u(t)=E(e^{T/\tau}-1)e^{-t/\tau}\) (décharge).

3) Loi \(i(t)=C\dfrac{du}{dt}\)

\(t\in[0,T]\) : \(i=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau}\) ; \(t>T\) : \(i=\dfrac{E}{R}(1-e^{T/\tau})e^{-t/\tau}\) (négatif : le courant s'inverse, le condensateur devient générateur → discontinuité de \(i\) en \(T\)).

Rampe \(e(t)=kt\) sur \([0,T]\), nulle sinon ; deux condensateurs \(C,C'\) déchargés, sortie \(s(t)\), \(\tau=R(C+C')\).

1) Équation différentielle

Mailles/nœuds : \(e-u_c-s=0\), \(s=Ri_R\), \(i=i_R+i_{C'}\), avec \(i=C\frac{du_c}{dt}\), \(i_{C'}=C'\frac{ds}{dt}\) et \(u_c=e-s\). En combinant :

\[\frac{ds}{dt}+\frac{s}{\tau}=\frac{C}{C+C'}\,\frac{de}{dt},\qquad \tau=R(C+C')\]

Le second membre dépend des variations de l'entrée, pas de l'entrée elle-même.

2) Résolution (\(\frac{de}{dt}=k\) sur \([0,T]\))

\(t\in[0,T]\) : \(\dfrac{ds}{dt}+\dfrac{s}{\tau}=\dfrac{C}{C+C'}k\), solution \(s(t)=\dfrac{C}{C+C'}k\tau\,(1-e^{-t/\tau})\) (car \(s(0^+)=0\)).
\(t>T\) : second membre nul, \(s(t)=\dfrac{C}{C+C'}k\tau(e^{T/\tau}-1)e^{-t/\tau}\).

\(C_1\) (charge initiale \(q_{1,0}\)) relié à \(t=0\) à \(C_2\) (déchargé) via \(R\). \(\tau_1=RC_1,\ \tau_2=RC_2,\ \tau=\frac{\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}\).

1) Tensions initiales

\(u_1(0^+)=u_1(0^-)=\dfrac{q_{1,0}}{C_1}\) et \(u_2(0^+)=0\) (continuité des deux tensions).

2) Équation différentielle sur \(i\)

Maille \(u_1-Ri-u_2=0\). On dérive pour faire apparaître les courants (\(i=-C_1\frac{du_1}{dt}=C_2\frac{du_2}{dt}\)) : \(-\frac{i}{C_1}-R\frac{di}{dt}-\frac{i}{C_2}=0\), soit

\[\frac{di}{dt}+\frac{i}{\tau}=0,\qquad \frac{1}{\tau}=\frac{1}{RC_1}+\frac{1}{RC_2}.\]

\(i(t)=Ke^{-t/\tau}\) avec \(i(0^+)=\dfrac{u_1(0^+)}{R}=\dfrac{q_{1,0}}{\tau_1}\), d'où \(i(t)=\dfrac{q_{1,0}}{\tau_1}e^{-t/\tau}\).

3) Charges \(q_1(t),q_2(t)\) et conservation

\(q_1=-\int i\,dt=q_{1,0}-q_{1,0}\dfrac{\tau}{\tau_1}(1-e^{-t/\tau})\) ; \(q_2=\int i\,dt=q_{1,0}\dfrac{\tau}{\tau_1}(1-e^{-t/\tau})\). Somme \(q_1+q_2=q_{1,0}\) : charge conservée ✔

4) Valeurs finales

\(q_{1\infty}=q_{1,0}\big(1-\frac{\tau}{\tau_1}\big)=q_{1,0}\frac{C_1}{C_1+C_2}\) ; \(q_{2\infty}=q_{1,0}\frac{\tau}{\tau_1}=q_{1,0}\frac{C_2}{C_1+C_2}\) (partage selon les capacités).

5) Énergie dissipée par effet Joule

\[E=\int_0^\infty Ri^2 dt=R\Big(\frac{q_{1,0}}{\tau_1}\Big)^2\frac{\tau}{2}=\frac12 R\frac{q_{1,0}^2}{\tau_1^2}\tau\]

Générateur réel de courant \((I,r)\) branché à \(t=0\) sur \(R\) + bobine \(L\) en série.

1) Valeur initiale

Aucun courant, aucun stockage avant fermeture : \(i(0^+)=i(0^-)=0\).

2) Équation différentielle

Courant \(i'\) dans \(r\), nœud \(I=i+i'\), maille \(-u_L-u_R+u_r=0\), \(u_L=L\frac{di}{dt}\) : \(-L\frac{di}{dt}-Ri+r(I-i)=0\), soit

\[\frac{di}{dt}+\frac{i}{\tau}=\frac{r}{R+r}\frac{I}{\tau},\qquad \tau=\frac{L}{R+r}.\]

Solution : \(i(t)=\dfrac{r}{R+r}I\,(1-e^{-t/\tau})\).

3) Régime permanent

\(i_\infty=\dfrac{r}{R+r}I\) (diviseur de courant entre \(r\) et \(R\)). Courbe : montée exponentielle de 0 à \(i_\infty\).

4) Comportement de la bobine

Générateur idéal \(E\), bobine (tension \(s\)) en parallèle avec \(R/2\), le tout après une résistance \(R\). Intensités nulles pour \(t<0\), \(K\) fermé à \(t=0\).

1) \(s(0^+)\)

\(i_L(0^+)=0\) (continuité), donc \(i_R(0^+)=i_{R/2}(0^+)\). Maille \(E-Ri_R-\frac{R}{2}i_{R/2}=0\) donne \(i_R(0^+)=\dfrac{2}{3}\dfrac{E}{R}\), puis \(s(0^+)=E-Ri_R(0^+)=\dfrac{E}{3}\).

2) Comportement asymptotique

En RP la bobine = fil, tension nulle à ses bornes : \(s_\infty=0\).

3) Équation différentielle et \(\tau\)

Avec \(s=L\frac{di_L}{dt}\) et \(s=\frac{R}{2}i_{R/2}\), la maille combinée donne \(E-Ri_L-3s=0\) ; on dérive : \(\dfrac{ds}{dt}+\dfrac{s}{\tau}=0\) avec \(\tau=\dfrac{3L}{R}\). Solution \(s(t)=\dfrac{E}{3}e^{-t/\tau}\).

4) Détermination de \(L\)

\(s(t_0)=\dfrac{s(0^+)}{10}\Rightarrow t_0=\tau\ln 10\). Donc \(L=\dfrac{Rt_0}{3\ln 10}\). A.N. \(R=1{,}0\) kΩ, \(t_0=3{,}0\ \mu\text{s}\) : \(L=\dfrac{1000\times3{,}0\cdot10^{-6}}{3\ln 10}\approx434\ \mu\text{H}\).

5) Fréquence du signal en créneaux

Bobine \((L=40\) mH, \(r=10\ \Omega)\), \(E=15\) V, \(K\) fermé depuis longtemps ; \(R\) (résistance de l'air) en parallèle sur \(K\), n'intervient qu'à l'ouverture. \(u\) = tension aux bornes de \(K\).

1) Intensité initiale

RP établi, bobine = fil : \(i_0=\dfrac{E}{r}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\) A.

2) Loi \(i(t)\) après ouverture (\(t=0\))

\(i(0^+)=i_0\) (continuité). Maille \(E-Ri-L\frac{di}{dt}-ri=0\) : \(\dfrac{di}{dt}+\dfrac{i}{\tau}=\dfrac{E}{L}\) avec \(\tau=\dfrac{L}{R+r}\). Solution :

\[i(t)=\frac{E}{R+r}\Big(1+\frac{R}{r}e^{-t/\tau}\Big).\]

Si \(R\gg r\) : \(i(t)\approx\dfrac{E}{R}+\dfrac{E}{r}e^{-t/\tau}\), l'intensité tend vers une valeur faible devant \(i_0\).

3) Tension \(u(t)\) aux bornes de \(K\)

Loi d'Ohm sur \(R\) : \(u(t)=\dfrac{R}{R+r}E\Big(1+\dfrac{R}{r}e^{-t/\tau}\Big)\), d'où \(u(0^+)=\dfrac{R}{r}E\) et \(u_\infty=\dfrac{R}{R+r}E\). Quand \(R\to\infty\) : \(u(0^+)\to\infty\) et \(u_\infty\to E\). A.N. \(R=30\) kΩ : \(u(0^+)=45\) kV, \(u_\infty\approx15\) V.

\(C\) déchargé, courants nuls avant \(t=0\), \(\tau=2RC\). Tension \(u\) aux bornes du parallèle \(R\|L\).

1) Conditions initiales

\(u_c(0^+)=0\Rightarrow u(0^+)=E\) (maille \(E-u_c-u=0\)). Courant bobine nul : \(i_L(0^+)=0\), nœud \(i_c(0^+)=i_R(0^+)\) avec \(i_c=-C\frac{du}{dt}\) et \(i_R=\frac{u}{R}\) :

\[u(0^+)=E,\qquad \Big(\frac{du}{dt}\Big)_{0^+}=-\frac{E}{RC}.\]

2) Équation différentielle canonique

En dérivant le nœud et en combinant les caractéristiques : \(\dfrac{d^2u}{dt^2}+\dfrac{1}{RC}\dfrac{du}{dt}+\dfrac{u}{LC}=0\), soit

\[\frac{d^2u}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{du}{dt}+\omega_0^2 u=0,\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}.\]

3) Solution (régime pseudo-périodique, \(\omega_0>\frac1\tau\Leftrightarrow Q>\frac12\))

\(u=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\), \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\). CI : \(A=E\), \(\Omega B-\frac{A}{\tau}=-\frac{E}{RC}\Rightarrow B=-\frac{E}{\Omega\tau}\). D'où :

\(C\) déchargé, courants nuls avant \(t=0\), \(\tau_1=2RC,\ \tau_2=\frac{2L}{R}\). \(i\) = courant de la bobine.

1) Conditions initiales

\(i(0^+)=0\) (bobine). Petite maille \(E-u_L(0^+)-u_c(0^+)=0\) avec \(u_c(0^+)=0\) donne \(u_L(0^+)=L\big(\frac{di}{dt}\big)_{0^+}=E\), soit \(\big(\frac{di}{dt}\big)_{0^+}=\dfrac{E}{L}\).

2) Équation différentielle canonique

Second ordre. En dérivant la maille et via \(u_L=L\frac{di}{dt}\), \(i_c=C\frac{du_c}{dt}\), \(i=i_c+i_R\), \(i_R=\frac{E-u_L}{R}\) :

\[\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac{E}{RLC}\Rightarrow \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{di}{dt}+\omega_0^2 i=\omega_0^2\frac{E}{R},\]

avec \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(Q=\omega_0 RC=R\sqrt{\frac{C}{L}}\).

3) Solution et maximum

Régime pseudo-périodique (\(Q>\frac12\)) : \(i=e^{-t/\tau_1}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+\frac{E}{R}\). CI : \(A=\frac{E}{R}\), \(\Omega B-\frac{A}{\tau_1}=\frac{E}{L}\Rightarrow B=\frac{E}{L\Omega}+\frac{E}{R\tau_1\Omega}\). D'où :

\[i(t)=\frac{E}{R}\left[1+e^{-t/\tau_1}\Big(\cos\Omega t+\frac{1}{\Omega}\Big(\frac{2}{\tau_2}+\frac{1}{\tau_1}\Big)\sin\Omega t\Big)\right]\]

Maximum : \(\frac{di}{dt}=0\) donne \(\tan(\Omega t_m)=\dfrac{\Omega B-A/\tau_1}{B/\tau_1+A\Omega}\), soit

RLC série (\(L\) sans résistance), \(u_c(0^-)=u_0\), aucun courant initial, \(\tau=\frac{2L}{R}\), \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(\omega_0\tau\gg1\).

1) Conditions initiales

\(u_c(0^+)=u_0\) (continuité) ; \(i(0^+)=0\) (bobine) \(\Rightarrow \big(\frac{du_c}{dt}\big)_{0^+}=\frac{i(0^+)}{C}=0\).

2) Équation différentielle et résolution

Maille \(E-Ri-L\frac{di}{dt}-u_c=0\) avec \(i=C\frac{du_c}{dt}\) :

\[\frac{d^2u_c}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{du_c}{dt}+\omega_0^2 u_c=\omega_0^2 E,\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.\]

\(\omega_0\tau\gg1\Leftrightarrow Q\gg\frac12\) : pseudo-périodique très peu amorti, \(\Omega\approx\omega_0\). CI : \(A=u_0-E\), \(B=\frac{u_0-E}{\Omega\tau}\), d'où \(u_c(t)=E+(u_0-E)e^{-t/\tau}\big(\cos\Omega t+\frac{1}{\Omega\tau}\sin\Omega t\big)\).

3) Représentation

Oscillations lentement amorties autour de la valeur finale \(E\) (l'amplitude décroît en \(e^{-t/\tau}\)).

4) Décrément logarithmique

Avec \(U=u_c-E\) et \(\Omega T=2\pi\) (sinus/cosinus \(2\pi\)-périodiques) :

\[\Lambda=\frac1n\ln\frac{U(t)}{U(t+nT)}=\frac1n\ln\big(e^{nT/\tau}\big)=\frac{T}{\tau}.\]

Si \(\tau\) augmente (amortissement plus lent), \(\Lambda\) diminue.

5) Lien avec \(Q\)

\(\tau=\frac{2Q}{\omega_0}\), \(T=\frac{2\pi}{\Omega}\) : \(\Lambda=\dfrac{\pi}{Q\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\), inversé en \(Q=\sqrt{\big(\frac{\pi}{\Lambda}\big)^2+\frac14}\). Pour \(Q\gg\frac12\) :

\(C_1\) (charge \(q_0\)) relié à \(t=0\) à \(L\) + \(C_2\) (déchargé) en série, aucune résistance, aucun courant initial. Puis cas \(C_1=C_2=C\).

1) Équation différentielle sur \(i\)

Maille \(u_1-u_L-u_2=0\), \(u_L=L\frac{di}{dt}\), \(i=C_2\frac{du_2}{dt}=-C_1\frac{du_1}{dt}\). On dérive :

\[\frac{d^2i}{dt^2}+\omega_0^2 i=0,\quad \omega_0^2=\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}=\frac{1}{LC_{eq}},\ C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}.\]

Oscillateur harmonique non amorti.

2) \(i(t)\) pour \(C_1=C_2=C\) (\(\omega_0^2=\frac{2}{LC}\))

CI : \(i(0)=0\) ; maille à \(0^+\) : \(u_1(0^+)=\frac{q_0}{C}\), \(u_2(0^+)=0\) donne \(\big(\frac{di}{dt}\big)_{0^+}=\frac{q_0}{LC}=\frac{q_0\omega_0^2}{2}\). Donc \(A=0\), \(B=\frac{q_0\omega_0}{2}\) :

\(i(t)=\dfrac{q_0\omega_0}{2}\sin(\omega_0 t)\) (le courant change périodiquement de sens : les condensateurs s'échangent leurs charges).

3) Tensions \(u_1,u_2\)

\(u_1=-\frac1C\int i\,dt=\dfrac{q_0}{2C}(1+\cos\omega_0 t)\) ; \(u_2=\frac1C\int i\,dt=\dfrac{q_0}{2C}(1-\cos\omega_0 t)\).

4) Bilan énergétique

\(E_{c1}=\frac{q_0^2}{8C}(1+\cos\omega_0 t)^2\), \(E_{c2}=\frac{q_0^2}{8C}(1-\cos\omega_0 t)^2\), \(E_L=\frac{q_0^2}{4C}\sin^2\omega_0 t\). Somme :

Condensateur A-B chargé (\(Q_0\)), condensateur D-E déchargé, \(R\), \(L\). \(K\) fermé à \(t=0\), courant initial nul. \(\omega_0^2=\frac{2}{LC}\), \(2\lambda=\frac{R}{L}\). \(u\) = tension du 1er condensateur.

1) Équation différentielle

Maille \(u-u_R-u_L-u_c=0\) ; 1er condensateur générateur \(i=-C\frac{du}{dt}\), 2ⁿᵈ récepteur \(i=C\frac{du_c}{dt}\), d'où \(u_c=-u+K\) avec \(u(0)=\frac{Q_0}{C},\ u_c(0)=0\Rightarrow K=\frac{Q_0}{C}\). En remplaçant :

\[\frac{d^2u}{dt^2}+\frac{\omega_0}{Q}\frac{du}{dt}+\omega_0^2 u=\omega_0^2\frac{Q_0}{2C},\quad \omega_0^2=\frac{2}{LC},\ Q=\frac1R\sqrt{\frac{2L}{C}}.\]

2) Solution pour \(\lambda<\omega_0\) (pseudo-périodique, \(Q>\frac12\))

\(i(0^+)=-C\big(\frac{du}{dt}\big)_{0^+}=0\Rightarrow\big(\frac{du}{dt}\big)_{0^+}=0\). CI : \(A=\frac{Q_0}{2C}\), \(B=\frac{Q_0}{2C}\frac{1}{\Omega\tau}\), d'où

\[u(t)=\frac{Q_0}{2C}\left(1+e^{-t/\tau}\Big(\cos\Omega t+\frac{1}{\Omega\tau}\sin\Omega t\Big)\right),\ u_c(t)=\frac{Q_0}{2C}\left(1-e^{-t/\tau}\Big(\cos\Omega t+\frac{1}{\Omega\tau}\sin\Omega t\Big)\right).\]

Courant : \(i=C\frac{du_c}{dt}=\dfrac{Q_0}{2C}\Big(\frac{1}{\Omega\tau}+\Omega\tau\Big)e^{-t/\tau}\sin\Omega t\).

Cellule de Wien : branche série \((R,C)\) et branche parallèle \((R',C')\). À \(t=0\) on ferme \(K\) ; \(C\) chargé (\(u(0^+)=u_0>0\)), \(C'\) déchargé. \(v(t)\) = tension de sortie (aux bornes de \(R'\|C'\)). Cas \(R=R',\ C=C',\ \tau=2RC\).

1) Équation différentielle sur \(v(t)\)

Loi des nœuds : le courant de la branche d'entrée \(i=C\frac{du}{dt}\) (aussi \(=\frac{u}{R}+\dots\)) se partage dans \(R'\) et \(C'\) : \(i=\dfrac{v}{R'}+C'\dfrac{dv}{dt}\). La maille de sortie relie \(u\) et \(v\) via la branche série. En combinant les deux mailles et les caractéristiques (méthode identique aux ex. 5, 10, 11), puis avec \(R=R'\), \(C=C'\), on aboutit à la forme canonique du second ordre :

\[\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{3}{RC}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{R^2C^2}v=\frac{1}{RC}\frac{dv_e}{dt}\ \xrightarrow{\text{régime libre }(v_e=0)}\ \frac{d^2v}{dt^2}+\frac{3}{RC}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{(RC)^2}v=0.\]

On identifie \(\omega_0=\dfrac{1}{RC}\) et \(\dfrac{\omega_0}{Q}=\dfrac{3}{RC}\Rightarrow Q=\dfrac13\).

2) Nature du régime et \(v(t)\)

\(Q=\frac13<\frac12\) : régime apériodique (pas d'oscillation). L'équation caractéristique \(r^2+\frac{3}{RC}r+\frac{1}{(RC)^2}=0\) a pour discriminant \(\Delta=\frac{9-4}{(RC)^2}=\frac{5}{(RC)^2}>0\), racines réelles

\[r_\pm=\frac{-3\pm\sqrt5}{2RC}\quad(\text{avec }\tau=2RC:\ r_\pm=\frac{-3\pm\sqrt5}{\tau}).\]

Solution \(v(t)=A\,e^{r_+ t}+B\,e^{r_- t}\). Conditions initiales : \(v(0^+)=0\) (\(C'\) déchargé, tension continue) et, par la loi des nœuds/mailles à \(0^+\) avec \(u(0^+)=u_0\), la dérivée initiale \(\big(\frac{dv}{dt}\big)_{0^+}=\dfrac{u_0}{RC}=\omega_0 u_0>0\). D'où \(A+B=0\) et \(A r_+ + B r_-=\omega_0 u_0\), soit \(A=\dfrac{\omega_0 u_0}{r_+-r_-}=\dfrac{\omega_0 u_0\,RC}{\sqrt5}=\dfrac{u_0}{\sqrt5}\) et \(B=-A\) :

\[v(t)=\frac{u_0}{\sqrt5}\Big(e^{r_+ t}-e^{r_- t}\Big),\qquad r_\pm=\frac{-3\pm\sqrt5}{2RC}.\]

3) Maximum et interprétation

\(\dfrac{dv}{dt}=0\Rightarrow A r_+ e^{r_+ t}=-Br_- e^{r_- t}=A r_- e^{r_- t}\), donc \(e^{(r_+-r_-)t_m}=\dfrac{r_-}{r_+}\), d'où

\[t_m=\frac{1}{r_+-r_-}\ln\frac{r_-}{r_+}=\frac{RC}{\sqrt5}\ln\frac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}.\]

(Numériquement \(\frac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}\approx6{,}85\), donc \(t_m\approx\frac{RC}{\sqrt5}\times1{,}92\approx0{,}86\,RC\).)