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Maths · M01 — Chapitre 11

Étude des fonctions réelles usuelles

Exponentielle, logarithme, puissances et croissances comparées ; fonctions circulaires réciproques (arcsin, arccos, arctan) ; fonctions hyperboliques (ch, sh) et leurs propriétés.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Fonctions usuelles
exp & ln\(\exp'=\exp\), \(\ln'(x)=\tfrac1x\) ; \(e^{x+y}=e^xe^y\), \(\ln(xy)=\ln x+\ln y\)
Équivalents en 0\(\dfrac{e^x-1}x\to1\) ; \(\dfrac{\ln(1+x)}x\to1\)
Inégalités\(e^x\geqslant1+x\) (\(\forall x\)) ; \(\ln(1+x)\leqslant x\) (\(x>-1\))
Puissance\(x^\alpha=e^{\alpha\ln x}\), \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\)
Croissances comparées\(\dfrac{x^\alpha}{e^{\beta x}}\to0\), \(\dfrac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha}\to0\), \(x^\alpha(\ln x)^\beta\to0\) en \(0^+\) (\(\alpha,\beta>0\))
arcsin, arccos, arctan\(\arcsin:[-1,1]\to[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]\), \(\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]\), \(\arctan:\mathbb R\to\,]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2[\)
Dérivées arc\(\arcsin'(x)=\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}\), \(\arccos'(x)=\tfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\arctan'(x)=\tfrac1{1+x^2}\)
ch & sh\(\operatorname{ch}x=\tfrac{e^x+e^{-x}}2\), \(\operatorname{sh}x=\tfrac{e^x-e^{-x}}2\) ; \(\operatorname{ch}'=\operatorname{sh}\), \(\operatorname{sh}'=\operatorname{ch}\)
Relation ch/sh\(\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1\)
Simplifier \(\arccos(\cos\theta)\)/\(\arcsin(\sin\theta)\)ramener \(\theta\) dans l'intervalle principal via périodicité/parité avant d'appliquer la réciproque
Lever une forme indéterminée en \(+\infty\)retenir l'ordre exponentielle \(\gg\) puissance \(\gg\) logarithme

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Exponentielle, logarithme, puissance

exp & ln \(\exp'=\exp\), \(\exp(0)=1\), \(\exp>0\), strictement croissante. \(\ln=\exp^{-1}:\mathbb R_+^*\to\mathbb R\), \(\ln'(x)=\tfrac1x\), strictement croissante. Relations : \(e^{x+y}=e^xe^y\), \(\ln(xy)=\ln x+\ln y\).
Équivalents & inégalités en 0 \(\dfrac{e^x-1}{x}\to1\) (\(e^x\underset0\sim1+x\)) et \(\dfrac{\ln(1+x)}x\to1\) (\(\ln(1+x)\underset0\sim x\)). Inégalités : \(e^x\geqslant1+x\) (\(\forall x\)) et \(\ln(1+x)\leqslant x\) (\(x>-1\)).
Puissance \(x^\alpha=e^{\alpha\ln x}\) sur \(\mathbb R_+^*\), \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\), croissante si \(\alpha>0\).
Croissances comparées \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{e^{\beta x}}=0,\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha}=0,\quad \lim_{x\to0^+}x^\alpha(\ln x)^\beta=0\quad(\alpha,\beta>0). \] « L'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme. »

1.2 Fonctions circulaires réciproques

arcsin, arccos, arctan Réciproques des restrictions : \(\sin_{|[-\frac\pi2,\frac\pi2]}\), \(\cos_{|[0,\pi]}\), \(\tan_{|]-\frac\pi2,\frac\pi2[}\). \(\arcsin:[-1,1]\to[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]\), \(\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]\), \(\arctan:\mathbb R\to\,]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2[\).
Dérivées \[ \arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\quad \arccos'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\ (|x|<1),\quad \arctan'(x)=\frac1{1+x^2}. \]
\(\arccos(\cos\theta)=\theta\) seulement si \(\theta\in[0,\pi]\) ; sinon, se ramener à cet intervalle via la périodicité/parité. De même \(\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}\) (positif), pas \(\pm\).

1.3 Fonctions hyperboliques

ch & sh \(\operatorname{ch}x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2\), \(\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\). \(\operatorname{ch}'=\operatorname{sh}\), \(\operatorname{sh}'=\operatorname{ch}\). Relation fondamentale : \(\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1\). \(\operatorname{ch}\geqslant1\) (paire), \(\operatorname{sh}\) impaire strictement croissante.

2. Exercices d'entraînement (créés) avec corrections

Exercice A — Simplifier \(\cos(2\arcsin x)\)♦♦◊
Domaine et simplification de \(\cos(2\arcsin x)\).

Domaine : \(x\in[-1,1]\). Posons \(\theta=\arcsin x\), donc \(\sin\theta=x\). Par duplication :

\[ \cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta=1-2x^2. \]
\(\cos(2\arcsin x)=1-2x^2\) sur \([-1,1]\).
Exercice B — \(\arctan x+\arctan\tfrac1x=\tfrac\pi2\)♦♦◊
Montrer que \(\forall x>0,\ \arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\).

Posons \(g(x)=\arctan x+\arctan\tfrac1x\) sur \(]0,+\infty[\). Alors :

\[ g'(x)=\frac1{1+x^2}+\Big(-\frac1{x^2}\Big)\cdot\frac1{1+1/x^2}=\frac1{1+x^2}-\frac1{x^2+1}=0. \]

Donc \(g\) est constante ; \(g(1)=\arctan1+\arctan1=\tfrac\pi4+\tfrac\pi4=\tfrac\pi2\).

\(\arctan x+\arctan\tfrac1x=\tfrac\pi2\) pour \(x>0\) (et \(-\tfrac\pi2\) pour \(x<0\)). ∎
Exercice C — Réciproque du sinus hyperbolique♦♦♦
Montrer que \(\operatorname{sh}:\mathbb R\to\mathbb R\) est bijective et exprimer sa réciproque.

\(\operatorname{sh}'=\operatorname{ch}>0\) : \(\operatorname{sh}\) est strictement croissante, continue, avec \(\lim_{\pm\infty}=\pm\infty\). Par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).

Résolvons \(y=\operatorname{sh}x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2\). En posant \(t=e^x>0\) : \(2y=t-\tfrac1t\), soit \(t^2-2yt-1=0\), d'où \(t=y+\sqrt{y^2+1}\) (racine positive).

\(x=\ln\big(y+\sqrt{y^2+1}\big)\), i.e. \(\operatorname{argsh}(y)=\ln\big(y+\sqrt{y^2+1}\big)\).

On vérifie \(\operatorname{argsh}'(y)=\dfrac1{\sqrt{y^2+1}}=\dfrac1{\operatorname{ch}(\operatorname{argsh}y)}\).

3. Correction intégrale du TD n°11 — Fonctions réelles usuelles

Feuille sans corrigé officiel : les 6 exercices sont résolus intégralement, chaque sous-question traitée.

Partie 1 — Fonctions circulaires réciproques

Exercice 1 — Ces expressions ont-elles un sens ?♦◊◊
\(\arcsin,\arccos\) exigent \([-1,1]\) ; \(\arctan\) est défini sur \(\mathbb R\).

(a) \(\arccos(1)\)

\(0\)

(b) \(\arccos(-\tfrac12)\)

\(\tfrac{2\pi}3\)

(c) \(\arccos(\tfrac\pi3)\)

\(\tfrac\pi3\approx1{,}05>1\).

Aucun sens.

(d) \(\arcsin(0)\)

\(0\)

(e) \(\arcsin(\tfrac12)\)

\(\tfrac\pi6\)

(f) \(\arcsin(\pi)\)

\(\pi>1\).

Aucun sens.

(g) \(\arctan(0)\)

\(0\)

(h) \(\arctan(1)\)

\(\tfrac\pi4\)

(i) \(\arctan(-\sqrt3)\)

\(-\tfrac\pi3\)

Exercice 2 — Domaine + simplification♦♦♦

(a) \(\arccos(\cos\tfrac{2\pi}3)\)

\(\tfrac{2\pi}3\in[0,\pi]\).

\(\tfrac{2\pi}3\)

(b) \(\arccos(\cos4\pi)\)

\(\cos4\pi=1\).

\(0\)

(c) \(\arccos(\cos(-\tfrac{7\pi}3))\)

\(\cos(-\tfrac{7\pi}3)=\cos\tfrac\pi3=\tfrac12\).

\(\tfrac\pi3\)

(d) \(\cos(\arcsin 2x)\)

Domaine \(x\in[-\tfrac12,\tfrac12]\).

\(\sqrt{1-4x^2}\)

(e) \(\sin(\arccos(x+1))\)

Domaine \(x\in[-2,0]\).

\(\sqrt{1-(x+1)^2}=\sqrt{-x^2-2x}\)

(f) \(\sin(\arctan x)\)

Domaine \(\mathbb R\).

\(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

(g) \(\arctan(\tan\tfrac{5\pi}4)\)

\(\tan\tfrac{5\pi}4=\tan\tfrac\pi4=1\).

\(\tfrac\pi4\)

(h) \(\tan(\arcsin x)\)

Domaine \(x\in\,]-1,1[\).

\(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

(i) \(\tan(-\arccos x)\)

Domaine \(x\in[-1,1]\setminus\{0\}\).

\(-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)

Exercice 3 — Équations♦♦♦

(a) \(\tan(\arctan x)=\pi\)

\(\tan(\arctan x)=x\).

\(x=\pi\)

(b) \(\arccos(\cos x)=\tfrac\pi3\)

\(\iff\cos x=\tfrac12\iff x\equiv\pm\tfrac\pi3\,[2\pi]\).

\(x=\pm\tfrac\pi3+2k\pi\)

(c) \(\arcsin(\sin 2x)=\tfrac\pi9\)

\(\iff2x\equiv\tfrac\pi9\,[2\pi]\) ou \(2x\equiv\tfrac{8\pi}9\,[2\pi]\).

\(x=\tfrac\pi{18}+k\pi\) ou \(x=\tfrac{4\pi}9+k\pi\)

(d) \(\arccos x=\arcsin x\)

Avec \(\arcsin x+\arccos x=\tfrac\pi2\) : \(\arcsin x=\tfrac\pi4\).

\(x=\tfrac{\sqrt2}2\)

(e) \(\arccos x=\arcsin 2x\)

Domaine \(x\in[-\tfrac12,\tfrac12]\). \(\sin\) des deux membres : \(\sqrt{1-x^2}=2x\) (donc \(x\geqslant0\)), \(1-x^2=4x^2\).

\(x=\dfrac{\sqrt5}5\)

(f) \(\arccos x=\arcsin(1-x)\)

Domaine \(x\in[0,1]\). \(\sqrt{1-x^2}=1-x\), \((1-x)^2=1-x^2\Rightarrow2x(x-1)=0\).

\(x=0\) ou \(x=1\)

Exercice 4 — Formules (par la dérivée)♦♦♦

(a) \(\arcsin x+\arccos x=\tfrac\pi2\) sur \([-1,1]\)

\(f'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=0\) sur \(]-1,1[\) : \(f\) constante. \(f(0)=0+\tfrac\pi2\).

\(=\tfrac\pi2\)

(b) \(2\arctan(\sqrt{1+x^2}-x)+\arctan x=\tfrac\pi2\) sur \(\mathbb R\)

La dérivée de \(2\arctan(\sqrt{1+x^2}-x)\) vaut \(-\dfrac1{1+x^2}\), qui compense \(\arctan'x=\dfrac1{1+x^2}\) : somme constante. En \(0\) : \(2\arctan1=\tfrac\pi2\).

\(=\tfrac\pi2\)

(c) \(\arcsin x=\arctan\dfrac x{\sqrt{1-x^2}}\) sur \(]-1,1[\)

Posons \(\theta=\arcsin x\in\,]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2[\) : \(\sin\theta=x\), \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}>0\), donc \(\tan\theta=\dfrac x{\sqrt{1-x^2}}\), et \(\theta=\arctan(\tan\theta)\).

Égalité vraie.

(d) \(2\arctan\sqrt{\tfrac{1-x}{1+x}}+\arcsin x=\tfrac\pi2\) sur \(]-1,1]\)

Domaine \(x\in\,]-1,1]\). La dérivée de \(2\arctan\sqrt{\tfrac{1-x}{1+x}}\) vaut \(-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\), qui compense \(\arcsin'x\) : somme constante. En \(0\) : \(2\arctan1=\tfrac\pi2\).

\(=\tfrac\pi2\)

Partie 2 — Fonctions hyperboliques

Exercice 5 — Équations hyperboliques♦♦◊

(a) \(5\operatorname{ch}x-3\operatorname{sh}x=4\)

\(=\dfrac{(5-3)e^x+(5+3)e^{-x}}2=e^x+4e^{-x}\). En posant \(t=e^x\) : \(t+\tfrac4t=4\Rightarrow t^2-4t+4=0\Rightarrow t=2\).

\(x=\ln2\)

(b) \(3\operatorname{sh}x-\operatorname{ch}x=1\)

\(=\dfrac{(3-1)e^x+(-3-1)e^{-x}}2=e^x-2e^{-x}\). \(t=e^x\) : \(t-\tfrac2t=1\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow t=2\) (\(t=-1\) exclu).

\(x=\ln2\)

Exercice 6 — Inégalités hyperboliques♦♦◊

(a) \(\operatorname{sh}x\geqslant x\) pour \(x\geqslant0\)

\(g(x)=\operatorname{sh}x-x\), \(g(0)=0\), \(g'(x)=\operatorname{ch}x-1\geqslant0\) : \(g\) croissante sur \(\mathbb R_+\), donc \(g(x)\geqslant0\).

(b) \(\operatorname{ch}x\geqslant1+\dfrac{x^2}2\) pour \(x\in\mathbb R\)

\(h(x)=\operatorname{ch}x-1-\tfrac{x^2}2\), \(h(0)=0\), \(h'(x)=\operatorname{sh}x-x\), \(h''(x)=\operatorname{ch}x-1\geqslant0\). Donc \(h'\) est croissante avec \(h'(0)=0\) : \(h'\geqslant0\) sur \(\mathbb R_+\), \(h'\leqslant0\) sur \(\mathbb R_-\), d'où \(h\) minimale en \(0\).

\(h(x)\geqslant h(0)=0\), i.e. \(\operatorname{ch}x\geqslant1+\tfrac{x^2}2\). ∎

Chapitre 11 du cours M01 (S1). Sources : Chap_11.pdf (cours magistral) et TD11 — Étude des fonctions réelles usuelles. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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