Trigonométrie et fonctions réelles

On met sous forme \(R\cos(x+\varphi)\). Ici \(R=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2\) :

L'équation devient \(\cos\!\big(x+\tfrac\pi3\big)=\tfrac12=\cos\tfrac\pi3\), donc \(x+\tfrac\pi3\equiv\pm\tfrac\pi3\,[2\pi]\).

On écrit \(3x=2x+x\) et on applique addition puis duplication :

Domaine.

Il faut \(\dfrac{1+x}{1-x}>0\), soit (tableau de signes) \(-1

Parité.

Pour \(x\in\,]-1,1[\) : \(f(-x)=\ln\dfrac{1-x}{1+x}=\ln\Big(\dfrac{1+x}{1-x}\Big)^{-1}=-\ln\dfrac{1+x}{1-x}=-f(x)\).

(a) \(\cos x=-1\)

\(x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\)

(b) \(\sin x=\tfrac12=\sin\tfrac\pi6\)

\(x=\tfrac\pi6+2k\pi\) ou \(x=\tfrac{5\pi}6+2k\pi\)

(c) \(\tan x=\sqrt3=\tan\tfrac\pi3\)

\(x=\tfrac\pi3+k\pi\)

(d) \(\sin(3x)=1\)

\(3x=\tfrac\pi2+2k\pi\).

\(x=\tfrac\pi6+\tfrac{2k\pi}3\)

(e) \(\sin x\cos x=\tfrac12\)

\(\tfrac12\sin(2x)=\tfrac12\Rightarrow\sin(2x)=1\Rightarrow 2x=\tfrac\pi2+2k\pi\).

\(x=\tfrac\pi4+k\pi\)

(f) \(\tan x=2\sin x\)

\(\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\sin x\Rightarrow\sin x\Big(\dfrac1{\cos x}-2\Big)=0\Rightarrow\sin x=0\) ou \(\cos x=\tfrac12\).

\(x=k\pi\) ou \(x=\pm\tfrac\pi3+2k\pi\)

(g) \(\tan(2x)=\tan\!\big(\tfrac\pi4+x\big)\)

\(2x\equiv\tfrac\pi4+x\,[\pi]\Rightarrow x\equiv\tfrac\pi4\,[\pi]\). Mais alors \(2x=\tfrac\pi2+2k\pi\), où \(\tan(2x)\) n'est pas défini : ces valeurs sont exclues.

\(S=\varnothing\) (aucune solution : le seul candidat annule \(\cos(2x)\)).

(h) \(\cos(3x)=\sin x\)

\(\sin x=\cos\!\big(\tfrac\pi2-x\big)\), donc \(3x\equiv\tfrac\pi2-x\,[2\pi]\) ou \(3x\equiv-(\tfrac\pi2-x)\,[2\pi]\).

\(x=\tfrac\pi8+\tfrac{k\pi}2\) ou \(x=-\tfrac\pi4+k\pi\)

(i) \(\cos\!\big(\tfrac x3\big)=\sin\!\big(2x-\tfrac\pi3\big)\)

\(\sin(2x-\tfrac\pi3)=\cos\!\big(\tfrac{5\pi}6-2x\big)\), d'où \(\tfrac x3\equiv\tfrac{5\pi}6-2x\,[2\pi]\) ou \(\tfrac x3\equiv-(\tfrac{5\pi}6-2x)\,[2\pi]\).

\(x=\tfrac{5\pi}{14}+\tfrac{6k\pi}7\) ou \(x=\tfrac\pi2+\tfrac{6k\pi}5\)

(a) \(\cos x\geqslant\tfrac12\)

\(\cos x\geqslant\tfrac12\) autour de \(0\), entre \(-\tfrac\pi3\) et \(\tfrac\pi3\).

Sur \([0,2\pi[\) : \([0,\tfrac\pi3]\cup[\tfrac{5\pi}3,2\pi[\) ; sur \(]-\pi,\pi]\) : \([-\tfrac\pi3,\tfrac\pi3]\)

(b) \(\sin(2x)\geqslant\tfrac12\)

\(\sin(2x)\geqslant\tfrac12\Rightarrow 2x\in[\tfrac\pi6+2k\pi,\tfrac{5\pi}6+2k\pi]\Rightarrow x\in[\tfrac\pi{12}+k\pi,\tfrac{5\pi}{12}+k\pi]\).

Sur \([0,2\pi[\) : \([\tfrac\pi{12},\tfrac{5\pi}{12}]\cup[\tfrac{13\pi}{12},\tfrac{17\pi}{12}]\) ; sur \(]-\pi,\pi]\) : \([-\tfrac{11\pi}{12},-\tfrac{7\pi}{12}]\cup[\tfrac\pi{12},\tfrac{5\pi}{12}]\)

(c) \(\tan x\leqslant 1\)

Sur chaque branche \(]{-\tfrac\pi2}+k\pi,\tfrac\pi2+k\pi[\), \(\tan\) croît et vaut \(1\) en \(\tfrac\pi4+k\pi\).

Sur \([0,2\pi[\) : \([0,\tfrac\pi4]\cup\,]\tfrac\pi2,\tfrac{5\pi}4]\cup\,]\tfrac{3\pi}2,2\pi[\) ; sur \(]-\pi,\pi]\) : \(]-\pi,-\tfrac{3\pi}4]\cup\,]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi4]\cup\,]\tfrac\pi2,\pi]\)

(a) \(\cos(x-\pi)=-\cos x\)

\(\tfrac45\)

(b) \(\cos(-\pi-x)=\cos(\pi+x)=-\cos x\)

\(\tfrac45\)

(c) \(\cos(-2\pi+x)=\cos x\)

\(-\tfrac45\)

(d) \(\cos(-2\pi-x)=\cos x\)

\(-\tfrac45\)

(e) \(\sin x\)

\(\sin^2x=1-\tfrac{16}{25}=\tfrac9{25}\).

\(\sin x=\pm\tfrac35\) (signe non déterminé)

(f) \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)

\(\tan x=\mp\tfrac34\) (\(-\tfrac34\) si \(\sin x=\tfrac35\), \(+\tfrac34\) sinon)

(a) \(\cos\tfrac\pi{12}=\cos\tfrac\pi3\cos\tfrac\pi4+\sin\tfrac\pi3\sin\tfrac\pi4\)

\(=\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}2+\tfrac{\sqrt3}2\cdot\tfrac{\sqrt2}2\).

\(\cos\tfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\)

(b) \(\sin\tfrac\pi{12}=\sin\tfrac\pi3\cos\tfrac\pi4-\cos\tfrac\pi3\sin\tfrac\pi4\)

\(\sin\tfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\)

(c) \(\tan\tfrac\pi{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\)

Après rationalisation \(\times(\sqrt6-\sqrt2)\) :

\(\tan\tfrac\pi{12}=2-\sqrt3\)

(a) \(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)

\(\cos x=\cos^2\tfrac x2-\sin^2\tfrac x2=\dfrac{\cos^2\tfrac x2-\sin^2\tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2+\sin^2\tfrac x2}=\dfrac{1-\tan^2\tfrac x2}{1+\tan^2\tfrac x2}\).

\(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)

(b) \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\)

\(\sin x=2\sin\tfrac x2\cos\tfrac x2=\dfrac{2\sin\tfrac x2\cos\tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2+\sin^2\tfrac x2}=\dfrac{2\tan\tfrac x2}{1+\tan^2\tfrac x2}\).

\(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\)

(c) \(\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}\)

\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{2t/(1+t^2)}{(1-t^2)/(1+t^2)}\).

\(\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}\)

(a) \(f_1=\sqrt{1-x^2}\)

\(1-x^2\geqslant0\).

\(D=[-1,1]\)

(b) \(f_2=\sqrt{5x-x^2-6}\)

\(-x^2+5x-6\geqslant0\Leftrightarrow(x-2)(x-3)\leqslant0\).

\(D=[2,3]\)

(c) \(f_3=e^{\sqrt{x^2+x+1}}\)

\(x^2+x+1>0\) partout (\(\Delta<0\)).

\(D=\mathbb R\)

(d) \(f_4=\dfrac{x}{\sqrt{2-x}}\)

\(2-x>0\) (au dénominateur).

\(D=\,]-\infty,2[\)

(e) \(f_5=\dfrac{x}{x^2-3x+2}\)

\((x-1)(x-2)\neq0\).

\(D=\mathbb R\setminus\{1,2\}\)

(f) \(f_6=\dfrac1{\cos(2x)}\)

\(\cos(2x)\neq0\Rightarrow 2x\neq\tfrac\pi2+k\pi\).

\(D=\mathbb R\setminus\{\tfrac\pi4+\tfrac{k\pi}2\mid k\in\mathbb Z\}\)

(g) \(f_7=\ln(\sqrt{2x^2-2}-x)\)

\(2x^2-2\geqslant0\) (\(|x|\geqslant1\)) et \(\sqrt{2x^2-2}>x\). Si \(x\leqslant-1\) : toujours vrai ; si \(x\geqslant1\) : carré \(\Rightarrow x^2>2\Rightarrow x>\sqrt2\).

\(D=\,]-\infty,-1]\cup\,]\sqrt2,+\infty[\)

(h) \(f_8=\ln(3-x)+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}\)

\(3-x>0\), \(x-1\geqslant0\), \(x\neq2\).

\(D=[1,2[\cup\,]2,3[\)

(i) \(f_9=\sin\!\Big(\ln\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+3}\Big)\)

\(\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+3}>0\Rightarrow e^{2x}>1\Rightarrow x>0\).

\(D=\,]0,+\infty[\)

(a) \(f_1(x)=e^x-e^{-x}\)

\(f_1(-x)=e^{-x}-e^x=-f_1(x)\).

Impaire (c'est \(2\sinh x\)).

(b) \(f_2(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\)

\(f_2(-x)=\dfrac{e^{-2x}-1}{e^{-2x}+1}=\dfrac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}=-f_2(x)\) (\(\times e^{2x}\)).

Impaire (c'est \(\tanh x\)).

(c) \(f_3(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}\)

\(f_3(-x)=\dfrac{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}=f_3(x)\) (\(\times e^{2x}\)).

Paire.

(a) \(f_1(x)=\sin x\cos^2x\)

\(f_1(x+\pi)=(-\sin x)(\cos x)^2=-f_1(x)\), donc \(\pi\) n'est pas période, mais \(f_1(x+2\pi)=f_1(x)\).

Période fondamentale \(2\pi\).

(b) \(f_2(x)=\tan(3x)\)

\(\tan\) a pour période \(\pi\), donc \(\tan(3x)\) a pour période \(\tfrac\pi3\).

Période fondamentale \(\tfrac\pi3\).

(c) \(f_3(x)=x-\lfloor x\rfloor\)

\(f_3(x+1)=x+1-(\lfloor x\rfloor+1)=f_3(x)\).

Période fondamentale \(1\) (partie fractionnaire).

(a) Parité

• Si \(f\) est paire : \((g\circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=(g\circ f)(x)\) → \(g\circ f\) paire (quelle que soit \(g\)).
• Si \(f\) est impaire et \(g\) paire : \(g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))\) → \(g\circ f\) paire.
• Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux impaires : \(g(-f(x))=-g(f(x))\) → \(g\circ f\) impaire.

(b) Périodicité

Si \(f\) est \(T\)-périodique : \((g\circ f)(x+T)=g(f(x+T))=g(f(x))=(g\circ f)(x)\).

(a) Majorées ? Minorées ?

\(f\) : pour \(x<2\), \(x^2\to+\infty\) quand \(x\to-\infty\) : non majorée. Et \(f\geqslant0\) : minorée (par \(0\)).

\(g\) : pour \(x\leqslant1\), \(2+\sqrt{1-x}\to+\infty\) quand \(x\to-\infty\) : non majorée. Sur \(x>1\), \(g\in\,]1,2[\) ; sur \(x\leqslant1\), \(g\geqslant2\) : donc \(g>1\), minorée (borne inf \(1\), non atteinte).

(b) \(f\) a-t-elle un extremum global en \(2\) ?

\(f(2)=4\). Mais \(f(-3)=9>4\) (pas un max) et \(f(0)=0<4\) (pas un min).

(c) \(g\) a-t-elle un extremum global en \(1\) ?

\(g(1)=2\). À gauche (\(x<1\)) : \(g>2\) ; à droite (\(x>1\)) : \(g<2\). C'est un point de saut.

(a) Définition

\(f\) croissante : \(\forall(a,b)\in\mathbb R^2,\ a\leqslant b\Rightarrow f(a)\leqslant f(b)\).

(b) \(f+g\) croissante

\(a\leqslant b\Rightarrow f(a)\leqslant f(b)\) et \(g(a)\leqslant g(b)\) ; en additionnant, \((f+g)(a)\leqslant(f+g)(b)\).

(c) \(f,g\) positives

\(a\leqslant b\) : \(0\leqslant f(a)\leqslant f(b)\), \(0\leqslant g(a)\leqslant g(b)\). Alors \(f(a)g(a)\leqslant f(b)g(a)\leqslant f(b)g(b)\).

(d) \(f,g\) négatives

\(a\leqslant b\) : \(f(a)\leqslant f(b)\leqslant0\) donc \(|f(a)|\geqslant|f(b)|\) (idem \(g\)). Les produits sont positifs et \(|f(a)g(a)|\geqslant|f(b)g(b)|\), donc \(f(a)g(a)\geqslant f(b)g(b)\).

Soit \(f\) croissante (le cas décroissant est analogue) et \(T\)-périodique (\(T>0\)). Soient \(x0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que \(y\leqslant x+nT\). Par croissance puis périodicité :

Or \(x