Les nombres réels

La fonction \(g(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\) vérifie \(g'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}>0\), elle est donc strictement croissante. Sur \([2,3]\), les bornes sont atteintes aux extrémités :

Points de changement : \(x=1\) et \(x=3\). On procède par disjonction de cas.

Cas \(x<1\) : \(|x-1|=1-x\), \(|x-3|=3-x\).

\((1-x)+(3-x)=4-2x=4\Rightarrow x=0\). Comme \(0<1\), valide.

Cas \(1\leqslant x\leqslant 3\) : \(|x-1|=x-1\), \(|x-3|=3-x\).

\((x-1)+(3-x)=2=4\) : faux, aucune solution (la somme vaut constamment \(2\) sur \([1,3]\)).

Cas \(x>3\) : \(|x-1|=x-1\), \(|x-3|=x-3\).

\((x-1)+(x-3)=2x-4=4\Rightarrow x=4\). Comme \(4>3\), valide.

Posons \(u_n=\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\). Pour \(n\in\mathbb N\), \(u_n\) est croissante (\(\tfrac1{n+1}\) décroît) et \(u_n<1\).

Minimum : \(u_0=0\), atteint, et c'est le plus petit terme. Donc \(\min A=\inf A=0\).

Supremum : \(u_n<1\) donc \(1\) majore \(A\). Est-ce le plus petit majorant ? Pour tout \(\varepsilon>0\), \(u_n>1-\varepsilon\iff \tfrac1{n+1}<\varepsilon\), vrai pour \(n\) assez grand : aucun majorant \(<1\). Donc \(\sup A=1\), non atteint (pas de maximum).

(a) \(x+y\)

\([-1,3]+[-5,-4]\) : min \(-1-5=-6\), max \(3-4=-1\).

\(-6\leqslant x+y\leqslant -1\)

(b) \(x-y\)

\(-y\in[4,5]\) : min \(-1+4=3\), max \(3+5=8\).

\(3\leqslant x-y\leqslant 8\)

(c) \(xy\)

\(y<0\) : on teste les 4 coins \((\mp1)(\mp5),\dots\) : \((-1)(-5)=5\), \((3)(-5)=-15\).

\(-15\leqslant xy\leqslant 5\)

(d) \(\dfrac xy\)

\(\tfrac1y\in\left[-\tfrac14,-\tfrac15\right]\). Coins : \((3)\!\cdot\!(-\tfrac14)=-\tfrac34\), \((-1)\!\cdot\!(-\tfrac14)=\tfrac14\).

\(-\tfrac34\leqslant\dfrac xy\leqslant \tfrac14\)

(e) \(\left(\dfrac xy\right)^2\)

\(\tfrac xy\in\left[-\tfrac34,\tfrac14\right]\) contient \(0\) : le carré va de \(0\) à \(\left(\tfrac34\right)^2\).

\(0\leqslant\left(\dfrac xy\right)^2\leqslant \dfrac9{16}\)

(a) \(2x-3y\)

\(2x\in[2,8]\), \(-3y\in[-15,-6]\).

\(-13\leqslant 2x-3y\leqslant 2\)

(b) \(\dfrac1y+3\)

\(\tfrac1y\in\left[\tfrac15,\tfrac12\right]\).

\(\dfrac{16}{5}\leqslant\dfrac1y+3\leqslant \dfrac72\)

(c) \((x-5)(2-y)\)

\(x-5\in[-4,-1]\), \(2-y\in[-3,0]\) (deux facteurs \(\leqslant0\) → produit \(\geqslant0\)) ; max \((-4)(-3)=12\).

\(0\leqslant (x-5)(2-y)\leqslant 12\)

(d) \(\dfrac{x+2}{y-1}\)

\(x+2\in[3,6]\), \(\tfrac1{y-1}\in\left[\tfrac14,1\right]\).

\(\dfrac34\leqslant\dfrac{x+2}{y-1}\leqslant 6\)

(e) \(x^2-4x+4=(x-2)^2\)

\(x-2\in[-1,2]\), le carré va de \(0\) (en \(x=2\)) à \(4\) (en \(x=4\)).

\(0\leqslant x^2-4x+4\leqslant 4\)

(a) \(1

\(a,b>0\), \(\tfrac1b\in\left[\tfrac15,\tfrac12\right]\). Comme \(a>1\) (strict), \(\tfrac ab>\tfrac15\) (non atteint) ; max \(\tfrac72\) (en \(a=7,b=2\)).

\(\dfrac15<\dfrac ab\leqslant \dfrac72\)

(b) \(-1\leqslant a\leqslant7,\ -2\leqslant b\leqslant5,\ b\neq0\)

\(b\) change de signe et peut être arbitrairement proche de \(0\) : \(\tfrac ab\) n'est ni majoré ni minoré.

Encadrement impossible (\(\dfrac ab\) non borné).

(c) \(1

\(b\to0^+\) rend \(\tfrac ab\to+\infty\) : pas de majorant. Minorant : \(\tfrac ab>\tfrac15\) (comme en (a)).

Minoré seulement : \(\dfrac ab>\dfrac15\) (non majoré).

(a) \(\sqrt{x-2}=10\)

Domaine \(x\geqslant2\). Carré : \(x-2=100\).

\(x=102\)

(b) \(\sqrt{x-3}+2=9\)

\(\sqrt{x-3}=7\), \(x-3=49\).

\(x=52\)

(c) \(2\sqrt{x+1}+3=1\)

\(\sqrt{x+1}=-1\) : impossible (une racine est \(\geqslant0\)).

\(S=\varnothing\)

(d) \(\sqrt{4x-1}=\sqrt{3-x}\)

Domaine \(\tfrac14\leqslant x\leqslant3\). Carré : \(4x-1=3-x\Rightarrow 5x=4\).

\(x=\tfrac45\)

(e) \(\sqrt{x+12}=\sqrt{x^2+2x-8}\)

Carré : \(x+12=x^2+2x-8\Rightarrow x^2+x-20=0\Rightarrow(x+5)(x-4)=0\). Domaine : \(x^2+2x-8\geqslant0\Rightarrow x\leqslant-4\) ou \(x\geqslant2\), et \(x\geqslant-12\). Les deux candidats \(-5\) et \(4\) conviennent (\(x+12\) et le radicande valent \(7\) et \(16\)).

\(S=\{-5,\ 4\}\)

(f) \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+2}=1\)

Domaine \(x\geqslant-2\). On isole : \(\sqrt{x+4}=1-\sqrt{x+2}\), qui exige \(\sqrt{x+2}\leqslant1\) (\(x\leqslant-1\)). Carré : \(x+4=x+3-2\sqrt{x+2}\Rightarrow\sqrt{x+2}=-\tfrac12\) : impossible.

\(S=\varnothing\)

(a) \(\sqrt{x-3}>2\)

Domaine \(x\geqslant3\), carré : \(x-3>4\).

\(S=\,]7,+\infty[\)

(b) \(\sqrt{2x-5}\leqslant5\)

Domaine \(x\geqslant\tfrac52\), carré : \(2x-5\leqslant25\Rightarrow x\leqslant15\).

\(S=\left[\tfrac52,\ 15\right]\)

(c) \(\sqrt{2+x}\leqslant-1\)

Une racine est \(\geqslant0\), jamais \(\leqslant-1\).

\(S=\varnothing\)

(d) \(\sqrt{x^2-4}\leqslant x-4\)

Il faut \(x-4\geqslant0\) (\(x\geqslant4\)) et \(|x|\geqslant2\). Carré : \(x^2-4\leqslant x^2-8x+16\Rightarrow 8x\leqslant20\Rightarrow x\leqslant\tfrac52\), incompatible avec \(x\geqslant4\).

\(S=\varnothing\)

(e) \(\sqrt{x^2-3x+2}\leqslant x+1\)

Domaine \((x-1)(x-2)\geqslant0\Rightarrow x\leqslant1\) ou \(x\geqslant2\), et \(x+1\geqslant0\ (x\geqslant-1)\). Carré : \(x^2-3x+2\leqslant x^2+2x+1\Rightarrow 5x\geqslant1\Rightarrow x\geqslant\tfrac15\). Intersection :

\(S=\left[\tfrac15,\ 1\right]\cup[2,+\infty[\)

(f) \(\sqrt{2x^2-2}-x\geqslant0\), i.e. \(\sqrt{2x^2-2}\geqslant x\)

Domaine \(x^2\geqslant1\) (\(x\leqslant-1\) ou \(x\geqslant1\)). Si \(x\leqslant-1<0\), l'inégalité est vraie (membre gauche \(\geqslant0>x\)). Si \(x\geqslant1\), carré : \(2x^2-2\geqslant x^2\Rightarrow x^2\geqslant2\Rightarrow x\geqslant\sqrt2\).

\(S=\,]-\infty,-1]\cup[\sqrt2,+\infty[\)

Posons \(BC=a\), donc \(AB=2a\). Pythagore : \(AC^2=AB^2+BC^2=4a^2+a^2=5a^2\), donc \(x=a\sqrt5\), soit \(a=\dfrac{x}{\sqrt5}\).

Périmètre : \(AB+BC+AC=2a+a+x=3a+x=\dfrac{3x}{\sqrt5}+x=x\left(1+\dfrac{3}{\sqrt5}\right)=x\cdot\dfrac{5+3\sqrt5}{5}\).

On résout \(x\cdot\dfrac{5+3\sqrt5}{5}=50\Rightarrow x=\dfrac{250}{5+3\sqrt5}=\dfrac{25(3\sqrt5-5)}{2}\) (après rationalisation).

(a) \(|8x-4|=|-2x+3|\)

\(8x-4=\pm(2x-3)\) : \(6x=1\) ou \(10x=7\).

\(S=\left\{\tfrac16,\ \tfrac{7}{10}\right\}\)

(b) \(|x-2|=2|x+1|\)

\(x-2=\pm(2x+2)\) : \(-x=4\) (\(x=-4\)) ou \(3x=0\) (\(x=0\)).

\(S=\{-4,\ 0\}\)

(c) \(|x^2-x+5|=|x-1|\)

\(x^2-x+5>0\) (\(\Delta<0\)) donc \(=|x-1|\) donne \(x^2-x+5=\pm(x-1)\), soit \(x^2-2x+6=0\) ou \(x^2+4=0\) : aucun réel.

\(S=\varnothing\)

(d) \(|x+1|+|1-2x|=9\)

Points \(x=-1\) et \(x=\tfrac12\). Cas \(x<-1\) : \(-3x=9\Rightarrow x=-3\) ✓. Cas \([-1,\tfrac12]\) : \(-x+2=9\Rightarrow x=-7\) ✗. Cas \(x>\tfrac12\) : \(3x=9\Rightarrow x=3\) ✓.

\(S=\{-3,\ 3\}\)

(e) \(|3x-5|\geqslant-2\)

Une valeur absolue est toujours \(\geqslant0\geqslant-2\).

\(S=\mathbb R\)

(f) \(|2x-7|<1\)

\(-1<2x-7<1\Rightarrow 6<2x<8\).

\(S=\,]3,4[\)

(g) \(|x-1|\leqslant|-3x+4|\)

Carré : \((3x-4)^2-(x-1)^2\geqslant0\Rightarrow(2x-3)(4x-5)\geqslant0\).

\(S=\left]-\infty,\tfrac54\right]\cup\left[\tfrac32,+\infty\right[\)

(h) \(|2x-7|>|4x+2|\)

Carré : \((2x-7)^2-(4x+2)^2>0\Rightarrow(2x+9)(6x-5)<0\).

\(S=\left]-\tfrac92,\ \tfrac56\right[\)

(a) Inégalité triangulaire pour \(x+y\) et \(-y\)

\(\big|(x+y)+(-y)\big|\leqslant|x+y|+|-y|\), soit \(|x|\leqslant|x+y|+|y|\), d'où \(|x|-|y|\leqslant|x+y|\).

(b) Pour \(x+y\) et \(-x\)

\(\big|(x+y)+(-x)\big|\leqslant|x+y|+|-x|\), soit \(|y|\leqslant|x+y|+|x|\), d'où \(|y|-|x|\leqslant|x+y|\).

(c) Conclusion

(a) et (b) donnent \(\pm(|x|-|y|)\leqslant|x+y|\), donc \(\big|\,|x|-|y|\,\big|\leqslant|x+y|\). Avec l'inégalité triangulaire usuelle :

\(\big|\,|x|-|y|\,\big|\leqslant|x+y|\leqslant|x|+|y|\). ∎

Pour \(x,y\in\,]-1,1[\), on a \(xy>-1\), donc \(1+xy>0\). L'inégalité \(\left|\dfrac{x+y}{1+xy}\right|<1\) équivaut (dénominateur positif) à \(|x+y|<1+xy\), soit \((x+y)^2<(1+xy)^2\). Or :

Comme \(x^2<1\) et \(y^2<1\), les deux facteurs sont \(>0\), donc le produit est \(>0\).

(a) \(\lfloor x\rfloor=3\)

\(\iff 3\leqslant x<4\).

\(S=[3,4[\)

(b) \(2\lfloor x-1\rfloor-3=4\)

\(\lfloor x-1\rfloor=\tfrac72\) : impossible (une partie entière est un entier).

\(S=\varnothing\)

(c) \(-5\left\lfloor-\tfrac17(x-3)\right\rfloor+1=6\)

\(\left\lfloor-\tfrac{x-3}{7}\right\rfloor=-1\iff -1\leqslant-\tfrac{x-3}{7}<0\). En multipliant par \(-7\) (sens inversé) : \(0

\(S=\,]3,\ 10]\)

(a) \(x\leqslant y\Rightarrow\lfloor x\rfloor\leqslant\lfloor y\rfloor\)

\(\lfloor x\rfloor\leqslant x\leqslant y\), et \(\lfloor x\rfloor\in\mathbb Z\). Comme \(\lfloor y\rfloor\) est le plus grand entier \(\leqslant y\), on a \(\lfloor x\rfloor\leqslant\lfloor y\rfloor\).

(b) \(\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\leqslant\lfloor x+y\rfloor\leqslant\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\)

Écrivons \(x=\lfloor x\rfloor+\{x\}\), \(y=\lfloor y\rfloor+\{y\}\) avec \(0\leqslant\{x\},\{y\}<1\). Alors \(x+y=\big(\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\big)+(\{x\}+\{y\})\) avec \(0\leqslant\{x\}+\{y\}<2\). Comme \(\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\in\mathbb Z\) :

D'où l'encadrement. ∎

Justifications-clés : \(\tfrac{n+5}{n+1}=1+\tfrac4{n+1}\) décroît de \(5\) (n=0) vers \(1\) (non atteint) ; \((-1)^n+\tfrac1n\) : sous-suite paire décroît vers \(1\) (max \(\tfrac32\) en \(n=2\)), sous-suite impaire croît vers \(-1\) (inf \(-1\) non atteint) ; \(\{\sqrt n\}\) prend \(0\) aux carrés parfaits et s'approche de \(1\) (sup non atteint).

(a) \(2x+3y-2z=3\ ;\ x+2y+z=4\ ;\ x-6y+4z=-1\)

De \(L_2\) : \(x=4-2y-z\). Report dans \(L_1\) : \(y+4z=5\) ; dans \(L_3\) : \(8y-3z=5\). On tire \(z=1\), \(y=1\), \(x=1\).

\(S=\{(1,1,1)\}\)

(b) \(x+y-2z=1\ ;\ x+2y+z=4\ ;\ -3x-3y+6z=-1\)

\(L_3=-3(x+y-2z)\), donc \(L_3\) impose \(-3\cdot1=-1\), soit \(-3=-1\) : contradiction.

\(S=\varnothing\) (système incompatible)

(c) \(x-y+z=1\ ;\ 2x-2y+3z=3\ ;\ x-3y+2z=2\)

\(L_2-2L_1\) : \(z=1\). \(L_3-L_1\) : \(-2y+z=1\Rightarrow y=0\). \(L_1\) : \(x=0\).

\(S=\{(0,0,1)\}\)

(d) \(-x+y+z=0\ ;\ 3x+y+3z=-1\ ;\ x+y+2z=-\tfrac12\)

De \(L_1\) : \(y=x-z\). Report : \(L_2\Rightarrow 4x+2z=-1\), \(L_3\Rightarrow 2x+z=-\tfrac12\). La seconde est la moitié de la première (\(-1=-1\)) : système indéterminé. En posant \(x=t\) : \(z=-\tfrac12-2t\), \(y=x-z=3t+\tfrac12\).

\(S=\left\{\left(t,\ 3t+\tfrac12,\ -2t-\tfrac12\right)\ \middle|\ t\in\mathbb R\right\}\) (infinité de solutions)

De (3) : \(B+L=112\). Report dans (2) : \(D+112=192\Rightarrow D=80\). Puis (1) : \(B=D-7=73\), et \(L=112-B=39\).

Vérif : \(80+39+73=192\) ✓ et \(\tfrac{73+39}{2}=56\) ✓.