Maths · M01 — Chapitre 8

Limites de fonctions réelles

Voisinages, définition ε-δ des limites (finies/infinies, à gauche/à droite), caractérisation séquentielle, opérations et formes indéterminées, théorèmes d'encadrement et de la limite monotone.

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Résumé de cours détaillé
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
3. Correction intégrale du TD n°8
📂 Documents donnés (CM, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — Limites de fonctions réelles

Limite finie\(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in I\cap V_\delta(a),|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon\)

Limites latérales\(\lim_a f=\ell\Rightarrow\lim_{a^-}f=\lim_{a^+}f=\ell\) ; réciproque partielle si les deux valent \(f(a)\)

Caractérisation séquentielle\(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff\forall(u_n)\to a,\ f(u_n)\to\ell\)

Composée de limites\(f\to\ell_1\) en \(a\), \(g\to\ell_2\) en \(\ell_1\ \Rightarrow g\circ f\to\ell_2\)

Formes indéterminées\(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\tfrac00\), \(\tfrac\infty\infty\)

Passage à la limite\(f\leqslant g\) au voisinage \(\Rightarrow\ell_1\leqslant\ell_2\) (les strictes deviennent larges)

Théorème des gendarmes\(f\leqslant g\leqslant h\), \(f,h\to\ell\ \Rightarrow g\to\ell\)

Mini-encadrement\(|f|\leqslant g\), \(g\to0\ \Rightarrow f\to0\)

Limite monotonefonction monotone sur \(]\alpha,\beta[\) admet des limites aux bornes et des limites latérales finies en tout point intérieur

Prouver la non-existence d'une limiteexhiber \(u_n,v_n\to a\) avec \(f(u_n)\to\ell_1\neq\ell_2\leftarrow f(v_n)\)

Lever une forme indéterminéefactorisation, quantité conjuguée (racines), ou terme dominant

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Voisinages & définition de la limite

Voisinage \(V_\delta(a)=\,]a-\delta,a+\delta[\,=\{x\mid|x-a|<\delta\}\). Voisinage de \(+\infty\) : \(]A,+\infty[\). Une propriété est « vraie au voisinage de \(a\) » si vraie sur \(I\cap V_\delta(a)\).

Limite finie \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in I\cap V_\delta(a),\ |f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon\). Limite \(+\infty\) : \(\forall M,\ \exists\delta,\ \forall x\in I\cap V_\delta(a),\ f(x)\geqslant M\). La limite, si elle existe, est unique.

Limites à gauche / à droite \(\lim_{x\to a}f=\ell\Rightarrow\lim_{x\to a^-}f=\lim_{x\to a^+}f=\ell\). Réciproque partielle : si les deux limites latérales existent et sont égales à \(f(a)\), alors \(f\) a une limite. (Si elles diffèrent, pas de limite.)

1.2 Caractérisation séquentielle

Théorème \[ \lim_{x\to a}f(x)=\ell\iff \forall(u_n)\to a\ (u_n\in I),\ f(u_n)\to\ell. \] Outil pour la non-existence : si deux suites \(u_n,v_n\to a\) donnent \(f(u_n)\to\ell_1\neq\ell_2\leftarrow f(v_n)\), alors \(f\) n'a pas de limite en \(a\). (Ex. \(\cos\) n'a pas de limite en \(+\infty\).)

1.3 Opérations & formes indéterminées

Opérations Linéarité, produit, quotient (comme pour les suites, via la caractérisation séquentielle). Composée : \(f(x)\to\ell_1\) et \(g(y)\to\ell_2\) en \(\ell_1\) \(\Rightarrow g\circ f\to\ell_2\).

Formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\tfrac00\), \(\tfrac\infty\infty\). On lève par factorisation, quantité conjuguée (racines), ou terme dominant.

1.4 Limites & ordre

Encadrement Passage à la limite : \(f\leqslant g\) au voisinage \(\Rightarrow\ell_1\leqslant\ell_2\) (les strictes deviennent larges). Gendarmes : \(f\leqslant g\leqslant h\), \(f,h\to\ell\Rightarrow g\to\ell\). Mini-encadrement : \(|f|\leqslant g\), \(g\to0\Rightarrow f\to0\). Divergence par comparaison : \(f\leqslant g\), \(f\to+\infty\Rightarrow g\to+\infty\).

Limite monotone Une fonction monotone sur \(]\alpha,\beta[\) admet des limites (finies ou infinies) aux bornes et, en tout point intérieur \(a\), des limites latérales finies avec (si croissante) \(\lim_{x\to a^-}f\leqslant f(a)\leqslant\lim_{x\to a^+}f\).

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Quantité conjuguée à l'infini♦♦◊

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{4x^2+x}-2x\big)\).

Forme \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{4x^2+x}-2x=\frac{(4x^2+x)-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}. \]

Pour \(x>0\), \(\sqrt{4x^2+x}=2x\sqrt{1+\tfrac1{4x}}\), donc le dénominateur \(\sim 4x\) :

\[ \frac{x}{2x\sqrt{1+\tfrac1{4x}}+2x}=\frac{1}{2\sqrt{1+\tfrac1{4x}}+2}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac1{2+2}. \]

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{4x^2+x}-2x\big)=\frac14\).

Exercice B — Produit borné × limite nulle♦♦◊

Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\!\Big(\frac1x\Big)=0\).

Or \(\lim_{x\to0}|x|=0\), d'où par le mini-théorème d'encadrement :

\(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\!\Big(\frac1x\Big)=0\).

Bien que \(\sin(1/x)\) n'ait aucune limite en \(0\), le facteur \(x\) « écrase » les oscillations.

Exercice C — Non-existence par les suites♦♦♦

Montrer que \(x\mapsto\sin(1/x)\) n'a pas de limite en \(0\).

On utilise la caractérisation séquentielle. Posons deux suites tendant vers \(0\) :

\[ u_n=\frac1{2n\pi}\to0\quad\text{et}\quad v_n=\frac1{\tfrac\pi2+2n\pi}\to0. \]

Alors \(\sin(1/u_n)=\sin(2n\pi)=0\to0\), tandis que \(\sin(1/v_n)=\sin\!\big(\tfrac\pi2+2n\pi\big)=1\to1\).

Deux suites de même limite \(0\) donnent des images de limites différentes (\(0\neq1\)) : \(\sin(1/x)\) n'a pas de limite en \(0\). ∎

3. Correction intégrale du TD n°8 — Limites de fonctions réelles

Feuille sans corrigé officiel : les 7 exercices sont résolus intégralement, chaque sous-question traitée. (Le TD précise d'ignorer les domaines et de supposer les opérations valides.)

Partie 1 — Limites à gauche / à droite

Exercice 1 — Fonction par morceaux♦♦◊

\(f(x)=-2x\) si \(x\leqslant-1\) ; \(x^2+1\) si \(-10\).

(a) \(\lim_{x\to-1^-}f=-2(-1)\)

\(2\)

(b) \(\lim_{x\to-1^+}f=(-1)^2+1\)

\(2\)

\(1\)

(d) \(\lim_{x\to0^+}f=\sin0\)

\(0\)

(e) \(\lim_{x\to\pi^-}f=\sin(\pi/4)\)

\(\tfrac{\sqrt2}2\)

(f) \(\lim_{x\to\pi^+}f=\sin(\pi/4)\)

\(\tfrac{\sqrt2}2\) (continue en \(\pi\))

Exercice 2 — Limites latérales♦♦♦

(a) \(\dfrac{x^2-(a+1)x+a}{x^3-a^3}\) en \(a\)

Numérateur \(=(x-1)(x-a)\), dénominateur \(=(x-a)(x^2+ax+a^2)\). Après simplification : \(\dfrac{x-1}{x^2+ax+a^2}\).

Si \(a\neq0\) : limite (des deux côtés) \(=\dfrac{a-1}{3a^2}\). Si \(a=0\) : \(\dfrac{x-1}{x^2}\to-\infty\).

(b) \(\dfrac{\sqrt{x^3-2x^2+x}}{x-1}\) en \(1\)

\(x^3-2x^2+x=x(x-1)^2\), donc \(\sqrt{\cdots}=|x-1|\sqrt x\). Ratio \(=\dfrac{|x-1|\sqrt x}{x-1}\).

À droite : \(+1\) ; à gauche : \(-1\). Pas de limite en \(1\).

Numérateur \(=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\), donc ratio \(=\dfrac{2x}{|x|(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}\).

À droite : \(+1\) ; à gauche : \(-1\). Pas de limite en \(0\).

Exercice 3 — Déduire \(\lim f\) de limites de quotients♦♦♦

On donne 4 limites de \(\tfrac{f(x)-5}{x+2}\) et \(\tfrac{f(x)}{x^2}\).

(a) \(\lim_{x\to-2^-}f\), sachant \(\tfrac{f(x)-5}{x+2}\to+\infty\)

\(f(x)-5=(x+2)\cdot\underbrace{\tfrac{f(x)-5}{x+2}}_{\to+\infty}\) : forme \(0\times\infty\). On sait seulement que \(f(x)<5\) au voisinage, mais la limite n'est pas déterminée (ex. \(f\equiv4\) donne \(+\infty\), \(f=5-\sqrt{|x+2|}\) aussi avec \(f\to5\)).

Indéterminée.

(b) \(\lim_{x\to-2^+}f\), sachant \(\tfrac{f(x)-5}{x+2}\to5\)

\(f(x)-5=(x+2)\cdot(\to5)\to0\).

\(\lim f=5\)

\(f(x)=x^2\cdot(\to-2)\to0\).

\(\lim f=0\)

(d) \(\lim_{x\to0^+}f\), sachant \(\tfrac{f(x)}{x^2}\to0\)

\(f(x)=x^2\cdot(\to0)\to0\).

\(\lim f=0\)

Exemple de fonction convenable

\(f(x)=\begin{cases}5-\sqrt{-x-2}&x<-2\\5+5(x+2)&-2

Partie 2 — Limites en un point et à l'infini

Exercice 4 — Limites (point fini)♦♦♦

(a) \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to\)

\(4\)

(b) \(\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\to\)

\(\tfrac32\)

Numérateur \(\to13\neq0\), dénom \(\to0\).

Pas de limite (à gauche \(-\infty\), à droite \(+\infty\)).

(d) \(|x-1|\) en \(1\)

\(0\)

(e) \(\dfrac1{|x-1|}\) en \(1\)

\(|x-1|\to0^+\).

\(+\infty\)

(f) \(\dfrac{2x^2+|x|}{2x^2-|x|}=\dfrac{2|x|+1}{2|x|-1}\to\)

\(-1\)

(g) \(\dfrac1{\sqrt{x+1}-1}=\dfrac{\sqrt{x+1}+1}{x}\) en \(0\)

Numérateur \(\to2\), dénom \(\to0\).

Pas de limite (à droite \(+\infty\), à gauche \(-\infty\)).

(h) \(\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{1-\sqrt{2x+1}}\) en \(0\)

\(=\dfrac{1+\sqrt{2x+1}}{-2(\sqrt{x+4}+2)}\to\dfrac{2}{-8}\).

\(-\tfrac14\)

(i) \(\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x-1}{x}=\dfrac{-2}{\sqrt{x^2+1}+x+1}\to\)

\(-1\)

(j) \(\dfrac1{1-x}-\dfrac1{1-x^2}=\dfrac{x}{(1-x)(1+x)}\) en \(1\)

Pas de limite (à gauche \(+\infty\), à droite \(-\infty\)).

(k) \(\dfrac3{\lfloor x+1\rfloor}\) en \(0\)

À droite \(\lfloor x+1\rfloor=1\) ; à gauche \(\lfloor x+1\rfloor=0\).

À droite \(3\), à gauche \(+\infty\) : pas de limite.

(l) \(x\lfloor\tfrac1x\rfloor\) en \(0\)

\(\tfrac1x-1<\lfloor\tfrac1x\rfloor\leqslant\tfrac1x\), d'où \(1-|x|

\(1\)

Exercice 5 — Limites à l'infini♦♦♦

(a) \(\dfrac{3x^8-17}{x^7}\sim3x\) en \(-\infty\)

\(-\infty\)

(b) \(\dfrac{3x^3-5x^2+7}{8+2x-5x^3}\sim\dfrac{3}{-5}\)

\(-\tfrac35\)

(\(\sin,\cos\) bornés, terme dominant \(x^2\)).

\(1\)

(d) \(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=\dfrac8{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}}\to\)

\(0\)

(e) \(\sqrt{x^2+x+1}-(x+1)=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2+x+1}+x+1}\sim\dfrac{-x}{2x}\)

\(-\tfrac12\)

(f) \(\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x}\to\)

\(\tfrac12\)

(g) \(\sqrt{x^2+2x+5}-x\) en \(-\infty\)

\(x\to-\infty\) : \(\sqrt{\cdots}\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\).

\(+\infty\)

(h) \(\dfrac{\sqrt{x^2+4}-x}{1-\sqrt{1+2x}}\) en \(+\infty\)

Numérateur \(\to0\), dénominateur \(\to-\infty\).

\(0\)

(i) \(\dfrac{1+2\sin x}{1+\sqrt x}\)

Numérateur borné, dénom \(\to+\infty\).

\(0\)

(j) \(e^{x-\sin x}\) en \(+\infty\)

\(x-\sin x\geqslant x-1\to+\infty\).

\(+\infty\)

(k) \(e^{x-\sin x}\) en \(-\infty\)

\(x-\sin x\leqslant x+1\to-\infty\).

\(0\)

(l) \(x\lfloor\tfrac1x\rfloor\) en \(+\infty\)

\(\tfrac1x\to0^+\Rightarrow\lfloor\tfrac1x\rfloor=0\).

\(0\)

Partie 3 — Propriétés des limites

Exercice 6 — Fonction paire♦♦◊

\(f\) paire, \(\lim_{x\to-\infty}f=\ell\). Montrer \(\lim_{x\to+\infty}f=\ell\).

Comme \(f\) est paire, \(f(x)=f(-x)\). Soit \(\varepsilon>0\). Par hypothèse, \(\exists A,\ \forall y\leqslant A,\ |f(y)-\ell|\leqslant\varepsilon\). Pour \(x\geqslant-A\), on a \(-x\leqslant A\), donc :

\[ |f(x)-\ell|=|f(-x)-\ell|\leqslant\varepsilon. \]

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\). ∎ (Le graphe étant symétrique / \(Oy\), les deux « bouts » ont même limite.)

Exercice 7 — Fonction périodique avec limite en \(+\infty\)♦♦♦

\(f\) périodique de période \(T>0\), \(\lim_{x\to+\infty}f=\ell\in\mathbb R\).

Soit \(x_0\in\mathbb R\). La suite \(x_0+nT\to+\infty\), donc \(f(x_0+nT)\to\ell\). Or par périodicité \(f(x_0+nT)=f(x_0)\) pour tout \(n\). La suite constante \(f(x_0)\) converge vers \(\ell\), donc \(f(x_0)=\ell\).

\(x_0\) étant quelconque, \(f\) est constante égale à \(\ell\). (Une fonction périodique non constante n'a pas de limite en \(+\infty\).)

Chapitre 8 du cours M01 (S1). Sources : Chap_8.pdf (cours magistral) et TD08 — Limites de fonctions réelles. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

📂 Documents donnés

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Cours (CM)

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TD (énoncé)

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