Systèmes linéaires & déterminants

\(L_2-L_1:\ (m-1)z=1\) ; \(L_3-L_1:\ (m-1)y=2\). Le déterminant vaut \((m-1)^2\).

Si \(m\neq1\) : \(z=\tfrac1{m-1}\), \(y=\tfrac2{m-1}\), et \(x=1-y-z=1-\tfrac3{m-1}=\tfrac{m-4}{m-1}\). Solution unique.

Si \(m=1\) : \(L_2-L_1\) donne \(0=1\) : incompatible.

\(\det A=1(1\cdot1-2\cdot0)-2(0\cdot1-2\cdot2)+0=1-2(-4)=9\).

Cofacteurs : \(\operatorname{Cof}(A)=\begin{pmatrix}1&4&-2\\-2&1&4\\4&-2&1\end{pmatrix}\), d'où

\(\Delta=\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}=-1-6=-7\). \(\Delta_x=\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}=-3-4=-7\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}1&3\\3&2\end{vmatrix}=2-9=-7\).

\(A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&2&0\\0&0&3&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)

Échelonnée mais pas réduite (pivot \(3\neq1\), colonne du pivot non « nettoyée »). RREF : \(L_3\leftarrow\tfrac13L_3\), puis \(L_1\leftarrow L_1+L_3\), \(L_2\leftarrow L_2-2L_3\).

\(\begin{pmatrix}1&0&0&1/3\\0&1&0&-2/3\\0&0&1&1/3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)

\(B=\begin{pmatrix}1&1&-1&2\\0&1&2&7\\0&0&0&-10\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)

Pas réduite. \(L_3\leftarrow-\tfrac1{10}L_3\), puis nettoyage colonne 4 et colonne 2.

\(\begin{pmatrix}1&0&-3&0\\0&1&2&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&-1&2\\3&2&1\end{pmatrix}\)

Pas échelonnée. Le pivot de Gauss–Jordan mène à l'identité (\(C\) inversible).

RREF \(=I_3\)

\(S_1:\ 2x+3y=3,\ x-5y=8\)

\((x,y)=(3,-1)\)

\(S_2:\ 3x+5y=-1,\ 5x-4y=2\)

\(\Delta=-37\).

\((x,y)=\big(\tfrac6{37},-\tfrac{11}{37}\big)\)

\(S_3:\ x+2y-z=4,\ 2x-y+3z=9,\ -x+3y+2z=7\)

\(L_2-2L_1\) et \(L_3+L_1\) donnent \(-5y+5z=1\) et \(5y+z=11\), d'où \(z=2\).

\((x,y,z)=\big(\tfrac{12}5,\tfrac95,2\big)\)

\(S_4:\ x+y+2z=3,\ x+2y+z=1,\ 2x+y+z=0\)

\(L_2-L_1:\ y-z=-2\), \(L_3-2L_1:\ -y-3z=-6\), somme \(-4z=-8\).

\((x,y,z)=(-1,0,2)\)

\(S_1:\ 2x+y=4,\ -x+y-z=2,\ x-2y+2z=-3\)

De \(L_1\) : \(y=4-2x\) ; \(L_2\) : \(z=2-3x\) ; report dans \(L_3\) : \(-x-4=-3\Rightarrow x=-1\).

\((-1,6,5)\)

\(S_2:\ 2x-3y+6z+2t=5,\ y-2z+t=1,\ z-3t=2\) (3 éq., 4 inc.)

\(z=2+3t\), \(y=5+5t\), \(2x=8-5t\).

\(\big(4-\tfrac52t,\ 5+5t,\ 2+3t,\ t\big),\ t\in\mathbb R\)

\(S_3:\ x-3y+z=1,\ 2x+y+z=-1,\ x+11y-z=5\)

\(L_2-2L_1:\ 7y-z=-3\) et \(L_3-L_1:\ 14y-2z=4\Rightarrow7y-z=2\) : contradiction.

\(S=\varnothing\) (incompatible)

La 2ᵉ équation \(=2\times\) la 1ʳᵉ : une seule équation utile \(x+y+z=0\). \(\operatorname{rg}(A)=1\), \(p=3\), donc \(3-1=2\) paramètres.

\(S_1:\ x+y+z-3t=1,\ 2x+y-z+t=-1\)

\(L_2-2L_1:\ -y-3z+7t=-3\). \(\operatorname{rg}=2\), \(p=4\) : toujours compatible, 2 paramètres.

\(\big(-2+2z-4t,\ 3-3z+7t,\ z,\ t\big),\ z,t\in\mathbb R\)

\(S_2:\ x+y+z=3,\ 3x+6y-9z=1,\ 2x+4y-6z=a\)

\(L_2-3L_1:\ 3y-12z=-8\) et \(L_3-2L_1:\ 2y-8z=a-6\), soit \(y-4z=-\tfrac83\) et \(y-4z=\tfrac{a-6}2\). Compatible \(\iff a=\tfrac23\).

Si \(a\neq\tfrac23\) : \(S=\varnothing\). Si \(a=\tfrac23\) : \(\big(\tfrac{17}3-5z,\ -\tfrac83+4z,\ z\big)\)

\(S_3:\ mx+y+z=1,\ x+my+z=m,\ x+y+mz=m^2\)

Déterminant \((m-1)^2(m+2)\). Pour \(m\neq1\) : \(x-y=-1\), \(y-z=-m\), et \((m+2)(x+y+z)=1+m+m^2\).

\(m\neq1,-2\) : \(x=-\tfrac{m+1}{m+2},\ y=\tfrac1{m+2},\ z=\tfrac{(m+1)^2}{m+2}\) (unique). \(m=1\) : \(x+y+z=1\), infinité (2 param.). \(m=-2\) : \(S=\varnothing\).

\(S_4\) (homogène) : \(x+ay+bz=0,\ ax+y+bz=0,\ bx+ay+z=0\)

Déterminant \(=(a-1)(b-1)(a+b+1)\).

Si \((a-1)(b-1)(a+b+1)\neq0\) : solution triviale \((0,0,0)\) seule. Sinon : infinité de solutions non triviales.

\(S_5:\ ax+by+z=1,\ x+aby+z=b,\ x+by+az=1\)

Déterminant \(=b(a-1)^2(a+2)\). Pour \(b\neq0,\ a\neq1,\ a\neq-2\) : \(x=z\), et le système se ramène à \((1+a)x+by=1\), \((a-1)(x-by)=1-b\).

Cas générique : \(x=z=\dfrac{a-b}{(a-1)(a+2)},\ y=\dfrac{ab+b-2}{b(a-1)(a+2)}\). Cas \(a=1\), \(a=-2\) ou \(b=0\) : discussion séparée (compatibilité à vérifier au cas par cas).

1) \(A\) singulière

\(\det A=2(4-1)-(-1)(-2-1)+1(-1-2)=6-3-3=0\).

\(\det A=0\) : singulière

2) \(AX=b_1=(3,1,3)^T\)

\(L_1+2L_2:\ 3y+3z=5\) ; \(L_3+L_2:\ 3y+3z=4\) : contradiction.

\(S=\varnothing\) (incompatible)

3) \(AX=b_2=(3,0,3)^T\)

\(L_1+2L_2\) et \(L_3+L_2\) donnent tous deux \(y+z=1\) : compatible, rang 2.

\(\{(y+1,\ y,\ 1-y)\,:\,y\in\mathbb R\}\) (infinité)

\(D_1=\begin{vmatrix}1&3&-3\\-1&2&1\\2&2&-2\end{vmatrix}\)

\(=1(-6)-3(0)-3(-6)\).

\(D_1=12\)

\(D_2=\begin{vmatrix}2-a&-2&1\\2&-3-a&2\\-1&2&-a\end{vmatrix}\)

Développement : \(D_2=-a^3-a^2+5a-3=-(a-1)^2(a+3)\).

\(D_2=-(a-1)^2(a+3)\)

\(D_3=\begin{vmatrix}1&3&-3&2\\-1&0&1&-1\\2&2&-2&2\\1&2&0&3\end{vmatrix}\)

\(L_2\!+\!L_1,\ L_3\!-\!2L_1,\ L_4\!-\!L_1\) annulent la colonne 1 sous le pivot ; le mineur \(3\times3\) vaut \(10\).

\(D_3=10\)

2) \(D_2=0\)

\(a=1\) (double) ou \(a=-3\)

1) Déterminant

\(\begin{vmatrix}1&1\\2&2\end{vmatrix}=0\)

2-3) Discussion

Non-Cramer. \(L_2=2L_1\Rightarrow b=2\) requis.

\(A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&-1&2\end{pmatrix}\), \(\det=2\)

\(A^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)

\(B=\begin{pmatrix}1&-2&4\\2&1&3\\5&4&6\end{pmatrix}\), \(\det=0\)

Non inversible

\(C=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&1&-1\\1&-2&2\end{pmatrix}\), \(\det=1\)

\(C^{-1}=\begin{pmatrix}0&-2&-1\\1&4&2\\1&5&3\end{pmatrix}\)

\(D=\begin{pmatrix}i&-1&2i\\2&0&2\\-1&0&1\end{pmatrix}\), \(\det=4\)

\(D^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}0&1&-2\\-4&3i&2i\\0&1&2\end{pmatrix}\)

\(A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&4\end{pmatrix}\), \(\det=9\)

\(A^{-1}=\tfrac19\begin{pmatrix}4&-1\\1&2\end{pmatrix}\)

\(B=\begin{pmatrix}4&1\\5&9\end{pmatrix}\), \(\det=31\)

\(B^{-1}=\tfrac1{31}\begin{pmatrix}9&-1\\-5&4\end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&0&1\\2&1&-1\end{pmatrix}\), \(\det=1\)

\(C^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\4&1&-3\\2&1&-2\end{pmatrix}\)

\(D=\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}\), \(\det=-27\)

On observe \(D^2=9I\), donc \(D^{-1}=\tfrac19D\).

\(D^{-1}=\tfrac19\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}\)

\(E=\begin{pmatrix}2&2&1\\-1&1&2\\0&4&5\end{pmatrix}\), \(\det=0\)

Non inversible

\(F=\begin{pmatrix}2&2&1\\-1&1&2\\0&4&4\end{pmatrix}\), \(\det=-4\)

\(F^{-1}=\tfrac14\begin{pmatrix}4&4&-3\\-4&-8&5\\4&8&-4\end{pmatrix}\)

\(G=\begin{pmatrix}-1&1&2\\2&3&1\\5&4&2\end{pmatrix}\), \(\det=-15\)

\(G^{-1}=\tfrac1{15}\begin{pmatrix}-2&-6&5\\-1&12&-5\\7&-9&5\end{pmatrix}\)

\(H=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&-1&1\\2&1&1\end{pmatrix}\), \(\det=5\)

\(H^{-1}=\tfrac15\begin{pmatrix}-2&1&3\\1&-3&1\\3&1&-2\end{pmatrix}\)

\(A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\2&1&-1\\3&2&-2\end{pmatrix}\), \(A_p^{-1}=\begin{pmatrix}0&2&1\\-1&-4&3\\-1&-1&0\end{pmatrix}\)

Le vrai inverse (\(\det=-1\)) est \(\begin{pmatrix}0&2&-1\\-1&-4&3\\-1&-1&1\end{pmatrix}\).

Faux : erreurs en \((1,3)\) (\(-1\) et non \(+1\)) et \((3,3)\) (\(+1\) et non \(0\)) — la 3ᵉ colonne.

\(B=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&1&-1\\0&2&2\end{pmatrix}\), \(B_p^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}-4&-2&1\\1&1&-1\\-2&-2&1\end{pmatrix}\)

Le vrai inverse (\(\det=-2\)) est \(\tfrac12\begin{pmatrix}-4&-2&1\\2&2&0\\-2&-2&1\end{pmatrix}\).

Faux : la 2ᵉ ligne est erronée (devrait être \(\tfrac12(2,2,0)=(1,1,0)\)).

\(C=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\), \(C_p^{-1}=\tfrac14\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\)

\(\det C=0\) : \(C\) n'est pas inversible, aucun inverse n'existe.

Faux : \(C\) est singulière (\(\det=0\)), la proposition n'a pas de sens.

1) Inversible

\(\det A=1\neq0\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).

2-3) Solution

\(X=A^{-1}B\).

\(S_1:\ 2x+2z=-1,\ y+z=0,\ x+2y+z=-4\)

\(\Delta=-4\), \(\Delta_x=9\), \(\Delta_y=7\), \(\Delta_z=-7\).

\(\big(x,y,z\big)=\big(-\tfrac94,-\tfrac74,\tfrac74\big)\)

\(S_2:\ x+y+2z=3,\ x+2y+z=1,\ 2x+y+z=0\)

\(\Delta=-4\), \(\Delta_x=4\), \(\Delta_y=0\), \(\Delta_z=-8\).

\((x,y,z)=(-1,0,2)\)

a) Degré 2 par \(A,B,C\)

\(P(x)=ax^2+bx+c\) : \(a+b+c=2\), \(a-b+c=4\), \(25a+5b+c=6\) \(\Rightarrow b=-1,\ a=\tfrac13,\ c=\tfrac83\).

\(P(x)=\tfrac13x^2-x+\tfrac83\)

b) Degré 3 par \(A,B,C,D\)

Résolution du système \(4\times4\) : \(a=\tfrac16,\ b=-\tfrac12,\ c=-\tfrac76,\ d=\tfrac72\).

\(Q(x)=\tfrac16x^3-\tfrac12x^2-\tfrac76x+\tfrac72\)

c) Degré 4 par \(A,B,C,D,E\)

On pose \(R(x)=Q(x)+k(x-1)(x+1)(x-5)(x+3)\) (annule en \(A,B,C,D\)). \(R(7)=12\) : \(Q(7)=28\) et le produit vaut \(960\), d'où \(28+960k=12\Rightarrow k=-\tfrac1{60}\).

\(R(x)=\tfrac16x^3-\tfrac12x^2-\tfrac76x+\tfrac72-\tfrac1{60}(x-1)(x+1)(x-5)(x+3)\)

1) \(A^2=\alpha A+\beta I\)

\(A^2=\begin{pmatrix}6&5&5\\5&6&5\\5&5&6\end{pmatrix}\). Diagonale \(6=2\alpha+\beta\), hors-diag \(5=\alpha\Rightarrow\alpha=5,\ \beta=-4\).

\(A^2=5A-4I\)

2) Inverse

\(A(A-5I)=-4I\).

\(A^{-1}=\dfrac{5I-A}4=\dfrac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}\)

3) \(A^k=a_kA+b_kI\)

\(A^{k+1}=a_k A^2+b_kA=(5a_k+b_k)A-4a_kI\), donc \(a_{k+1}=5a_k+b_k=5a_k-4a_{k-1}\) (équation caractéristique \(r^2-5r+4=0\), racines \(1,4\)).

1-2) Déterminant & inversibilité

\(\det A=1(9-8)-1(6-4)+1(4-3)=1-2+1=0\).

\(\det A=0\) : non inversible

3) \(AX=B\)

\(L_2-2L_1\) et \(L_3-L_1\) donnent tous deux \(y+2z\) : \(\operatorname{rg}(A)=2\). Compatibilité : \(b_2-2b_1=b_3-b_1\), soit \(b_1-b_2+b_3=0\).

Compatible \(\iff b_3=b_2-b_1\) ; solutions \(\big(3b_1-b_2+t,\ b_2-2b_1-2t,\ t\big),\ t\in\mathbb R\)

4) Système homogène

\(\operatorname{Vect}(1,-2,1)\)

5) Lien

\(\operatorname{rg}=2<3=n\Rightarrow\det=0\), non inversible ; \(AX=B\) a soit \(\varnothing\), soit une infinité (jamais unique).