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Maths · M02 — Intégration & sommes de Riemann

Intégration & sommes de Riemann

Fonctions en escalier, propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, Chasles, inégalité de la moyenne) ; sommes de Riemann et passage à l'intégrale ; suites définies par une intégrale (majoration, convergence) ; comparaison série-intégrale et constante d'Euler.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Intégration & sommes de Riemann
Linéarité & Chasles\(\int(\lambda f+\mu g)=\lambda\int f+\mu\int g\) ; \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\)
Positivité\(f\geqslant0\Rightarrow\int_a^b f\geqslant0\) ; \(f\leqslant g\Rightarrow\int f\leqslant\int g\) (\(a\leqslant b\))
Inégalités\(\big|\int_a^b f\big|\leqslant\int_a^b|f|\) ; inégalité de la moyenne \(\leqslant(b-a)\sup|f|\)
Fonctions en escalier\(\int_a^b\varphi=\sum_i c_i(x_{i+1}-x_i)\)
Sommes de Riemann\(\dfrac{b-a}n\sum_{k=1}^n f\big(a+k\tfrac{b-a}n\big)\to\int_a^b f\) ; cas \([0,1]\) : \(\tfrac1n\sum f(\tfrac kn)\to\int_0^1 f\)
Reconnaître une somme de Riemannidentifier \(f\) et l'intervalle pour transformer une limite de somme en intégrale
Majoration d'une suite-intégrale\(|g|\leqslant M\) sur \([0,1]\Rightarrow|u_n|=\big|\int_0^1x^ng\big|\leqslant\tfrac M{n+1}\to0\)
Comparaison série–intégrale\(1/x\) décroissante \(\Rightarrow\tfrac1{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\tfrac{dx}x\leqslant\tfrac1k\) ; somme \(\Rightarrow\ln n+\gamma+o(1)\)

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Propriétés de l'intégrale

Règles Linéarité : \(\int(\lambda f+\mu g)=\lambda\int f+\mu\int g\). Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\). Positivité : \(f\geqslant0\Rightarrow\int_a^b f\geqslant0\) ; \(f\leqslant g\Rightarrow\int f\leqslant\int g\) (\(a\leqslant b\)).
Inégalités \(\Big|\displaystyle\int_a^b f\Big|\leqslant\int_a^b|f|\). Inégalité de la moyenne : \(\big|\int_a^b f\big|\leqslant(b-a)\sup_{[a,b]}|f|\).
Fonctions en escalier \(\int_a^b\varphi=\sum_i c_i\,(x_{i+1}-x_i)\) où \(\varphi=c_i\) sur \(]x_i,x_{i+1}[\) (les valeurs aux points de la subdivision ne comptent pas).

1.2 Sommes de Riemann

Convergence Pour \(f\) continue sur \([a,b]\) : \[ \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\Big(a+k\tfrac{b-a}{n}\Big)\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \int_a^b f. \] Cas usuel \([0,1]\) : \(\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f\big(\tfrac kn\big)\to\int_0^1 f\). Reconnaître une somme de Riemann permet de calculer une limite.

1.3 Suites définies par une intégrale

Majoration Pour montrer \(u_n=\int_0^1 x^n g(x)\,dx\to0\) : majorer \(|g|\leqslant M\) sur \([0,1]\), alors \(|u_n|\leqslant M\int_0^1 x^n=\tfrac M{n+1}\to0\). Relations de récurrence : IPP ou manipulation algébrique du numérateur.
Comparaison série-intégrale \(1/x\) décroissante \(\Rightarrow\tfrac1{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\tfrac{dx}x\leqslant\tfrac1k\). En sommant : \(u_n=\sum_{k=1}^n\tfrac1k=\ln n+\gamma+o(1)\) (constante d'Euler \(\gamma\)).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — Somme de Riemann♦♦◊
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}\).

Somme de Riemann de \(f(x)=x\) sur \([0,1]\).

\(\int_0^1 x\,dx=\tfrac12\)
Exercice B — Suite-intégrale♦♦◊
\(u_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx\). Montrer \(u_n\to0\).

\(0\leqslant\tfrac{x^n}{1+x^2}\leqslant x^n\), donc \(0\leqslant u_n\leqslant\tfrac1{n+1}\).

\(u_n\to0\) (gendarmes)
Exercice C — Inégalité de la moyenne♦♦◊
Majorer \(\big|\int_0^1\frac{\cos x}{1+x}dx\big|\).

\(\big|\tfrac{\cos x}{1+x}\big|\leqslant1\) sur \([0,1]\).

\(\big|\int_0^1\tfrac{\cos x}{1+x}dx\big|\leqslant1\)

3. Correction intégrale du TD — Intégration

Les 9 exercices résolus intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

Exercice 1 — Fonction en escalier avec parties entières♦♦♦
\(\varphi(x)=3\lfloor\tfrac x2\rfloor-2\lfloor\tfrac x3\rfloor\) sur \([0,6]\).

1) Valeurs

\(\lfloor\tfrac x2\rfloor\in\{0,1,2\}\) ; \(\lfloor\tfrac x3\rfloor\in\{0,1\}\).

2-3) Subdivisions

\(\lfloor\tfrac x2\rfloor\) : \(\{0,2,4,6\}\) ; \(\lfloor\tfrac x3\rfloor\) : \(\{0,3,6\}\) ; réunion : \(\{0,2,3,4,6\}\).

4) \(\varphi\) constante par morceaux

\([0,2[:\,0\) ; \([2,3[:\,3\) ; \([3,4[:\,1\) ; \([4,6[:\,4\)

5) Intégrale

\(I=0\cdot2+3\cdot1+1\cdot1+4\cdot2\).

\(I=12\)

Exercice 2 — Inégalités intégrales♦♦♦

1) \(\big|\int_0^1(f(x)+xf(1-x))dx\big|\leqslant\tfrac32M\)

\(\leqslant\int_0^1(|f(x)|+x|f(1-x)|)dx\leqslant M\int_0^1(1+x)dx=M(1+\tfrac12)\).

\(\leqslant\tfrac32M\) ∎

2) \(\big|\int_{-1}^1(f(x^2)+xf(x))dx\big|\leqslant3M\)

\(\leqslant M\int_{-1}^1(1+|x|)dx=M(2+1)\).

\(\leqslant3M\) ∎

Exercice 3 — \(I_n=\int_0^1\tfrac{x^n}{1+x}dx\)♦♦♦

1) \(I_n\to0\)

\(0\leqslant\tfrac{x^n}{1+x}\leqslant x^n\), \(I_n\leqslant\tfrac1{n+1}\).

\(I_n\to0\)

2) \(I_n+I_{n+1}\)

\(=\int_0^1\tfrac{x^n(1+x)}{1+x}dx=\int_0^1 x^n\).

\(\tfrac1{n+1}\)

3) \(\lim\sum_{k=0}^n\tfrac{(-1)^k}{k+1}\)

Avec \(\tfrac1{k+1}=I_k+I_{k+1}\), la somme \(\sum(-1)^k(I_k+I_{k+1})=I_0+(-1)^nI_{n+1}\) (télescopage), et \(I_0=\ln2\).

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k+1}=\ln2\)
Exercice 4 — \(u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx\)♦♦◊

\(0\leqslant\ln(1+x)\leqslant\ln2\) sur \([0,1]\), donc \(0\leqslant u_n\leqslant\tfrac{\ln2}{n+1}\).

\(\lim u_n=0\)
Exercice 5 — \(I_n=\int_0^1\tfrac{x^n}{x^2+1}\), \(J_n=\int_0^1 x^n\ln(x^2+1)\)♦♦♦

1) \(I_n\to0\)

\(\tfrac{x^n}{x^2+1}\leqslant x^n\).

\(I_n\to0\)

2) \(I_{n+2}\) en fonction de \(J_n\)

IPP sur \(J_n\) (\(u=\ln(x^2+1),\ dv=x^n dx\)) : \((n+1)J_n=\ln2-2I_{n+2}\).

\(I_{n+2}=\tfrac{\ln2}2-\tfrac{n+1}2J_n\)

3) \(\lim(n+1)J_n\)

\((n+1)J_n=\ln2-2I_{n+2}\), \(I_{n+2}\to0\).

\(\lim(n+1)J_n=\ln2\)

Exercice 6 — Intégrales par sommes de Riemann♦♦◊

\(I=\int_0^1 x^2dx\)

\(\tfrac1n\sum_{k=1}^n(\tfrac kn)^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\to\tfrac13\).

\(\tfrac13\)

\(J=\int_0^2(2x+1)dx\)

\(\tfrac2n\sum_{k=1}^n(\tfrac{4k}n+1)=6+\tfrac4n\to6\).

\(6\)

Exercice 7 — Limites de sommes de Riemann♦♦♦

\(S_{1,n}=\sum_{k=0}^{n-1}\tfrac1{n+k}\)

\(=\tfrac1n\sum_{k=0}^{n-1}\tfrac1{1+k/n}\to\int_0^1\tfrac{dx}{1+x}\).

\(\ln2\)

\(S_{2,n}=\tfrac1n\sum_{k=1}^n\tfrac{n^2}{(n+k)^2}\)

\(=\tfrac1n\sum\tfrac1{(1+k/n)^2}\to\int_0^1\tfrac{dx}{(1+x)^2}=[-\tfrac1{1+x}]_0^1\).

\(\tfrac12\)

Exercice 8 — \(I_n=\int_1^e(\ln x)^n dx\)♦♦♦

1) Convergence

Sur \([1,e]\), \(0\leqslant\ln x\leqslant1\) donc \((\ln x)^{n+1}\leqslant(\ln x)^n\) : \((I_n)\) décroissante, minorée par \(0\).

\((I_n)\) converge

2) Récurrence (IPP)

\(u=(\ln x)^n,\ dv=dx\) : \([x(\ln x)^n]_1^e-n\int_1^e(\ln x)^{n-1}\).

\(I_n=e-n\,I_{n-1}\)

3) Équivalent

\((n+1)I_n=e-I_{n+1}\to e\).

\(I_n\sim\dfrac en\)

Exercice 9 — Série harmonique & constante d'Euler♦♦♦
\(u_n=\sum_{k=1}^n\tfrac1k\), \(v_n=u_n-\ln n\).

1) Encadrement

\(1/x\) décroissante sur \([k,k+1]\) : \(\tfrac1{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\tfrac{dx}x\leqslant\tfrac1k\).

2) Sommation

En sommant \(k=1\) à \(n-1\) (télescopage \(\to\ln n\)) : \(u_n-1\leqslant\ln n\leqslant u_n-\tfrac1n\), d'où \(\tfrac1n\leqslant v_n\leqslant1\).

\(0\leqslant v_n\leqslant1\)

3) Monotonie

\(v_{n+1}-v_n=\tfrac1{n+1}-\int_n^{n+1}\tfrac{dx}x\)

4) Convergence

Par (1) avec \(k=n\) : \(v_{n+1}-v_n\leqslant0\), donc \((v_n)\) décroissante et minorée : elle converge vers \(\gamma\) (constante d'Euler).

\((v_n)\to\gamma\), donc \(u_n=\ln n+\gamma+o(1)\to+\infty\) (la série harmonique diverge).

Module M02 (S2). Sources : Intégration-V2026-Etudiant et TD-2026 Intégration. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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