Maths · M02 — Polynômes & fractions rationnelles

Polynômes & fractions rationnelles

Ensemble \(\mathbb K[X]\), degré, opérations ; divisibilité et division euclidienne ; racines, multiplicité, dérivation, d'Alembert–Gauss ; factorisation dans \(\mathbb R[X]\) et \(\mathbb C[X]\), polynômes irréductibles ; formule de Taylor, somme/produit des racines ; fractions rationnelles, pôles, partie entière et décomposition en éléments simples.

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Résumé de cours détaillé
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
3. Correction intégrale du TD
📂 Documents donnés (CM, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — Polynômes & fractions rationnelles

Degré\(\deg(P+Q)\leqslant\max(\deg P,\deg Q)\) ; \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) ; \(\deg(P^n)=n\deg P\)

Division euclidienne\(A=BQ+R\), \(\deg R<\deg B\), couple \((Q,R)\) unique ; \(B\mid A\iff R=0\)

Racine de multiplicité \(k\)\(\iff P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0\) et \(P^{(k)}(a)\neq0\)

Racines conjuguées\(P\in\mathbb R[X]\), \(a\in\mathbb C\setminus\mathbb R\) racine \(\Rightarrow\bar a\) racine aussi

d'Alembert–Gauss\(P\in\mathbb C[X]\) de degré \(n\geqslant1\) a exactement \(n\) racines (avec multiplicité)

Irréductibles\(\mathbb C[X]\) : degré 1. \(\mathbb R[X]\) : degré 1, et degré 2 de \(\Delta<0\)

Somme/produit des racines\(\sum\text{racines}=-\tfrac{a_{n-1}}{a_n}\), produit \(=(-1)^n\tfrac{a_0}{a_n}\)

Formule de Taylor\(P(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)

Décomposition en éléments simplespartie entière si \(\deg P\geqslant\deg Q\), puis éléments simples ; pôle simple \(a\) : \(A=\big[(x-a)F(x)\big]_{x=a}\)

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Ensemble, degré, opérations

Polynôme \(P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\), \(a_k\in\mathbb K\). \(\deg P\) = plus grand \(k\) avec \(a_k\neq0\) ; \(\deg(0)=-\infty\). Coefficient et terme dominant \(a_nx^n\) ; unitaire si \(a_n=1\).

Degré \(\deg(P+Q)\leqslant\max(\deg P,\deg Q)\) ; \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) ; \(\deg(P^n)=n\deg P\).

1.2 Divisibilité, division euclidienne

Division euclidienne Pour \(A,B\in\mathbb K[X]\), \(B\neq0\), il existe un unique couple \((Q,R)\) avec \(A=BQ+R\) et \(\deg R<\deg B\). \(B\mid A\iff R=0\).

1.3 Racines, multiplicité, dérivation

Racine & multiplicité \(a\) racine \(\iff P(a)=0\iff(x-a)\mid P\). \(a\) racine de multiplicité \(k\) \(\iff(x-a)^k\mid P\) et \((x-a)^{k+1}\nmid P\) \(\iff P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(k-1)}(a)=0\) et \(P^{(k)}(a)\neq0\).

Propriétés Si \(a\) est racine de mult. \(r\) de \(P\), c'est une racine de mult. \(r-1\) de \(P'\). Leibniz : \((PQ)^{(n)}=\sum\binom nk P^{(k)}Q^{(n-k)}\). Si \(P\in\mathbb R[X]\) et \(a\in\mathbb C\setminus\mathbb R\) est racine, alors \(\bar a\) l'est aussi.

1.4 Factorisation

d'Alembert–Gauss Tout \(P\in\mathbb C[X]\) de degré \(n\geqslant1\) a exactement \(n\) racines (comptées avec multiplicité).

Irréductibles Dans \(\mathbb C[X]\) : les polynômes de degré 1. Dans \(\mathbb R[X]\) : degré 1, et degré 2 de discriminant \(<0\). \[ P=\lambda(x-a_1)^{k_1}\cdots(x-a_r)^{k_r}\quad(\mathbb C),\qquad P=\lambda\textstyle\prod(x-a_i)^{k_i}\prod(x^2+\beta_jx+\gamma_j)^{\ell_j}\quad(\mathbb R). \]

Somme/produit, Taylor Pour \(P\) scindé de degré \(n\) : somme des racines \(=-\tfrac{a_{n-1}}{a_n}\), produit \(=(-1)^n\tfrac{a_0}{a_n}\). Formule de Taylor : \(P(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\).

1.5 Fractions rationnelles

Pôles, partie entière \(F=\tfrac PQ\) : racines de \(Q\) = pôles. Si \(\deg P\geqslant\deg Q\) : \(F=E(x)+\tfrac{R}{Q}\) (\(E\) = partie entière, \(\deg R<\deg Q\)).

Éléments simples Sur \(\mathbb C\) : \(\tfrac{A}{(x-a)^n}\) (1ʳᵉ espèce). Sur \(\mathbb R\) : de plus \(\tfrac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n}\) (2ⁿᵈ espèce, \(\Delta<0\)). Décomposition unique. Coefficient d'un pôle simple \(a\) : \(A=\big[(x-a)F(x)\big]_{x=a}\).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — Racine évidente & factorisation♦♦◊

Factoriser \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) dans \(\mathbb R[X]\).

\(P(1)=1-6+11-6=0\) : racine \(1\). Division par \((x-1)\) : \(P=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

\(P=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Exercice B — Élément simple♦♦◊

Décomposer \(F(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb R\).

\(x^2-1=(x-1)(x+1)\). \(A=\tfrac1{x+1}\big|_{x=1}=\tfrac12\), \(B=\tfrac1{x-1}\big|_{x=-1}=-\tfrac12\).

\(F=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}\).

Exercice C — Taylor d'un polynôme♦♦◊

Développer \(P(x)=x^3\) suivant les puissances de \((x-1)\).

\(P(1)=1,\ P'(1)=3,\ P''(1)=6,\ P'''(1)=6\).

\(x^3=1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3\).

3. Correction intégrale du TD — Polynômes & fractions

16 exercices + 3 applications, résolus intégralement. (Corrigés officiels fournis seulement pour Ex15–16 ; tout est ré-expliqué.)

Exercice 1 — Est-ce un polynôme ?♦◊◊

(1) \(4x^5-x^3+1\)

Polynôme, degré 5

(2) \((2x+4)^5\)

Polynôme, degré 5

(3) \(x\sqrt2-\tfrac13x^3+1\)

\(\sqrt2\) est un coefficient constant.

Polynôme, degré 3

(4) \(x\sqrt x+2x+1=x^{3/2}+2x+1\)

Exposant \(\tfrac32\) non entier.

Pas un polynôme

(5) \(\dfrac2{x^2+x+1}\)

Pas un polynôme (fraction)

(6) \(4\)

Polynôme, degré 0

Exercice 2 — Opérations♦♦◊

\(P=2x^3+5x-1\), \(Q=-x^2+3x\).

\(P+Q\)

\(2x^3-x^2+8x-1\)

\(PQ\)

\(-2x^5+6x^4-5x^3+16x^2-3x\)

\(P^2\)

\(4x^6+20x^4-4x^3+25x^2-10x+1\)

\(P(x^2)\)

\(2x^6+5x^2-1\)

\(P\circ Q\)

\(-2x^6+18x^5-54x^4+54x^3-5x^2+15x-1\)

\(Q\circ P\)

\(-4x^6-20x^4+10x^3-25x^2+25x-4\)

Exercice 3 — Binôme♦◊◊

\((x+1)^5-(x-1)^5\).

\((x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1\), \((x-1)^5=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1\) : seuls les termes de degré pair survivent (doublés).

\(10x^4+20x^2+2\)

Exercice 4 — Polynôme par valeurs♦♦◊

\(\deg P\leqslant3\), \(P(0)=1,P(1)=0,P(-1)=-2,P(2)=4\).

\(P=ax^3+bx^2+cx+d\) : \(d=1\), puis \(a+b+c=-1\), \(-a+b-c=-3\), \(8a+4b+2c=3\Rightarrow b=-2,\ a=\tfrac32,\ c=-\tfrac12\).

\(P(x)=\tfrac32x^3-2x^2-\tfrac12x+1\)

Exercice 5 — Factorisation, signes, inéquations♦♦♦

\(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

1-2) Racine évidente & factorisation

\(P(1)=0\), \(P=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\).

3) Tableau de signes

\(P>0\) sur \(]-2,1[\cup]3,+\infty[\), \(P<0\) sur \(]-\infty,-2[\cup]1,3[\)

4a) \((\ln x)^3-2(\ln x)^2-5\ln x+6>0\)

Poser \(u=\ln x\) : \(u\in]-2,1[\cup]3,\infty[\).

\(x\in\,]e^{-2},e[\,\cup\,]e^3,+\infty[\)

4b) \(e^{2x}-2e^x\leqslant5-6e^{-x}\)

\(\times e^x\) : \(t^3-2t^2-5t+6\leqslant0\) avec \(t=e^x>0\), soit \(t\in[1,3]\).

\(x\in[0,\ln3]\)

Exercice 6 — Racines & factorisation dans \(\mathbb R\)♦♦♦

\(P=4x^3-20x^2+27x-9\)

Racine \(3\) ; \(4x^2-8x+3=(2x-3)(2x-1)\).

\(P=(x-3)(2x-3)(2x-1)\)

\(Q=x^4-4x^3+9x^2-10x+4\)

Racine double \(1\) : \(Q=(x-1)^2(x^2-2x+4)\), \(\Delta<0\).

\(Q=(x-1)^2(x^2-2x+4)\)

Exercice 7 — Bicarré♦♦◊

\(P=x^4-4x^2+3\).

\(u=x^2\) : \(u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\), donc \(P=(x-1)(x+1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\).

\(P(x)\geqslant0\iff x\in\,]-\infty,-\sqrt3]\cup[-1,1]\cup[\sqrt3,+\infty[\)

Exercice 8 — Divisions euclidiennes♦♦♦

a) \(P=3x^5+4x^2+1\), \(Q=x^2+2x+3\)

\(Q_{quot}=3x^3-6x^2+3x+16\), \(R=-41x-47\)

b) \(P=4x^5-2x^4+5x^2-x+5\), \(Q=x^2+x+1\)

\(Q_{quot}=4x^3-6x^2+2x+9\), \(R=-12x-4\)

c) \(P=x^3-3ix-5(1+i)\), \(Q=x-1+i\)

Horner en \(a=1-i\).

\(Q_{quot}=x^2+(1-i)x-5i\), \(R=-10-10i\)

Exercice 9 — Divisibilité par \(x^2+x+1\)♦♦♦

\(x^4+ax^2+bx+c\) divisible par \(x^2+x+1\) ?

Racine \(j=e^{2i\pi/3}\) avec \(j^2=-1-j\), \(j^4=j\). \(P(j)=(-a+c)+(1-a+b)j=0\), d'où (base \(1,j\)) : \(-a+c=0\) et \(1-a+b=0\).

Condition : \(c=a\) et \(b=a-1\) (\(a\in\mathbb R\) libre).

Exercice 10 — Divisibilité par \(x^2-3x+2\)♦♦◊

\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) divise \(x^4+ax^3+bx^2+x+2\) ?

\(P(1)=0\Rightarrow a+b=-4\) ; \(P(2)=0\Rightarrow2a+b=-5\).

\(a=-1,\ b=-3\)

Exercice 11 — Multiplicité & dérivée♦♦◊

\(P(x)=(x-2)^3(x+1)\).

1) \(x=2\) racine triple

\((x-2)^3\mid P\) et \((x+1)|_{x=2}=3\neq0\).

Multiplicité \(3\)

2) \(P'\)

\(P'=(x-2)^2[3(x+1)+(x-2)]=(x-2)^2(4x+1)\).

\(x=2\) est racine de \(P'\) de multiplicité \(2\)

Exercice 12 — Taylor en 1♦♦◊

\(P(x)=x^4+x^3-4x^2+x+1\) en \(a=1\).

\(P(1)=0,\ P'(1)=0,\ P''(1)=10,\ P'''(1)=30,\ P^{(4)}(1)=24\).

\(P(x)=5(x-1)^2+5(x-1)^3+(x-1)^4\)

Exercice 13 — Factoriser dans \(\mathbb R[X]\) et \(\mathbb C[X]\)♦♦♦

(a) \(x^4-1\)

\(\mathbb R:(x-1)(x+1)(x^2+1)\) ; \(\mathbb C:(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)\)

(b) \(4x^3+4x^2+3x+3\)

\(=(x+1)(4x^2+3)\).

\(\mathbb R:(x+1)(4x^2+3)\) ; \(\mathbb C:(x+1)(2x-i\sqrt3)(2x+i\sqrt3)\)

\(=(x^2+1)^2-2x^2\).

\(\mathbb R:(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)\) ; \(\mathbb C:\prod_{k}(x-e^{i(2k+1)\pi/4})\)

(d) \(x^4-5x^3+4x^2+3x+9\)

Racine double \(3\) : \(=(x-3)^2(x^2+x+1)\).

\(\mathbb R:(x-3)^2(x^2+x+1)\) ; \(\mathbb C:(x-3)^2(x-j)(x-j^2)\)

(e) \(x^8+x^4+1\)

\(=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2-\sqrt3x+1)(x^2+\sqrt3x+1)\).

\(\mathbb R\) : les 4 trinômes ci-dessus ; \(\mathbb C\) : racines \(e^{\pm i\pi/6},e^{\pm i\pi/3},e^{\pm2i\pi/3},e^{\pm5i\pi/6}\)

(f) \(x^5-1\)

\(\mathbb R:(x-1)(x^2-2\cos\tfrac{2\pi}5x+1)(x^2-2\cos\tfrac{4\pi}5x+1)\) ; \(\mathbb C:(x-1)\prod_{k=1}^4(x-e^{2ik\pi/5})\)

(g) \(x^6+1\)

\(=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\).

\(\mathbb R:(x^2+1)(x^2-\sqrt3x+1)(x^2+\sqrt3x+1)\) ; \(\mathbb C:\prod(x-e^{i(2k+1)\pi/6})\)

Exercice 14 — Factorisation dans \(\mathbb C[X]\)♦♦♦

(a) \(x^2+(3i-1)x-2-i\)

\(\Delta=-2i\), \(\delta=1-i\) ; racines \(1-2i\) et \(-i\).

\((x-1+2i)(x+i)\)

(b) \(x^3+(4+i)x^2+(5-2i)x+2-3i\)

Racine \(-1\) ; quotient \(x^2+(3+i)x+2-3i\), \(\Delta=18i\), \(\delta=3+3i\) ; racines \(i\) et \(-3-2i\).

\((x+1)(x-i)(x+3+2i)\)

Exercice 15 — Éléments simples sur \(\mathbb R\)♦♦♦

\(A=\dfrac{x}{x^2-4}\)

\(\dfrac{1/2}{x-2}+\dfrac{1/2}{x+2}\)

\(B=\dfrac{2x+5}{(x-1)(x+2)(x-3)}\)

\(\dfrac{-7/6}{x-1}+\dfrac{1/15}{x+2}+\dfrac{11/10}{x-3}\)

\(C=\dfrac{x^3-3x^2+x-4}{x-1}\)

Division : partie entière \(x^2-2x-1\).

\(x^2-2x-1-\dfrac5{x-1}\)

\(D=\dfrac{2x^3+x^2-x+1}{(x-1)^2}\)

Partie entière \(2x+5\), reste \(7x-4\).

\(2x+5+\dfrac7{x-1}+\dfrac3{(x-1)^2}\)

\(E=\dfrac{x^5+x^4+1}{x^3-x}\)

Partie entière \(x^2+x+1\).

\(x^2+x+1-\dfrac1x+\dfrac{3/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}\)

\(F=\dfrac{x^3+x+1}{(x-1)^3(x+1)}\)

\(\dfrac{7/8}{x-1}+\dfrac{5/4}{(x-1)^2}+\dfrac{3/2}{(x-1)^3}+\dfrac{1/8}{x+1}\)

\(G=\dfrac{x+1}{x^4+1}\)

\(x^4+1=(x^2-\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)\).

\(\dfrac{-\frac{\sqrt2}4x+\frac{2+\sqrt2}4}{x^2-\sqrt2x+1}+\dfrac{\frac{\sqrt2}4x+\frac{2-\sqrt2}4}{x^2+\sqrt2x+1}\)

\(H=\dfrac{x}{(x^2+1)(x^2+4)}\)

\(\dfrac1{(x^2+1)(x^2+4)}=\tfrac13\big(\tfrac1{x^2+1}-\tfrac1{x^2+4}\big)\).

\(\dfrac13\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac13\dfrac{x}{x^2+4}\)

\(I=\dfrac{2x^4+x^3+3x^2-6x+1}{2x^3-x^2}\)

Partie entière \(x+1\), reste sur \(x^2(2x-1)\).

\(x+1+\dfrac4x-\dfrac1{x^2}-\dfrac4{2x-1}\)

Exercice 16 — Éléments simples sur \(\mathbb C\) (puis \(\mathbb R\))♦♦♦

\(I=\dfrac{(3-2i)x-5+3i}{x^2+ix+2}\)

\(x^2+ix+2=(x-i)(x+2i)\).

\(\dfrac{2+i}{x-i}+\dfrac{1-3i}{x+2i}\)

\(J=\dfrac{x+i}{x^2+i}\)

Racines \(\pm\alpha\), \(\alpha=\tfrac{1-i}{\sqrt2}\).

\(\dfrac{(2-\sqrt2+i\sqrt2)/4}{x-\alpha}+\dfrac{(2+\sqrt2-i\sqrt2)/4}{x+\alpha}\)

\(K=\dfrac{2x}{(x+i)^2}\)

\(2x=2(x+i)-2i\).

\(\dfrac2{x+i}-\dfrac{2i}{(x+i)^2}\)

\(L=\dfrac{x^2-3}{(x^2+1)(x^2+4)}\)

Sur \(\mathbb R\) (poser \(u=x^2\)) : \(\dfrac{-4/3}{x^2+1}+\dfrac{7/3}{x^2+4}\).

\(\mathbb C:\dfrac{2i/3}{x-i}-\dfrac{2i/3}{x+i}-\dfrac{7i/12}{x-2i}+\dfrac{7i/12}{x+2i}\)

\(M=\dfrac{x^5+x+1}{x^4-1}\)

Partie entière \(x\), reste \(\dfrac{2x+1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}\).

\(\mathbb R:x+\dfrac{3/4}{x-1}+\dfrac{1/4}{x+1}+\dfrac{-x-1/2}{x^2+1}\)

Applications

Application 1 — Interpolation de Lagrange♦♦◊

Points \((0,1),(1,0),(2,3)\).

\(L_0=\tfrac{(x-1)(x-2)}2\), \(L_1=-x(x-2)\), \(L_2=\tfrac{x(x-1)}2\). \(P=1\cdot L_0+0\cdot L_1+3\cdot L_2=(x-1)(2x-1)=2x^2-3x+1\).

Vérif : \(P(0)=1,\ P(1)=0,\ P(2)=3\) ✓.

\(P(x)=2x^2-3x+1\), \(P(3)=10\).

Application 2 — Discriminant & suite récurrente♦♦◊

A. \(P(x)=x^2+(a-2)x+a\)

\(\Delta=(a-2)^2-4a=a^2-8a+4\), racines \(a=4\pm2\sqrt3\).

2 racines réelles distinctes si \(a<4-2\sqrt3\) ou \(a>4+2\sqrt3\) ; racine double si \(a=4\pm2\sqrt3\) ; aucune racine réelle si \(4-2\sqrt3

B. \(u_{n+2}-3u_{n+1}+2u_n=0\), \(u_0=1,u_1=2\)

Éq. caractéristique \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), racines \(1,2\). \(u_n=A+B\cdot2^n\) ; \(A+B=1,\ A+2B=2\Rightarrow A=0,B=1\).

\(u_n=2^n\)

Application 3 — Intégration par éléments simples♦♦◊

\(R(x)=\dfrac1{(x-1)(x+2)}\).

Décomposition : \(R=\dfrac{1/3}{x-1}-\dfrac{1/3}{x+2}\).

1) \(\displaystyle\int R\,dx\)

\(\tfrac13\ln\Big|\dfrac{x-1}{x+2}\Big|+C\)

2) \(\displaystyle\int\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}\,dx\)

\(\dfrac{x}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{1/3}{x-1}+\dfrac{2/3}{x+2}\).

\(\tfrac13\ln|x-1|+\tfrac23\ln|x+2|+C\)

Module M02 (S2). Sources : Polynômes et fractions rationnelles-2026.pdf et TD-2026 Polynômes. Corrigés officiels partiels (Ex15–16) vérifiés ; l'ensemble est rédigé intégralement.

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Cours / ressource

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