Dynamique du point

Une caisse (\(m=20\) kg) est maintenue immobile sur un plan incliné à \(\alpha=25°\) par une force \(\vec F\) parallèle au plan, dirigée vers le haut. Frottements négligés, \(g=9{,}81\). 1) Bilan des forces. 2) Valeurs de \(N\) et \(F\).

1) Bilan (repère : \(x\) le long du plan vers le haut, \(y\) perpendiculaire)

Trois forces : poids \(\vec P=m\vec g\), réaction normale \(\vec N\) (selon \(+y\)), traction \(\vec F\) (selon \(+x\)). Composantes du poids : \(P_x=-mg\sin\alpha\), \(P_y=-mg\cos\alpha\).

2) PFD à l'équilibre (\(\vec a=\vec 0\))

Projection sur \(x\) : \(F-mg\sin\alpha=0\Rightarrow F=mg\sin\alpha=20\times9{,}81\times\sin25°\approx82{,}9\) N. Projection sur \(y\) : \(N-mg\cos\alpha=0\Rightarrow N=mg\cos\alpha=20\times9{,}81\times\cos25°\approx177{,}8\) N.

Une bille (\(m=50\) g) tombe sans vitesse initiale, frottement \(\vec f=-\lambda\vec v\) avec \(\lambda=0{,}10\) kg·s⁻¹, \(g=9{,}81\). 1) Vitesse limite. 2) \(v(t)\). 3) Constante de temps.

1) Vitesse limite

Axe \(Oz\) vers le bas. PFD : \(m\dot v=mg-\lambda v\). En régime permanent \(\dot v=0\) :

\[v_{lim}=\frac{mg}{\lambda}=\frac{0{,}050\times9{,}81}{0{,}10}\approx4{,}9\ \text{m·s}^{-1}\]

2) Résolution de \(\dot v+\frac{\lambda}{m}v=g\)

Équation linéaire du 1ᵉʳ ordre. Solution = homogène + particulière : \(v(t)=v_{lim}+C e^{-t/\tau}\) avec \(\tau=\dfrac{m}{\lambda}\). Condition \(v(0)=0\Rightarrow C=-v_{lim}\) :

\[v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=4{,}9\left(1-e^{-t/0{,}5}\right)\]

3) Constante de temps

\(\tau=\dfrac{m}{\lambda}=\dfrac{0{,}050}{0{,}10}=0{,}5\) s. À \(t=5\tau\approx2{,}5\) s, la bille a atteint 99 % de \(v_{lim}\).

Masse \(m=200\) g sur ressort horizontal \(k=8{,}0\) N·m⁻¹, sans frottement. Écartée de \(x_0=5{,}0\) cm et lâchée sans vitesse. 1) Équation. 2) \(x(t)\). 3) Période, vitesse max.

1) PFD (origine à l'équilibre)

Seule la force de rappel agit selon \(x\) : \(m\ddot x=-kx\Rightarrow\ddot x+\omega_0^2 x=0\) avec \(\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{8{,}0}{0{,}20}}=6{,}32\) rad·s⁻¹.

2) Solution

\(x(t)=A\cos(\omega_0 t+\varphi)\). CI : \(x(0)=x_0\Rightarrow A\cos\varphi=0{,}05\) ; \(\dot x(0)=0\Rightarrow-A\omega_0\sin\varphi=0\Rightarrow\varphi=0\), donc \(A=x_0\) :

\[x(t)=0{,}05\cos(6{,}32\,t)\ \text{(m)}\]

3) Période et vitesse max

\(T=\dfrac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}99\) s. \(v_{max}=A\omega_0=0{,}05\times6{,}32\approx0{,}32\) m·s⁻¹ (atteinte au passage par l'équilibre).

3 briques identiques poussées à vitesse constante, avec frottement. A = 2 briques, B = 1 brique. \(m=2{,}5\) kg/brique, \(\mu_c=0{,}2\), \(g=10\).

1) Force totale sur A et sur B

Vitesse constante ⇒ \(\vec a=\vec 0\) ⇒ d'après le PFD, la résultante est nulle sur chaque système.

2) Bilan des forces

Sur chaque système : poids \(\vec P\), réaction \(\vec R\) (verticaux), frottement \(\vec F_{table}\) (vers l'arrière). Sur A en plus : force de la main \(\vec F_{main/A}\) et \(\vec F_{B/A}\). Sur B : \(\vec F_{A/B}\).

3) \(F_{A/B}\) vs \(F_{B/A}\)

Égales (3ᵉ loi de Newton), quel que soit le sens de la poussée.

4) Paires action-réaction

\((\vec F_{A/B},\vec F_{B/A})\) : même droite, même norme, sens opposés (critères de la 3ᵉ loi).

5) Classement des forces horizontales

Sur A : \(F_{main/A}=F_{B/A}+F_{table/A}\) (2ᵉ loi). Frottements statiques : \(F_{table}=\mu_c P\), et \(P_A=2P_B\) ⇒ \(F_{table/A}=2F_{table/B}\). Or (2ᵉ loi sur B) \(F_{table/B}=F_{A/B}\), et (3ᵉ loi) \(F_{B/A}=F_{A/B}\). D'où :

\[F_{main/A}>F_{table/A}>F_{B/A}\]

6) Valeurs numériques

Sur B : \(P_B=R_B=mg=25\) N, \(F_{table/B}=F_{A/B}=0{,}2\times25=5\) N. Sur A : \(F_{B/A}=5\) N, \(P_A=R_A=50\) N, \(F_{table/A}=0{,}2\times50=10\) N, \(F_{main/A}=5+10=15\) N.

7) Dépendance à la vitesse

Masse \(m\) au bout d'un ressort vertical (raideur \(k\)), allongement \(\Delta l=l-l_0\), masse immobile.

2) Force du ressort

Axe \(Oz\) vers le haut. Le ressort est étiré (masse en dessous), il tire vers le haut : \(\vec F_r=k\,\Delta l\,\vec u_z\).

3) PFD à l'équilibre

\(\vec F_r+\vec P=\vec 0\) ⇒ projection sur \(\vec u_z\) : \(k\Delta l-mg=0\), d'où :

\[k=\frac{mg}{\Delta l}\]

4) Dans un ascenseur

a) Vitesse constante : l'ascenseur reste galiléen, la longueur est inchangée. b) Démarrage (accélère vers le haut) : référentiel non galiléen, le ressort s'allonge (poids apparent augmenté). c) Freinage à l'arrêt (décélère) : le ressort se raccourcit (poids apparent diminué).

Deux ressorts identiques (raideur \(k\)) tiennent une masse \(m\) immobile ; ressort 1 fait un angle \(\alpha\) avec la verticale, ressort 2 horizontal.

1) Bilan

Poids \(\vec P=+mg\,\vec u_y\) (axe \(y\) vers le bas), \(\vec F_1=-k\Delta l_1(\sin\alpha\,\vec u_x+\cos\alpha\,\vec u_y)\), \(\vec F_2=+k\Delta l_2\,\vec u_x\).

2) PFD projeté (équilibre)

Sur \(\vec u_x\) : \(-k\Delta l_1\sin\alpha+k\Delta l_2=0\Rightarrow\Delta l_2=\Delta l_1\sin\alpha\). Sur \(\vec u_y\) : \(mg-k\Delta l_1\cos\alpha=0\Rightarrow\)

\[\Delta l_1=\frac{mg}{k\cos\alpha}\qquad \Delta l_2=\frac{mg\tan\alpha}{k}\]

3) Ressorts horizontaux impossibles

Chariot \(m=500\) g, plan à \(\alpha=30°\), traction \(\vec T\) parallèle au plan, vitesse constante, \(g=9{,}81\).

1) Bilan (axe \(x\) le long du plan vers le haut, \(y\) perpendiculaire)

\(\vec T=T\,\vec u_x\), \(\vec P=-mg\sin\alpha\,\vec u_x-mg\cos\alpha\,\vec u_y\), \(\vec R=R\,\vec u_y\).

2) PFD projeté (vitesse constante ⇒ \(\vec a=\vec 0\))

Sur \(x\) : \(T-mg\sin\alpha=0\Rightarrow T=mg\sin\alpha=0{,}5\times9{,}81\times0{,}5\approx2{,}5\) N. Sur \(y\) : \(R=mg\cos\alpha=0{,}5\times9{,}81\times\cos30°\approx4{,}2\) N.

3) Masse maximale (fil casse à \(T=4\) N)

\(m_{max}=\dfrac{T_{max}}{g\sin\alpha}=\dfrac{4}{9{,}81\times0{,}5}\approx0{,}82\) kg.

4) Avec frottement \(f=1\) N (montée)

Le frottement s'oppose au mouvement (vers le bas du plan) : \(T-mg\sin\alpha-f=0\Rightarrow T=mg\sin\alpha+f=2{,}5+1=3{,}5\) N.

Deux personnes portent un seau : \(F_1=60\) N, \(F_2=90\) N, angle total \(\alpha+\beta=40°\). Trouver \(\alpha,\beta\) et le poids.

1–2) Bilan et PFD

\(\vec F_1=F_1\sin\alpha\,\vec u_x+F_1\cos\alpha\,\vec u_y\), \(\vec F_2=-F_2\sin\beta\,\vec u_x+F_2\cos\beta\,\vec u_y\), \(\vec P=-mg\,\vec u_y\). Équilibre :

\[F_1\sin\alpha=F_2\sin\beta\quad(1)\qquad F_1\cos\alpha+F_2\cos\beta=mg\quad(2)\]

3) Résolution (avec \(\beta=40°-\alpha\))

Dans (1) : \(F_1\sin\alpha=F_2\sin(40°-\alpha)\). On développe et on isole :

\[\tan\alpha=\frac{\sin40°}{\frac{F_1}{F_2}+\cos40°}\ \Rightarrow\ \alpha=\arctan\!\left(\frac{\sin40°}{\frac{60}{90}+\cos40°}\right)\approx24°\]

Puis \(\beta=40°-24°=16°\), et \(mg=F_1\cos24°+F_2\cos16°\approx60\times0{,}91+90\times0{,}96\approx1{,}4\times10^2\) N.

Masse \(m=100\) g suspendue à une ficelle via une poulie fixe reliée à un moteur.

1) Moteur arrêté

Système = masse, immobile : \(\vec P+\vec T=\vec 0\Rightarrow T=mg=0{,}1\times9{,}81=0{,}981\) N. La poulie ne fait que rediriger : le moteur subit cette force de \(0{,}981\) N.

2) Montée à vitesse constante (\(v_0=3\) cm/s)

Vitesse constante ⇒ PFD identique ⇒ \(T=mg=0{,}981\) N (inchangée).

3) Descente à vitesse constante (\(v_0=4\) cm/s)

Idem : le sens ni la valeur de la vitesse (tant qu'elle est constante) ne change rien, \(T=0{,}981\) N.

Poulie mobile : elle redirige les forces de la corde. Masse immobile.

1–2) Force pour soutenir la masse

Une poulie mobile supporte la masse par deux brins de corde ; chaque brin porte la même tension \(F\). L'équilibre de la masse (+ poulie) donne \(2F=mg\), d'où \(F=\dfrac{mg}{2}\) : il suffit de tirer avec la moitié du poids.

3) Conservation de l'énergie

Pas de problème : on tire deux fois moins fort, mais sur deux fois plus de longueur de corde. Le travail (\(W=F\times d\)) est conservé.

4) Système de poulies, masse 300 kg

Avec \(n\) brins porteurs, \(F=\dfrac{mg}{n}\). Pour le montage à \(n\) brins (poulie mobile double, \(n=4\)) : \(F=\dfrac{300\times9{,}81}{4}\approx736\) N (soit la force pour soulever ≈ 75 kg).

\(m_1=10\) kg et \(m_2=15\) kg pendent de part et d'autre via deux poulies, la masse \(m_3=20\) kg au nœud central. Trouver les angles \(\alpha_1,\alpha_2\) des brins.

1) PFD sur la masse 3

Les poulies redirigent : la tension du brin 1 vaut \(F_1=m_1 g\), celle du brin 2 \(F_2=m_2 g\) (équilibre de \(m_1\) et \(m_2\)). Sur \(m_3\) :

\[-m_1 g\cos\alpha_1+m_2 g\cos\alpha_2=0\quad(1)\qquad m_1 g\sin\alpha_1+m_2 g\sin\alpha_2-m_3 g=0\quad(2)\]

On élève au carré et on somme pour éliminer \(\alpha_2\) (via \(\cos^2+\sin^2=1\)) :

\[m_1^2+m_3^2-2m_1 m_3\sin\alpha_1=m_2^2\ \Rightarrow\ \alpha_1=\arcsin\!\left(\frac{m_1^2+m_3^2-m_2^2}{2m_1 m_3}\right)\]

A.N. : \(\alpha_1=\arcsin\!\left(\dfrac{10^2+20^2-15^2}{2\times10\times20}\right)\approx43°\), puis \(\alpha_2=\arccos\!\left(\dfrac{m_1}{m_2}\cos\alpha_1\right)\approx61°\).

2–3) Cas \(m_3=40\) kg et limite

Avec \(m_3=40\) : \(\sin\alpha_1=\dfrac{10^2+40^2-15^2}{2\times10\times40}\approx2{,}2>1\) : impossible. Physiquement, \(m_3\) est trop lourde, l'équilibre ne peut exister (elle tombe). La limite est atteinte quand \(\sin\alpha_1=1\), soit \(m_1^2+m_3^2-2m_1 m_3=m_2^2\Rightarrow(m_3-m_1)^2=m_2^2\Rightarrow m_{3,max}=m_1+m_2=25\) kg.

Caillou lancé verticalement, \(h=5\) m, \(v_0=2\) m·s⁻¹ vers le haut, \(g=10\). 4 modélisations (axe haut/bas, origine sol/caillou). Montrer que le temps de chute ne dépend pas du choix.

1) Les 4 cas (PFD : \(m\ddot z=\pm mg\))

Dans chaque cas, la condition de fin mène à la même équation du 2ᵈ degré, donc au même temps :

\[t_{fin}=\frac{-v_0-\sqrt{v_0^2+2gh}}{-g}=\frac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}=\frac{2+\sqrt{4+100}}{10}\approx1{,}22\ \text{s}\]

2) Vitesse initiale vers le bas

Le signe de \(v_0\) s'inverse : le caillou ne « monte » plus, il se rapproche directement du sol. La durée diminue : \(t_{fin}=\dfrac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2gh}}{g}=\dfrac{-2+\sqrt{104}}{10}\approx0{,}82\) s.

3) Conclusion

Ballon frappé du sol à vitesse \(v_0\), angle \(\alpha\), frottements négligés. Équations horaires, portée, hauteur max, angle optimal.

2) Équations horaires et trajectoire (PFD : \(\vec P=-mg\vec u_y\), le pied ne donne qu'une CI)

\[x=v_0\cos\alpha\,t,\quad y=-\tfrac12 gt^2+v_0\sin\alpha\,t,\quad y(x)=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+\tan\alpha\,x\]

3) Portée \(D\) et \(t_{sol}\)

\(y(t_{sol})=0\Rightarrow t_{sol}=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\), d'où \(D=x(t_{sol})=\dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)\).

4) Hauteur max

\(\dot y(t_H)=0\Rightarrow t_H=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{t_{sol}}{2}\) (trajectoire symétrique), \(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\), \(x_H=\dfrac{D}{2}\).

5) Angle de portée maximale

\(D\propto\sin(2\alpha)\) maximal quand \(2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\alpha_{max}=45°\).

6–7) Graphes

Balle \(m=100\) g lancée vers le haut à \(v_0=4\) m·s⁻¹ depuis \(h=3\) m, frottement \(\vec f=-\lambda\vec v\), \(\lambda=0{,}2\), \(g=10\).

2) Unité de \(\lambda\)

\(f=\lambda\dot z\) doit être en N, donc \([\lambda]=\)N·s·m⁻¹ \(=\)kg·s⁻¹.

3) PFD et vitesse limite

Axe \(Oz\) vers le haut. On ne met pas de signe « à la main » au frottement : c'est \(\dot z\) qui porte le signe.

\[m\ddot z=-\lambda\dot z-mg\ \Rightarrow\ \ddot z+\frac{\lambda}{m}\dot z=-g\]

En régime permanent (\(\ddot z=0\)) : \(v_{lim}=-\dfrac{mg}{\lambda}=-\dfrac{0{,}1\times10}{0{,}2}=-5\) m·s⁻¹ (négative : la balle finit par retomber).

4) Résolution (équation d'ordre 1 en \(\dot z\), \(\tau=m/\lambda\))

Solution = particulière (\(v_{lim}\)) + homogène (\(Ae^{-t/\tau}\)). CI \(\dot z(0)=v_0\Rightarrow A=v_0-v_{lim}\) :

\[\dot z(t)=(v_0-v_{lim})e^{-t/\tau}+v_{lim}\]

5) Temps du point le plus haut (\(\dot z=0\))

\[t_H=\tau\ln\!\left(\frac{v_0-v_{lim}}{-v_{lim}}\right)=\frac{0{,}1}{0{,}2}\ln\!\left(\frac{4+5}{5}\right)\approx0{,}3\ \text{s}\]

6) Équation horaire (intégration)

\[z(t)=-\tau(v_0-v_{lim})e^{-t/\tau}+v_{lim}\,t+h+\tau(v_0-v_{lim})\]

7) Graphes

Caisse lancée à \(v_0=4\) m·s⁻¹, \(\mu_D=0{,}2\), \(m=10\) kg, \(g=10\), frottement solide.

1) Équation horaire

Bilan : poids, réaction \(\vec N\), frottement \(\vec f=-f\vec u_x\) avec \(f=\mu_D N\). Projection sur \(y\) : \(N=mg\). Sur \(x\) : \(m\ddot x=-\mu_D mg\Rightarrow\ddot x=-\mu_D g\). Intégration :

\[\dot x=-\mu_D g\,t+v_0,\qquad x(t)=-\tfrac12\mu_D g\,t^2+v_0 t\]

2) Temps d'arrêt (\(\dot x=0\))

\[t=\frac{v_0}{\mu_D g}=\frac{4}{0{,}2\times10}=2\ \text{s}\]

3) Analogie

\(\omega\) et \(R\) constants, frottements négligés. Étude générale, objet au bout d'une tige (plan vertical), bille dans un tube tournant, seau d'eau.

1) Résultats généraux

\([\omega]=T^{-1}\) (rad·s⁻¹). \(\vec v=R\omega\,\vec u_\theta\), norme \(v=R\omega\) constante, mais direction (celle de \(\vec u_\theta\)) variable. \(\vec a=-R\omega^2\,\vec u_r\) (centripète, non nulle car elle fait tourner \(\vec v\)). Norme : \(a=R\omega^2=\dfrac{v^2}{R}=\omega v\).

2) Objet au bout d'une tige (plan vertical)

Forces : tension \(\vec T=-T\vec u_r\) et poids. \(\vec a=-R\omega^2\vec u_r\) (centripète). L'objet « ne tombe pas » en haut car les forces changent l'accélération, pas instantanément la vitesse (1ʳᵉ loi : il continue sa direction). La projection sur \(\vec u_\theta\) donne \(-mg\cos\theta=0\), non vérifiée partout : c'est qu'une force orthoradiale non modélisée (le moteur) impose le mouvement uniforme. Si on coupe le fil : trajectoire rectiligne (tangente) — parabole si on garde la gravité.

3) Bille dans un tube tournant (sans frottement, plan horizontal)

Le tube n'exerce aucune force radiale (pas de frottement) ⇒ \(a_r=0\) : \(\ddot r-\omega^2 r=0\). Solution \(r(t)=A\cosh(\omega t)+B\sinh(\omega t)\) ; CI \(r(0)=0,\dot r(0)=v_0\) ⇒ \(r(t)=\dfrac{v_0}{\omega}\sinh(\omega t)\). Sortie du tube : \(t_{max}=\dfrac{1}{\omega}\text{arcsinh}\!\left(\dfrac{r_{max}\omega}{v_0}\right)\approx1{,}15\) s. Principe de la centrifugeuse / essoreuse.

4) Seau d'eau (plan vertical, point haut)

Forces : poids \(-mg\vec u_y\), réaction \(\vec N=-N\vec u_r\). \(N\) s'annule si l'eau décolle. PFD sur \(\vec u_r\) au point haut : \(-N-mg=-mR\omega^2\). Condition \(N\ge0\) :

\[\omega\ge\sqrt{\frac{g}{R}}\quad(\text{sinon l'eau tombe})\]

Voiture en virage (rayon \(R\) constant, vitesse constante), vue de dessus, poids ⊥ au plan.

2–4) Forces et accélération

Seule reste (après compensation traction/frottement de roulement) la force de frottement normale au mouvement \(\vec f_N\). L'accélération est centripète : \(\vec a=-R\dot\theta^2\vec u_r\). Cohérent par le PFD : \(\vec f_N=-mR\dot\theta^2\vec u_r\).

5) Sol parfaitement glissant

Sans frottement, aucune force pour courber la trajectoire : la voiture irait tout droit (1ʳᵉ loi).

6) Frottement insuffisant

La voiture dérape (part vers l'extérieur, tourne trop peu).

7) La force centrifuge fait-elle tourner la voiture ?

Enfant à \(r=R\) constant, le manège s'arrête en ¼ de tour.

1) Accélération

\(r=R\) cte, \(\dot\theta\) variable : \(\vec a=-R\dot\theta^2\vec u_r+R\ddot\theta\vec u_\theta\).

2) Interprétation

Masse \(m=100\) g, fil \(L=1\) m, \(\theta_0=5°\), sans vitesse ni frottement.

1–3) Cadre, accélération, PFD

Coordonnées polaires (rotation autour d'un point). \(r=L\) cte ⇒ \(\vec a=-L\dot\theta^2\vec u_r+L\ddot\theta\vec u_\theta\). Forces : poids \(\vec P=mg\cos\theta\,\vec u_r-mg\sin\theta\,\vec u_\theta\), tension \(\vec T=-T\vec u_r\). PFD :

\[\begin{cases}-mL\dot\theta^2=mg\cos\theta-T &(\vec u_r)\\ mL\ddot\theta=-mg\sin\theta &(\vec u_\theta)\end{cases}\]

4) Petits angles (\(\sin\theta\approx\theta\))

\(\ddot\theta+\dfrac{g}{L}\theta=0\) : oscillateur harmonique, \(\omega_0=\sqrt{g/L}\). Avec \(\theta(0)=\theta_0,\dot\theta(0)=0\) : \(\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_0 t)\).

5–7) Angle max, période

\(\theta_{max}=\theta_0\) (ne remonte pas plus haut). \(T=2\pi\sqrt{L/g}=2\pi\sqrt{1/9{,}81}\approx2{,}0\) s (demi-période ≈ 1 s ⇒ « bat la seconde »). La période ne dépend pas de \(m\). Pendule de Foucault (\(L=63\) m) : \(T=2\pi\sqrt{63/9{,}81}\approx16\) s.

8–10) Vitesses max, tension en bas

\(\dot\theta=-\omega_0\theta_0\sin(\omega_0 t)\), \(|\dot\theta|_{max}=\omega_0\theta_0 =\sqrt{9{,}81}\times\tfrac{5\pi}{180}\approx0{,}27\) rad·s⁻¹. \(v_{max}=L\omega_0\theta_0\approx0{,}27\) m·s⁻¹, atteinte en bas (\(\theta=0\)). La tension y vaut \(T=mg+mL\omega_0^2\theta_0^2>mg\) (l'accélération centripète « alourdit » le pendule).

Pendule tournant en cône, fil de longueur \(L\), angle \(\alpha\) avec la verticale, rayon \(R\) et altitude \(z\) constants. Coordonnées cylindriques.

1–3) Cadre, cinématique, forces

\(r=R\) cte : \(\vec a=-R\dot\theta^2\vec u_r+R\ddot\theta\vec u_\theta\), \(\vec v=R\dot\theta\vec u_\theta\). Forces : poids \(-mg\vec u_z\), tension \(\vec T=-T\sin\alpha\,\vec u_r+T\cos\alpha\,\vec u_z\) (aucune composante selon \(\vec u_\theta\)).

4) PFD projeté

\[\begin{cases}-mR\dot\theta^2=-T\sin\alpha &(\vec u_r)\\ mR\ddot\theta=0 &(\vec u_\theta)\\ 0=T\cos\alpha-mg &(\vec u_z)\end{cases}\]

5–7) Conséquences

(2) ⇒ \(\ddot\theta=0\Rightarrow\dot\theta=\)cte ; alors (1) ⇒ \(\alpha=\)cte. (3) ⇒ \(T=\dfrac{mg}{\cos\alpha}\). En injectant dans (1) : \(\dot\theta=\omega=\sqrt{\dfrac{g}{R}\tan\alpha}\) (car \(R=L\sin\alpha\)).

8) Fil horizontal impossible

Associer (sans calcul) chaque schéma à un graphe et à une équation : \(\ddot z+\omega_0^2 z=0\) (1) ou \(\ddot z+\omega_0^2 z=\)cte (2).

Principe : il suffit de regarder autour de quoi le ressort oscille. Oscillation autour de \(0\) ⇒ pas de second membre (équation 1). Oscillation autour d'une valeur non nulle ⇒ second membre (équation 2), la constante fixe la position d'équilibre.

\(m=100\) g, \(k=5{,}0\) N·m⁻¹, \(L_{vide}=20\) cm, comprimé de 10 cm et lâché sans vitesse. Traité avec deux origines (attache du ressort / position d'équilibre).

Repère 1 — origine à l'attache (\(x=L\))

PFD sur \(x\) : \(m\ddot x=-k(x-L_{vide})\Rightarrow\ddot x+\dfrac{k}{m}x=\dfrac{k}{m}L_{vide}\) (avec second membre). Solution : \(x(t)=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t+L_{vide}\). CI \(x(0)=x_0=10\) cm, \(\dot x(0)=0\) ⇒ \(B=0,\ A=x_0-L_{vide}=-10\) cm :

\[x(t)=(x_0-L_{vide})\cos(\omega_0 t)+L_{vide}\]

Oscillation autour de \(L_{vide}\), amplitude 10 cm.

Repère 2 — origine à l'équilibre (\(x=L-L_{vide}\))

PFD : \(m\ddot x=-kx\Rightarrow\ddot x+\omega_0^2 x=0\) (sans second membre). CI \(x(0)=-10\) cm, \(\dot x(0)=0\) : \(x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)\), oscillation autour de 0, amplitude 10 cm.

Période, conclusion

\(\omega_0=\sqrt{k/m}\), \(T=\dfrac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{0{,}1/5}\approx0{,}89\) s (identique dans les deux repères).

\(m=1{,}0\) kg, \(k=10\) N·m⁻¹, \(L_{vide}=10\) cm, axe \(Oz\) vers le bas, origine à \(L_{eq}\), \(g=10\).

2) Longueur d'équilibre

À l'équilibre : \(mg-k(L_{eq}-L_{vide})=0\Rightarrow L_{eq}=\dfrac{mg}{k}+L_{vide}\).

3–5) Astuce du « \(+L_{eq}-L_{eq}\) »

Avec \(z=L-L_{eq}\), le PFD \(m\ddot z=mg-k(L-L_{vide})\) se réécrit en insérant \(L_{eq}\) : \(m\ddot z=mg-k(z+\tfrac{mg}{k})=-kz\). Le poids disparaît (absorbé par le décalage d'équilibre).

6) Forme canonique et solution

\(\ddot z+\omega_0^2 z=0\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}\), \(z(t)=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t\).

7–8) Deux jeux de CI

• Étiré de 5 cm sans vitesse : \(z(t)=z_0\cos(\omega_0 t)\), amplitude 5 cm. • Lâché de \(z=0\) à \(\dot z_0=0{,}1\) m·s⁻¹ : \(z(t)=\dfrac{\dot z_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)\), amplitude \(\dfrac{0{,}1}{\sqrt{10}}\approx3{,}2\) cm. Dans les deux cas \(T=2\pi\sqrt{m/k}=2{,}0\) s.

9–10) Différence avec l'horizontal

Ressort \(k\) sur plan incliné d'angle \(\alpha\), masse \(m\).

1) Allongement à l'équilibre

Projection du PFD sur le plan (\(x\) le long, vers le bas) à l'équilibre : \(mg\sin\alpha-k(L_{eq}-L_0)=0\Rightarrow\Delta L=L_{eq}-L_0=\dfrac{mg\sin\alpha}{k}\).

2–3) Équation et période (origine à l'équilibre)

Même astuce qu'au vertical : \(m\ddot x=-kx\Rightarrow\ddot x+\omega_0^2 x=0\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}\). La période \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) est identique à celle du ressort vertical (l'inclinaison ne change que la position d'équilibre, pas la pulsation).

4–5) Résolutions

Étiré de \(x_0\) sans vitesse : \(x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)\). Pichenette \(v_0\) vers le haut depuis l'équilibre : \(x(t)=-\dfrac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)\).

\(x(t)=5\,e^{-t/2}[\cos(4t)+0{,}1\sin(4t)]\). Combien d'oscillations avant que l'amplitude passe sous 0,5 m ? avant −95 % ? −99 % ?

Comme \(B=0{,}1\ll1\), l'amplitude est pilotée par l'enveloppe \(5\,e^{-t/2}\) (\(\tau=2\) s). La pseudo-période vaut \(T=\dfrac{2\pi}{\Omega}=\dfrac{2\pi}{4}\approx1{,}57\) s.

\(m=150\) g, \(k=5{,}00\) N·m⁻¹, frottement fluide \(\lambda\), origine à l'équilibre, étiré de \(x_0=10{,}0\) cm sans vitesse.

1–2) PFD et forme canonique

Forces selon \(x\) : rappel \(-kx\) et frottement \(-\lambda\dot x\). D'où :

\[m\ddot x=-kx-\lambda\dot x\ \Rightarrow\ \ddot x+\frac{\lambda}{m}\dot x+\frac{k}{m}x=0 \ \equiv\ \ddot x+\frac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2 x=0\]

avec \(\omega_0=\sqrt{k/m}=5{,}77\) rad·s⁻¹ et \(Q=\dfrac{m\omega_0}{\lambda}=\dfrac{\sqrt{km}}{\lambda}\).

3) Deux cas selon \(Q\)

\(\lambda=0{,}08\) kg·s⁻¹ : \(Q=\dfrac{\sqrt{5\times0{,}15}}{0{,}08}\approx10{,}8>\tfrac12\) → pseudo-périodique. \(x(t)=e^{-t/\tau}[A\cos\Omega t+B\sin\Omega t]\), \(\tau=\dfrac{2Q}{\omega_0}\approx3{,}74\) s, \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^2}}\approx5{,}76\) rad·s⁻¹. CI (\(x_0,\dot x(0)=0\)) : \(A=x_0\), \(B=\dfrac{x_0}{\tau\Omega}\), soit :

\[x(t)=x_0\,e^{-t/\tau}\left[\cos\Omega t+\frac{1}{\tau\Omega}\sin\Omega t\right]\]

\(\lambda=3{,}10\) kg·s⁻¹ : \(Q\approx0{,}28<\tfrac12\) → apériodique (pas d'oscillation, retour lent) : \(x(t)=e^{-t/\tau}[A e^{\beta t}+B e^{-\beta t}]\) avec \(\beta=\omega_0\sqrt{\tfrac{1}{4Q^2}-1}\approx8{,}54\) rad·s⁻¹.

4) Retour le plus rapide sans oscillation (régime critique \(Q=\tfrac12\))

\[\frac12=\frac{\sqrt{km}}{\lambda}\ \Rightarrow\ \lambda=2\sqrt{km}=2\sqrt{5\times0{,}15}\approx1{,}73\ \text{kg·s}^{-1}\]

Caisse poussée par \(\vec F\), frottement solide. \(m=20\) kg, elle bouge dès \(F=30\) N (force horizontale).

1) Force horizontale, caisse immobile

Équilibre : \(f=F\), \(N=mg\). Or \(f\le\mu_s N\), donc \(\mu_s\ge\dfrac{F}{mg}\).

2) Coefficient statique

Au démarrage, égalité : \(\mu_s=\dfrac{F}{mg}=\dfrac{30}{20\times10}=0{,}15\).

3) Force oblique à \(\alpha\) vers le haut (\(F=30\) N)

La composante verticale \(F\sin\alpha\) « soulage » le sol : \(N=mg-F\sin\alpha\) (frottement réduit), mais la traction horizontale \(F\cos\alpha\) diminue aussi. La caisse reste immobile tant que \(f<\mu_s N\), soit :

\[\cos\alpha+\mu_s\sin\alpha<1\]

Projectile à \(v_0\) fixé, angle \(\theta\in[0,\pi]\). Trouver la zone atteignable.

1–2) Équations horaires et trajectoire

\[x=v_0\cos\theta\,t,\quad y=-\tfrac12 gt^2+v_0\sin\theta\,t,\quad y(x)=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2+\tan\theta\,x\ (\text{parabole})\]

3–4) Altitude et portée maximales

\(y_{max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\), max pour \(\theta_1=\dfrac{\pi}{2}\) (tir vertical). \(x_{max}=\dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)\), max pour \(\theta_2=\dfrac{\pi}{4}\).

5–6) Zone atteignable et courbe de sûreté

Un point \(M_0(x_0,y_0)\) est atteint si l'équation \(y_0=y(x_0)\) a une solution en \(\theta\). En utilisant \(\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\), elle devient du 2ᵈ degré en \(\tan\theta\) :

\[\tan^2\theta-\frac{2v_0^2}{gx_0}\tan\theta+\left(1+\frac{2v_0^2 y_0}{gx_0^2}\right)=0\]

Discriminant \(\Delta>0\) : deux angles possibles ; \(\Delta<0\) : point inatteignable. La frontière \(\Delta=0\) donne la parabole de sûreté :

\[\boxed{\ y_0=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g\,x_0^2}{2v_0^2}\ }\]

Bille sphérique lâchée sans vitesse dans l'huile, frottement \(-\lambda\vec v\), poussée d'Archimède, \(\rho_L\) (liquide), \(\rho_B\) (bille).

2) Mise en équation

Axe \(Oz\) vers le bas. Forces : poids \(\rho_B Vg\), frottement \(-\lambda\dot z\), Archimède \(-\rho_L Vg\). PFD (\(m=\rho_B V\)) :

\[\rho_B V\ddot z=\rho_B Vg-\lambda\dot z-\rho_L Vg\ \Rightarrow\ \ddot z+\frac{1}{\tau}\dot z=gD,\quad D=1-\frac{\rho_L}{\rho_B},\ \tau=\frac{m}{\lambda}\]

3) Résolution et vitesse limite

Ordre 1 en \(\dot z\). Solution particulière \(v_{lim}=\tau g D\), homogène \(Ae^{-t/\tau}\). CI \(\dot z(0)=0\) ⇒ \(A=-v_{lim}\) :

\[\dot z(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad v_{lim}=\tau g D=\frac{mg}{\lambda}\left(1-\frac{\rho_L}{\rho_B}\right)\]

4–6) Régimes et écart relatif

Régime transitoire (exponentielle) puis permanent (\(v_{lim}\)) après ~\(5\tau\). La tangente à l'origine coupe \(v_{lim}\) en \(t=\tau\). Écart relatif \(\varepsilon(t)=e^{-t/\tau}\) : \(\varepsilon(\tau)=37\%\), \(\varepsilon(3\tau)=5\%\), \(\varepsilon(5\tau)=0{,}7\%\).

7) Équation horaire

\[z(t)=v_{lim}\left[t+\tau e^{-t/\tau}\right]-\tau v_{lim}\]

Tir à \(v_0,\theta\), frottement \(-\lambda\vec v\). \(\tau=\dfrac{m}{\lambda}\), \(v_{lim}=\dfrac{mg}{\lambda}=\tau g\).

1) Équations horaires (PFD projeté, chaque axe est un ordre 1)

\(\ddot x+\dfrac{1}{\tau}\dot x=0\) et \(\ddot y+\dfrac{1}{\tau}\dot y=-g\). Avec les CI :

\[\dot x=v_0\cos\theta\,e^{-t/\tau},\qquad \dot y=[v_{lim}+v_0\sin\theta]e^{-t/\tau}-v_{lim}\] \[x(t)=\tau v_0\cos\theta\,(1-e^{-t/\tau}),\quad y(t)=-\tau[v_{lim}+v_0\sin\theta](e^{-t/\tau}-1)-v_{lim}\,t\]

2) Abscisse de l'apogée (\(\dot y=0\))

\[x_{apogée}=\tau v_0^2\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{v_{lim}+v_0\sin\theta}\]

3) Limites en \(t\to\infty\)

\(x_\infty=\tau v_0\cos\theta\) (asymptote verticale) et \(y_\infty=-\infty\). En pratique aucune n'est atteinte : le projectile touche le sol avant.

4) Allure

Palet sur planche d'inclinaison \(\theta\) réglable, frottement solide (\(\mu_s,\mu_D\)).

1) Angle critique de mise en mouvement

Statique : \(f=mg\sin\theta\), \(N=mg\cos\theta\). Condition \(f<\mu_s N\) : \(\tan\theta<\mu_s\). Donc l'angle critique vérifie \(\boxed{\mu_s=\tan\theta_c}\).

2) Équation du mouvement (à \(\theta=\theta_c\))

En mouvement, \(f=\mu_D N=\mu_D mg\cos\theta_c\). Sur \(x\) : \(m\ddot x=mg\sin\theta_c-\mu_D mg\cos\theta_c\). En factorisant \(\cos\theta_c\) et via \(\tan\theta_c=\mu_s\) :

\[\ddot x=g\cos\theta_c\,(\mu_s-\mu_D)\]

3) Vitesse, position, arrêt ?

\(\dot x=g\cos\theta_c(\mu_s-\mu_D)t\), \(x=\tfrac12 g\cos\theta_c(\mu_s-\mu_D)t^2\). Accélération constante ⇒ le palet ne s'arrête jamais spontanément.

4) \(\mu_s>\mu_D\)

4 systèmes ressort (\(k\)) + amortisseur (\(\lambda\)), masse \(M\) répartie. Châssis abaissé de \(h\) puis relâché.

1) Équilibre

Les 4 ressorts portent \(M\) : \(L_e=L_0-\dfrac{Mg}{4k}\), garde au sol \(z_e=R+L_e=R+L_0-\dfrac{Mg}{4k}\).

2a) Équation canonique

PFD \(M\ddot z=-Mg-4k(L-L_0)-4\lambda\dot z\) (avec \(L=z-R\)) :

\[\ddot z+\frac{\omega_0}{Q}\dot z+\omega_0^2 z=\omega_0^2 z_e,\quad \omega_0=2\sqrt{\frac{k}{M}},\ Q=\frac{\sqrt{kM}}{2\lambda}\]

2b) Réglage confort (régime critique)

Retour le plus rapide sans osciller ⇒ \(Q=\tfrac12\Rightarrow\lambda=\sqrt{kM}\).

2c) Solution (critique)

\(z(t)=z_e-h\,e^{-\omega_0 t}(\omega_0 t+1)\) (avec CI \(z(0)=z_e-h,\dot z(0)=0\)).

3) Voiture chargée (\(M'=1580\) au lieu de 1100 kg)

\(Q'=\dfrac12\sqrt{\dfrac{M'}{M}}=\dfrac12\sqrt{\dfrac{1580}{1100}}\approx0{,}60>\tfrac12\) : régime pseudo-périodique, \(z(t)=z_e-h\,e^{-t/\tau}\big[\cos\Omega t+\tfrac{1}{\Omega\tau}\sin\Omega t\big]\).

Enfant glissant sans frottement depuis le sommet d'un igloo hémisphérique de rayon \(R\). Trouver l'angle où il décolle.

2–3) Forces et PFD (polaires)

Poids \(-mg\sin\theta\,\vec u_r-mg\cos\theta\,\vec u_\theta\), réaction \(N\vec u_r\) (\(\theta\) mesuré depuis l'horizontale). \(r=R\) :

\[\begin{cases}-mR\dot\theta^2=-mg\sin\theta+N &(\vec u_r)\\ mR\ddot\theta=-mg\cos\theta &(\vec u_\theta)\end{cases}\]

4) Intégrale première (× \(\dot\theta\))

\(mR\dot\theta\ddot\theta=-mg\dot\theta\cos\theta\) se reconnaît comme \(\tfrac{d}{dt}(\tfrac12 R\dot\theta^2)=-g\tfrac{d}{dt}\sin\theta\). En intégrant (CI \(\dot\theta=0\) à \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\)) : \(R\dot\theta^2=2g(1-\sin\theta)\).

5–6) Réaction et décollage

En injectant dans l'équation radiale : \(N=3mg\left(\sin\theta-\dfrac{2}{3}\right)\). Le décollage se produit quand \(N=0\) :

\[\sin\theta_d=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ \theta_d=\arcsin\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx41{,}8°\]

7) Suite

Anneau sur cerceau vertical de rayon \(R\), sans frottement, lâché de \(\theta_0\ll1\).

2–3) PFD et petits angles

Poids \(mg\cos\theta\,\vec u_r-mg\sin\theta\,\vec u_\theta\), réaction \(-N\vec u_r\). L'équation orthoradiale donne \(\ddot\theta+\dfrac{g}{R}\theta=0\) (petits angles) : oscillateur, \(\omega_0=\sqrt{g/R}\), \(\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_0 t)\).

4) Vitesses angulaires

\(\dot\theta=-\theta_0\omega_0\sin(\omega_0 t)\) : nulle en haut (\(\theta=\theta_0\)), maximale en bas \(|\dot\theta_{bas}|=\theta_0\omega_0\).

5) Réaction

Équation radiale \(-mR\dot\theta^2=mg\cos\theta-N\Rightarrow N=mg\cos\theta+mR\dot\theta^2\). En haut (\(\dot\theta=0\)) : \(N=mg\cos\theta_0\). En bas (\(\theta=0\)) : \(N=mg+mR\theta_0^2\omega_0^2=mg(1+\theta_0^2)\) (car \(R\omega_0^2=g\)).

Pendule simple (longueur \(L\), masse \(m\)) faisant un tour complet.

2–3) Tension

Si \(T=0\), le fil ne tire plus : le pendule tomberait. Pour un looping, \(T>0\) partout. Équation radiale : \(-mL\dot\theta^2=mg\cos\theta-T\Rightarrow T=mL\dot\theta^2+mg\cos\theta\).

4) Condition en haut (\(\theta=\pi\))

Il faut \(T\ge0\) : \(mL\dot\theta^2\ge mg\Rightarrow\dot\theta\ge\sqrt{\dfrac{g}{L}}\) au sommet.

Bille dans un tube horizontal tournant à \(\omega\) fixe, lâchée sans vitesse à \(r_0\), sans frottement.

1–2) Cinématique et forces

Cylindriques, \(z=0\), \(\theta=\omega t\), \(\ddot\theta=0\). \(\vec a=(\ddot r-r\omega^2)\vec u_r+2\dot r\omega\,\vec u_\theta\). Forces : poids \(-mg\vec u_z\), réaction du tube \(R_\theta\vec u_\theta+R_z\vec u_z\) (aucune composante radiale : pas de frottement).

3) PFD et équation du mouvement

\[\begin{cases}m(\ddot r-r\omega^2)=0\\ 2m\dot r\omega=R_\theta\\ 0=R_z-mg\end{cases}\ \Rightarrow\ \ddot r-\omega^2 r=0\]

Le signe « − » (au lieu de « + ») est normal : la solution diverge (la bille s'éloigne indéfiniment du centre), conformément à l'intuition.

4–5) Résolution

\(r=Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}\), CI \(r(0)=r_0,\dot r(0)=0\) ⇒ \(A=B=\dfrac{r_0}{2}\), soit \(r(t)=r_0\cosh(\omega t)\). Comme \(\theta\) et \(r\) croissent, la trajectoire est une spirale divergente.

Tintin tente de soulever une poutre avec une poulie fixe. Pourquoi est-ce vain ?

Une poulie fixe ne fait que rediriger la force (elle ne la multiplie pas). Système = Tintin (au sol) : poids \(-mg\vec u_z\), tension \(T\vec u_z\), réaction \(N\vec u_z\). Équilibre : \(N=mg-T\).

Pancarte \(m=60\) kg, câble + barre (masses négligeables), angle câble/barre 30°.

Équilibre : câble en tension \(T\) le long du fil, barre en compression \(F\) horizontale.

\[\begin{cases}F-T\cos30°=0\\ -mg+T\sin30°=0\end{cases}\ \Rightarrow\ T=\frac{mg}{\sin30°}=\frac{600}{0{,}5}=1200\ \text{N}\] \[F=T\cos30°=1200\times\frac{\sqrt3}{2}\approx1040\ \text{N}\]

Sphère \(m=45\) g, charge \(+q\), écartée de \(\theta=36°\) par une charge \(-q\) à \(d=22\) cm (même hauteur), \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\).

Équilibre : poids, tension \(-T\sin\theta\,\vec u_x+T\cos\theta\,\vec u_z\), force de Coulomb (attractive, horizontale) \(F=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\).

\[\begin{cases}-T\sin\theta+F=0\\ -mg+T\cos\theta=0\end{cases}\ \Rightarrow\ T=\frac{mg}{\cos\theta}=\frac{0{,}045\times10}{\cos36°}\approx0{,}56\ \text{N}\] \[q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0\,d^2\,T\sin\theta}=\sqrt{\frac{d^2 T\sin\theta}{9\times10^9}}\approx1{,}3\times10^{-6}\ \text{C}\]

Masse sur un plateau, reliée à un ressort vertical (raideur \(k\), longueur à vide \(L_0\)) fixé en haut à la hauteur \(h\). Équilibre.

Forces : poids \(-mg\vec u_z\), ressort \(+k(L-L_0)\vec u_z\) (ici \(L=h\)), réaction plateau \(N\vec u_z\). Équilibre : \(N=mg-k(h-L_0)\).

Condition \(N>0\) (la masse repose bien sur le plateau) :

\[h<\frac{mg}{k}+L_0=h_{max}\]

Pierre \(m=10\) kg, \(M_{Terre}=6\times10^{24}\) kg. Force Terre→pierre ? Déplacement de la Terre en 1 s de chute ?

Force Terre→pierre : \(mg=100\) N. Par la 3ᵉ loi, la pierre attire la Terre avec 100 N. PFD sur la Terre : \(Ma=mg\Rightarrow a=\dfrac{m}{M}g\). Déplacement en 1 s :

\[x=\frac{1}{2}\frac{m}{M}g\,t^2=\frac{1}{2}\frac{100}{6\times10^{24}}\times1^2\approx8\times10^{-24}\ \text{m}\]

\(m=100\) g, \(\lambda=5{,}00\times10^{-2}\) kg·s⁻¹, \(L=50{,}0\) cm, lâché de 30° sans vitesse, petits angles, \(g=9{,}81\).

Équation et solution

PFD orthoradial : \(mL\ddot\theta=-mg\sin\theta-\lambda L\dot\theta\). Petits angles :

\[\ddot\theta+\frac{\lambda}{m}\dot\theta+\frac{g}{L}\theta=0 \equiv\ddot\theta+\frac{\omega_0}{Q}\dot\theta+\omega_0^2\theta=0,\quad \omega_0=\sqrt{\tfrac{g}{L}}=4{,}43\ \text{rad·s}^{-1},\ Q=\frac{m}{\lambda}\omega_0\approx8{,}88\]

\(Q>\tfrac12\) ⇒ pseudo-périodique : \(\theta(t)=\theta_0 e^{-t/\tau}\big[\cos\Omega t+\tfrac{1}{\tau\Omega}\sin\Omega t\big]\), \(\tau=\tfrac{2Q}{\omega_0}\approx4{,}0\) s, \(\Omega\approx\omega_0\) (car \(Q>2\)), \(T=\tfrac{2\pi}{\Omega}\approx1{,}42\) s.

Nombre d'oscillations avant \(<5°\)

L'amplitude \(\theta_0 e^{-t/\tau}=5°\) ⇒ \(t=-\tau\ln\!\left(\tfrac{5}{30}\right)\approx7{,}2\) s, soit \(N=\tfrac{t}{T}\approx5\) oscillations.

Altitude

Géométrie : \(z(t)=L[1-\cos\theta(t)]\).

\(L_{vide}=5{,}0\) cm, \(k=140\) N·m⁻¹, \(m=1{,}4\) kg, \(\lambda=7{,}0\) N·s·m⁻¹. Deux CI. Période, équation horaire, oscillations avant amplitude 1 mm.

Équation (origine à l'équilibre)

Comme au ressort vertical non amorti, le poids disparaît : \(\ddot z+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot z+\omega_0^2 z=0\), \(\omega_0=\sqrt{k/m}=10\) rad·s⁻¹, \(Q=\dfrac{\sqrt{km}}{\lambda}=2>\tfrac12\) → pseudo-périodique. \(\tau=\tfrac{2Q}{\omega_0}=0{,}4\) s, \(\Omega=\omega_0\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^2}}\approx9{,}7\) rad·s⁻¹, \(T=\tfrac{2\pi}{\Omega}\approx0{,}65\) s (identique pour les deux CI).

Cas 1 — étiré de 10 cm sans vitesse

\(z(t)=z_0 e^{-t/\tau}\big[\cos\Omega t+\tfrac{1}{\Omega\tau}\sin\Omega t\big]\). Amplitude ≈ \(z_0 e^{-t/\tau}\) ; \(=1\) mm en \(t=-\tau\ln(10^{-3}/10^{-1})\approx1{,}8\) s ⇒ \(N\approx2{,}8\) oscillations.

Cas 2 — lâché de l'équilibre à \(\dot z_0=0{,}1\) m·s⁻¹

\(z(t)=\dfrac{\dot z_0}{\Omega}e^{-t/\tau}\sin\Omega t\). Amplitude \(=1\) mm en \(t=-\tau\ln(10^{-3}/10^{-2})\approx0{,}92\) s ⇒ \(N\approx1{,}4\) oscillation.

Ressort avec masse : on donne \(x_0\) et \(v_0\) « qui se compensent ». L'amplitude est-elle plus grande ou plus petite que sans vitesse initiale ?

On écrit \(z(t)=A\cos(\omega_0 t+\varphi)\), \(\dot z=-A\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi)\). CI : \(A\cos\varphi=z_0\), \(A\sin\varphi=-\dfrac{v_0}{\omega_0}\). Somme des carrés :

\[A=\sqrt{z_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega_0}\right)^2}\]

Pendule conique (longueur \(L\), masse \(m\)), angle \(\alpha\) avec la verticale (notation, pas donnée). Équations horaires, tension, vitesse angulaire limite.

PFD (cylindriques, \(\dot\theta=\omega\) cte)

\[\begin{cases}m(\ddot r-r\omega^2)=-T\sin\alpha\\ 2m\dot r\omega=0\\ m\ddot z=T\cos\alpha-mg\end{cases}\quad\text{et }L=\sqrt{r^2+z^2}\]

(2) ⇒ \(\dot r=0\Rightarrow r=R\) cte : circulaire uniforme, \(z=\sqrt{L^2-R^2}\) cte.

Tension et angle

De (1)+(3) avec \(R=L\sin\alpha\) : \(T=mL\omega^2\), puis \(\cos\alpha=\dfrac{g}{L\omega^2}\).

Vitesse angulaire limite

Comme \(\cos\alpha<1\) : \(\dfrac{g}{L\omega^2}<1\Rightarrow\omega>\sqrt{\dfrac{g}{L}}=\omega_{lim}\). En dessous, le pendule reste vertical (\(\alpha=0\)).

\[R=L\sqrt{1-\frac{g^2}{L^2\omega^4}}\qquad(\omega\to\infty\Rightarrow R\to L,\text{ fil horizontal})\]

Flèche : \(H_F=1{,}8\) m, \(x_F=0\), \(v_0=10\) m/s, \(\alpha=45°\). Singe : \(d=3{,}0\) m, lâché sans vitesse de \(H_S=5{,}0\) m. \(g=10\). Touché si croisement à moins de 0,1 s d'écart.

Trajectoires

Flèche : \(x_F=v_0\cos\alpha\,t\), \(y_F=-\tfrac12 gt^2+v_0\sin\alpha\,t+H_F\). Singe : \(x_S=d\), \(y_S=-\tfrac12 gt^2+H_S\).

La flèche atteint l'abscisse du singe

\(t=\dfrac{d}{v_0\cos\alpha}=\dfrac{3}{10\cos45°}\approx0{,}42\) s ; à cet instant \(y_F\approx3{,}9\) m. Le singe est alors à \(y_S=-\tfrac12\times10\times0{,}42^2+5\approx4{,}1\) m (20 cm au-dessus).

Écart temporel au croisement

Le singe passe par la hauteur 3,9 m à \(t_S=\sqrt{\dfrac{2(H_S-3{,}9)}{g}}\approx0{,}47\) s. Écart avec la flèche : \(|0{,}47-0{,}42|=0{,}05\) s \(<0{,}1\) s.