Primitives & calcul d'intégrales
Primitives usuelles, reconnaissance de formes \(u'\,f(u)\) ; intégrale d'une fonction en escalier ; intégrales définies élémentaires et petits changements de variable ; calculs d'aires entre courbes ; application cinématique (déplacement vs distance).
1. Résumé de cours détaillé
1.1 Primitives
1.2 Intégrale & aire
2. Exercices d'entraînement (créés)
Forme \(\tfrac{u'}u\) avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\).
Sur \([0,1]\), \(x\geqslant x^2\) : aire \(=\int_0^1(x-x^2)dx=[\tfrac{x^2}2-\tfrac{x^3}3]_0^1=\tfrac12-\tfrac13\).
Forme \(\tfrac{u'}{\sqrt{a^2-u^2}}\) avec \(a=2\), \(u=x\).
3. Correction intégrale du TD — Primitives & intégrales (1ère partie)
Les 11 exercices résolus intégralement (constante \(+C\) sous-entendue pour les primitives).
\(f_1=5x^3-3x+7\)
\(\tfrac54x^4-\tfrac32x^2+7x\)
\(f_2=2\cos x-3\sin x\)
\(2\sin x+3\cos x\)
\(f_3=10-3e^x+x\)
\(10x-3e^x+\tfrac{x^2}2\)
\(f_4=\tfrac2x\)
\(2\ln|x|\)
\(f_5=\tfrac2{x^2}\)
\(-\tfrac2x\)
\(f_6=\tfrac5{\sqrt x}+\tfrac4x+\tfrac2{x^2}+\tfrac2{x^3}\)
\(10\sqrt x+4\ln|x|-\tfrac2x-\tfrac1{x^2}\)
\(f_7=\tfrac{x+5}{x^2}=\tfrac1x+\tfrac5{x^2}\)
\(\ln|x|-\tfrac5x\)
\(f_8=\tfrac{x^2}5+\tfrac16\)
\(\tfrac{x^3}{15}+\tfrac x6\)
\(f_9=e^{4x+3}\)
\(\tfrac14e^{4x+3}\)
\(f_{10}=-2e^{-3-5x}\)
\(\tfrac25e^{-3-5x}\)
\(f_{11}=\sin(2x)\)
\(-\tfrac12\cos(2x)\)
\(f_{12}=\cos(3x+\tfrac\pi3)\)
\(\tfrac13\sin(3x+\tfrac\pi3)\)
\(f_{13}=5\cos(7x-4)\)
\(\tfrac57\sin(7x-4)\)
\(f_{14}=(2x+1)^2\)
\(\tfrac{(2x+1)^3}6\)
\(f_{15}=\tfrac3{\sqrt{5x+1}}\)
\(\tfrac65\sqrt{5x+1}\)
\(f_{16}=\tfrac1{\sqrt{x+2}}\)
\(2\sqrt{x+2}\)
\(f_{17}=\tfrac7{\sqrt{1-x^2}}\)
\(7\arcsin x\)
\(f_{18}=\tfrac5{\sqrt{1-x^2}}\)
\(5\arcsin x\)
\(f_{19}=\tfrac2{\sqrt{9-x^2}}\)
\(2\arcsin\tfrac x3\)
\(f_{20}=\tfrac4{\sqrt{7-x^2}}\)
\(4\arcsin\tfrac x{\sqrt7}\)
1) \(\int_0^4 f\)
\(1\cdot1+(-2)\cdot1+4\cdot2\).
\(7\)
2) \(F(x)=\int_0^x f\)
\(F(x)=x\) sur \([0,1]\), \(3-2x\) sur \([1,2]\), \(4x-9\) sur \([2,4]\)
3) Continuité / dérivabilité
Raccords \(F(1^-)=F(1^+)=1\), \(F(2^-)=F(2^+)=-1\) : \(F\) continue. Mais les pentes changent (\(1\to-2\) en \(1\), \(-2\to4\) en \(2\)).
\(F\) continue sur \([0,4]\), non dérivable en \(1\) et \(2\)
\(f_1=\tfrac{x}{1+x^2}\)
\(\tfrac12\ln(1+x^2)\)
\(f_2=\tfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\)
\(\tfrac13\ln(1+e^{3x})\)
\(f_3=\tfrac{\ln x}{x}\)
\(\tfrac12(\ln x)^2\)
\(f_4=\tfrac1{x\ln x}\)
\(\ln|\ln x|\)
\(f_5=\cos x\sin x\)
\(\tfrac12\sin^2x\) (ou \(-\tfrac14\cos2x\))
\(f_6=\cos(3x)\sin(5x)\)
\(=\tfrac12(\sin8x+\sin2x)\).
\(-\tfrac1{16}\cos8x-\tfrac14\cos2x\)
\(f_7=\cos x\sin^2x\)
\(\tfrac13\sin^3x\)
\(f_8=x\sqrt{1+2x^2}\)
\(\tfrac16(1+2x^2)^{3/2}\)
\(f_9=3x\sqrt{1+x^2}\)
\((1+x^2)^{3/2}\)
\(f_{10}=\tfrac1{(3x+2)^2}\)
\(-\tfrac1{3(3x+2)}\)
\(f_{11}=\tfrac1{(1-2x)^3}\)
\(\tfrac1{4(1-2x)^2}\)
\(f_{12}=\tfrac{x^2}{1+x^2}=1-\tfrac1{1+x^2}\)
\(x-\arctan x\)
\(f_{13}=\tfrac3{x^2+7}\)
\(\tfrac3{\sqrt7}\arctan\tfrac x{\sqrt7}\)
\(f_{14}=\tfrac{-2}{\sqrt{9-x^2}}\)
\(-2\arcsin\tfrac x3\)
\(f_{15}=\tfrac3{\sqrt{16-x^2}}\)
\(3\arcsin\tfrac x4\)
\(f=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3\)
\((3x^2-2x+3)'=2(3x-1)\).
\(\tfrac18(3x^2-2x+3)^4\)
\(g=\tfrac{1-x^2}{(x^3-3x+2)^3}\) sur \(]-\infty,-2[\)
\((x^3-3x+2)'=-3(1-x^2)\).
\(\tfrac1{6(x^3-3x+2)^2}\)
\(h=\tfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\) sur \(]-\infty,0[\)
\((x^2-2x)'=2(x-1)\).
\(\sqrt{x^2-2x}\)
\(J=\tfrac1{x\ln(x^2)}\) sur \(]1,+\infty[\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\), donc \(J=\tfrac12\cdot\tfrac1{x\ln x}\).
\(\tfrac12\ln(\ln x)\)
\(A=\int_0^{\pi/3}(1-\cos3x)\,dx\)
\([x-\tfrac13\sin3x]_0^{\pi/3}\), \(\sin\pi=0\).
\(\tfrac\pi3\)
\(B=\int_0^{\sqrt\pi}x\sin(x^2)\,dx\)
\(u=x^2\) : \(\tfrac12\int_0^\pi\sin u\,du\).
\(1\)
\(C=\int_1^2\tfrac{\sqrt{\ln x}}{x}\,dx\)
\(u=\ln x\) : \(\int_0^{\ln2}\sqrt u\,du\).
\(\tfrac23(\ln2)^{3/2}\)
\(D=\int_0^1(x-2)(x+1)^5\,dx\)
\(u=x+1\) : \(\int_1^2(u-3)u^5du=[\tfrac{u^7}7-\tfrac{u^6}2]_1^2\).
\(-\tfrac{187}{14}\)
\(E=\int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx\)
\(\cos^2x=\tfrac{1+\cos2x}2\).
\(\pi\)
\(F=\int_0^{\ln2/2}\tfrac{e^{2x}}{e^{2x}+2}\,dx\)
\(u=e^{2x}+2\) (de \(3\) à \(4\)) : \(\tfrac12\ln\tfrac43\).
\(\tfrac12\ln\tfrac43\)
\(f=x^2+\tfrac12\) (positive)
\(\int_0^1(x^2+\tfrac12)dx=\tfrac13+\tfrac12\).
\(\tfrac56\)
\(g=e^{-x}-1\) (négative sur \([0,1]\))
Aire \(=\int_0^1(1-e^{-x})dx=[x+e^{-x}]_0^1\).
\(\tfrac1e\)
\(h=4x^2-1\) (change de signe en \(\tfrac12\))
\(\int_0^{1/2}(1-4x^2)+\int_{1/2}^1(4x^2-1)=\tfrac13+\tfrac23\).
\(1\)
Intersection \(x^2=\tfrac1x\Rightarrow x=1\). Sur \([\tfrac12,1]\) : \(g>f\) ; sur \([1,2]\) : \(f>g\).
\(\int_{1/2}^1(\tfrac1x-x^2)dx=\ln2-\tfrac7{24}\) ; \(\int_1^2(x^2-\tfrac1x)dx=\tfrac73-\ln2\).
a) \(y=5x-x^2\) et \(y=x\)
Intersections \(x=0,4\), parabole au-dessus : \(\int_0^4(4x-x^2)dx\).
\(\tfrac{32}3\)
b) \(y=4x-x^2\) et \(y=2x\)
Intersections \(x=0,2\) : \(\int_0^2(2x-x^2)dx\).
\(\tfrac43\)
Tangente : \(y=2x-1\), coupe \((Ox)\) en \(x=\tfrac12\). Aire \(=\int_0^1x^2dx-\underbrace{\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot1}_{\text{triangle}}=\tfrac13-\tfrac14\).
1) Positions
Sur \([0,1]\), \(x^2\leqslant x\Rightarrow g\geqslant f\) (égalité en \(0\) et \(1\)).
2) Aire (u.a.)
\(\int_0^1\big(\tfrac1{1+x^2}-\tfrac1{1+x}\big)dx=[\arctan x-\ln(1+x)]_0^1\).
\(\tfrac\pi4-\ln2\) u.a.
3) En cm²
\(1\) u.a. \(=5^2=25\,\text{cm}^2\).
\(25\big(\tfrac\pi4-\ln2\big)\,\text{cm}^2\)
1) Déplacement
\(\int_1^4v\,dt=[\tfrac{t^3}3-\tfrac{t^2}2-6t]_1^4\).
\(-\tfrac92\) m
2) Distance
\(v<0\) sur \([1,3]\), \(v>0\) sur \([3,4]\). \(-\int_1^3v+\int_3^4v=\tfrac{22}3+\tfrac{17}6\).
\(\tfrac{61}6\approx10{,}17\) m
Module M02 (S2). Sources : Primitives-intégrales-V2026 (Parties 1 & 2) et TD1-Primitives-intégrales. Corrigé rédigé intégralement. La 2ᵉ partie du TD (intégration par parties, changements de variable avancés, éléments simples) fera l'objet d'une page dédiée.
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