Maths · M02 — Géométrie plane

Géométrie plane

Repérage cartésien et polaire, vecteurs et colinéarité ; produit scalaire (expression analytique, projection, Al-Kashi) ; déterminant / produit mixte (aire, alignement) ; transformations (translation, homothétie, rotation) ; droites (représentation paramétrique, équation cartésienne, vecteur normal, position relative, distance point–droite) ; cercles (équation, tangentes, intersections).

Sommaire du chapitre

📌 Fiche mémo
1. Résumé de cours détaillé
2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections
3. Correction intégrale du TD (14 exercices + 3 applications)
📂 Documents donnés (CM, TD, corrigés…)

📌 Fiche mémo — Géométrie plane

Colinéarité\(\vec u,\vec v\) colinéaires \(\iff\exists\lambda,\ \vec u=\lambda\vec v\) (ou \(\vec v=\vec0\))

Cartésien → polaire\(r=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\cos\theta=\tfrac xr,\sin\theta=\tfrac yr\) ; \(x>0\) : \(\theta=\arctan\tfrac yx\) ; \(x<0\) : \(\theta=\arctan\tfrac yx+\pi\)

Produit scalaire\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\) ; \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)

Al-Kashi\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A\)

Déterminant 2D\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'=\|\vec u\|\|\vec v\|\sin\theta\) ; \(=0\iff\) colinéaires

Airestriangle \(=\tfrac12|\det(\vec{AB},\vec{AC})|\) ; parallélogramme \(=|\det(\vec{AB},\vec{AC})|\)

Équation de droite — recettespoint+normal \(\vec n(\alpha,\beta)\) : \(\alpha(x-x_A)+\beta(y-y_A)=0\) ; point+directeur \(\vec u\) : \(\det(\vec{AM},\vec u)=0\)

Position de deux droitesparallèles \(\iff a_1b_2-a_2b_1=0\) ; perpendiculaires \(\iff a_1a_2+b_1b_2=0\)

Distance point–droite\(d(M,D)=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Cercle\((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\) ; retrouver \(\Omega,R\) en complétant les carrés

Intersectionscercle–droite : comparer \(d(\Omega,D)\) à \(R\) (\(>R\):\(\varnothing\), \(=R\):tangente, \(

1. Résumé de cours détaillé

On travaille dans le plan euclidien \(E\) muni d'un repère orthonormé direct \(R(O,\vec\imath,\vec\jmath)\). Les coordonnées d'un point \(M\) sont l'unique couple \((x,y)\) tel que \(\vec{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath\).

1.1 Vecteurs, colinéarité, alignement

Colinéarité \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe \(\lambda\in\mathbb R\) tel que \(\vec u=\lambda\vec v\) (ou \(\vec v=\vec 0\)). La droite vectorielle \(\operatorname{Vect}\vec u=\{\lambda\vec u\mid\lambda\in\mathbb R\}\) rassemble tous les vecteurs de même direction.

Droite du plan La droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\neq\vec 0\), notée \(A+\operatorname{Vect}\vec u\), est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{AM}\in\operatorname{Vect}\vec u\). Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction ; des points sont alignés s'ils sont sur une même droite.

1.2 Repérage : cartésien et polaire

Coordonnées polaires \((r,\theta)\) est un couple de coordonnées polaires de \(M(x,y)\) si \[ \begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases}\quad(r\geqslant0),\qquad \vec{OM}=r(\cos\theta\,\vec\imath+\sin\theta\,\vec\jmath). \]

Passage cartésien → polaire \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), \(\cos\theta=\tfrac xr\), \(\sin\theta=\tfrac yr\) (mesure principale \(\theta\in\,]{-\pi},\pi]\)). Avec \(x\neq0\) : si \(x>0\), \(\theta=\arctan\tfrac yx\) ; si \(x<0\), \(\theta=\arctan\tfrac yx+\pi\) (recaler dans \(]{-\pi},\pi]\)). Attention : \(\tan\theta=\tfrac yx\) seul ne détermine \(\theta\) qu'à \(\pi\) près — toujours regarder les signes de \(x\) et \(y\).

1.3 Produit scalaire

Définitions équivalentes \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\). En base orthonormée, si \(\vec u=(x,y)\) et \(\vec v=(x',y')\) : \[ \boxed{\;\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\;}\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Orthogonalité : \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\). Distance \(AB=\|\vec{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

Propriétés Symétrique, bilinéaire ; Cauchy–Schwarz \(|\vec u\cdot\vec v|\leqslant\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) (égalité ⟺ colinéaires) ; projection \(\vec u\cdot\vec v=\overline{OA}\times\overline{OH}\) (\(H\) projeté de \(B\) sur \((OA)\)).

Al-Kashi Dans un triangle \(ABC\), avec \(a,b,c\) les côtés opposés à \(A,B,C\) : \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A. \] Généralise Pythagore. Permet de retrouver un angle : \(\cos\hat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).

1.4 Déterminant (produit mixte) dans le plan orienté

Définition & analytique \([\vec u,\vec v]=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)\). En base orthonormée directe, \(\vec u=(x,y)\), \(\vec v=(x',y')\) : \[ \det(\vec u,\vec v)=[\vec u,\vec v]=\begin{vmatrix}x&x'\\ y&y'\end{vmatrix}=xy'-yx'. \] Antisymétrique : \([\vec u,\vec v]=-[\vec v,\vec u]\) ; bilinéaire.

Interprétations \([\vec u,\vec v]=0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires. Trois points alignés ⟺ \([\vec{AB},\vec{AC}]=0\). Aire du triangle \(ABC=\tfrac12\,\big|[\vec{AB},\vec{AC}]\big|\) ; aire du parallélogramme \(=\big|[\vec{AB},\vec{AC}]\big|\).

1.5 Transformations du plan

Formules Translation de vecteur \((a,b)\) : \((x,y)\mapsto(x+a,\,y+b)\). Homothétie de centre \(\Omega(a,b)\) et rapport \(\lambda\) : \((x,y)\mapsto\big(a+\lambda(x-a),\,b+\lambda(y-b)\big)\). Rotation de centre \(\Omega\) et angle \(\theta\) : conserve \(\Omega M\) et tourne de \(\theta\).

1.6 Droites

Deux représentations Droite par \(A(x_A,y_A)\), directeur \(\vec u=(\alpha',\beta')\) : paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+\alpha' t\\ y=y_A+\beta' t\end{cases}(t\in\mathbb R)\). Cartésienne \(\alpha x+\beta y+c=0\) avec \((\alpha,\beta)\neq(0,0)\) : le vecteur \(\vec n(\alpha,\beta)\) est normal, un directeur est \(\vec u(\beta,-\alpha)\).

Recettes • Point + normal \(\vec n(\alpha,\beta)\) : \(\alpha(x-x_A)+\beta(y-y_A)=0\).
• Point + directeur \(\vec u\) : \(M\in D\iff\det(\vec{AM},\vec u)=0\).
• Deux points \(A,B\) : directeur \(\vec{AB}\), puis une des méthodes ci-dessus.
• Param → cartésienne : éliminer \(t\), ou \(\det(\vec{AM},\vec u)=0\).

Position relative \(D_1:a_1x+b_1y+c_1=0\), \(D_2:a_2x+b_2y+c_2=0\). Parallèles ⟺ \(a_1b_2-a_2b_1=0\) ; perpendiculaires ⟺ \(a_1a_2+b_1b_2=0\) (les normales sont orthogonales). Sinon un unique point d'intersection.

Distance point–droite Pour \(D:ax+by+c=0\) et \(M(x_M,y_M)\) : \[ d(M,D)=\frac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\det(\vec{AM},\vec u)|}{\|\vec u\|}=\frac{|\vec{AM}\cdot\vec n|}{\|\vec n\|}. \]

1.7 Cercles

Équation Cercle de centre \(\Omega(\alpha,\beta)\), rayon \(R\) : \((x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2\), soit \(x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+(\alpha^2+\beta^2-R^2)=0\). On retrouve \(\Omega\) et \(R\) en complétant les carrés.

Cercle par un diamètre \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\iff M\) sur le cercle de diamètre \([AB]\) : \((x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0\) (le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\)).

Intersections Cercle–droite : comparer \(d(\Omega,D)\) à \(R\) — \(>R\) : \(\varnothing\) ; \(=R\) : tangente (1 point) ; \(Puissance d'un point : si \(A\) est extérieur, la longueur de tangente vérifie \(AM^2=A\Omega^2-R^2=\) (valeur de l'équation du cercle évaluée en \(A\)). Deux cercles : soustraire les équations élimine \(x^2+y^2\) et donne l'axe radical (une droite), puis on intersecte avec un cercle.

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Angle d'un triangle par le produit scalaire♦♦◊

\(A(1,0)\), \(B(4,4)\), \(C(0,3)\). Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) et l'aire du triangle.

1) Vecteurs

\(\vec{AB}=(3,4)\), \(\vec{AC}=(-1,3)\). \(\|\vec{AB}\|=5\), \(\|\vec{AC}\|=\sqrt{10}\).

2) Produit scalaire → angle

\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3(-1)+4\cdot3=9\). \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{9}{5\sqrt{10}}=\dfrac{9}{5\sqrt{10}}\approx0{,}569\).

\(\widehat{BAC}=\arccos\dfrac{9}{5\sqrt{10}}\approx55{,}3^\circ\)

3) Aire par le déterminant

\([\vec{AB},\vec{AC}]=3\cdot3-4\cdot(-1)=9+4=13\). \(\mathcal A=\tfrac12|13|\).

\(\mathcal A=\dfrac{13}{2}=6{,}5\)

Exercice B — Droite, projeté et distance♦♦◊

\(D:2x-y+1=0\), point \(P(3,1)\). Distance de \(P\) à \(D\), projeté orthogonal \(H\), vérification.

1) Distance

\(d(P,D)=\dfrac{|2\cdot3-1+1|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{6}{\sqrt5}=\dfrac{6\sqrt5}{5}\approx2{,}68\).

2) Projeté \(H\)

Normale \(\vec n=(2,-1)\), droite \(P+t\vec n\) : \(x=3+2t,\ y=1-t\). Sur \(D\) : \(2(3+2t)-(1-t)+1=0\Rightarrow6+4t-1+t+1=0\Rightarrow5t+6=0\Rightarrow t=-\tfrac65\).

\(H=\big(3-\tfrac{12}5,\,1+\tfrac65\big)=\big(\tfrac35,\tfrac{11}5\big)\)

3) Vérification

\(PH=|t|\,\|\vec n\|=\tfrac65\sqrt5=\dfrac{6\sqrt5}{5}\) : cohérent avec (1). \(H\) sur \(D\) : \(2\cdot\tfrac35-\tfrac{11}5+1=\tfrac65-\tfrac{11}5+\tfrac55=0\) ✓.

Exercice C — Tangentes à un cercle parallèles à une droite♦♦♦

Cercle \(C:(x-1)^2+(y+2)^2=5\), droite \(D:x-2y=0\). Tangentes à \(C\) parallèles à \(D\).

1) Cadre

Centre \(\Omega(1,-2)\), rayon \(R=\sqrt5\). Une parallèle à \(D\) s'écrit \(x-2y+c=0\).

2) Condition de tangence

\(d(\Omega,\text{droite})=R\) : \(\dfrac{|1-2(-2)+c|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt5\Rightarrow\dfrac{|5+c|}{\sqrt5}=\sqrt5\Rightarrow|5+c|=5\).

\(c=0\) ou \(c=-10\).

Tangentes : \(x-2y=0\) et \(x-2y-10=0\)

3) Remarque

La première tangente est \(D\) elle-même : \(D\) était donc déjà tangente au cercle (\(d(\Omega,D)=\tfrac{|1+4|}{\sqrt5}=\sqrt5=R\)).

3. Correction intégrale du TD

Source : TD-V2026 — Géométrie Plane (14 exercices) + Applications concrètes (3 exercices). Repère orthonormé direct \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\). Pas de corrigé officiel → tout résolu et vérifié maison.

Exercice 1 — Identités du parallélogramme♦◊◊

(a) \(\|\vec u+\vec v\|^2\)

\(\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+2\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v\).

\(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)

(b) \(\|\vec u-\vec v\|^2\)

Idem avec \(-\vec v\).

\(\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)

Les termes \(\pm2\vec u\cdot\vec v\) s'annulent.

\(\|\vec u+\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2=2(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2)\) (loi du parallélogramme)

(d) Différence (a)−(b)

Les carrés de normes s'annulent.

\(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2=4\,\vec u\cdot\vec v\) (identité de polarisation)

Exercice 2 — Angle orienté & coordonnées polaires♦♦◊

1) Angle \((\vec u,\vec v)\), \(\vec u(1,1)\), \(\vec v(-5,-1)\)

\(\vec u\cdot\vec v=1(-5)+1(-1)=-6\), \([\vec u,\vec v]=1(-1)-1(-5)=4\). \(\|\vec u\|=\sqrt2\), \(\|\vec v\|=\sqrt{26}\), \(\|\vec u\|\|\vec v\|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\).

\(\cos\theta=\dfrac{-6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{-3}{\sqrt{13}}<0\), \(\sin\theta=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}>0\) : deuxième quadrant.

\((\vec u,\vec v)=\pi-\arctan\tfrac23\approx146{,}3^\circ\)

2) Polaire de \(M(\sqrt3-2,\ 3-2\sqrt3)\)

Remarque : \(3-2\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3-2)\), donc \(y=\sqrt3\,x\) avec \(x=\sqrt3-2<0\) et \(y<0\) (troisième quadrant).

\(r^2=x^2+y^2=4x^2=4(\sqrt3-2)^2=4(7-4\sqrt3)\) ; or \(7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2\), donc \(r=2(2-\sqrt3)=4-2\sqrt3\).

\(\tan\theta=\sqrt3\) avec \(x<0,y<0\) ⟹ \(\theta=\tfrac\pi3-\pi=-\tfrac{2\pi}3\).

\((r,\theta)=\big(4-2\sqrt3,\ -\tfrac{2\pi}3\big)\approx(0{,}54,\ -120^\circ)\)

Exercice 3 — Angles d'un triangle 2, 3, 4 (Al-Kashi)♦♦◊

Côtés \(a=2\) (opposé à \(A\)), \(b=3\), \(c=4\).

Angle \(A\) (opposé au côté 2)

\(\cos\hat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{9+16-4}{24}=\dfrac{21}{24}=\dfrac78\).

\(\hat A=\arccos\tfrac78\approx28{,}96^\circ\)

Angle \(B\) (opposé au côté 3)

\(\cos\hat B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{4+16-9}{16}=\dfrac{11}{16}\).

\(\hat B=\arccos\tfrac{11}{16}\approx46{,}57^\circ\)

Angle \(C\) (opposé au côté 4)

\(\cos\hat C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{4+9-16}{12}=-\dfrac14\) (obtus).

\(\hat C=\arccos(-\tfrac14)\approx104{,}48^\circ\)

Contrôle : \(28{,}96+46{,}57+104{,}48\approx180^\circ\) ✓.

Exercice 4 — Paramétrique ⇄ cartésienne♦♦◊

1) \(\{x=1-t,\ y=2-3t\}\) → cartésienne (2 méthodes)

Méthode 1 (élimination) : \(t=1-x\), donc \(y=2-3(1-x)=3x-1\).

Méthode 2 (déterminant) : \(A(1,2)\), directeur \(\vec u(-1,-3)\). \(M\in D\iff\det(\vec{AM},\vec u)=0\) : \((x-1)(-3)-(y-2)(-1)=-3x+3+y-2=0\).

\(3x-y-1=0\)

2) \(2x-3y=4\) → paramétrique

Directeur \(\vec u(b,-a)=(3,2)\) (car normale \((2,-3)\)). Point : \(x=2\Rightarrow y=0\), soit \(A(2,0)\).

\(\{x=2+3t,\ y=2t\}\) ; contrôle \(2(2+3t)-3(2t)=4\) ✓

Exercice 5 — Équations d'une droite (5 cas)♦♦◊

1) \(A(2,1)\), normal \(\vec n(1,-1)\)

Cartésienne : \(1(x-2)-1(y-1)=0\Rightarrow x-y-1=0\). Directeur \(\vec u(1,1)\).

\(x-y-1=0\) ; \(\{x=2+t,\ y=1+t\}\)

2) \(A(-1,0)\), directeur \(\vec u(1,-2)\)

Normale \(\vec n(2,1)\). Cartésienne : \(2(x+1)+1\cdot y=0\Rightarrow 2x+y+2=0\).

\(2x+y+2=0\) ; \(\{x=-1+t,\ y=-2t\}\)

3) \(A(1,2)\), \(B(-2,3)\)

Directeur \(\vec{AB}(-3,1)\), normale \((1,3)\). \(1(x-1)+3(y-2)=0\Rightarrow x+3y-7=0\) (contrôle \(B\) : \(-2+9-7=0\) ✓).

\(x+3y-7=0\) ; \(\{x=1-3t,\ y=2+t\}\)

4) Par \(O\), parallèle à \(D':x+y-1=0\)

Même direction/normale \((1,1)\), passe par \(O\).

\(x+y=0\) ; \(\{x=t,\ y=-t\}\)

5) \(A(1,1)\), perpendiculaire à \(D':\{x=1+2t,\ y=-1+t\}\)

\(D'\) est dirigée par \((2,1)\) ; notre droite lui est perpendiculaire ⟹ directeur \((1,-2)\), normale \((2,1)\). \(2(x-1)+1(y-1)=0\Rightarrow2x+y-3=0\).

\(2x+y-3=0\) ; \(\{x=1+t,\ y=1-2t\}\)

Exercice 6 — Intersection de deux droites♦♦◊

\(D_1:\{x=2t-1,\ y=-t+2\}\) ; \(D_2:\{x=s+2,\ y=3s+1\}\).

Égalité des coordonnées : \(2t-1=s+2\) et \(-t+2=3s+1\). De la première, \(s=2t-3\) ; report :

\(-t+2=3(2t-3)+1=6t-8\Rightarrow10=7t\Rightarrow t=\tfrac{10}7\), \(s=-\tfrac17\).

Point : \(x=2\cdot\tfrac{10}7-1=\tfrac{13}7\), \(y=-\tfrac{10}7+2=\tfrac47\).

\(D_1\cap D_2=\big\{\big(\tfrac{13}7,\tfrac47\big)\big\}\)

Exercice 7 — Aire, hauteurs \(A(-1,-1),\,B(2,3),\,C(3,-3)\)♦♦♦

1) Aire

\(\vec{AB}(3,4)\), \(\vec{AC}(4,-2)\). \([\vec{AB},\vec{AC}]=3(-2)-4\cdot4=-22\).

\(\mathcal A=\tfrac12|-22|=11\)

2) Distance de \(A\) à \((BC)\)

\(\vec{BC}(1,-6)\), \(BC=\sqrt{37}\). \(\mathcal A=\tfrac12\,BC\cdot d(A,BC)\Rightarrow d=\dfrac{2\cdot11}{\sqrt{37}}=\dfrac{22}{\sqrt{37}}=\dfrac{22\sqrt{37}}{37}\approx3{,}62\).

\(d(A,(BC))=\dfrac{22\sqrt{37}}{37}\)

3) Équation de \((AB)\)

Directeur \((3,4)\), normale \((4,-3)\) : \(4(x+1)-3(y+1)=0\Rightarrow4x-3y+1=0\) (contrôle \(B\) : \(8-9+1=0\) ✓).

\((AB):4x-3y+1=0\)

4) Hauteur issue de \(C\) et aire

\(d(C,(AB))=\dfrac{|4\cdot3-3(-3)+1|}{5}=\dfrac{22}{5}=4{,}4\). \(\mathcal A=\tfrac12\,AB\cdot d=\tfrac12\cdot5\cdot4{,}4=11\) ✓ (\(AB=5\)).

\(h_C=\tfrac{22}5\), aire \(=11\) confirmée

Exercice 8 — Distance & projeté \(A(1,-2),\,B(-2,3),\,C(1,1)\)♦♦♦

1) Équation de \((AB)\)

\(\vec{AB}(-3,5)\), normale \((5,3)\) : \(5(x-1)+3(y+2)=0\Rightarrow5x+3y+1=0\) (contrôle \(B\) : \(-10+9+1=0\) ✓).

\((AB):5x+3y+1=0\)

2) Distance de \(C(1,1)\) à \((AB)\)

\(d=\dfrac{|5+3+1|}{\sqrt{25+9}}=\dfrac{9}{\sqrt{34}}=\dfrac{9\sqrt{34}}{34}\approx1{,}54\).

\(d(C,(AB))=\dfrac{9}{\sqrt{34}}\)

3) Projeté \(H\) de \(C\) sur \((AB)\)

Normale \((5,3)\) : \(x=1+5k,\ y=1+3k\). Sur \((AB)\) : \(5(1+5k)+3(1+3k)+1=0\Rightarrow9+34k=0\Rightarrow k=-\tfrac9{34}\).

\(H=\big(1-\tfrac{45}{34},\,1-\tfrac{27}{34}\big)=\big(-\tfrac{11}{34},\,\tfrac{7}{34}\big)\)

4) Vérification

\(CH=|k|\,\|(5,3)\|=\tfrac9{34}\sqrt{34}=\dfrac9{\sqrt{34}}\) : identique à (2) ✓.

Exercice 9 — Distance point–droite (3 cas)♦♦◊

1) \(A(0,0)\), \(D\) par \(B(5,3)\) dirigée par \(\vec u(1,2)\)

\(\vec{BA}=(-5,-3)\), \(\det(\vec{BA},\vec u)=(-5)(2)-(-3)(1)=-7\), \(\|\vec u\|=\sqrt5\).

\(d=\dfrac{7}{\sqrt5}=\dfrac{7\sqrt5}{5}\approx3{,}13\)

2) \(A(1,-1)\), \(D\) par \(B(-1,1)\) perpendiculaire à \(\vec n(2,3)\)

« Perpendiculaire à \(\vec n\) » ⟹ \(\vec n(2,3)\) est normal à \(D\). \(D:2(x+1)+3(y-1)=0\Rightarrow2x+3y-1=0\). \(d(A,D)=\dfrac{|2-3-1|}{\sqrt{13}}=\dfrac2{\sqrt{13}}\).

\(d=\dfrac2{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\approx0{,}55\)

3) \(A(4,1)\), \(D:x+2y+3=0\)

\(d=\dfrac{|4+2+3|}{\sqrt5}=\dfrac9{\sqrt5}=\dfrac{9\sqrt5}{5}\approx4{,}02\).

\(d=\dfrac{9}{\sqrt5}\)

Exercice 10 — Centre et rayon de cercles♦♦◊

(a) \(x^2+y^2-4x+4y-1=0\)

\((x-2)^2-4+(y+2)^2-4-1=0\Rightarrow(x-2)^2+(y+2)^2=9\).

Centre \(\Omega(2,-2)\), rayon \(R=3\)

(b) \(x^2+y^2-6x+8y+24=0\)

\((x-3)^2-9+(y+4)^2-16+24=0\Rightarrow(x-3)^2+(y+4)^2=1\).

Centre \(\Omega(3,-4)\), rayon \(R=1\)

Exercice 11 — Tangentes parallèles à une droite♦♦♦

\(C\) : centre \(\Omega(2,-1)\), rayon \(\tfrac{\sqrt5}{2}\) ; \(D:2x+y=0\).

Une parallèle à \(D\) : \(2x+y+c=0\). Tangence : \(d(\Omega,\cdot)=R\) :

\(\dfrac{|2\cdot2+(-1)+c|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{\sqrt5}{2}\Rightarrow\dfrac{|3+c|}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2}\Rightarrow|3+c|=\dfrac52\).

\(c=-\tfrac12\) ou \(c=-\tfrac{11}2\).

\(2x+y-\tfrac12=0\ (4x+2y-1=0)\) et \(2x+y-\tfrac{11}2=0\ (4x+2y-11=0)\)

Exercice 12 — Longueur de tangente (puissance d'un point)♦♦◊

\(C:x^2+y^2+x-3y-3=0\), \(A(1,-2)\), tangente touchant \(C\) en \(M\). Calculer \(AM\).

La puissance de \(A\) = valeur du premier membre évaluée en \(A\) : \(\mathrm{pow}(A)=1+4+1-3(-2)-3=1+4+1+6-3=9\).

Or pour une tangente \(AM^2=\mathrm{pow}(A)\). Contrôle : centre \(\Omega(-\tfrac12,\tfrac32)\), \(R^2=\tfrac14+\tfrac94+3=\tfrac{11}2\), \(A\Omega^2=\tfrac94+\tfrac{49}4=\tfrac{58}4=\tfrac{29}2\), \(AM^2=A\Omega^2-R^2=\tfrac{29}2-\tfrac{11}2=9\).

\(AM=3\)

Exercice 13 — Tangentes parallèles à \(D\)♦♦♦

\(C:x^2+y^2+10x-2y+6=0\), \(D:2x+y-7=0\).

Centre \(\Omega(-5,1)\), \(R^2=25+1-6=20\), \(R=2\sqrt5\). Parallèle : \(2x+y+c=0\), tangence :

\(\dfrac{|2(-5)+1+c|}{\sqrt5}=2\sqrt5\Rightarrow|c-9|=2\sqrt5\cdot\sqrt5=10\Rightarrow c=19\ \text{ou}\ c=-1\).

\(2x+y+19=0\) et \(2x+y-1=0\)

Exercice 14 — Synthèse (8 questions)♦♦♦

1) \(D:y=mx+p\) ⟹ directeur \((1,m)\)

Points \((0,p)\) et \((1,m+p)\) : différence \((1,m)\). Vrai.

2) \(D:3x+4y+1=0\) : directeur, tracé par \(A(1,-1)\)

Directeur \((b,-a)=(4,-3)\). \(A(1,-1)\) : \(3-4+1=0\) ⟹ \(A\in D\). On trace la droite passant par \(A\) de direction \((4,-3)\).

Directeur \(\vec u(4,-3)\), \(A\) appartient à \(D\)

3) Hachurer \(3x+4y+1>0\)

Test \(O(0,0)\) : \(3\cdot0+4\cdot0+1=1>0\). Le demi-plan solution est celui contenant l'origine (au-dessus/à droite de \(D\)).

4) \(\{x=1+3t,\ y=-2-2t\}\) → cartésienne

Directeur \((3,-2)\), normale \((2,3)\) : \(2(x-1)+3(y+2)=0\Rightarrow2x+3y+4=0\).

\(2x+3y+4=0\)

5) \(-x+2y+3=0\) → paramétrique

\((a,b)=(-1,2)\), directeur \((b,-a)=(2,1)\). Point \(x=3,y=0\) (\(-3+0+3=0\)).

\(\{x=3+2t,\ y=t\}\)

6) \(D:x+2y-3=0\), \(A(1,-2)\), projeté \(H\)

Normale \((1,2)\) : \(x=1+k,\ y=-2+2k\). Sur \(D\) : \((1+k)+2(-2+2k)-3=0\Rightarrow5k-6=0\Rightarrow k=\tfrac65\).

\(H=\big(\tfrac{11}5,\tfrac25\big)\)

7) \(A(1,1)\) : translation \((2,-1)\) puis homothétie \((O,-2)\)

Translation : \(A\mapsto(3,0)\). Homothétie de centre \(O\), rapport \(-2\) : \((3,0)\mapsto(-6,0)\).

Image \(=(-6,0)\)

8) \(A(1,2),B(5,2)\) : ensemble des \(M\) tq \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\)

C'est le cercle de diamètre \([AB]\) : \((x-1)(x-5)+(y-2)^2=0\Rightarrow(x-3)^2+(y-2)^2=4\).

Cercle de centre \((3,2)\), rayon \(2\) (milieu de \([AB]\), rayon \(\tfrac{AB}2=2\))

Applications concrètes

Application 15 — Navigation GPS♦♦◊

Randonneur en \(A(1,2)\), direction \(\vec u(2,1)\) (km) ; refuge \(R(5,1)\).

1) Trajectoire

\(\{x=1+2t,\ y=2+t\}\), \(t\geqslant0\)

2) Passe par \(R\) ?

\(1+2t=5\Rightarrow t=2\), alors \(y=2+2=4\neq1\).

Non, la trajectoire ne passe pas par le refuge

3) Distance minimale

\(\vec{AR}=(4,-1)\), \(\det(\vec{AR},\vec u)=4\cdot1-(-1)\cdot2=6\), \(\|\vec u\|=\sqrt5\). \(d=\dfrac6{\sqrt5}=\dfrac{6\sqrt5}5\approx2{,}68\) km.

\(d_{\min}=\dfrac6{\sqrt5}\approx2{,}68\) km

4) Point le plus proche

\(H=A+\dfrac{\vec{AR}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u\) ; \(\vec{AR}\cdot\vec u=8-1=7\), \(t^*=\tfrac75\). \(H=\big(1+\tfrac{14}5,2+\tfrac75\big)=\big(\tfrac{19}5,\tfrac{17}5\big)\).

\(H=(3{,}8\,;\,3{,}4)\)

Application 16 — Antenne relais & couverture♦♦♦

Antenne \(A(2,-1)\), rayon 5 km ; village \(V(-1,3)\) ; route \(D:2x-y+4=0\).

1) Village couvert ?

\(\vec{AV}=(-3,4)\), \(AV=\sqrt{9+16}=5=R\) : le village est exactement sur le bord de la zone (juste couvert, à la limite).

\(AV=5=R\) : village en limite de couverture

2) La route traverse-t-elle la zone ?

\(d(A,D)=\dfrac{|2\cdot2-(-1)+4|}{\sqrt5}=\dfrac9{\sqrt5}\approx4{,}02<5\) ⟹ la route est sécante (2 points).

Oui : \(d(A,D)\approx4{,}02<5\)

3) Points d'entrée / sortie

Cercle \((x-2)^2+(y+1)^2=25\), \(D:y=2x+4\). Report : \((x-2)^2+(2x+5)^2=25\Rightarrow5x^2+16x+4=0\).

\(\Delta=256-80=176=16\cdot11\), \(x=\dfrac{-8\pm2\sqrt{11}}5\), \(y=2x+4=\dfrac{4\pm4\sqrt{11}}5\).

\(\Big(\tfrac{-8+2\sqrt{11}}5,\tfrac{4+4\sqrt{11}}5\Big)\approx(-0{,}27\,;\,3{,}45)\) et \(\Big(\tfrac{-8-2\sqrt{11}}5,\tfrac{4-4\sqrt{11}}5\Big)\approx(-2{,}93\,;\,-1{,}85)\)

Application 17 — Sécurité sur un chantier♦♦◊

Câble \(D:3x+4y-12=0\) (m) ; ouvrier \(P(1,1)\) ; distance de sécurité 2 m.

1) Distance minimale

\(d(P,D)=\dfrac{|3+4-12|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{5}{5}=1\) m.

\(d_{\min}=1\) m

2) Point le plus proche

Normale \((3,4)\) : \(x=1+3k,\ y=1+4k\). Sur \(D\) : \(3(1+3k)+4(1+4k)-12=0\Rightarrow25k-5=0\Rightarrow k=\tfrac15\). \(H=\big(\tfrac85,\tfrac95\big)\).

\(H=(1{,}6\,;\,1{,}8)\)

3) Sécurité ?

\(d_{\min}=1\text{ m}<2\text{ m}\).

L'ouvrier n'est pas en sécurité (1 m < 2 m réglementaires)

Bilan Géométrie plane 14 exercices de TD + 3 applications concrètes traités intégralement. Outils récurrents : produit scalaire (angles, Al-Kashi), déterminant (aire, alignement), équations de droites (paramétrique / cartésienne / normale), formule de distance point–droite, complétion de carré et puissance d'un point pour les cercles.

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