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Maths · M02 — Géométrie de l'espace

Géométrie de l'espace

Coordonnées cartésiennes et cylindriques ; produit scalaire (angles) ; produit vectoriel \(\vec u\wedge\vec v\) (normale, aire) ; produit mixte \([\vec u,\vec v,\vec w]\) (déterminant 3×3, volume, coplanarité) ; plans (paramétrique, cartésienne, vecteur normal) ; droites (paramétrique, intersection de plans) ; distances (point–plan, point–droite, droite–droite) ; sphères.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Géométrie de l'espace
Cylindriques\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\) avec \(r=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0\)
Produit scalaire\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\), \(\theta\in[0,\pi]\) (non orienté)
Produit vectoriel\(\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\,zx'-xz',\,xy'-yx')\) ; orthogonal à \(\vec u,\vec v\), antisymétrique
Utilisations de \(\wedge\)colinéaires \(\iff\vec u\wedge\vec v=\vec0\) ; aire triangle \(=\tfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|\) ; normal au plan \(\vec n=\vec u\wedge\vec v\)
Produit mixte\([\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w=\det(\vec u,\vec v,\vec w)\) ; coplanaires \(\iff[\vec u,\vec v,\vec w]=0\)
Volumesparallélépipède \(=|[\vec u,\vec v,\vec w]|\) ; tétraèdre \(=\tfrac16|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]|\)
Plan : paramétrique → cartésien\(\vec n=\vec u\wedge\vec v\), puis \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\)
Droite = intersection de plansdirecteur \(\vec u=\vec n_1\wedge\vec n_2\)
Trois distances cléspoint–plan \(\tfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) ; point–droite \(\tfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\) ; droite–droite \(\tfrac{|[\vec u,\vec u',\vec{MM'}]|}{\|\vec u\wedge\vec u'\|}\)
Projeté orthogonal sur une droite\(H=A+\dfrac{\vec{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u\)
Intersections sphèrecomparer \(d(\Omega,\cdot)\) à \(R\) : plan → cercle de rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\) ; droite → 0, 1 ou 2 points

1. Résumé de cours détaillé

Espace euclidien muni d'un repère orthonormé direct \(\mathfrak R(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\). Point \(M(x,y,z)\) tel que \(\vec{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k\).

1.1 Coordonnées : cartésiennes ↔ cylindriques

Cylindriques \((r,\theta,z)\) \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z\end{cases}\) avec \(r=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0\) (distance à l'axe \(Oz\)), \(\theta\) angle dans le plan horizontal (attention au quadrant), \(z\) la hauteur.

Distance : \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) ; norme \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

1.2 Produit scalaire

Expression & angle \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\), avec \(\theta=(\vec u,\vec v)\in[0,\pi]\) (dans l'espace l'angle n'est pas orienté). Orthogonalité : \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).

1.3 Produit vectoriel

Définition Pour \(\vec u=(x,y,z)\), \(\vec v=(x',y',z')\) en base orthonormée directe : \[ \vec u\wedge\vec v=\big(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx'\big). \] Il est orthogonal à \(\vec u\) et \(\vec v\), antisymétrique (\(\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v\)), bilinéaire.
À quoi ça sert • \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\iff\vec u,\vec v\) colinéaires (points \(A,B,C\) alignés ⟺ \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec 0\)).
• Identité de Lagrange : \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)\).
• Aire du triangle \(=\tfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|\) ; du parallélogramme \(=\|\vec u\wedge\vec v\|\).
• Vecteur normal à un plan : \(\vec n=\vec u\wedge\vec v\).

1.4 Produit mixte (déterminant 3×3)

Définition \([\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w=\det(\vec u,\vec v,\vec w)= \begin{vmatrix}x&x'&x''\\ y&y'&y''\\ z&z'&z''\end{vmatrix}\) (règle de Sarrus). Antisymétrique (change de signe par échange de deux vecteurs), invariant par permutation circulaire, alterné (nul si deux vecteurs égaux).
Interprétations Volume du parallélépipède \(=\big|[\vec u,\vec v,\vec w]\big|\) ; du tétraèdre \(=\tfrac16\big|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]\big|\). Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires ⟺ \([\vec u,\vec v,\vec w]=0\).

1.5 Plans

Deux représentations Paramétrique (point \(A\), deux directeurs non colinéaires \(\vec u,\vec v\)) : \((x,y,z)=A+\alpha\vec u+\beta\vec v\).
Cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\) avec vecteur normal \(\vec n=(a,b,c)\). Passage : \(\vec n=\vec u\wedge\vec v\), puis \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).
Positions Deux plans sont parallèles ⟺ leurs normales sont proportionnelles ; confondus ⟺ \((a,b,c,d)\) proportionnels. Un plan « perpendiculaire à une droite » a pour normale le vecteur directeur de la droite.

1.6 Droites

Paramétrique & intersection de plans \(D=A+\operatorname{Vect}(\vec u)\) : \((x,y,z)=A+t\vec u\). Toute droite s'écrit comme intersection de deux plans \(\{P_1,P_2\}\) ; un directeur est alors \(\vec u=\vec n_1\wedge\vec n_2\). Deux droites sont sécantes si le système de leurs paramétrages admet une solution ; parallèles si \(\vec u_1\parallel\vec u_2\).

1.7 Distances

Trois formules clés Point–plan \(P:ax+by+cz+d=0\) : \(\displaystyle d(M,P)=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Point–droite \(D=A+\operatorname{Vect}(\vec u)\) : \(\displaystyle d(M,D)=\frac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\).
Droite–droite (non parallèles) : \(\displaystyle d(D,D')=\frac{\big|[\vec u,\vec u',\vec{MM'}]\big|}{\|\vec u\wedge\vec u'\|}\) (volume ÷ aire de base = hauteur).
Projeté orthogonal de \(M\) sur \(D=A+\operatorname{Vect}(\vec u)\) \(H=A+\dfrac{\vec{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\,\vec u\) (unique point de \(D\) tel que \(\vec{HM}\cdot\vec u=0\)).

1.8 Sphères

Équation \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\), soit \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+(a^2+b^2+c^2-R^2)=0\) (compléter les carrés).
Intersections avec un plan \(P\) / une droite \(D\) On compare \(d(\Omega,\cdot)\) à \(R\). Plan : \(>R\) : \(\varnothing\) ; \(=R\) : tangent (1 point) ; \(cercle de centre \(H\) (projeté de \(\Omega\)) et rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\). Droite : 0, 1 (tangente) ou 2 points.

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Aire et normale par le produit vectoriel♦♦◊
\(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\). Normale au plan \((ABC)\), aire du triangle, équation cartésienne.

1) Produit vectoriel

\(\vec{AB}=(-1,2,0)\), \(\vec{AC}=(-1,0,3)\). \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(2\cdot3-0\cdot0,\ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot3,\ (-1)\cdot0-2\cdot(-1))=(6,3,2)\).

Normale \(\vec n=(6,3,2)\), \(\|\vec n\|=7\)

2) Aire

\(\mathcal A=\tfrac12\|\vec n\|=\tfrac72\).

\(\mathcal A=3{,}5\)

3) Équation cartésienne

\(6(x-1)+3y+2z=0\Rightarrow6x+3y+2z-6=0\) (contrôle \(B\) : \(6+0-6=0\)... \(3\cdot2=6\), \(6\cdot0+6+0-6=0\) ✓).

\(6x+3y+2z=6\) (soit \(\tfrac x1+\tfrac y2+\tfrac z3=1\), équation par les intercepts)

Exercice B — Volume d'un tétraèdre♦♦◊
\(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(0,1,0)\), \(D(0,0,1)\). Volume du tétraèdre.

\(\vec{AB}=(1,0,0)\), \(\vec{AC}=(0,1,0)\), \(\vec{AD}=(0,0,1)\). \([\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]=\det I_3=1\).

\(V=\tfrac16|1|\).

\(V=\dfrac16\)

Exercice C — Distance point–droite (deux méthodes)♦♦♦
\(D=A+\operatorname{Vect}(\vec u)\), \(A(1,0,0)\), \(\vec u=(0,1,1)\) ; point \(M(2,0,3)\).

Méthode 1 (formule vectorielle)

\(\vec{AM}=(1,0,3)\), \(\vec{AM}\wedge\vec u=(0\cdot1-3\cdot1,\ 3\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-0\cdot0)=(-3,-1,1)\), \(\|\cdot\|=\sqrt{11}\), \(\|\vec u\|=\sqrt2\).

\(d=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{22}}2\approx2{,}345\)

Méthode 2 (projeté)

\(H=A+\dfrac{\vec{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}\vec u\) ; \(\vec{AM}\cdot\vec u=0+0+3=3\), \(t^*=\tfrac32\). \(H=(1,\tfrac32,\tfrac32)\). \(\vec{HM}=(1,-\tfrac32,\tfrac32)\), \(\|\vec{HM}\|=\sqrt{1+\tfrac94+\tfrac94}=\sqrt{\tfrac{22}4}=\tfrac{\sqrt{22}}2\).

Même distance \(\dfrac{\sqrt{22}}2\) ✓

3. Correction intégrale du TD

Source : TD-V2026 « Géométrie de l'espace » (16 exercices). Repère orthonormé direct \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\). Pas de corrigé officiel → tout résolu et vérifié maison.

Exercice 1 — Conversions cartésien ↔ cylindrique♦◊◊

(a) cyl. \(r=3,\ \theta=-\tfrac\pi6,\ z=2\) → cart.

\(x=3\cos(-\tfrac\pi6)=\tfrac{3\sqrt3}2\), \(y=3\sin(-\tfrac\pi6)=-\tfrac32\), \(z=2\).

\(\big(\tfrac{3\sqrt3}2,-\tfrac32,2\big)\)

(b) cyl. \(r=3,\ \theta=\tfrac\pi6,\ z=4\) → cart.

\(\big(\tfrac{3\sqrt3}2,\tfrac32,4\big)\)

(c) cart. \((-\sqrt2,\sqrt2,1)\) → cyl.

\(r=\sqrt{2+2}=2\), \(\cos\theta=-\tfrac{\sqrt2}2,\ \sin\theta=\tfrac{\sqrt2}2\Rightarrow\theta=\tfrac{3\pi}4\).

\(\big(2,\tfrac{3\pi}4,1\big)\)

(d) cart. \((\sqrt3,1,2)\) → cyl.

\(r=\sqrt{3+1}=2\), \(\cos\theta=\tfrac{\sqrt3}2,\ \sin\theta=\tfrac12\Rightarrow\theta=\tfrac\pi6\).

\(\big(2,\tfrac\pi6,2\big)\)

Exercice 2 — Angles d'un triangle (produit scalaire)♦♦◊
\(A(1,0,1)\), \(B(2,1,0)\), \(C(3,-2,4)\), angles à \(0{,}1^\circ\) près.

Angle \(\hat A\)

\(\vec{AB}=(1,1,-1)\), \(\vec{AC}=(2,-2,3)\). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2-2-3=-3\), \(\|\vec{AB}\|=\sqrt3\), \(\|\vec{AC}\|=\sqrt{17}\). \(\cos\hat A=\dfrac{-3}{\sqrt{51}}\approx-0{,}4201\).

\(\hat A\approx114{,}8^\circ\)

Angle \(\hat B\)

\(\vec{BA}=(-1,-1,1)\), \(\vec{BC}=(1,-3,4)\). \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=-1+3+4=6\), \(\|\vec{BC}\|=\sqrt{26}\). \(\cos\hat B=\dfrac{6}{\sqrt{3}\sqrt{26}}=\dfrac6{\sqrt{78}}\approx0{,}6794\).

\(\hat B\approx47{,}2^\circ\)

Angle \(\hat C\)

\(\hat C=180^\circ-\hat A-\hat B\) (contrôle direct : \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}=20\), \(\cos\hat C=\tfrac{20}{\sqrt{442}}\approx0{,}951\)).

\(\hat C\approx18{,}0^\circ\) (somme \(=180^\circ\) ✓)

Exercice 3 — Produit vectoriel♦◊◊
\(\vec u(1,2,-1)\), \(\vec v(2,-3,1)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\).

\(\vec u\wedge\vec v=\big(2\cdot1-(-1)(-3),\ (-1)\cdot2-1\cdot1,\ 1\cdot(-3)-2\cdot2\big)=(2-3,\ -2-1,\ -3-4)\).

\(\vec u\wedge\vec v=(-1,-3,-7)\)

Contrôle : \(\vec u\cdot(\vec u\wedge\vec v)=-1-6+7=0\) et \(\vec v\cdot(\vec u\wedge\vec v)=-2+9-7=0\) ✓.

Exercice 4 — Aire d'un triangle par le produit vectoriel♦♦◊
\(A(1,2,1)\), \(B(1,0,2)\), \(C(0,1,3)\).

\(\vec{AB}=(0,-2,1)\), \(\vec{AC}=(-1,-1,2)\). \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\big((-2)2-1(-1),\ 1(-1)-0\cdot2,\ 0(-1)-(-2)(-1)\big)=(-3,-1,-2)\).

\(\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\), \(\mathcal A=\tfrac12\sqrt{14}\).

\(\mathcal A=\dfrac{\sqrt{14}}2\approx1{,}871\)

Exercice 5 — Produit mixte (Sarrus)♦♦◊
\(\vec u(1,2,0)\), \(\vec v(-1,3,1)\), \(\vec w(1,0,-1)\). Calculer \([\vec w,\vec u,\vec v]\).

Déterminant des colonnes \((\vec w,\vec u,\vec v)\) : \(\begin{vmatrix}1&1&-1\\ 0&2&3\\ -1&0&1\end{vmatrix}\).

Sarrus : \((1\cdot2\cdot1)+(1\cdot3\cdot(-1))+((-1)\cdot0\cdot0)-((-1)\cdot2\cdot(-1))-(1\cdot0\cdot1)-(1\cdot3\cdot0) =2-3+0-2-0-0\).

\([\vec w,\vec u,\vec v]=-3\)

Exercice 6 — Volume d'un tétraèdre♦♦◊
\(A(2,-1,1)\), \(B(5,5,4)\), \(C(3,2,-1)\), \(D(4,1,3)\). \(V=\tfrac16|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]|\).

\(\vec{AB}=(3,6,3)\), \(\vec{AC}=(1,3,-2)\), \(\vec{AD}=(2,2,2)\).

\(\begin{vmatrix}3&1&2\\ 6&3&2\\ 3&-2&2\end{vmatrix} =3(3\cdot2-2(-2))-1(6\cdot2-2\cdot3)+2(6(-2)-3\cdot3)=3(10)-1(6)+2(-21)=30-6-42=-18\).

\(V=\tfrac16|-18|\).

\(V=3\)

Exercice 7 — Équations de plans (5 cas)♦♦♦

1) \(A(1,0,1)\), normal \(\vec n(1,-1,2)\)

Cartésienne : \(1(x-1)-1\cdot y+2(z-1)=0\Rightarrow x-y+2z-3=0\). Directeurs \(\perp\vec n\) : \(\vec u(1,1,0),\vec v(2,0,-1)\).

\(x-y+2z-3=0\) ; \(\{x=1+\alpha+2\beta,\ y=\alpha,\ z=1-\beta\}\)

2) \(A(0,1,1)\), engendré par \(\vec u(1,-1,0),\ \vec v(0,0,2)\)

Normale \(\vec u\wedge\vec v=(-2,-2,0)\propto(1,1,0)\). Cartésienne : \(x+(y-1)=0\Rightarrow x+y-1=0\).

\(x+y-1=0\) ; \(\{x=\alpha,\ y=1-\alpha,\ z=1+2\beta\}\)

3) \(A(1,-1,0)\), parallèle à \(\mathfrak D:x-2z+1=0\)

Même normale \((1,0,-2)\) : \((x-1)-2z=0\Rightarrow x-2z-1=0\).

\(x-2z-1=0\) ; \(\{x=1+2\beta,\ y=-1+\alpha,\ z=\beta\}\)

4) \(A(1,-1,1)\), perpendiculaire à \(D:\{2x-y+1=0,\ x-y+z-2=0\}\)

Le plan a pour normale le directeur de \(D\) : \(\vec n_1\wedge\vec n_2\) avec \(\vec n_1(2,-1,0),\vec n_2(1,-1,1)\) : \((-1,-2,-1)\propto(1,2,1)\). Cartésienne : \((x-1)+2(y+1)+(z-1)=0\Rightarrow x+2y+z=0\).

\(x+2y+z=0\) ; \(\{x=1+2\alpha+\beta,\ y=-1-\alpha,\ z=1-\beta\}\)

5) \(A(1,0,1)\), \(B(0,1,-1)\), \(C(2,1,0)\)

\(\vec{AB}=(-1,1,-2)\), \(\vec{AC}=(1,1,-1)\), \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(1,-3,-2)\). Cartésienne : \((x-1)-3y-2(z-1)=0\Rightarrow x-3y-2z+1=0\) (contrôle \(B,C\) ✓).

\(x-3y-2z+1=0\) ; \(\{x=1-\alpha+\beta,\ y=\alpha+\beta,\ z=1-2\alpha-\beta\}\)

Exercice 8 — Droite \((AB)\) ∩ plan♦♦◊
\(A(0,1,2)\), \(B(1,3,4)\), plan \(P:x+y+z=3\).

1) Paramétrique de \((AB)\)

\(\vec{AB}=(1,2,2)\).

\(\{x=t,\ y=1+2t,\ z=2+2t\}\)

2) Intersection avec \(P\)

\(t+(1+2t)+(2+2t)=3\Rightarrow5t+3=3\Rightarrow t=0\), qui donne le point \(A(0,1,2)\).

\((AB)\cap P=\{A(0,1,2)\}\)

Exercice 9 — Pivot de Gauss & droite d'intersection♦♦◊
\(\{x+2y-z=1,\ 2x-y+z=0\}\).

Gauss : \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) : \(-5y+3z=-2\Rightarrow y=\dfrac{2+3z}5\). Puis \(x=1-2y+z=\dfrac{1-z}5\).

En posant \(z=\lambda\) : \(x=\dfrac{1-\lambda}5,\ y=\dfrac{2+3\lambda}5,\ z=\lambda\).

Vérif : directeur \(\vec n_1\wedge\vec n_2\) avec \(\vec n_1(1,2,-1),\vec n_2(2,-1,1)\) donne \((1,-3,-5)\), proportionnel à \((-1,3,5)\) ✓.

Point \(\big(\tfrac15,\tfrac25,0\big)\), directeur \((-1,3,5)\) : \(\{x=\tfrac15-t,\ y=\tfrac25+3t,\ z=5t\}\)

Exercice 10 — Trois plans : \(AX=B\), \(\det A\), \(A^{-1}\)♦♦♦
\(\{x+y+z=3,\ 2x-y+z=1,\ x+2y-3z=0\}\).

1) Forme matricielle & déterminant

\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 2&-1&1\\ 1&2&-3\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\). \(\det A=1(3-2)-1(-6-1)+1(4+1)=1+7+5=13\neq0\) : \(A\) inversible.

2) Inverse (Gauss-Jordan / cofacteurs) & point

\(A^{-1}=\dfrac1{13}\begin{pmatrix}1&5&2\\ 7&-4&1\\ 5&-1&-3\end{pmatrix}\). Alors \(X=A^{-1}B=\dfrac1{13}(3+5,\ 21-4,\ 15-1)=\dfrac1{13}(8,17,14)\).

Intersection unique : \(\big(\tfrac8{13},\tfrac{17}{13},\tfrac{14}{13}\big)\)

Contrôle : \(2\cdot\tfrac8{13}-\tfrac{17}{13}+\tfrac{14}{13}=\tfrac{13}{13}=1\) ✓.

Exercice 11 — Deux droites : parallèles ? sécantes ?♦♦♦
\(D_1:\{x=3+t,\ y=-4-3t,\ z=-3-3t\}\) ; \(D_2:\{x=2s,\ y=-4+3s,\ z=-1+s\}\).

1) Parallèles ?

Directeurs \(\vec u_1=(1,-3,-3)\), \(\vec u_2=(2,3,1)\) : non proportionnels.

Non parallèles

2) Sécantes ?

De \(y\) : \(-4-3t=-4+3s\Rightarrow t=-s\). De \(x\) : \(3+t=2s\Rightarrow3-s=2s\Rightarrow s=1,\ t=-1\). Contrôle \(z\) : \(-3-3(-1)=0=-1+1\) ✓.

Point \(D_1(t=-1)=(2,-1,0)\).

Sécantes en \((2,-1,0)\)

Exercice 12 — Projeté & distance point–droite♦♦♦
\(D=A+\operatorname{Vect}(\vec u)\), \(A(1,-2,0)\), \(\vec u(1,1,-1)\) ; \(B(0,1,-2)\).

1) Projeté \(H\) de \(B\) sur \(D\)

\(\vec{AB}=(-1,3,-2)\), \(\vec{AB}\cdot\vec u=-1+3+2=4\), \(\|\vec u\|^2=3\), \(t^*=\tfrac43\). \(H=A+\tfrac43\vec u=\big(\tfrac73,-\tfrac23,-\tfrac43\big)\).

\(H=\big(\tfrac73,-\tfrac23,-\tfrac43\big)\)

2) Distance (deux méthodes)

Via \(H\) : \(\vec{HB}=\big(-\tfrac73,\tfrac53,-\tfrac23\big)\), \(\|\vec{HB}\|=\tfrac13\sqrt{49+25+4}=\tfrac{\sqrt{78}}3\).

Via formule : \(\vec{AB}\wedge\vec u=(-1,-3,-4)\), \(\|\cdot\|=\sqrt{26}\), \(d=\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{78}}3\).

\(d(B,D)=\dfrac{\sqrt{78}}3\approx2{,}944\)

Exercice 13 — Distances variées♦♦♦

1) \(A(1,2,1)\) au plan \(P:x-2y+3z=1\)

\(d=\dfrac{|1-4+3-1|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac1{\sqrt{14}}\).

\(d=\dfrac1{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{14}\approx0{,}267\)

2) \(B(1,2,-1)\) à \(D:\{x=1+3t,\ y=2-t,\ z=2t\}\)

\(A_0(1,2,0)\), \(\vec u(3,-1,2)\), \(\vec{A_0B}=(0,0,-1)\), \(\vec{A_0B}\wedge\vec u=(-1,-3,0)\), \(\|\cdot\|=\sqrt{10}\), \(\|\vec u\|=\sqrt{14}\).

\(d=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\tfrac57}=\dfrac{\sqrt{35}}7\approx0{,}845\)

3) \(C(1,0,2)\) à \(\Delta:\{2x-y+z=1,\ x-y+z=-1\}\)

Directeur \(\vec u=\vec n_1\wedge\vec n_2=(0,-1,-1)\). Point : \(L_1-L_2\Rightarrow x=2\), puis \(z=y-3\), point \(A_0(2,0,-3)\). \(\vec{A_0C}=(-1,0,5)\), \(\vec{A_0C}\wedge\vec u=(5,-1,1)\), \(\|\cdot\|=\sqrt{27}=3\sqrt3\), \(\|\vec u\|=\sqrt2\).

\(d=\dfrac{3\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt6}2\approx3{,}674\)

4) Distance entre \(D:\{-x+y-z=1,\ x-y+2z=1\}\) et \(D':\{2x-y-z=0,\ -x-2y+3z=0\}\)

Directeurs : \(\vec u=\vec n_1\wedge\vec n_2=(1,1,0)\), \(\vec u'=(-5,-5,-5)\propto(1,1,1)\). Points : \(M(0,3,2)\in D\) (en additionnant les deux équations : \(z=2\)), \(M'(0,0,0)\in D'\) (système homogène).

\(\vec u\wedge\vec u'=(1,-1,0)\), \(\|\cdot\|=\sqrt2\). \(\vec{MM'}=(0,-3,-2)\), \([\vec u,\vec u',\vec{MM'}]=(\vec u\wedge\vec u')\cdot\vec{MM'}=0+3+0=3\).

\(d(D,D')=\dfrac3{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}2\approx2{,}121\)

Exercice 14 — Sphères ∩ plan \(P:x+y+z-3=0\)♦♦♦

\(S_1:x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0\)

Centre \(\Omega_1(1,1,1)\), \(R^2=1+1+1+1=4\), \(R=2\). \(d(\Omega_1,P)=\dfrac{|1+1+1-3|}{\sqrt3}=0\) : le plan passe par le centre.

\(S_1\cap P=\) grand cercle de centre \((1,1,1)\), rayon \(2\)

\(S_2:x^2+y^2+z^2-4y+6z+12=0\)

Centre \(\Omega_2(0,2,-3)\), \(R^2=0+4+9-12=1\), \(R=1\). \(d(\Omega_2,P)=\dfrac{|0+2-3-3|}{\sqrt3}=\dfrac4{\sqrt3}\approx2{,}31>1\).

\(S_2\cap P=\varnothing\)

\(S_3:x^2+y^2+z^2-x+3y-2z+\tfrac{13}4=0\)

Centre \(\Omega_3(\tfrac12,-\tfrac32,1)\), \(R^2=\tfrac14+\tfrac94+1-\tfrac{13}4=\tfrac14\), \(R=\tfrac12\). \(d(\Omega_3,P)=\dfrac{|\tfrac12-\tfrac32+1-3|}{\sqrt3}=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3\approx1{,}73>\tfrac12\).

\(S_3\cap P=\varnothing\)

Exercice 15 — Intersection plan ∩ sphère♦♦♦

1) \(x+y+z=3\) et \(x^2+y^2+z^2=5\)

Sphère centre \(O\), \(R=\sqrt5\). \(d(O,\text{plan})=\dfrac3{\sqrt3}=\sqrt3<\sqrt5\) : cercle. Rayon \(\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5-3}=\sqrt2\), centre \(H=(1,1,1)\) (projeté de \(O\)).

Cercle de centre \((1,1,1)\), rayon \(\sqrt2\), dans le plan \(x+y+z=3\)

2) \(x+y+z=2\) et \(x^2+y^2+z^2-4x-2z-20=0\)

Sphère centre \(\Omega(2,0,1)\), \(R^2=4+0+1+20=25\), \(R=5\). \(d(\Omega,\text{plan})=\dfrac{|2+0+1-2|}{\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}<5\) : cercle. \(H=\Omega+\dfrac{2-3}3(1,1,1)=\big(\tfrac53,-\tfrac13,\tfrac23\big)\), rayon \(\sqrt{25-\tfrac13}=\sqrt{\tfrac{74}3}\).

Cercle de centre \(\big(\tfrac53,-\tfrac13,\tfrac23\big)\), rayon \(\sqrt{\tfrac{74}3}\approx4{,}97\)

Exercice 16 — Distance droite–sphère♦♦♦
\(D:\{x-y+z=0,\ x+z=1\}\) ; \(S:x^2+y^2+z^2-6x+2y-4z=-5\).

Sphère : centre \(\Omega(3,-1,2)\), \(R^2=9+1+4-5=9\), \(R=3\).

Directeur de \(D\) : \(\vec u=\vec n_1\wedge\vec n_2=(-1,0,1)\) (\(\vec n_1(1,-1,1),\vec n_2(1,0,1)\)). Point \(A_0(0,1,1)\in D\).

\(\vec{A_0\Omega}=(3,-2,1)\), \(\vec{A_0\Omega}\wedge\vec u=(-2,-4,-2)\), \(\|\cdot\|=\sqrt{24}=2\sqrt6\), \(\|\vec u\|=\sqrt2\). \(d(\Omega,D)=\dfrac{2\sqrt6}{\sqrt2}=2\sqrt3\approx3{,}46\).

Comme \(d(\Omega,D)=2\sqrt3>R=3\), la droite est extérieure à la sphère : distance \(=d(\Omega,D)-R\).

\(d(D,S)=2\sqrt3-3\approx0{,}46\)

Bilan Géométrie de l'espace 16 exercices traités intégralement. Boîte à outils : produit vectoriel (normale, aire, directeur d'une droite \(=\vec n_1\wedge\vec n_2\)), produit mixte (volume, coplanarité), les trois formules de distance (point–plan cartésienne, point–droite en \(\tfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\), droite–droite en \(\tfrac{|[\vec u,\vec u',\vec{MM'}]|}{\|\vec u\wedge\vec u'\|}\)), et l'analyse d'intersection sphère/plan/droite par comparaison \(d\) vs \(R\).

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