Maths · M01 — Chapitre 7

Les suites réelles

Monotonie, limites et opérations, théorème d'encadrement, suites monotones et adjacentes, suites extraites, et suites récurrentes (arithmético-géométriques, linéaires d'ordre 2, \(u_{n+1}=f(u_n)\)).

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Résumé de cours détaillé
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
3. Correction intégrale du TD n°7
📂 Documents donnés (CM, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — Les suites réelles

Convergence\(u_n\to\ell\iff\forall\varepsilon>0,\exists n_0,\forall n\geqslant n_0,|u_n-\ell|\leqslant\varepsilon\) ; limite unique

Convergente ⇒ bornéeréciproque fausse (ex. \((-1)^n\))

Opérations\(\lim(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\ell+\mu\ell'\), \(\lim(u_nv_n)=\ell\ell'\), \(\lim\tfrac1{u_n}=\tfrac1\ell\) (\(\ell\neq0\))

Théorème des gendarmes\(u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\), \(u_n,w_n\to\ell\Rightarrow v_n\to\ell\)

Bornée × limite nullesuite bornée \(\times\) suite \(\to0\ \Rightarrow\to0\)

Limite monotonecroissante majorée converge (vers \(\sup\{u_n\}\)) ; croissante non majorée \(\to+\infty\)

Suites adjacentes\(u\nearrow\), \(v\searrow\), \(u_n-v_n\to0\Rightarrow\) convergent vers même \(\ell\), \(u_n\leqslant\ell\leqslant v_n\)

Suites extraites\(u_{2n}\to\ell\) et \(u_{2n+1}\to\ell\ \Rightarrow\ u_n\to\ell\)

Arithmético-géométrique\(u_{n+1}=au_n+b\) : point fixe \(c=\tfrac b{1-a}\), \(u_n=a^n(u_0-c)+c\)

Linéaire d'ordre 2\(r^2=ar+b\) : racines \(r_1\neq r_2\Rightarrow u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n\) ; racine double \(r_0\Rightarrow u_n=(\alpha n+\beta)r_0^n\)

Étudier la monotoniesigne de \(u_{n+1}-u_n\), ou comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) (si \(u_n>0\))

Suite \(u_{n+1}=f(u_n)\)vérifier \(I\) stable par \(f\) ; signe de \(f(x)-x\) donne la monotonie ; limite = point fixe si \(f\) continue

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Généralités & monotonie

Suite & modes de définition Une suite \((u_n)\) est une fonction \(\mathbb N\to\mathbb R\). Elle peut être explicite (\(u_n=f(n)\)), récurrente (\(u_{n+1}=f(u_n)\)) ou implicite (\(u_n\) = solution d'une équation dépendant de \(n\)).

Étudier la monotonie Signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou (si \(u_n>0\)) comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).

1.2 Limite d'une suite

Convergence \(u_n\to\ell\) si \(\;\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0,\ \forall n\geqslant n_0,\ |u_n-\ell|\leqslant\varepsilon\). La limite, si elle existe, est unique. Diverge vers \(+\infty\) si \(\forall A,\ \exists n_0,\ \forall n\geqslant n_0,\ u_n\geqslant A\).

Propriétés

Toute suite convergente est bornée (réciproque fausse : \((-1)^n\)).
Opérations : \(\lim(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\ell+\mu\ell'\), \(\lim(u_nv_n)=\ell\ell'\), \(\lim\tfrac1{u_n}=\tfrac1\ell\) (\(\ell\neq0\)).
Formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\tfrac00\), \(\tfrac\infty\infty\).

Passage à la limite & encadrement Si \(u_n\leqslant v_n\) (à partir d'un rang) et les deux convergent : \(\ell\leqslant\ell'\) (mais pas d'inégalité stricte à la limite). Théorème des gendarmes : \(u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\) avec \(u_n,w_n\to\ell\Rightarrow v_n\to\ell\). Suite bornée \(\times\) suite de limite nulle \(\to0\).

1.3 Suites monotones & adjacentes

Théorème de la limite monotone Toute suite croissante majorée converge (vers \(\sup\{u_n\}\)) ; croissante non majorée \(\to+\infty\). Idem décroissante minorée \(\to\inf\).

Suites adjacentes \(u\) croissante, \(v\) décroissante, \(u_n-v_n\to0\). Alors elles convergent vers la même limite \(\ell\), avec \(u_n\leqslant\ell\leqslant v_n\).

1.4 Suites extraites

Sous-suites Une extraite \((u_{\varphi(n)})\) (\(\varphi\) strictement croissante \(\mathbb N\to\mathbb N\)) d'une suite convergente converge vers la même limite. Réciproque utile : si \(u_{2n}\to\ell\) et \(u_{2n+1}\to\ell\), alors \(u_n\to\ell\). (Deux extraites de limites différentes \(\Rightarrow\) divergence.)

1.5 Suites récurrentes

Arithmético-géométrique \(u_{n+1}=au_n+b\) (\(a\neq1\)) : le point fixe est \(c=\dfrac b{1-a}\), et \[ u_n=a^n(u_0-c)+c. \]

Linéaire d'ordre 2 \(u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\), équation caractéristique \(r^2=ar+b\). Deux racines \(r_1\neq r_2\) : \(u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n\) ; racine double \(r_0\) : \(u_n=(\alpha n+\beta)r_0^n\).

\(u_{n+1}=f(u_n)\) Si \(I\) est stable par \(f\) (\(f(I)\subseteq I\)) et \(u_0\in I\), la suite est bien définie dans \(I\). Si \(f(x)-x\geqslant0\) sur \(I\) : \(u\) croissante ; si \(f\) croissante, \(u\) monotone selon \(u_0\) vs \(u_1\) ; si \(f\) décroissante, \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones de sens contraires. Si \(u\) converge (et \(f\) continue), la limite est un point fixe : \(f(\ell)=\ell\).

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Suite de Héron (calcul de \(\sqrt2\))♦♦♦

\(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac12\Big(u_n+\dfrac2{u_n}\Big)\). Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Minoration par \(\sqrt2\).

Pour \(u_n>0\) : \(u_{n+1}-\sqrt2=\dfrac{u_n^2-2\sqrt2\,u_n+2}{2u_n}=\dfrac{(u_n-\sqrt2)^2}{2u_n}\geqslant0\). Donc \(u_n\geqslant\sqrt2\) pour tout \(n\geqslant1\) (et \(u_0=2\geqslant\sqrt2\)).

Décroissance.

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac12\Big(\dfrac2{u_n}-u_n\Big)=\dfrac{2-u_n^2}{2u_n}\leqslant0\) car \(u_n^2\geqslant2\).

Conclusion.

\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(\sqrt2\) : elle converge vers \(\ell\geqslant\sqrt2\). Par passage à la limite dans la relation, \(\ell=\tfrac12(\ell+2/\ell)\Rightarrow\ell^2=2\).

\(\displaystyle\lim u_n=\sqrt2\) (convergence quadratique très rapide).

Exercice B — Suite de Fibonacci (formule de Binet)♦♦♦

\(F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\). Donner le terme général.

Équation caractéristique \(r^2=r+1\), soit \(r^2-r-1=0\), de racines \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2\) (nombre d'or) et \(\psi=\dfrac{1-\sqrt5}2\).

Donc \(F_n=\alpha\varphi^n+\beta\psi^n\). Les conditions initiales donnent \(\alpha+\beta=0\) et \(\alpha\varphi+\beta\psi=1\), d'où \(\alpha(\varphi-\psi)=1\) avec \(\varphi-\psi=\sqrt5\).

\(\displaystyle F_n=\frac1{\sqrt5}\left(\Big(\tfrac{1+\sqrt5}2\Big)^n-\Big(\tfrac{1-\sqrt5}2\Big)^n\right)\) (formule de Binet).

Comme \(|\psi|<1\), \(F_n\sim\dfrac{\varphi^n}{\sqrt5}\) et \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\to\varphi\).

Exercice C — Limite par encadrement (gendarmes)♦♦◊

Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+k}}\).

Chaque terme (\(1\leqslant k\leqslant n\)) est encadré : \(\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}\leqslant\dfrac1{\sqrt{n^2+k}}\leqslant\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}\). Il y a \(n\) termes, donc :

\[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leqslant u_n\leqslant\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}. \]

Les deux membres tendent vers \(1\) (\(\tfrac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\tfrac1{\sqrt{1+1/n}}\to1\)).

Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim u_n=1\).

3. Correction intégrale du TD n°7 — Les suites réelles

Feuille sans corrigé officiel : les 12 exercices sont résolus intégralement, chaque sous-question traitée.

Partie 1 — Variations d'une suite

Exercice 1 — Monotonie♦♦◊

(a) \(u_n=\tfrac1n+\tfrac1{n+1}\)

\(u_{n+1}-u_n=\tfrac1{n+2}-\tfrac1n<0\).

Décroissante.

(b) \(u_n=n-2^n\)

\(u_{n+1}-u_n=1-2^n\leqslant0\) (pour \(n\geqslant1\)).

Décroissante.

\(\tfrac{u_{n+1}}{u_n}=\tfrac{e}{n+1}\) : \(>1\) pour \(n\leqslant1\), \(<1\) pour \(n\geqslant2\).

Non monotone (croît jusqu'à \(n=2\), puis décroît).

(d) \(u_n=\tfrac{n-1}{n+3}\)

\(u_{n+1}-u_n=\tfrac{4}{(n+4)(n+3)}>0\).

Croissante.

(e) \(u_n=\prod_{i=0}^n(n-i)\)

Le facteur \(i=n\) vaut \(n-n=0\).

Constante (nulle) : \(u_n=0\).

(f) \(u_n=\prod_{i=0}^n(n+i)=n(n+1)\cdots(2n)\)

\(\tfrac{u_{n+1}}{u_n}=\tfrac{(2n+1)(2n+2)}{n}>1\).

Croissante.

Partie 2 — Limites

Exercice 2 — Limites + justification formelle♦♦◊

(a) \(u_n=n^2\to+\infty\)

\(\forall A>0\), prendre \(n_0=\lceil\sqrt A\rceil\) : \(n\geqslant n_0\Rightarrow n^2\geqslant A\).

(b) \(u_n=\sqrt{n+3}\to+\infty\)

\(\forall A>0\), \(n_0=\lceil A^2\rceil\) : \(n\geqslant n_0\Rightarrow\sqrt{n+3}\geqslant A\).

\(\tfrac1{2n+3}\leqslant\varepsilon\iff n\geqslant\tfrac{1/\varepsilon-3}2\).

(d) \(u_n=\tfrac{2n-1}{n+1}\to2\)

\(|u_n-2|=\tfrac{3}{n+1}\leqslant\varepsilon\iff n\geqslant\tfrac3\varepsilon-1\).

Exercice 3 — Limites diverses♦♦♦

(a) \(\tfrac{-2n^3+3n-4}{n^2+9}\sim-2n\)

\(-\infty\)

(b) \(\tfrac{3n^2-2n+1}{n\sqrt n+n-1}\sim\tfrac{3n^2}{n^{3/2}}=3\sqrt n\)

\(+\infty\)

\(|u_n|\leqslant\tfrac1n\) (bornée \(\times\) limite nulle).

\(0\)

(d) \(\sqrt{n+1}-\sqrt n=\tfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\)

\(0\)

(e) \(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\sim n(1-\sqrt2)\)

\(-\infty\)

(f) \(n-\sqrt{(n+1)(n+3)}=\dfrac{-4n-3}{n+\sqrt{n^2+4n+3}}\sim\tfrac{-4n}{2n}\)

\(-2\)

(g) \(\sum_{k=1}^{3n}\tfrac1{\sqrt{4n+k}}\geqslant\tfrac{3n}{\sqrt{7n}}=\tfrac{3\sqrt n}{\sqrt7}\)

\(+\infty\)

(h) \(\sum_{k=1}^{2n+1}\tfrac1{\sqrt{n^2+k}}\), encadré entre \(\tfrac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n+1}}\) et \(\tfrac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}\)

\(2\) (gendarmes)

(i) \(\sum_{k=1}^{n^2}\tfrac1{\sqrt{n^2+k}}\geqslant\tfrac{n^2}{\sqrt{2n^2}}=\tfrac{n}{\sqrt2}\)

\(+\infty\)

Partie 3 — Suites adjacentes

Exercice 4 — Montrer l'adjacence♦♦♦

(a) \(u_n=\sum_{k=1}^n\tfrac1{k^2}\), \(v_n=u_n+\tfrac1n\)

\(u\) croissante (\(u_{n+1}-u_n=\tfrac1{(n+1)^2}>0\)). \(v_{n+1}-v_n=\tfrac1{(n+1)^2}-\tfrac1{n(n+1)}=\tfrac{-1}{n(n+1)^2}<0\) (\(v\) décroissante). \(v_n-u_n=\tfrac1n\to0\).

Adjacentes (elles encadrent \(\sum_{k\geqslant1}\tfrac1{k^2}=\tfrac{\pi^2}6\)).

(b) \(u_n=\sum_{k=1}^n\tfrac1{k^3}\), \(v_n=u_n+\tfrac1{n^2}\)

\(u\) croissante. \(v_{n+1}-v_n=\tfrac1{(n+1)^3}+\big(\tfrac1{(n+1)^2}-\tfrac1{n^2}\big)=\tfrac1{(n+1)^3}-\tfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2}<0\) (le second terme domine). \(v_n-u_n=\tfrac1{n^2}\to0\).

Adjacentes.

Exercice 5 — Moyenne arithmético-géométrique♦♦♦

\(0

(a) \(0

Init \(00\), \(v_{n+1}>0\), et par l'inégalité arithmético-géométrique \(\sqrt{u_nv_n}<\tfrac{u_n+v_n}2\) (stricte car \(u_n\neq v_n\)).

(b) \(v_n-u_n\leqslant\tfrac1{2^n}(v_0-u_0)\)

\(v_{n+1}-u_{n+1}=\tfrac{u_n+v_n}2-\sqrt{u_nv_n}\leqslant\tfrac{u_n+v_n}2-u_n=\tfrac{v_n-u_n}2\) (car \(\sqrt{u_nv_n}\geqslant u_n\)). D'où par récurrence l'encadrement.

\(u\) croissante (\(u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\geqslant u_n\)), \(v\) décroissante (\(v_{n+1}=\tfrac{u_n+v_n}2\leqslant v_n\)), et \(v_n-u_n\to0\) par (b).

\(u\) et \(v\) sont adjacentes : elles convergent vers la moyenne arithmético-géométrique de \(a\) et \(b\).

Exercice 6 — Moyenne harmonico-arithmétique♦♦♦

\(u_0=1\), \(v_0>1\), \(u_{n+1}=\tfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}\), \(v_{n+1}=\tfrac12(u_n+v_n)\).

(a) \(0

Init OK. Hérédité : moyenne harmonique \(<\) moyenne arithmétique (strict si \(u_n\neq v_n\)), les deux \(>0\).

(b) Adjacence

\(u_{n+1}-u_n=\tfrac{u_n(v_n-u_n)}{u_n+v_n}>0\) (croissante) ; \(v_{n+1}-v_n=\tfrac{u_n-v_n}2<0\) (décroissante) ; et \(v_{n+1}-u_{n+1}=\tfrac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}\leqslant\tfrac12(v_n-u_n)\to0\).

\(u_{n+1}v_{n+1}=\tfrac{2u_nv_n}{u_n+v_n}\cdot\tfrac{u_n+v_n}2=u_nv_n\).

\(u_nv_n=u_0v_0=v_0\) pour tout \(n\).

(d) Limite

\(u,v\to\ell\) (adjacentes) et \(u_nv_n\to\ell^2=v_0\).

\(\ell=\sqrt{v_0}\) (moyenne géométrique de \(u_0=1\) et \(v_0\)).

Partie 4 — Convergence

Exercice 7 — Suite entière : converge \(\iff\) stationnaire♦♦◊

\(u\in\mathbb Z^{\mathbb N}\).

\(\Leftarrow\)

Stationnaire \(\Rightarrow\) constante à partir d'un rang \(\Rightarrow\) converge.

\(\Rightarrow\)

\(u\) est stationnaire. ∎

Exercice 8 — Théorème de Cesàro♦♦♦

\(v_n=\tfrac1n\sum_{k=1}^n u_k\).

(a) Différence

Avec \(S_n=\sum_{k=1}^n u_k\) : \(v_{n+1}-v_n=\tfrac{S_{n+1}}{n+1}-\tfrac{S_n}n=\tfrac{nu_{n+1}-S_n}{n(n+1)}=\tfrac1{n(n+1)}\big(nu_{n+1}-\sum_{k=1}^n u_k\big)\).

(b) \(u\) croissante \(\Rightarrow v\) croissante

\(nu_{n+1}-\sum_{k=1}^n u_k=\sum_{k=1}^n(u_{n+1}-u_k)\geqslant0\) car \(u_{n+1}\geqslant u_k\).

\(v_n-\ell=\tfrac1n\sum_{k=1}^n(u_k-\ell)\), d'où par inégalité triangulaire \(|v_n-\ell|\leqslant\tfrac1n\sum_{k=1}^{n_0}|u_k-\ell|+\tfrac1n\sum_{k=n_0+1}^n|u_k-\ell|\).

(d) \(u\to\ell\Rightarrow v\to\ell\)

Soit \(\varepsilon>0\). Choisir \(n_0\) tel que \(|u_k-\ell|<\tfrac\varepsilon2\) pour \(k>n_0\) : la 2ᵉ somme est \(\leqslant\tfrac\varepsilon2\). La 1ʳᵉ somme \(=\tfrac{C}n\to0\) : \(<\tfrac\varepsilon2\) pour \(n\) grand.

\(v_n\to\ell\) (théorème de Cesàro). La réciproque est fausse (\(u_n=(-1)^n\)). ∎

Exercice 9 — Croissante + \((u_{2n})\) converge♦♦◊

\(u\) croissante \(\Rightarrow(u_{2n})\) croissante ; sa convergence vers \(\ell\) donne \(u_{2n}\leqslant\ell\) pour tout \(n\). Pour tout \(m\), il existe \(n\) avec \(2n\geqslant m\), donc \(u_m\leqslant u_{2n}\leqslant\ell\) : \(u\) est majorée par \(\ell\).

\(u\) croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge (limite monotone), et sa limite coïncide avec celle de l'extraite.

\(u\) converge (vers \(\ell\)). ∎

Partie 5 — Suites récurrentes

Exercice 10 — Terme général♦♦♦

(a) \(u_0=0,\ u_{n+1}=\tfrac13u_n+2\)

Point fixe \(c=\tfrac2{1-1/3}=3\), \(u_n=(\tfrac13)^n(0-3)+3\).

\(u_n=3\big(1-3^{-n}\big)\)

(b) \(u_0=1,\ u_{n+1}=-u_n+4\)

\(c=\tfrac4{1-(-1)}=2\), \(u_n=(-1)^n(1-2)+2\).

\(u_n=2-(-1)^n\) (alterne \(1,3,1,3,\dots\))

\(2r^2-r-1=0\Rightarrow r=1\) ou \(r=-\tfrac12\). \(u_n=\alpha+\beta(-\tfrac12)^n\), CI \(\Rightarrow\beta=0,\alpha=1\).

\(u_n=1\) (constante)

(d) \(u_0=0,\ u_1=1,\ u_{n+2}=u_{n+1}+\tfrac12u_n\)

\(2r^2-2r-1=0\Rightarrow r=\tfrac{1\pm\sqrt3}2\). CI : \(\alpha=-\beta=\tfrac1{\sqrt3}\).

\(u_n=\dfrac1{\sqrt3}\left(\Big(\tfrac{1+\sqrt3}2\Big)^n-\Big(\tfrac{1-\sqrt3}2\Big)^n\right)\)

Exercice 11 — \(u_{n+1}=\sqrt{2-u_n}\)♦♦◊

\(f(x)=\sqrt{2-x}\) sur \(]-\infty,2]\), \(u_0=1\).

(a) \([0,2]\) stable

\(x\in[0,2]\Rightarrow 2-x\in[0,2]\Rightarrow\sqrt{2-x}\in[0,\sqrt2]\subseteq[0,2]\).

(b) Bien définie

\(u_0=1\in[0,2]\) et \([0,2]\) stable \(\Rightarrow\) par récurrence \(u_n\in[0,2]\) pour tout \(n\).

\(\sqrt{2-\ell}=\ell\ (\ell\geqslant0)\Rightarrow \ell^2+\ell-2=0\Rightarrow(\ell-1)(\ell+2)=0\).

\(\ell=1\)

Exercice 12 — \(f(x)=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{1-x}}\)♦♦♦

Sur \([0,1]\), \(f\) croissante (admis), \(u_0\in[0,1]\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

(a) \([0,1]\) stable

\(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f\) croissante \(\Rightarrow f([0,1])=[0,1]\).

(b) Bien définie

\(u_0\in[0,1]\), stable \(\Rightarrow u_n\in[0,1]\) pour tout \(n\).

\(f(x)=x\) : \(x=0\) et \(x=1\) conviennent. Pour \(x\in\,]0,1[\), \(\tfrac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{1-x}}=x\Rightarrow\sqrt x\sqrt{1-x}=x\Rightarrow\sqrt{x(1-x)}=x\Rightarrow 1-x=x\).

3 points fixes : \(0,\ \tfrac12,\ 1\).

(d) Monotonie selon \(u_0\)

\(f\) croissante. Sur \(]0,\tfrac12[\), \(f(x)>x\) (ex. \(f(\tfrac14)\approx0{,}37\)) ; sur \(]\tfrac12,1[\), \(f(x)

\(u_0\in\,]0,\tfrac12[\) : croissante ; \(u_0\in\,]\tfrac12,1[\) : décroissante ; \(u_0\in\{0,\tfrac12,1\}\) : constante.

(e) Convergence

\(u\) est monotone (\(f\) croissante) et bornée dans \([0,1]\) : elle converge (limite monotone).

(f) Limite selon \(u_0\)

\(u_0=0\to0\) ; \(u_0=1\to1\) ; \(u_0\in\,]0,1[\to\tfrac12\) (le seul point fixe atteignable par monotonie).

Chapitre 7 du cours M01 (S1). Sources : Chap_7.pdf (cours magistral) et TD07 — Les suites réelles. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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