Maths · M01 — Chapitre 12

Les nombres complexes

Forme algébrique, conjugué et module ; le nombre \(e^{i\theta}\), formules d'Euler et de Moivre, linéarisation ; formes exponentielle et trigonométrique, argument, signal sinusoïdal ; racines carrées (méthode IRM), équations du second degré et racines \(n\)-ièmes ; interprétation géométrique et transformations du plan.

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Résumé de cours détaillé
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
3. Correction intégrale du TD n°12
📂 Documents donnés (CM, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — Les nombres complexes

Forme algébrique\(z=a+ib\), \(i^2=-1\), unique

Conjugué\(\overline z=a-ib\) ; \(\operatorname{Re}z=\tfrac{z+\overline z}2\), \(\operatorname{Im}z=\tfrac{z-\overline z}{2i}\)

Module\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), \(z\overline z=|z|^2\)

Inégalité triangulaire\(|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|\)

\(e^{i\theta}\)\(=\cos\theta+i\sin\theta\), \(|e^{i\theta}|=1\)

Formules d'Euler\(\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\), \(\sin\theta=\tfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)

Argument\(\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\), \(\arg(z^n)\equiv n\arg z\ [2\pi]\)

Second degré\(az^2+bz+c=0\Rightarrow z=\tfrac{-b\pm\delta}{2a}\), \(\delta^2=\Delta\)

Racines \(n\)-ièmes\(\omega=\sqrt[n]{|z|}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}\), \(k\in[\![0,n{-}1]\!]\)

Transformationsrotation \(z\mapsto e^{i\theta}z+b\) ; homothétie \(z\mapsto\lambda z+b\)

Racine carrée (IRM)résoudre \(2ab=y\), \(a^2-b^2=x\), \(a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}\)

Linéariser \(\cos^\alpha\sin^\beta\)Euler → binôme → regrouper conjugués → reconnaître cos/sin

Angle moitié\(e^{i\theta}+e^{i\varphi}=2\cos\!\big(\tfrac{\theta-\varphi}2\big)e^{i\frac{\theta+\varphi}2}\)

\(\cos(n\theta),\sin(n\theta)\)Moivre + binôme, prendre \(\operatorname{Re}\)/\(\operatorname{Im}\)

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Ensemble \(\mathbb C\), forme algébrique

Nombre complexe \(i\) est l'unique nombre non réel tel que \(i^2=-1\). Un nombre complexe s'écrit \(z=a+ib\) avec \((a,b)\in\mathbb R^2\) : \(a=\operatorname{Re}(z)\) (partie réelle) et \(b=\operatorname{Im}(z)\) (partie imaginaire, qui est un réel). Cette écriture algébrique est unique. On note \(\mathbb R\subset\mathbb C\) et \(i\mathbb R\) l'ensemble des imaginaires purs (\(\operatorname{Re}=0\)).

Opérations \((a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')\) ; \((a+ib)(a'+ib')=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\). Hormis \(i^2=-1\), on calcule comme dans \(\mathbb R\).

\(\mathbb C\) n'est pas ordonné : on ne dit jamais qu'un complexe (non réel) est « plus grand » qu'un autre. Deux complexes sont égaux \(\iff\) même partie réelle et même partie imaginaire.

Plan complexe \((a,b)\mapsto a+ib\) est une bijection \(\mathbb R^2\to\mathbb C\). Le point \(M(a,b)\) a pour affixe \(z=a+ib\). Affixe de \(\vec{AB}\) : \(z_B-z_A\). Affixe du milieu de \([AB]\) : \(\tfrac{z_A+z_B}2\).

1.2 Conjugué

Conjugué \(\overline{z}=a-ib\). Géométriquement : \(\overline z\) est le symétrique de \(z\) par rapport à \((Ox)\), \(-z\) par rapport à \(O\), \(-\overline z\) par rapport à \((Oy)\). \[ \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}2,\qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}. \]

Caractérisations & règles \(z\in\mathbb R\iff \overline z=z\) ; \(z\in i\mathbb R\iff\overline z=-z\). \(\overline{\overline z}=z\), \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\), \(\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}\), \(\overline{\alpha z}=\alpha\overline z\) (\(\alpha\in\mathbb R\)), \(\overline{(z_1/z_2)}=\overline{z_1}/\overline{z_2}\).

Méthode du conjugué Pour mettre \(1/z\) sous forme algébrique, on multiplie haut et bas par \(\overline z\) : \[ \frac1{a+ib}=\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}. \]

1.3 Module et distances

Module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant0\). Propriétés : \(z\overline z=|z|^2\), \(|z|=|\overline z|\), \(|z|=0\iff z=0\), \(|\operatorname{Re}(z)|\leqslant|z|\), \(|\operatorname{Im}(z)|\leqslant|z|\).

Produit, quotient, inégalité triangulaire \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\), \(\big|\tfrac{z_1}{z_2}\big|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}\). \(|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|\), avec égalité \(\iff \overline{z_1}z_2\in\mathbb R_+\) (vecteurs colinéaires de même sens).

Lecture géométrique \(|z|=OM\) ; \(|z_A-z_B|=d(A,B)\). Lieux : \(|z-z_A|=r\) cercle \(\mathcal C(A,r)\) ; \(|z-z_A|\leqslant r\) disque ; \(|z-z_A|=|z-z_B|\) médiatrice de \([AB]\) ; \(|z-z_A|+|z-z_B|=r\) ellipse de foyers \(A,B\).

1.4 Le nombre \(e^{i\theta}\) et les complexes de module 1

\(e^{i\theta}\) \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) (simple notation — on n'applique pas \(\ln\)). Identité d'Euler : \(e^{i\pi}+1=0\).

Règles de calcul \(e^{i(\theta+\varphi)}=e^{i\theta}e^{i\varphi}\) ; \(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\tfrac1{e^{i\theta}}\) ; \(\tfrac{e^{i\theta}}{e^{i\varphi}}=e^{i(\theta-\varphi)}\) ; \(e^{i\theta}=e^{i\varphi}\iff\theta\equiv\varphi\;[2\pi]\). \(|e^{i\theta}|=1\) : \(\mathbb U=\{z\,:\,|z|=1\}=\{e^{i\theta}\,:\,\theta\in\mathbb R\}\) (cercle trigonométrique).

1.5 Formules d'Euler, de Moivre — trigonométrie

Euler & Moivre \[ \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}, \qquad \big(e^{i\theta}\big)^n=e^{in\theta}\ (n\in\mathbb Z). \]

Linéariser \(\cos^\alpha\sin^\beta\) 1) remplacer par Euler ; 2) développer par le binôme de Newton ; 3) regrouper les termes conjugués ; 4) reconnaître des cosinus/sinus. Exemple : \(\cos^3\theta=\tfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}4\).

Exprimer \(\cos(n\theta),\sin(n\theta)\) en puissances \(\cos(n\theta)=\operatorname{Re}\big((\cos\theta+i\sin\theta)^n\big)\), \(\sin(n\theta)=\operatorname{Im}(\cdots)\) (Moivre + binôme).

Technique de l'angle moitié \(e^{i\theta}+e^{i\varphi}=2\cos\!\big(\tfrac{\theta-\varphi}2\big)e^{i\frac{\theta+\varphi}2}\), \(e^{i\theta}-e^{i\varphi}=2i\sin\!\big(\tfrac{\theta-\varphi}2\big)e^{i\frac{\theta+\varphi}2}\). En particulier \(1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\).

1.6 Formes exponentielle et trigonométrique — argument

Argument, formes Pour \(z\neq0\) : \(z=|z|e^{i\theta}=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\). Tout réel \(\theta\) vérifiant cela est un argument ; ils diffèrent de \(2k\pi\). L'argument principal \(\operatorname{Arg}(z)\) est l'unique argument dans \(]-\pi,\pi]\). \[ \cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad r=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Propriétés de l'argument \(\arg(\overline z)\equiv-\arg z\), \(\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'\), \(\arg(z/z')\equiv\arg z-\arg z'\), \(\arg(z^n)\equiv n\arg z\), \(\arg(-z)\equiv\pi+\arg z\) (\([2\pi]\)). \(z\in\mathbb R\iff\arg z\equiv0\,[\pi]\) ; \(z\in i\mathbb R\iff\arg z\equiv\tfrac\pi2\,[\pi]\).

Signal sinusoïdal (physique) \(a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\omega)\) avec amplitude \(A=\sqrt{a^2+b^2}=|a+ib|\) et phase \(\omega=\operatorname{Arg}(a+ib)\) : \(\cos\omega=\tfrac aA,\ \sin\omega=\tfrac bA\).

1.7 Équations dans \(\mathbb C\)

Racine carrée — méthode « IRM » \(\omega=a+ib\) racine de \(z=x+iy\) (\(\omega^2=z\)) : on résout \[ \underbrace{2ab=y}_{\text{Imaginaires}},\quad \underbrace{a^2-b^2=x}_{\text{Réels}},\quad \underbrace{a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}}_{\text{Modules}}. \] Le signe de \(y\) (donc de \(ab\)) donne le signe relatif de \(a,b\). Tout \(z\neq0\) a exactement deux racines opposées. (On n'écrit jamais « \(\sqrt z\) » pour un complexe.)

Second degré \(az^2+bz+c=0\) (\(a\neq0\)) : \(z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\), où \(\delta\) est une racine de \(\Delta=b^2-4ac\). Somme \(z_1+z_2=-\tfrac ba\), produit \(z_1z_2=\tfrac ca\).

Racines \(n\)-ièmes Unité : \(\mathbb U_n=\big\{e^{2ik\pi/n}\,:\,k\in[\![0,n-1]\!]\big\}\) (\(n\) sommets d'un polygone régulier), de somme \(0\) si \(n\geqslant2\). Cas général : \(\omega^n=z=|z|e^{i\theta}\) donne \(\omega=\sqrt[n]{|z|}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}\), \(k\in[\![0,n-1]\!]\).

1.8 Interprétation géométrique & transformations

Angles et distances \(\big|\tfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\big|=\tfrac{AC}{AB}\) et \(\operatorname{Arg}\!\big(\tfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\big)=(\vec{AB},\vec{AC})\). \((AB)\parallel(AC)\iff\tfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb R\) ; \((AB)\perp(AC)\iff\tfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb R\).

Transformations \(z\mapsto az+b\) Translation \(z\mapsto z+b\) (vecteur d'affixe \(b\)). Homothétie centre \(\Omega\), rapport \(\lambda\in\mathbb R^*\!\setminus\!\{1\}\) : \(z\mapsto\lambda z+b\), \(\omega=\tfrac b{1-\lambda}\). Rotation centre \(\Omega\), angle \(\theta\) : \(z\mapsto e^{i\theta}z+b\). Similitude directe \(z\mapsto az+b\) (\(|a|\neq1\), \(a\notin\mathbb R\)) : rapport \(\lambda=|a|\), angle \(\theta=\operatorname{Arg}(a)\), centre \(\omega=\tfrac b{1-a}\).

1.9 Exponentielle complexe

\(\exp\) sur \(\mathbb C\) \(e^{z}=e^{\operatorname{Re}(z)}e^{i\operatorname{Im}(z)}\). Module \(|e^z|=e^{\operatorname{Re}(z)}\), argument \(\arg(e^z)\equiv\operatorname{Im}(z)\,[2\pi]\). \(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}\) ; \(e^{z_1}=e^{z_2}\iff z_1-z_2\in2i\pi\mathbb Z\).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — Linéariser \(\cos^4\theta\)♦♦◊

Exprimer \(\cos^4\theta\) comme combinaison de \(\cos(k\theta)\).

Formule d'Euler : \(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\), donc \(\cos^4\theta=\dfrac1{16}\big(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\big)^4\). Binôme de Newton :

\[ (e^{i\theta}+e^{-i\theta})^4=e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}. \]

On regroupe les conjugués : \(e^{4i\theta}+e^{-4i\theta}=2\cos4\theta\), \(4(e^{2i\theta}+e^{-2i\theta})=8\cos2\theta\).

\(\cos^4\theta=\dfrac1{16}\big(2\cos4\theta+8\cos2\theta+6\big)=\dfrac{\cos4\theta+4\cos2\theta+3}8\).

Vérification en \(\theta=0\) : \(1=\tfrac{1+4+3}8=1\) ✓.

Exercice B — Racines cubiques de \(8i\)♦♦◊

Résoudre \(\omega^3=8i\) dans \(\mathbb C\) (forme exponentielle puis algébrique).

\(8i=8\,e^{i\pi/2}\), donc \(|\omega|=\sqrt[3]{8}=2\) et \(3\varphi\equiv\tfrac\pi2\,[2\pi]\), soit \(\varphi=\tfrac\pi6+\tfrac{2k\pi}3\), \(k\in\{0,1,2\}\).

\[ \omega_0=2e^{i\pi/6},\quad \omega_1=2e^{i5\pi/6},\quad \omega_2=2e^{i3\pi/2}. \]

Formes algébriques : \(2e^{i\pi/6}=2(\tfrac{\sqrt3}2+\tfrac i2)=\sqrt3+i\) ; \(2e^{i5\pi/6}=-\sqrt3+i\) ; \(2e^{i3\pi/2}=-2i\).

\(\omega\in\{\sqrt3+i,\ -\sqrt3+i,\ -2i\}\).

Somme des trois racines \(=0\) (coefficient de \(\omega^2\) nul) ✓.

Exercice C — Cercle d'Apollonius \(|z-1|=2|z+1|\)♦♦♦

Décrire l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z-1|=2|z+1|\).

On élève au carré avec \(z=x+iy\) : \(|z-1|^2=4|z+1|^2\), soit

\[ (x-1)^2+y^2=4\big[(x+1)^2+y^2\big]. \]

Développons : \(x^2-2x+1+y^2=4x^2+8x+4+4y^2\), d'où \(3x^2+3y^2+10x+3=0\), puis

\[ x^2+y^2+\tfrac{10}3x+1=0\ \Longrightarrow\ \Big(x+\tfrac53\Big)^2+y^2=\tfrac{25}9-1=\tfrac{16}9. \]

Cercle de centre \(\Omega\big(-\tfrac53,0\big)\) et de rayon \(\tfrac43\) (cercle d'Apollonius du bipoint).

3. Correction intégrale du TD n°12 — Les nombres complexes

Feuille sans corrigé officiel : les 21 exercices sont résolus intégralement, chaque sous-question traitée.

Partie 1 — Forme algébrique, conjugué, module

Exercice 1 — Forme algébrique♦◊◊

(a) \(z_1=i(1+i)\)

\(=i+i^2\).

\(-1+i\)

(b) \(z_2=i^3\)

\(=i^2\cdot i=-i\).

\(-i\)

\(=9+6i+i^2\).

\(8+6i\)

(d) \(z_4=(4-3i)^3\)

\((4-3i)^2=7-24i\), puis \((7-24i)(4-3i)=28-21i-96i+72i^2\).

\(-44-117i\)

(e) \(z_5=\tfrac2i\)

\(\tfrac1i=-i\).

\(-2i\)

(f) \(z_6=\tfrac{4i}{5+3i}\)

\(\times\tfrac{5-3i}{5-3i}\) : \(\tfrac{20i-12i^2}{34}=\tfrac{12+20i}{34}\).

\(\tfrac6{17}+\tfrac{10}{17}i\)

(g) \(z_7=\tfrac{6+8i}{4-3i}\)

\(\times\tfrac{4+3i}{4+3i}\) : \(\tfrac{24+50i-24}{25}=\tfrac{50i}{25}\).

\(2i\)

(h) \(z_8=\tfrac{3(2+i)}{1-i}\)

\(\tfrac{(6+3i)(1+i)}2=\tfrac{6+9i-3}2\).

\(\tfrac32+\tfrac92 i\)

Exercice 2 — Conjugué (forme algébrique)♦◊◊

(a) \(z_1=-1\)

\(\overline{z_1}=-1\)

(b) \(z_2=3i\)

\(\overline{z_2}=-3i\)

\(\overline{z_3}=2+i\)

(d) \(z_4=\tfrac{4-5i}{3+i}\)

\(\overline{z_4}=\tfrac{4+5i}{3-i}=\tfrac{(4+5i)(3+i)}{10}=\tfrac{12+19i-5}{10}\).

\(\overline{z_4}=\tfrac{7+19i}{10}\)

Exercice 3 — Conjugué en fonction de \(z,\overline z\)♦♦◊

(a) \(w_1=z-\overline z\)

\(\overline{w_1}=\overline z-z\).

\(\overline{w_1}=-(z-\overline z)=-w_1\) (\(w_1\in i\mathbb R\))

(b) \(w_2=z\overline z\)

\(\overline{w_2}=\overline z\,z=z\overline z\).

\(\overline{w_2}=w_2\) (\(w_2=|z|^2\in\mathbb R\))

\(\overline{iz}=\overline i\,\overline z=-i\overline z\).

\(\overline{w_3}=-i\overline z\)

(d) \(w_4=\tfrac{2z\overline z-i}{5z+1}\)

\(\overline{2z\overline z-i}=2\overline z z+i\), \(\overline{5z+1}=5\overline z+1\).

\(\overline{w_4}=\dfrac{2z\overline z+i}{5\overline z+1}\)

Exercice 4 — Module♦◊◊

(a) \(z_1=5i\)

\(5\)

(b) \(z_2=3-2i\)

\(\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)

\(=64(2-i)\), \(|2-i|=\sqrt5\).

\(64\sqrt5\)

(d) \(z_4=(2+i)(-3+4i)\)

\(|z_4|=|2+i|\,|-3+4i|=\sqrt5\cdot5\).

\(5\sqrt5\)

(e) \(z_5=(-3-4i)^4\)

\(|z_5|=|-3-4i|^4=5^4\).

\(625\)

(f) \(z_6=\tfrac{(1+i)^2}{(1-i)^2}\)

\(\tfrac{|1+i|^2}{|1-i|^2}=\tfrac22\).

\(1\)

Exercice 5 — Équation avec contrainte \(|z|=\sqrt3\)♦♦♦

\(|z|=\sqrt3\). Résoudre \(\dfrac{2\overline z+3}{iz}=\sqrt{15}\).

L'équation équivaut à \(2\overline z+3=\sqrt{15}\,iz\). Prenons le module des deux membres :

\[ |2\overline z+3|=\sqrt{15}\,|iz|=\sqrt{15}\,|z|=\sqrt{15}\cdot\sqrt3=\sqrt{45}=3\sqrt5. \]

Avec \(z=a+ib\), \(2\overline z+3=(2a+3)-2ib\), donc \(|2\overline z+3|^2=(2a+3)^2+4b^2\). Or

\[ (2a+3)^2+4b^2=4a^2+12a+9+4b^2=4|z|^2+12a+9=4\cdot3+12a+9=21+12a. \]

La condition \(21+12a=45\) impose \(a=2\). Mais \(|z|=\sqrt3\) force \(a^2\leqslant3\), donc \(|a|\leqslant\sqrt3\approx1{,}73\) : \(a=2\) est impossible.

\(S=\varnothing\) : l'équation n'a aucune solution sous la contrainte \(|z|=\sqrt3\).

Exercice 6 — Un quotient réel♦♦♦

\(|z_1|=|z_2|=1\), \(z_1z_2\neq-1\). Montrer \(\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}\in\mathbb R\).

Posons \(w=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}\). Un complexe est réel \(\iff w=\overline w\). Comme \(|z_k|=1\), on a \(\overline{z_k}=\tfrac1{z_k}\), donc :

\[ \overline w=\frac{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{1+\overline{z_1}\,\overline{z_2}} =\frac{\tfrac1{z_1}+\tfrac1{z_2}}{1+\tfrac1{z_1z_2}} =\frac{\tfrac{z_1+z_2}{z_1z_2}}{\tfrac{z_1z_2+1}{z_1z_2}}=\frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}=w. \]

\(w=\overline w\), donc \(\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}\in\mathbb R\). ∎

Exercice 7 — Équivalence \(z+\tfrac1z\in\mathbb R\)♦♦♦

\(z\in\mathbb C^*\). Montrer \(z+\tfrac1z\in\mathbb R\iff |z|=1\) ou \(z\in\mathbb R\).

Posons \(w=z+\tfrac1z\). Alors \(w\in\mathbb R\iff w-\overline w=0\). Or \(\overline w=\overline z+\tfrac1{\overline z}\), donc

\[ w-\overline w=(z-\overline z)+\Big(\tfrac1z-\tfrac1{\overline z}\Big) =(z-\overline z)+\frac{\overline z-z}{z\overline z}=(z-\overline z)\Big(1-\frac1{|z|^2}\Big). \]

Ce produit est nul \(\iff z-\overline z=0\) (i.e. \(z\in\mathbb R\)) ou \(1-\tfrac1{|z|^2}=0\) (i.e. \(|z|=1\)).

\(z+\tfrac1z\in\mathbb R\iff z\in\mathbb R\ \text{ou}\ |z|=1\). ∎

Partie 2 — Le nombre \(e^{i\theta}\)

Exercice 8 — Forme algébrique d'exponentielles♦♦◊

(a) \(e^{i\pi}\)

\(-1\)

(b) \(e^{-i\pi/2}\)

\(-i\)

\(2\big(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}2\big)\).

\(-1+i\sqrt3\)

(d) \(\sqrt2\,e^{i\pi/12}\)

\(\cos\tfrac\pi{12}=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\), \(\sin\tfrac\pi{12}=\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}4\) ; \(\sqrt2\cos\tfrac\pi{12}=\tfrac{\sqrt3+1}2\), \(\sqrt2\sin\tfrac\pi{12}=\tfrac{\sqrt3-1}2\).

\(\tfrac{\sqrt3+1}2+i\,\tfrac{\sqrt3-1}2\)

(e) \(z_5=(2e^{i\pi/4})(\sqrt2\,e^{i\pi/3})\)

\(=2\sqrt2\,e^{i7\pi/12}\), avec \(\cos\tfrac{7\pi}{12}=-\sin\tfrac\pi{12}\), \(\sin\tfrac{7\pi}{12}=\cos\tfrac\pi{12}\).

\((1-\sqrt3)+i(\sqrt3+1)\)

(f) \(z_6=\dfrac{2e^{-i\pi/6}}{e^{i2\pi/3}}\)

\(=2e^{-i5\pi/6}=2\big(-\tfrac{\sqrt3}2-\tfrac i2\big)\).

\(-\sqrt3-i\)

Exercice 9 — Linéariser♦♦◊

(a) \(\sin^2(2\theta)\)

\(\sin^2 u=\tfrac{1-\cos2u}2\) avec \(u=2\theta\).

\(\dfrac{1-\cos4\theta}2\)

(b) \(\cos(2\theta)\cos\theta\)

\(\cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\).

\(\tfrac12\big(\cos\theta+\cos3\theta\big)\)

\(\sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]\).

\(\tfrac12\big(\sin3\theta+\sin\theta\big)\)

(d) \(\sin^3\theta\)

Euler : \((2i)^3=-8i\), \((e^{i\theta}-e^{-i\theta})^3=2i\sin3\theta-6i\sin\theta\).

\(\dfrac{3\sin\theta-\sin3\theta}4\)

Exercice 10 — En puissances de \(\cos,\sin\) (Moivre)♦♦◊

(a) \(\cos2\theta\)

\(\cos^2\theta-\sin^2\theta\)

(b) \(\sin2\theta\)

\(2\sin\theta\cos\theta\)

\(\operatorname{Re}\big((\cos\theta+i\sin\theta)^4\big)\), partie réelle de \(c^4+4ic^3s-6c^2s^2-4ics^3+s^4\).

\(\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta\)

(d) \(\sin4\theta\)

Partie imaginaire du même développement.

\(4\cos^3\theta\sin\theta-4\cos\theta\sin^3\theta\)

Partie 3 — Forme exponentielle

Exercice 11 — Mise sous forme exponentielle♦♦♦

(a) \(z_1=i\)

\(e^{i\pi/2}\)

(b) \(z_2=-5\)

\(5e^{i\pi}\)

\(-1=e^{i\pi}\) : \(5e^{i(\pi+3\pi/4)}=5e^{i7\pi/4}\).

\(5e^{-i\pi/4}\)

(d) \(z_4=-\sqrt3+i\)

\(|z_4|=2\), \(\cos\theta=-\tfrac{\sqrt3}2,\ \sin\theta=\tfrac12\).

\(2e^{i5\pi/6}\)

(e) \(z_5=\sqrt2-i\sqrt2\)

\(|z_5|=2\), \(\cos\theta=\tfrac{\sqrt2}2,\ \sin\theta=-\tfrac{\sqrt2}2\).

\(2e^{-i\pi/4}\)

(f) \(z_6=3+i\sqrt{27}=3+3i\sqrt3\)

\(|z_6|=6\), \(\cos\theta=\tfrac12,\ \sin\theta=\tfrac{\sqrt3}2\).

\(6e^{i\pi/3}\)

(g) \(z_7=\dfrac{\sqrt6+i\sqrt2}{2(1+i)}\)

Numérateur \(=2\sqrt2\,e^{i\pi/6}\), dénominateur \(=2\sqrt2\,e^{i\pi/4}\).

\(e^{-i\pi/12}\)

(h) \(z_8=1+i\tan\tfrac{4\pi}3\)

\(\tan\tfrac{4\pi}3=\tan\tfrac\pi3=\sqrt3\), donc \(z_8=1+i\sqrt3\), \(|z_8|=2\), \(\arg=\tfrac\pi3\).

\(2e^{i\pi/3}\)

(i) \(z_9=1+e^{i\pi/6}\)

Angle moitié : \(1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\), \(\theta=\tfrac\pi6\).

\(2\cos\tfrac\pi{12}\,e^{i\pi/12}=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}2\,e^{i\pi/12}\)

(j) \(z_{10}=e^{i3\pi/5}+e^{i9\pi/5}\)

\(e^{i\alpha}+e^{i\beta}=2\cos\tfrac{\alpha-\beta}2e^{i\frac{\alpha+\beta}2}=2\cos\tfrac{3\pi}5\,e^{i6\pi/5}\). Comme \(\cos\tfrac{3\pi}5=-\cos\tfrac{2\pi}5<0\), on rend le module positif : \(=2\cos\tfrac{2\pi}5\,e^{i(6\pi/5+\pi)}\).

\(2\cos\tfrac{2\pi}5\,e^{i\pi/5}\)

(k) \(z_{11}=(1+i\sqrt3)^{2026}(1-i)^{2027}\)

\(=\big(2e^{i\pi/3}\big)^{2026}\big(\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\big)^{2027}\). Module \(2^{2026}\cdot2^{2027/2}=2^{6079/2}\). Argument \(\tfrac{2026\pi}3-\tfrac{2027\pi}4=\tfrac{2023\pi}{12}\equiv\tfrac{7\pi}{12}\,[2\pi]\).

\(2^{6079/2}\,e^{i7\pi/12}\)

(l) \(z_{12}=\dfrac{(1+i)^{2026}}{(2-2i)^{2027}}\)

\(=\dfrac{(\sqrt2\,e^{i\pi/4})^{2026}}{(2\sqrt2\,e^{-i\pi/4})^{2027}}\). Module \(2^{1013-6081/2}=2^{-2029/2}\). Argument \(\tfrac{2026\pi}4+\tfrac{2027\pi}4=\tfrac{4053\pi}4\equiv\tfrac{5\pi}4\,[2\pi]\).

\(2^{-2029/2}\,e^{i5\pi/4}=2^{-2029/2}\,e^{-i3\pi/4}\)

Exercice 12 — Amplitude & phase♦♦◊

\(a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\omega)\), \(A=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\cos\omega=\tfrac aA\), \(\sin\omega=\tfrac bA\).

(a) \(t\mapsto2\sqrt3\sin t+2\cos t\)

Ici \(a=2\) (coef. \(\cos\)), \(b=2\sqrt3\) (coef. \(\sin\)). \(A=\sqrt{4+12}=4\), \(\cos\omega=\tfrac12,\ \sin\omega=\tfrac{\sqrt3}2\).

\(A=4,\ \omega=\tfrac\pi3\) : \(4\cos\!\big(t-\tfrac\pi3\big)\)

(b) \(t\mapsto3\sin t+\sqrt{27}\cos t\)

\(a=3\sqrt3\), \(b=3\). \(A=\sqrt{27+9}=6\), \(\cos\omega=\tfrac{\sqrt3}2,\ \sin\omega=\tfrac12\).

\(A=6,\ \omega=\tfrac\pi6\) : \(6\cos\!\big(t-\tfrac\pi6\big)\)

Partie 4 — Équations dans \(\mathbb C\)

Exercice 13 — Racines carrées (forme algébrique)♦♦◊

(a) \(z_1=0\)

\(\omega=0\) (racine double)

(b) \(z_2=49\)

\(\omega=\pm7\)

\(\omega=\pm5i\)

(d) \(z_4=50i\)

IRM : \(a^2-b^2=0,\ 2ab=50,\ a^2+b^2=50\Rightarrow a^2=b^2=25\), \(ab>0\).

\(\omega=\pm5(1+i)\)

(e) \(z_5=\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}2=e^{i\pi/3}\)

Racines \(e^{i\pi/6}\) et son opposé.

\(\omega=\pm\big(\tfrac{\sqrt3}2+\tfrac i2\big)\)

(f) \(z_6=\tfrac1{\sqrt2}+i\tfrac1{\sqrt2}=e^{i\pi/4}\)

Racines \(\pm e^{i\pi/8}\), \(\cos\tfrac\pi8=\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\), \(\sin\tfrac\pi8=\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\).

\(\omega=\pm\big(\tfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2+i\tfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2\big)\)

(g) \(z_7=3+4i\)

IRM : \(a^2-b^2=3,\ 2ab=4,\ a^2+b^2=5\Rightarrow a^2=4,b^2=1\), \(ab>0\).

\(\omega=\pm(2+i)\)

(h) \(z_8=8-6i\)

IRM : \(a^2-b^2=8,\ 2ab=-6,\ a^2+b^2=10\Rightarrow a^2=9,b^2=1\), \(ab<0\).

\(\omega=\pm(3-i)\)

Exercice 14 — Équations (forme algébrique)♦♦♦

(a) \(z^2+z+1=0\)

\(\Delta=-3\), \(\delta=i\sqrt3\).

\(z=\tfrac{-1\pm i\sqrt3}2\)

(b) \(z^2+2z+10=0\)

\(\Delta=-36\), \(\delta=6i\).

\(z=-1\pm3i\)

\(\Delta=(3+4i)^2-4(-1+5i)=-3+4i\) ; IRM \(\Rightarrow\delta=1+2i\). \(z=\tfrac{(3+4i)\pm(1+2i)}2\).

\(z\in\{2+3i,\ 1+i\}\)

(d) \(z^2-(6+i)z+11+13i=0\)

\(\Delta=(6+i)^2-4(11+13i)=-9-40i\) ; IRM \(\Rightarrow\delta=4-5i\). \(z=\tfrac{(6+i)\pm(4-5i)}2\).

\(z\in\{5-2i,\ 1+3i\}\)

(e) \(z^4+10z^2+169=0\)

\(Z=z^2\) : \(Z^2+10Z+169=0\), \(\Delta=-576\), \(Z=-5\pm12i\). Puis \(z^2=-5+12i\Rightarrow z=\pm(2+3i)\), \(z^2=-5-12i\Rightarrow z=\pm(2-3i)\).

\(z\in\{\pm(2+3i),\ \pm(2-3i)\}\)

(f) \(z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0\)

\(Z=z^2\) : \(\Delta=(5-14i)^2+4(24+10i)=-75-100i=25(-3-4i)\), \(\delta=5(1-2i)\). \(Z_1=5-12i\Rightarrow z=\pm(3-2i)\) ; \(Z_2=-2i\Rightarrow z=\pm(1-i)\).

\(z\in\{\pm(3-2i),\ \pm(1-i)\}\)

Exercice 15 — Équations (forme exponentielle)♦♦♦

(a) \(z^4=-1=e^{i\pi}\)

\(z=e^{i(\pi+2k\pi)/4}\), \(k=0,\dots,3\).

\(z\in\{e^{i\pi/4},e^{i3\pi/4},e^{i5\pi/4},e^{i7\pi/4}\}\)

(b) \(z^5=i=e^{i\pi/2}\)

\(z=e^{i(\pi/10+2k\pi/5)}\), \(k=0,\dots,4\).

\(z\in\{e^{i\pi/10},e^{i\pi/2},e^{i9\pi/10},e^{i13\pi/10},e^{i17\pi/10}\}\)

\(z=2^{1/3}e^{i(\pi/9+2k\pi/3)}\), \(k=0,1,2\).

\(z\in\{2^{1/3}e^{i\pi/9},\,2^{1/3}e^{i7\pi/9},\,2^{1/3}e^{i13\pi/9}\}\)

(d) \(z^5=\dfrac{-4}{1+i\sqrt3}\)

\(\dfrac{4e^{i\pi}}{2e^{i\pi/3}}=2e^{i2\pi/3}\), \(z=2^{1/5}e^{i(2\pi/15+2k\pi/5)}\), \(k=0,\dots,4\).

\(z=2^{1/5}e^{i(2\pi/15+2k\pi/5)}\)

(e) \((z-1)^3=1\)

\(z-1\in\mathbb U_3\) : \(z=2\), \(z=1+e^{i2\pi/3}=e^{i\pi/3}\), \(z=1+e^{i4\pi/3}=e^{-i\pi/3}\).

\(z\in\{2,\ e^{i\pi/3},\ e^{-i\pi/3}\}\)

(f) \((z+1)^4=-(z-1)^4\)

Avec \(w=\tfrac{z+1}{z-1}\) : \(w^4=-1\), \(w=e^{i(2k+1)\pi/4}\). Alors \(z=\tfrac{w+1}{w-1}=-i\cot\tfrac\alpha2\) (\(\alpha=(2k+1)\tfrac\pi4\)) — solutions imaginaires pures.

\(z\in\{\pm i(\sqrt2+1),\ \pm i(\sqrt2-1)\}\)

Partie 5 — Interprétation géométrique

Exercice 16 — \(Z=\tfrac{5z-2}{z-1}\) imaginaire pur♦♦♦

\(M\) d'affixe \(z\in\mathbb C\setminus\{1\}\), \(Z=\tfrac{5z-2}{z-1}\).

(a) \(Z+\overline Z\)

\(Z+\overline Z=\dfrac{(5z-2)(\overline z-1)+(5\overline z-2)(z-1)}{(z-1)(\overline z-1)}\). Le numérateur vaut \(10z\overline z-7(z+\overline z)+4\), le dénominateur \(|z|^2-(z+\overline z)+1\).

\(Z+\overline Z=\dfrac{10|z|^2-7(z+\overline z)+4}{|z|^2-(z+\overline z)+1}\)

(b) \(Z\in i\mathbb R\iff\) ?

\(Z\in i\mathbb R\iff Z+\overline Z=0\iff 10|z|^2-7(z+\overline z)+4=0\). Avec \(z=x+iy\) : \(10(x^2+y^2)-14x+4=0\), soit \(\big(x-\tfrac7{10}\big)^2+y^2=\tfrac9{100}\). Le point \(z=1\) est sur ce cercle et doit être exclu.

\(M\) décrit le cercle de centre \(\big(\tfrac7{10},0\big)\), rayon \(\tfrac3{10}\), privé du point d'affixe \(1\). ∎

Exercice 17 — Nature d'un triangle♦♦◊

\(z_a=3-2i\), \(z_b=-1+i\), \(z_c=6+2i\), \(Z=\tfrac{z_c-z_a}{z_b-z_a}\).

(a) Module et argument de \(Z\)

\(z_c-z_a=3+4i\), \(z_b-z_a=-4+3i\). \(Z=\dfrac{3+4i}{-4+3i}=\dfrac{(3+4i)(-4-3i)}{25}=\dfrac{-25i}{25}=-i\).

\(|Z|=1\), \(\operatorname{Arg}(Z)=-\tfrac\pi2\)

(b) Nature de \(ABC\)

\(|Z|=\tfrac{AC}{AB}=1\Rightarrow AB=AC\) ; \((\vec{AB},\vec{AC})=-\tfrac\pi2\Rightarrow\) angle droit en \(A\).

Triangle rectangle isocèle en \(A\).

Exercice 18 — Triangle \(ADC\)♦♦♦

\(z_a=-i\sqrt3\), \(z_b=3-2i\sqrt3\), \(z_c=\overline{z_b}=3+2i\sqrt3\), \(D\) symétrique de \(B\) par rapport à \(0\) (\(z_d=-z_b\)).

(a) \(Z=\tfrac{z_c-z_a}{z_d-z_a}\)

\(z_c-z_a=3+3i\sqrt3=3(1+i\sqrt3)\) ; \(z_d=-3+2i\sqrt3\), \(z_d-z_a=-3+3i\sqrt3=3(-1+i\sqrt3)\).

\[ Z=\frac{1+i\sqrt3}{-1+i\sqrt3}=\frac{(1+i\sqrt3)(-1-i\sqrt3)}{4}=\frac{2-2i\sqrt3}4=\frac{1-i\sqrt3}2. \]

\(|Z|=1\), \(\operatorname{Arg}(Z)=-\tfrac\pi3\)

(b) Nature de \(ADC\)

\(|Z|=\tfrac{AC}{AD}=1\Rightarrow AC=AD\) (isocèle en \(A\)), et l'angle en \(A\) vaut \(\tfrac\pi3\) : un triangle isocèle d'angle au sommet \(60^\circ\) est équilatéral.

Triangle équilatéral.

Exercice 19 — Lieux géométriques♦♦♦

(a) \(|z|=3\)

Cercle de centre \(O\), rayon \(3\)

(b) \(|z-i|=1\)

Cercle de centre \((0,1)\), rayon \(1\)

\(=|z-(3-2i)|\leqslant4\).

Disque fermé de centre \((3,-2)\), rayon \(4\)

(d) \(|z-i|=|z+i|\)

Équidistant de \(i\) et \(-i\).

Médiatrice de \([i,-i]\) = l'axe réel \((Ox)\)

(e) \(|z-1+i|=|z-i|\)

\(|z-(1-i)|=|z-i|\), équidistant de \((1,-1)\) et \((0,1)\). En carré : \(x-2y=\tfrac12\).

Droite \(x-2y=\tfrac12\) (médiatrice)

(f) \(|z-2i|+|z+1+i|=1\)

Somme des distances aux points \((0,2)\) et \((-1,-1)\), or leur distance vaut \(\sqrt{10}>1\).

\(\varnothing\) (aucun point)

(g) \(\arg(z+i)\equiv0\,[2\pi]\)

\(z+i\in\mathbb R_+^*\), donc \(z=t-i\), \(t>0\).

Demi-droite horizontale \(y=-1\), \(x>0\) (origine \(-i\) exclue)

(h) \(\arg(z-2)\equiv\tfrac\pi2\,[\pi]\)

\(z-2\in i\mathbb R^*\), donc \(z=2+it\), \(t\neq0\).

Droite verticale \(x=2\) privée du point \((2,0)\)

(i) \(\arg\!\big(\tfrac{z-2i}{z-1+i}\big)\equiv\tfrac\pi2\,[\pi]\)

Les vecteurs issus de \(A(0,2)\) et \(B(1,-1)\) vers \(M\) sont perpendiculaires.

Cercle de diamètre \([AB]\) (centre \((\tfrac12,\tfrac12)\), rayon \(\tfrac{\sqrt{10}}2\)) privé de \(A,B\)

Exercice 20 — Images par transformations (\(z=1+2i\))♦♦♦

(a) Homothétie centre \(\Omega(-1,1)\), rapport \(\lambda=-2\)

\(f(z)=\omega+\lambda(z-\omega)=(-1+i)-2\big((1+2i)-(-1+i)\big)=(-1+i)-2(2+i)\).

\(-5-i\) (point \((-5,-1)\))

(b) Rotation centre \(\Omega(1,-\tfrac12)\), angle \(\tfrac{3\pi}4\)

\(z-\omega=(1+2i)-(1-\tfrac i2)=\tfrac{5i}2\), \(e^{i3\pi/4}=-\tfrac{\sqrt2}2+i\tfrac{\sqrt2}2\), \(e^{i3\pi/4}\cdot\tfrac{5i}2=-\tfrac{5\sqrt2}4-\tfrac{5\sqrt2}4i\).

\(\big(1-\tfrac{5\sqrt2}4\big)+i\big(-\tfrac12-\tfrac{5\sqrt2}4\big)\approx-0{,}77-2{,}27i\)

\(f(z)=z+1-i=(1+2i)+1-i\).

\(2+i\) (point \((2,1)\))

(d) Similitude directe \(\lambda=2\), \(\theta=\tfrac\pi3\), centre \(\Omega(1,1)\)

\(z-\omega=i\), \(\lambda e^{i\theta}=2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3\), \((1+i\sqrt3)i=-\sqrt3+i\), \(f(z)=(1+i)+(-\sqrt3+i)\).

\((1-\sqrt3)+2i\approx-0{,}73+2i\)

Exercice 21 — Nature & éléments caractéristiques♦♦♦

(a) \(f_1:z\mapsto z-2i\)

\(a=1\).

Translation de vecteur d'affixe \(-2i\), soit \(\vec u(0,-2)\)

(b) \(f_2:z\mapsto\tfrac1i z=-iz\)

\(a=-i=e^{-i\pi/2}\), \(|a|=1\), \(b=0\).

Rotation de centre \(O\), angle \(-\tfrac\pi2\)

\(a=-e^{i\pi/3}=e^{-i2\pi/3}\), \(|a|=1\), \(b=0\).

Rotation de centre \(O\), angle \(-\tfrac{2\pi}3\)

(d) \(f_4:z\mapsto(1-i)(1+i)z=2z\)

\(a=2\in\mathbb R\), \(b=0\).

Homothétie de centre \(O\), rapport \(2\) (agrandissement)

(e) \(f_5:z\mapsto(-1+i)z+2-2i\)

\(a=-1+i\), \(|a|=\sqrt2\), \(\operatorname{Arg}(a)=\tfrac{3\pi}4\), \(\omega=\tfrac{2-2i}{1-a}=\tfrac{2-2i}{2-i}=\tfrac{6-2i}5\).

Similitude directe rapport \(\sqrt2\), angle \(\tfrac{3\pi}4\), centre \(\Omega\big(\tfrac65,-\tfrac25\big)\)

(f) \(f_6:z\mapsto(1+i\sqrt3)z+\sqrt3(1-i)\)

\(a=1+i\sqrt3\), \(|a|=2\), \(\operatorname{Arg}(a)=\tfrac\pi3\), \(\omega=\tfrac{\sqrt3(1-i)}{-i\sqrt3}=1+i\).

Similitude directe rapport \(2\), angle \(\tfrac\pi3\), centre \(\Omega(1,1)\)

Chapitre 12 du cours M01 (S1). Sources : Chap_12.pdf (cours magistral) et TD12 — Les nombres complexes. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni). Ce chapitre clôt le cours M01 (12/12 chapitres).

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