Sommes et produits

On décompose en éléments simples : \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\). D'où par télescopage :

Le terme \(k=0\) est nul. Pour \(k\geqslant1\), on utilise la formule du capitaine \(k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}\) :

La dernière somme vaut \(2^{n-1}\) (binôme de Newton avec \(a=b=1\)).

On compte selon la valeur \(m=\min(i,j)\). Le nombre de couples \((i,j)\) avec \(\min=m\) est \((n-m+1)^2-(n-m)^2=2(n-m)+1\) (les deux \(\geqslant m\), moins les deux \(\geqslant m+1\)). Donc :

Cohérent avec \(\sum\max+\sum\min=\sum(i+j)=n^2(n+1)\).

(a) \(1-a+a^2-a^3+\cdots+a^{2n}-a^{2n+1}\)

Terme général \((-1)^k a^k\), \(k\) de \(0\) à \(2n+1\).

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k a^k\)

(b) \(\dfrac11-\dfrac22+\dfrac43-\dfrac84+\cdots+\dfrac{2^{2026}}{2027}\)

Terme général \((-1)^k\dfrac{2^k}{k+1}\), \(k\) de \(0\) à \(2026\).

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{2026}(-1)^k\frac{2^k}{k+1}\)

(a) \(\sum_{k=0}^3(2+k)\)

\(2+3+4+5=14\)

(b) \(\sum_{k=2}^2 n^k\)

Un seul terme (\(k=2\)).

\(n^2\)

(c) \(\sum_{k=1}^5 k^2\)

\(1+4+9+16+25=55\)

(d) \(\sum_{j=7}^5 \dfrac{j^2}{j+1}\)

Borne basse \(>\) borne haute : somme vide.

\(0\)

(a) \(\sum_{k=1}^n(\alpha+a_k)=\alpha+\sum a_j\)

Faux : le membre de gauche vaut \(n\alpha+\sum a_k\) (le terme constant est sommé \(n\) fois).

(b) \(\sum(a_k+b_k)=\sum a_j+\sum b_k\)

Vrai (linéarité).

(c) \(\sum a_k^\alpha=\big(\sum a_k\big)^\alpha\)

Faux : une somme de puissances n'est pas la puissance de la somme.

(d) \(\sum a_kb_k=\big(\sum a_k\big)\big(\sum b_k\big)\)

Faux : le produit de sommes contient tous les termes croisés \(a_ib_j\).

(a) \(\sum_{k=2}^{n+1}3\)

\(3\times(\text{nb de termes})=3n\).

\(3n\)

(b) \(\sum_{k=1}^n 2k=2\cdot\frac{n(n+1)}2\)

\(n(n+1)\)

(c) \(\sum_{k=0}^n(k+2)=\frac{n(n+1)}2+2(n+1)\)

\(\dfrac{(n+1)(n+4)}2\)

(d) \(\sum_{k=0}^n(k-1)^2\)

Changement \(j=k-1\) : \(\sum_{j=-1}^{n-1}j^2=1+\sum_{j=0}^{n-1}j^2\).

\(1+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}6\)

(e) \(\sum_{k=2}^{n-1}3^{k-2}\)

\(j=k-2\) : \(\sum_{j=0}^{n-3}3^j=\frac{3^{n-2}-1}{3-1}\).

\(\dfrac{3^{n-2}-1}{2}\)

(f) \(\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{2^{k-1}}{3^{k+2}}\)

\(\dfrac{2^{k-1}}{3^{k+2}}=\dfrac1{18}\left(\dfrac23\right)^k\). Somme géométrique (\(n+1\) termes, \(q=\tfrac23\)) :

\(\dfrac16\left(\dfrac23\right)^n\left(1-\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right)\)

(a) \(\sum_{k=1}^n\ln\!\big(1+\tfrac1k\big)\)

\(=\sum\ln\frac{k+1}k=\sum(\ln(k+1)-\ln k)=\ln(n+1)-\ln1\).

\(\ln(n+1)\)

(b) \(\sum_{k=1}^n\ln\!\big(1+\tfrac2k\big)\)

\(=\sum\ln\frac{k+2}k=\sum\ln(k+2)-\sum\ln k=\big[\ln(n+1)+\ln(n+2)\big]-\big[\ln1+\ln2\big]\).

\(\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)

(a) \(\sum_{k=0}^{2n}\cos(k\pi)\)

\(\cos(k\pi)=(-1)^k\). \(\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k=(n+1)-n=1\) (pairs \(-\) impairs).

\(1\)

(b) \(\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k^2\)

On utilise \(\sum_{k=1}^m(-1)^k k^2=(-1)^m\frac{m(m+1)}2\) (récurrence). Ici \(m=2n\) (pair) :

\(\dfrac{2n(2n+1)}2=n(2n+1)\)

(a) \(\sum_{1\leqslant i\leqslant n,\,1\leqslant j\leqslant q}i=\sum_{i=1}^n q\,i=q\cdot\frac{n(n+1)}2\)

\(\dfrac{q\,n(n+1)}2\)

(b) \(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}(i-j)\)

Antisymétrique en \((i,j)\) : chaque \((i,j)\) s'annule avec \((j,i)\).

\(0\)

(c) \(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}ij=\big(\sum i\big)\big(\sum j\big)=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2\)

\(\dfrac{n^2(n+1)^2}4\)

(d) \(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}(i+j)^2\)

\((i+j)^2=i^2+2ij+j^2\) : \(2n\sum i^2+2\big(\sum i\big)^2=\frac{n^2(n+1)(2n+1)}3+\frac{n^2(n+1)^2}2\).

\(\dfrac{n^2(n+1)(7n+5)}6\)

(e) \(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}\max(i,j)\)

Nb de couples de \(\max=m\) : \(2m-1\). \(\sum_{m=1}^n m(2m-1)=2\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n(n+1)}2\).

\(\dfrac{n(n+1)(4n-1)}6\)

(f) \(\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}(i+j)\)

\(=\sum_{j=1}^n\Big(\frac{j(j+1)}2+j^2\Big)=\sum_{j=1}^n\frac{3j^2+j}2=\frac12\Big(3\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2\Big)\).

\(\dfrac{n(n+1)^2}2\)

(g) \(\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}\dfrac ij\)

\(=\sum_{j=1}^n\frac1j\sum_{i=1}^j i=\sum_{j=1}^n\frac1j\cdot\frac{j(j+1)}2=\sum_{j=1}^n\frac{j+1}2\).

\(\dfrac{n(n+3)}4\)

(h) \(\sum_{1\leqslant i

\(=\dfrac{\big(\sum i\big)^2-\sum i^2}2=\dfrac12\left(\frac{n^2(n+1)^2}4-\frac{n(n+1)(2n+1)}6\right)\).

\(\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}\)

(a) \(\prod_{k=1}^5 k^2=(1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5)^2=120^2\)

\(14400\)

(b) \(\prod_{s=0}^4\dfrac{s^2}{s^2+1}\)

Le facteur \(s=0\) vaut \(\frac{0}{1}=0\).

\(0\)

(c) \(\prod_{n=1}^4\dfrac{x^{2n+4}}{n}\)

\(=\dfrac{x^{\sum(2n+4)}}{4!}=\dfrac{x^{36}}{24}\) (car \(\sum_{n=1}^4(2n+4)=36\)).

\(\dfrac{x^{36}}{24}\)

(a) \(\prod(\alpha a_k)=\alpha\prod a_k\)

Faux : \(\prod(\alpha a_k)=\alpha^n\prod a_k\).

(b) \(\prod(a_kb_k)=\big(\prod a_j\big)\big(\prod b_k\big)\)

Vrai.

(c) \(\prod(a_k+b_k)=\prod a_k+\prod b_k\)

Faux : le produit n'est pas linéaire.

(d) \(\prod a_k^\beta=\big(\prod a_k\big)^\beta\)

Vrai.

(a) \(\prod_{k=3}^n k^2=\big(\prod_{k=3}^n k\big)^2=\left(\frac{n!}{2}\right)^2\)

\(\dfrac{(n!)^2}{4}\)

(b) \(\prod_{k=1}^n\dfrac{2k+1}{2k-1}\)

Télescopique : \(\frac31\cdot\frac53\cdot\frac75\cdots\frac{2n+1}{2n-1}\).

\(2n+1\)

(c) \(\prod_{k=2}^n\big(1-\tfrac1k\big)=\prod\frac{k-1}k=\frac12\cdot\frac23\cdots\frac{n-1}n\)

\(\dfrac1n\)

(d) \(\prod_{k=2}^n\big(1-\tfrac1{k^2}\big)=\prod\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\underbrace{\prod\tfrac{k-1}k}_{1/n}\cdot\underbrace{\prod\tfrac{k+1}k}_{(n+1)/2}\)

\(\dfrac{n+1}{2n}\)

(a) \(\sum_{k=0}^n\binom nk=(1+1)^n\)

\(2^n\)

(b) \(\sum_{k=0}^n\binom nk 2^k=(2+1)^n\)

\(3^n\)

(c) \(\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=(1-1)^n\)

\(0\) (pour \(n\geqslant1\))

(a) \(\binom{n-p}{q-p}\binom np=\binom nq\binom qp\)

On développe les deux membres avec les factorielles :

Les deux membres sont égaux. ∎

(b) En déduire \(\sum_{p=0}^q\binom{n-p}{q-p}\binom np\)

Par (a), chaque terme vaut \(\binom nq\binom qp\), et \(\binom nq\) ne dépend pas de \(p\) :

\(\displaystyle\sum_{p=0}^q\binom{n-p}{q-p}\binom np=2^q\binom nq\)