Régime transitoire du second ordre (RLC, LC)

Un condensateur \(C=100\ \text{nF}\) chargé sous \(E=10\) V se décharge à \(t=0\) dans une bobine \(L=40\ \text{mH}\) et une résistance \(R=200\ \Omega\) en série (boucle fermée sans générateur). Déterminer \(\omega_0,Q\), le régime, puis \(u_C(t)\).

1) \(\omega_0\), \(Q\) et régime

Série : \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{40\cdot10^{-3}\times100\cdot10^{-9}}} =\dfrac{1}{\sqrt{4\cdot10^{-9}}}=\dfrac{1}{6{,}32\cdot10^{-5}}=1{,}58\cdot10^{4}\ \text{rad/s}\).

\(Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{1}{200}\sqrt{\dfrac{40\cdot10^{-3}}{100\cdot10^{-9}}} =\dfrac{1}{200}\sqrt{4\cdot10^{5}}=\dfrac{632}{200}=3{,}16\). Comme \(Q>\frac12\) : régime pseudo-périodique.

2) Équation différentielle et CI

Décharge, pas de source : LDM \(0=u_R+u_L+u_C\Rightarrow \ddot u_C+\frac{R}{L}\dot u_C+\frac{1}{LC}u_C=0\). CI : \(u_C(0^+)=E\) (continuité) et \(\dot u_C(0^+)=\frac{1}{C}i(0^+)=0\) car \(i(0^+)=i(0^-)=0\) (bobine, continuité du courant).

3) Résolution

\(\tau=\dfrac{2Q}{\omega_0}=\dfrac{2\times3{,}16}{1{,}58\cdot10^{4}}=4{,}0\cdot10^{-4}\) s \(=0{,}4\) ms. \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=1{,}58\cdot10^{4}\sqrt{1-\frac{1}{40}}=1{,}56\cdot10^{4}\ \text{rad/s}\). Solution \(u_C=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\).

\(u_C(0)=E=A\Rightarrow A=E\). Dérivée en 0 : \(\dot u_C(0)=B\Omega-\frac{A}{\tau}=0\Rightarrow B=\frac{A}{\Omega\tau}=\frac{E}{\Omega\tau}\).

Source de courant \(\eta=2\) mA en parallèle avec \(R=2\ \text{k}\Omega\), \(C=10\ \text{nF}\), \(L=1\ \text{mH}\). L'interrupteur est fermé à \(t=0\) ; tout est initialement au repos. Établir l'équation en \(u(t)\), \(\omega_0\), \(Q\), la valeur \(u_\infty\).

1) Équation différentielle

LDN : \(\eta=\frac{u}{R}+C\dot u+i_L\), avec \(u=L\dot i_L\). On dérive : \(0=\frac1R\dot u+C\ddot u+\frac{u}{L}\), soit

2) \(\omega_0\), \(Q\)

\(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-3}\times10^{-8}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-11}}} =3{,}16\cdot10^{5}\ \text{rad/s}\).
\(Q=R\sqrt{\dfrac{C}{L}}=2000\sqrt{\dfrac{10^{-8}}{10^{-3}}}=2000\sqrt{10^{-5}}=2000\times3{,}16\cdot10^{-3}=6{,}3\). Régime pseudo-périodique.

3) Valeur finale

En RP : \(C\) ouvert (\(i_C=0\)), \(L\) = fil donc \(u_\infty=L\dot i_L=0\). Tout le courant \(\eta\) passe par la bobine : \(i_L(\infty)=\eta\).

Circuit RLC série avec \(L=10\) mH et \(C=1\ \mu\text{F}\). Pour quelle valeur de \(R\) le régime est-il exactement critique ? Écrire alors la forme de \(u_C(t)\) lors de la charge sous \(E\).

1) Condition critique

Régime critique \(\Leftrightarrow Q=\frac12\). Or (série) \(Q=\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}\), donc \(\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac12\Rightarrow R_c=2\sqrt{\frac{L}{C}}\).

AN : \(\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-6}}}=\sqrt{10^{4}}=100\ \Omega\), donc \(R_c=200\ \Omega\). (C'est la résistance dite « critique ».)

2) Forme de la solution

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-8}}}=10^{4}\ \text{rad/s}\). Au régime critique la solution homogène est \((At+B)e^{-\omega_0 t}\). Avec charge sous \(E\) (\(u_\infty=E\)) et CI \(u_C(0^+)=0\), \(\dot u_C(0^+)=0\) :

\(u_C=(At+B)e^{-\omega_0 t}+E\). \(u_C(0)=0=B+E\Rightarrow B=-E\). \(\dot u_C=Ae^{-\omega_0 t}-\omega_0(At+B)e^{-\omega_0 t}\), en 0 : \(A-\omega_0 B=0\Rightarrow A=\omega_0 B=-\omega_0 E\).

Pour chaque équation, donner \(\omega_0\) et \(Q\) en identifiant à \(\ddot x+\frac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2 x=\dots\) (attention : \(Q\) = facteur de qualité, \(q\) = charge).

Équation 1 : \(\ddot q+\dfrac{R}{L}\dot q+\dfrac{1}{LC}q=\dfrac{E}{L}\)

\(\omega_0^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\). Et \(\frac{\omega_0}{Q}=\frac{R}{L}\Rightarrow Q=\frac{L\omega_0}{R}=\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}\). (RLC série.)

Équation 2 : \(\ddot u+\dfrac{1}{RC}\dot u+\dfrac{1}{LC}u=0\)

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) ; \(\frac{\omega_0}{Q}=\frac{1}{RC}\Rightarrow Q=RC\omega_0=R\sqrt{\frac{C}{L}}\). (RLC parallèle.)

Équation 3 : \(\ddot q+\Big(\dfrac{R}{L}+\dfrac{1}{R_2C}\Big)\dot q+\Big(\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R}{R_2LC}\Big)q=\dfrac{E}{L}\)

\(\omega_0^2=\frac{1}{LC}+\frac{R}{R_2LC}=\frac{1}{LC}\Big(1+\frac{R}{R_2}\Big)\Rightarrow \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1+\frac{R}{R_2}}\).
\(\frac{\omega_0}{Q}=\frac{R}{L}+\frac{1}{R_2C}\Rightarrow Q=\dfrac{\omega_0}{\frac{R}{L}+\frac{1}{R_2C}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{LC}}\sqrt{1+R/R_2}}{\frac{R}{L}+\frac{1}{R_2C}}\).

Circuit série \(E\)–\(R\)–\(L\)–\(C\), interrupteur juste fermé. Trouver l'équation d'une grandeur, puis en déduire celle de chacune des autres.

1) Équation en \(u_C\)

LDM : \(E=u_R+u_L+u_C=Ri+L\dot i+u_C\), avec \(i=C\dot u_C\) et \(\dot i=C\ddot u_C\) :

2) Les autres grandeurs

• Charge \(q=Cu_C\) : on multiplie par \(C\) → \(\ddot q+\frac{R}{L}\dot q+\frac{1}{LC}q=\frac{E}{L}\).
• Courant \(i=\dot q\) : on dérive l'équation en \(q\) ; comme \(E/L\) est constant sa dérivée est nulle → \(\ddot i+\frac{R}{L}\dot i+\frac{1}{LC}i=0\).
• Tension résistance \(u_R=Ri\) : mêmes coefficients (multiplication par \(R\)) → \(\ddot u_R+\frac{R}{L}\dot u_R+\frac{1}{LC}u_R=0\).
• Tension bobine \(u_L=L\dot i\) : on dérive l'équation en \(i\) et on multiplie par \(L\) → \(\ddot u_L+\frac{R}{L}\dot u_L+\frac{1}{LC}u_L=0\).

Générateur réel \((E,r)\) alimentant \(R\), \(C\), \(L\) en parallèle (tension commune \(u\)). Trouver l'équation régissant \(u\).

Mise en équation

Le courant débité par la source : \(i=\dfrac{E-u}{r}\). Loi des nœuds : \(i=i_R+i_C+i_L\), soit

On dérive pour éliminer \(i_L\) : \(-\dfrac{\dot u}{r}=\dfrac{\dot u}{R}+C\ddot u+\dfrac{u}{L}\), d'où

RLC série, \(C\) déchargé, interrupteur ouvert depuis longtemps, fermé à \(t=0\). Déterminer chaque grandeur et sa dérivée à \(0^+\) (et les valeurs finales).

1) Valeurs à \(t=0^-\)

Interrupteur ouvert → \(i(0^-)=0\), donc \(u_R(0^-)=0\) ; \(C\) déchargé → \(u_C(0^-)=0\) ; bobine parcourue par un courant constant nul → \(u_L(0^-)=0\).

2) Valeurs à \(t=0^+\)

Continuités : \(i(0^+)=i(0^-)=0\) (bobine) et \(u_C(0^+)=u_C(0^-)=0\) (condensateur). Donc \(u_R(0^+)=Ri(0^+)=0\). LDM \(E=u_C+u_R+u_L\) en \(0^+\) : \(u_L(0^+)=E\).

3) Dérivées à \(t=0^+\)

\(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\). \(\dot i(0^+)=\frac1L u_L(0^+)=\frac{E}{L}\). \(\dot u_R(0^+)=R\dot i(0^+)=\frac{RE}{L}\). En dérivant la LDM : \(0=\dot u_C+\dot u_R+\dot u_L\Rightarrow \dot u_L(0^+)=-\frac{RE}{L}\).

4) Régime permanent (\(t\to\infty\))

\(C\) ouvert → \(i(\infty)=0\Rightarrow u_R(\infty)=0\) ; \(L\) fil → \(u_L(\infty)=0\) ; LDM → \(u_C(\infty)=E\).

RLC parallèle alimenté par \((E,r)\) ; \(C\) déchargé, interrupteur ouvert depuis longtemps, fermé à \(t=0\). Grandeurs et dérivées à \(0^+\) (et valeurs finales). Tension commune \(u\).

1) À \(t=0^-\)

Interrupteur ouvert → aucun courant ne parvient au nœud : \(i_L(0^-)=0\), \(u(0^-)=0\) (\(C\) déchargé).

2) À \(t=0^+\)

Continuités : \(i_L(0^+)=0\) et \(u(0^+)=u_C(0^+)=0\). Donc \(i_R(0^+)=\frac{u(0^+)}{R}=0\). Courant de source \(i(0^+)=\frac{E-u(0^+)}{r}=\frac{E}{r}\). LDN \(i=i_R+i_C+i_L\) → \(i_C(0^+)=i(0^+)=\frac{E}{r}\).

3) Dérivées à \(t=0^+\)

\(\dot u(0^+)=\frac1C i_C(0^+)=\frac{E}{rC}\). \(\dot i_L(0^+)=\frac1L u(0^+)=0\). \(\dot i_R(0^+)=\frac1R\dot u(0^+)=\frac{E}{rRC}\).

4) Régime permanent

\(C\) ouvert → \(i_C(\infty)=0\) ; \(L\) fil → \(u(\infty)=0\) donc \(i_R(\infty)=0\). Tout le courant passe par la bobine : \(i_L(\infty)=\frac{E-0}{r}=\frac{E}{r}\).

1) RLC parallèle alimenté par une source de tension idéale \(E\) : pourquoi impossible ?

La source idéale impose \(u=E\) constant aux bornes du groupe parallèle, donc directement aux bornes de la bobine. Or \(u=L\dfrac{di_L}{dt}=E\Rightarrow i_L(t)=\dfrac{E}{L}\,t\) : le courant dans la bobine croît indéfiniment (vers \(\infty\)). Une source de tension idéale devrait fournir un courant infini : c'est physiquement impossible. (Dit autrement : en RP la bobine est un fil, elle court-circuite la source idéale.)

2) Pourquoi les deux circuits résolvent-ils le problème ? Quelle résistance mettre à la place de « ? » ?

Le premier circuit ajoute une résistance \(r\) en série avec la source : celle-ci n'est plus idéale (générateur réel \((E,r)\)). Le courant ne peut plus diverger car \(r\) le limite ; on retrouve un vrai circuit du 2ⁿᵈ ordre amorti (cf. EC 3). Le second circuit remplace la source par une source de courant \(\eta\) avec une résistance « ? » en parallèle. Pour que les deux soient équivalents (Thévenin ↔ Norton), il faut :

3) RLC série chargé (\(u_C=E\), RP atteint) : on ouvre l'interrupteur, le condensateur se décharge-t-il ?

L'interrupteur \(k\) est en série dans l'unique maille. En l'ouvrant, on coupe le circuit : plus aucun chemin conducteur ne relie le condensateur à la bobine et à la résistance. Le condensateur reste isolé, sa charge est piégée :

Circuit LC série : source \(E\), bobine \(L\), condensateur \(C\) (aucune résistance), \(C\) initialement déchargé, interrupteur fermé à \(t=0\).

1) Courant à \(t=0^+\)

Avant fermeture \(i=0\) (\(k\) ouvert). Par continuité du courant dans la bobine : \(i(0^+)=0\). Sans la bobine, rien n'imposerait \(i(0^+)=0\) (un simple RC aurait un saut de courant).

2) Tension et sa dérivée à \(t=0^+\)

\(u_C\) continue : \(u_C(0^+)=u_C(0^-)=0\). Comme \(i=C\dot u_C\) : \(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\).

3) Équation différentielle (forme canonique)

LDM : \(E=u_C+u_L\), \(u_L=L\dot i=LC\ddot u_C\). D'où \(E=u_C+LC\ddot u_C\Rightarrow \ddot u_C+\frac{1}{LC}u_C=\frac{E}{LC}\), avec \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\). C'est un oscillateur harmonique (pas d'amortissement).

4) Résolution

\(u_C(t)=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t+E\) (ne pas oublier la solution particulière \(E\)). \(\dot u_C=-A\omega_0\sin+B\omega_0\cos\). CI : \(\dot u_C(0)=0=B\omega_0\Rightarrow B=0\) ; \(u_C(0)=0=A+E\Rightarrow A=-E\).

5) Courant \(i(t)\)

\(i=C\dot u_C=CE\omega_0\sin\omega_0 t\), soit \(i(t)=E\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\omega_0 t\) (car \(C\omega_0=\sqrt{C/L}\)).

6) Tracé

\(u_C\) oscille entre 0 et \(2E\) (moyenne \(E\)) ; \(i\) oscille entre \(\pm CE\omega_0\), en quadrature. Les deux grandeurs n'ont pas la même unité : on les trace sur deux axes distincts.

7) Énergie du condensateur

\(\mathcal E_C=\frac12 Cu_C^2=\frac12 CE^2\big(1-\cos\omega_0 t\big)^2\). Elle ne tend vers rien : elle oscille indéfiniment entre 0 et \(2CE^2\).

8) Pourquoi irréaliste ? Comment le rendre réaliste ?

Circuit LC (bobine + condensateur en série, pas de source), \(C\) initialement chargé \(u_C=E\) ; on ferme \(k\) à \(t=0\).

1) \(u_C(0^+)\) et \(\dot u_C(0^+)\)

Continuité : \(u_C(0^+)=E\). Continuité du courant dans la bobine : \(i(0^+)=0\), donc \(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\).

2) Équation différentielle

LDM : \(u_C=-u_L\) (boucle L–C), \(u_L=LC\ddot u_C\) → \(\ddot u_C+\frac{1}{LC}u_C=0\) (homogène, \(u_\infty=0\)).

3) Résolution — le condensateur se décharge-t-il ?

\(u_C=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t\), \(\dot u_C=-A\omega_0\sin+B\omega_0\cos\). CI : \(u_C(0)=E=A\), \(\dot u_C(0)=0=B\omega_0\Rightarrow B=0\).

4) Énergies

\(\mathcal E_C=\frac12CE^2\cos^2\omega_0 t\) et, comme \(i=C\dot u_C=-CE\omega_0\sin\omega_0 t\), \(\mathcal E_L=\frac12Li^2=\frac12 L C^2E^2\omega_0^2\sin^2\omega_0 t=\frac12CE^2\sin^2\omega_0 t\). Leur somme \(\mathcal E_C+\mathcal E_L=\frac12CE^2\) est constante : l'énergie est transférée alternativement du condensateur vers la bobine et inversement, sans perte.

Source \(E\) avec bobine \(L\) et condensateur \(C\) en parallèle directement aux bornes de la source ; \(C\) initialement déchargé.

1) Équation régissant \(q_C(t)\)

Comme \(q=Cu_C\), étudier \(q\) ou \(u_C\) revient au même. La source impose sa tension aux bornes du condensateur : LDM \(E=u_C=\frac{q_C}{C}\Rightarrow q_C(t)=CE\) (constante imposée).

2) Pourquoi le circuit ne peut pas fonctionner ?

Par les conditions initiales : \(u_C(0^-)=0\) (déchargé), la continuité impose \(u_C(0^+)=0\), en contradiction avec \(u_C=E\) trouvé ci-dessus. Par les conditions aux limites : en régime permanent la bobine est un fil, elle court-circuite la source de tension idéale (courant infini).

RLC série (\(E,R,L,C\)), \(C\) déchargé, \(k\) fermé à \(t=0\). On étudie \(u_C(t)\) et \(q(t)\), pour \(R=100\ \Omega\) puis \(R=1\) k\(\Omega\). Données \(E=5\) V, \(L=10\) mH, \(C=50\) nF.

1) Conditions initiales

Comme \(q=Cu_C\), on travaille avec \(u_C\) (multiplier par \(C\) pour \(q\)). À \(0^-\) : \(i=0\), \(u_C=0\), \(u_L=0\). À \(0^+\) (continuités) : \(i(0^+)=0\), \(u_C(0^+)=0\), donc \(u_R(0^+)=0\) et LDM \(E=u_C+u_R+u_L\Rightarrow u_L(0^+)=E\). Dérivée : \(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\). À \(\infty\) : \(i=0,\ u_R=0,\ u_L=0,\ u_C(\infty)=E\).

2) Équation différentielle

\(E=Ri+L\dot i+u_C\), \(i=C\dot u_C\) → \(\ddot u_C+\frac{R}{L}\dot u_C+\frac{1}{LC}u_C=\frac{E}{LC}\). Identification : \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s, \(Q=\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}\).

3) Résolution selon \(R\)

• \(R=100\ \Omega\) : \(Q=\frac{1}{100}\sqrt{\frac{10^{-2}}{50\cdot10^{-9}}}=4{,}5>\frac12\) → pseudo-périodique. \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s (\(\approx\omega_0\) car \(Q\) grand), \(\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=0{,}2\) ms. \(u_C=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+E\). CI : \(u_C(0)=0=A+E\Rightarrow A=-E\) ; \(\dot u_C(0)=0=B\Omega-\frac{A}{\tau}\Rightarrow B=\frac{A}{\Omega\tau}=-\frac{E}{\Omega\tau}\).

• \(R=1000\ \Omega\) : \(Q=0{,}45<\frac12\) → apériodique. \(\beta=\omega_0\sqrt{\frac{1}{4Q^2}-1}\), \(\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=0{,}02\) ms. \(u_C=e^{-t/\tau}(Ae^{\beta t}+Be^{-\beta t})+E\). CI \(u_C(0)=0\Rightarrow A+B=-E\) ; \(\dot u_C(0)=0\Rightarrow \beta(A-B)-\frac1\tau(A+B)=0\Rightarrow A-B=\frac{A+B}{\beta\tau}=\frac{-E}{\beta\tau}\).

4) Tracés

Régime oscillant (\(R=100\)) : l'enveloppe est \(E\,e^{-t/\tau}\), valeur finale 0 ; on cherche les 5 % de \(E\) : \(t_{95\%}=-\tau\ln(0{,}05)=0{,}6\) ms. Pseudo-période \(T=\frac{2\pi}{\Omega}=0{,}14\) ms, d'où \(N=\frac{t_{95\%}}{T}=4{,}2\) oscillations avant d'atteindre 95 % de la valeur finale. Le cas apériodique (\(R=1000\)) monte vers \(E\) sans osciller et plus vite en enveloppe (\(\tau\) divisé par 10).

5) Bilan énergétique

RLC série, interrupteur à deux positions : position 1 (charge) depuis longtemps, basculé en position 2 à \(t=0\) (boucle R–L–C sans source). On étudie \(u_C(t)\), \(q(t)\). Mêmes données ; \(R=100\ \Omega\) puis \(1\) k\(\Omega\).

1) Conditions initiales

À \(0^-\) (RP en position 1) : \(i=0\) (\(C\) = interrupteur ouvert), \(u_R=0\), \(u_L=0\), donc \(u_C(0^-)=E\). À \(0^+\) : \(i(0^+)=0\), \(u_C(0^+)=E\), \(u_R(0^+)=0\) ; nouvelle maille sans source \(u_C+u_R+u_L=0\Rightarrow u_L(0^+)=-E\). \(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\). À \(\infty\) : \(u_C(\infty)=0\).

2) Équation différentielle

Maille sans source : \(0=Ri+L\dot i+u_C\), \(i=C\dot u_C\) → \(\ddot u_C+\frac{R}{L}\dot u_C+\frac{1}{LC}u_C=0\) (homogène). Mêmes \(\omega_0,Q\) qu'à l'ex. 4.

3) Résolution

• \(R=100\ \Omega\) (pseudo-périodique) : \(u_C=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\). CI : \(u_C(0)=E=A\) ; \(\dot u_C(0)=0=B\Omega-\frac{A}{\tau}\Rightarrow B=\frac{E}{\Omega\tau}\).

• \(R=1000\ \Omega\) (apériodique) : \(u_C=e^{-t/\tau}(Ae^{\beta t}+Be^{-\beta t})\). CI \(A+B=E\) et \(\beta(A-B)=\frac1\tau(A+B)\Rightarrow A-B=\frac{E}{\beta\tau}\), d'où \(A=\frac{E}{2}+\frac{E}{2\beta\tau},\ B=\frac{E}{2}-\frac{E}{2\beta\tau}\).

4) Tracés

Identiques à la charge mais inversés : la tension part de \(E\) et tend vers 0. Mêmes \(t_{95\%}=0{,}6\) ms, \(T=0{,}14\) ms, \(N=4{,}2\) oscillations (cas \(R=100\)).

5) Bilan énergétique

Même circuit qu'à l'ex. 5 (décharge), mais on étudie \(i(t)\) et \(u_L(t)\). \(R=100\ \Omega\), autres données identiques.

1) Conditions initiales

Comme \(u_L=L\dot i\), on peut étudier \(i\) et en déduire \(u_L\) par dérivation. À \(0^-\) : \(i=0\), \(u_C(0^-)=E\). À \(0^+\) : \(i(0^+)=0\), \(u_C(0^+)=E\), \(u_R(0^+)=0\), maille sans source → \(u_L(0^+)=-E\). Dérivées : \(\dot i(0^+)=\frac1L u_L(0^+)=-\frac{E}{L}\). Pour \(u_L\), aucune loi ne donne directement sa dérivée : on utilise \(\dot u_C(0^+)=\frac1C i(0^+)=0\) et \(\dot u_R(0^+)=R\dot i(0^+)=-\frac{RE}{L}\), puis la dérivée de la LDM \(0=\dot u_L+\dot u_C+\dot u_R\Rightarrow \dot u_L(0^+)=\frac{RE}{L}\).

2) Équation différentielle

\(0=L\dot i+u_C+Ri\) ; on dérive pour éliminer \(u_C\) (car \(\dot u_C=i/C\)) : \(0=L\ddot i+\frac1C i+R\dot i\), soit \(\ddot i+\frac{R}{L}\dot i+\frac{1}{LC}i=0\). Même opérateur pour \(u_L\) : \(\ddot u_L+\frac{R}{L}\dot u_L+\frac{1}{LC}u_L=0\). \(\omega_0=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s, \(Q=4{,}5\), pseudo-périodique (\(\tau=0{,}2\) ms).

3) Résolution

• Courant : \(i=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\). CI \(i(0)=0=A\Rightarrow A=0\) ; \(\dot i(0)=-\frac{E}{L}=B\Omega\Rightarrow B=-\frac{E}{\Omega L}\).

• Tension bobine : \(u_L=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\). CI \(u_L(0)=-E=A\Rightarrow A=-E\) ; \(\dot u_L(0)=\frac{RE}{L}=B\Omega-\frac{A}{\tau}\Rightarrow B=\frac{RE}{\Omega L}+\frac{A}{\Omega\tau}\). Or \(\tau=\frac{2L}{R}\) donne \(\frac{A}{\Omega\tau}=-\frac{RE}{2\Omega L}\), d'où \(B=\frac{RE}{\Omega L}-\frac{RE}{2\Omega L}=\frac{E}{\tau\Omega}\).

4) Tracés — 5) Bilan bobine

Mêmes \(t_{95\%}=0{,}6\) ms, \(T=0{,}14\) ms, \(N=4{,}2\). \(\Delta\mathcal E_L=\frac12Li^2(\infty)-\frac12Li^2(0)=0\) : la bobine part et revient à courant nul, elle n'a stocké aucune énergie nette (elle en a échangé périodiquement pendant la décharge).

RLC parallèle attaqué par une source de courant \(\eta\) ; \(k\) fermé à \(t=0\). \(\eta=5\) mA, \(L=10\) mH, \(C=50\) nF, \(R=1\) k\(\Omega\). On étudie \(u(t)\).

1) Conditions initiales

À \(0^-\) : interrupteur ouvert, \(\eta\) n'atteint pas le nœud → \(i_L(0^-)=0\), \(u(0^-)=0\). À \(0^+\) : \(i_L(0^+)=0\), \(u(0^+)=0\) donc \(i_R(0^+)=0\) ; LDN \(\eta=i_R+i_C+i_L\Rightarrow i_C(0^+)=\eta\). Dérivées : \(\dot u(0^+)=\frac1C i_C(0^+)=\frac{\eta}{C}\) ; \(\dot i_L(0^+)=\frac1L u(0^+)=0\) ; \(\dot i_R(0^+)=\frac1R\dot u(0^+)=\frac{\eta}{RC}\). À \(\infty\) : \(i_C=0\), \(u=0\), \(i_R=0\), \(i_L(\infty)=\eta\) (la source de courant impose un courant fini, pas de divergence).

2) Équation différentielle

LDN \(\eta=C\dot u+\frac{u}{R}+i_L\), dérivée (\(\dot i_L=u/L\)) → \(\ddot u+\frac{1}{RC}\dot u+\frac{1}{LC}u=0\). Identification : \(\omega_0=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s ; \(Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}=1000\sqrt{\frac{50\cdot10^{-9}}{10^{-2}}}=2{,}2\).

3) Résolution

\(Q>\frac12\) : pseudo-périodique. \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=4{,}4\cdot10^{4}\) rad/s, \(\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=2RC=0{,}1\) ms. \(u=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)\). CI : \(u(0)=0=A\Rightarrow A=0\) ; \(\dot u(0)=\frac{\eta}{C}=B\Omega\Rightarrow B=\frac{\eta}{C\Omega}\).

4) Tracé

Enveloppe \(\frac{\eta}{C\Omega}e^{-t/\tau}\), valeur finale 0 : \(t_{95\%}=-\tau\ln(0{,}05)=0{,}3\) ms. \(T=\frac{2\pi}{\Omega}=0{,}14\) ms → \(N=2{,}1\) oscillations avant 95 %.

5) Bilan énergétique

RLC série observé à l'oscilloscope (CH1 aux bornes de la source, CH2 aux bornes du condensateur, masse commune). \(u_C(0^-)=0\). Oscillogramme : oscillations amorties montant vers 5 V, env. 9 oscillations sur 400 µs, amplitude ≈ demi au bout de ~4 périodes.

1) Pourquoi une seule masse ?

Les masses des deux voies de l'oscilloscope sont reliées à la terre : elles sont donc communes (électriquement au même potentiel). On ne peut pas les placer indépendamment sans créer un court-circuit.

2) Que voit-on sur CH1 à \(t=0\) ?

Un échelon de tension. Avant fermeture, \(i=0\Rightarrow u_R=0\), bobine = fil \(\Rightarrow u_L=0\), \(C\) déchargé \(\Rightarrow u_C=0\) : la tension mesurée est nulle (les \(E\) volts sont aux bornes de l'interrupteur ouvert). À la fermeture, l'interrupteur devient un fil et CH1 mesure \(E\).

3) Équation en \(u_C\)

\(E=u_C+u_L+u_R=u_C+LC\ddot u_C+RC\dot u_C\Rightarrow \ddot u_C+\frac{R}{L}\dot u_C+\frac{1}{LC}u_C=\frac{E}{LC}\).

4) \(\omega_0,\Omega,\tau,Q\)

\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) ; \(\frac{\omega_0}{Q}=\frac{R}{L}\Rightarrow Q=\frac1R\sqrt{\frac{L}{C}}\) ; \(\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=\frac{2L}{R}\) ; \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}} =\sqrt{\frac{4L-R^2C}{4L^2}}\).

5) Valeur de \(E\)

La tension se stabilise autour de la solution particulière : \(u_C(\infty)=E\). Le graphe tend vers 5 V, donc \(E=5\) V.

6) Justifier \(\Omega\approx\omega_0\) et calculer \(\omega_0\)

Beaucoup d'oscillations visibles \(\Rightarrow Q\gg\frac12\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\approx1\), donc \(\Omega\approx\omega_0\). On lit \(9T=400\) µs \(\Rightarrow T=44{,}4\) µs, d'où \(\omega_0\approx\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{44{,}4\cdot10^{-6}}=1{,}4\cdot10^{5}\) rad/s.

7) Temps de demi-amplitude et \(\tau\)

Enveloppe \(Ee^{-t/\tau}\) : \(Ee^{-t_{1/2}/\tau}=\frac{E}{2}\Rightarrow t_{1/2}=\tau\ln2\). Le graphe montre l'amplitude divisée par 2 en ≈ 4 périodes : \(t_{1/2}=4T=178\) µs, donc \(\tau=\frac{178\ \mu\text{s}}{\ln2}=257\) µs.

8) En déduire \(L\) et \(C\) (\(R=100\ \Omega\))

\(\tau=\frac{2L}{R}\Rightarrow L=\frac{R\tau}{2}=\frac{100\times257\cdot10^{-6}}{2}=1{,}3\cdot10^{-2}\approx 0{,}01\) H. \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow C=\frac{1}{L\omega_0^2}= \frac{1}{0{,}01\times(1{,}4\cdot10^{5})^2}=5\) nF.

Circuit LC série (source + interrupteur), puis on rend bobine et condensateur réels (\(R_L\) en série avec \(L\), \(R_C\) en parallèle avec \(C\)). \(L=10\) mH, \(C=50\) nF, \(R_C=1\) M\(\Omega\), \(R_L=100\ \Omega\).

1–2) Cas idéal

LDM : \(E=u_L+u_C=L\dot i+u_C=LC\ddot u_C+u_C\Rightarrow \ddot u_C+\frac{1}{LC}u_C=\frac{E}{LC}\). \(\omega_0^{\text{idéal}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s, \(T^{\text{idéal}}=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{LC}=0{,}25\) ms.

3–4) Nouvelle équation avec composants réels

Lois : \(i_C=C\dot u_C\), \(u_C=R_C i_R\) (branche fuite), LDN \(i=i_C+i_R=C\dot u_C+\frac{u_C}{R_C}\). LDM : \(E=R_L i+L\dot i+u_C\). On injecte \(i\) :

On regroupe par ordre de dérivation : \(E=LC\,\ddot u_C+\Big(R_LC+\frac{L}{R_C}\Big)\dot u_C+\Big(1+\frac{R_L}{R_C}\Big)u_C\), puis on divise par \(LC\) :

5) Facteur de qualité, période, AN

\(\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}\big(1+\frac{R_L}{R_C}\big)}=\omega_0^{\text{idéal}}\sqrt{1+\frac{R_L}{R_C}}\) ; \(Q=\dfrac{\omega_0}{\frac{R_L}{L}+\frac{1}{R_C C}}\).

AN : \(\frac{R_L}{R_C}=\frac{100}{10^{6}}=10^{-4}\) donc \(\omega_0\approx\omega_0^{\text{idéal}}=4{,}5\cdot10^{4}\) rad/s. \(\frac{R_L}{L}=\frac{100}{10^{-2}}=10^{4}\) ; \(\frac{1}{R_C C}=\frac{1}{10^{6}\times50\cdot10^{-9}}=20\) (négligeable devant \(10^4\)) ; donc \(Q\approx\frac{4{,}5\cdot10^{4}}{10^{4}}=4{,}5\).

Source \(E\), bobine \(L\) en série, puis condensateur \(C\) en parallèle avec une résistance \(R\) (modèle du condensateur non idéal). \(C\) déchargé. \(R=1{,}0\) k\(\Omega\), \(L=1{,}0\) mH, \(E=10\) V, facteur de qualité \(Q=2\). On étudie \(i(t)\) (courant dans la bobine).

1) Équation différentielle en \(i\)

Lois : LDM \(E=u_L+u_C=L\dot i+u_C\) ; comportements \(u_C=Ri_R\), \(i_C=C\dot u_C\) ; LDN \(i=i_C+i_R\). On veut une équation en \(i\) seul. On dérive la LDM pour ne pas réintroduire \(u_C\) : \(0=L\ddot i+\dot u_C\). Or \(\dot u_C=\frac{i_C}{C}\), et \(i_C=i-i_R\)… l'astuce est de repartir de \(0=L\ddot i+\frac{i_C}{C}\), ce qui donne \(i_C=-LC\ddot i\). On remplace alors dans la LDM initiale via \(i_R=i-i_C=i+LC\ddot i\) et \(u_C=Ri_R\) :

Identification : \(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(\frac{\omega_0}{Q}=\frac{1}{RC}\Rightarrow Q=RC\omega_0=R\sqrt{\frac{C}{L}}\).

2) Valeur de \(C\)

\(Q=2=R\sqrt{\frac{C}{L}}\Rightarrow C=\frac{Q^2 L}{R^2}=\frac{4\times10^{-3}}{10^{6}}=4\) nF.

3) Résolution

CI : \(i(0^-)=0\) (interrupteur ouvert), continuité \(i(0^+)=0\). Dérivée : \(\dot i(0^+)=\frac1L u_L(0^+)\) et par continuité \(u_C(0^+)=0\Rightarrow u_L(0^+)=E\), donc \(\dot i(0^+)=\frac{E}{L}\). Régime : \(Q=2>\frac12\) → pseudo-périodique. Solution particulière : en RP, \(C\) ouvert donc \(i=i_R=\frac{E}{R}\) (le courant final passe par \(R\)). Donc \(i=e^{-t/\tau}(A\cos\Omega t+B\sin\Omega t)+\frac{E}{R}\).

CI : \(i(0)=0=A+\frac{E}{R}\Rightarrow A=-\frac{E}{R}\) ; \(\dot i(0)=\frac{E}{L}=-\frac{A}{\tau}+\Omega B\Rightarrow B=\frac{1}{\Omega}\big(\frac{E}{L}+\frac{A}{\tau}\big) =\frac{E}{\Omega L}-\frac{E}{R\tau\Omega}\).

4) Tracé

Oscillations amorties de \(i(t)\) montant depuis 0, dépassant, puis se stabilisant à \(\frac{E}{R}=10\) mA (à obtenir au tableur en traçant l'expression ci-dessus).