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Maths · M02 — Espaces vectoriels

Espaces vectoriels & dimension finie

Structure d'espace vectoriel, combinaison linéaire ; sous-espaces vectoriels (caractérisation, \(\operatorname{Vect}\), intersection, somme, somme directe) ; familles libres / génératrices / bases ; dimension, rang, théorème des quatre dimensions.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Espaces vectoriels
Axiomes d'un e.v.\(+\) commutative/associative, neutre \(0_E\), opposé ; \(1\cdot u=u\), \(\lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u\), distributivités
Caractérisation d'un sev\(F\neq\varnothing\) sev \(\iff\lambda u+\mu v\in F\) pour tous \(u,v\in F,\lambda,\mu\in\mathbb K\)
Montrer que \(F\) n'est PAS un sevexhiber \(0_E\notin F\), ou \(u,v\in F\) avec \(u+v\notin F\), ou \(\lambda u\notin F\)
Sev engendré\(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_n)=\{\sum\lambda_iu_i\}\), plus petit sev contenant les \(u_i\)
Somme directe\(F\oplus G=E\iff F\cap G=\{0_E\}\) et \(F+G=E\iff\) écriture unique \(z=u+v\)
Famille libre\(\iff\big(\sum\lambda_iv_i=0\Rightarrow\text{tous }\lambda_i=0\big)\) ; dans \(\mathbb R^2\) liée \(\iff\) colinéaires
Basefamille libre et génératrice : tout \(v\) s'écrit de façon unique \(v=\sum\lambda_ie_i\)
Dimensions usuelles\(\dim\mathbb K^n=n\), \(\dim\mathbb R_n[X]=n+1\), \(\dim M_{n,p}=np\)
Le bon nombre de vecteurssi \(\dim E=n\) et \(\operatorname{card}\mathcal F=n\) : \(\mathcal F\) base \(\iff\) libre \(\iff\) génératrice (vérifier une seule condition)
Théorème des 4 dimensions\(\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)\)

1. Résumé de cours détaillé

\(\mathbb K=\mathbb R\) ou \(\mathbb C\).

1.1 Espace vectoriel

Définition Un \(\mathbb K\)-espace vectoriel est un ensemble \(E\neq\varnothing\) muni d'une addition interne et d'une multiplication externe \(\lambda\cdot u\) vérifiant 8 axiomes : \(+\) commutative, associative, de neutre \(0_E\), tout \(u\) a un opposé \(-u\) ; \(1\cdot u=u\), \(\lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u\), \(\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\), \((\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u\).
Exemples \(\mathbb R^n\), \(\mathbb R_n[X]\) (polynômes de degré \(\leqslant n\)), \(M_{n,p}(\mathbb R)\), les suites \(\mathbb R^{\mathbb N}\), les fonctions \(\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)\). Un plan/droite passant par l'origine est un e.v. ; un plan ne passant pas par \(0\) n'en est pas un (pas de vecteur nul).
Combinaison linéaire Toute somme finie \(\sum_{k=1}^n\lambda_k v_k\) (\(\lambda_k\in\mathbb K\)). Un e.v. est stable par combinaison linéaire.

1.2 Sous-espaces vectoriels

Caractérisation \(F\subset E\) non vide est un sev \(\iff\) \(\lambda u+\mu v\in F\) pour tous \(u,v\in F\), \(\lambda,\mu\in\mathbb K\). En pratique : \(0_E\in F\), stable par \(+\) et par \(\cdot\). Un sev est lui-même un e.v.
Montrer que \(F\) n'est PAS un sev Exhiber : \(0_E\notin F\), ou \(u,v\in F\) avec \(u+v\notin F\), ou \(u\in F,\lambda\) avec \(\lambda u\notin F\). (Ex. \(\{x+y=2\}\) : ne contient pas \(0\) ; \(\{x\geqslant0\}\) : pas stable par \(\lambda=-1\).)
Sev engendré \(\operatorname{Vect}(u_1,\dots,u_n)=\{\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_nu_n\}\), le plus petit sev contenant les \(u_i\). Décrire un ensemble comme un \(\operatorname{Vect}\) prouve que c'est un sev. Les solutions d'un système homogène \(AX=0\) forment un sev.
Intersection, somme, somme directe \(F\cap G\) est un sev (mais \(F\cup G\) en général non). \(F+G=\{u+v\,:\,u\in F,v\in G\}\) est le plus petit sev contenant \(F\) et \(G\). \(F\oplus G=E\) (supplémentaires) \(\iff F\cap G=\{0_E\}\) et \(F+G=E\) \(\iff\) tout \(z\in E\) s'écrit de façon unique \(z=u+v\).

1.3 Familles libres, génératrices, bases

Libre / liée \((v_1,\dots,v_n)\) libre \(\iff\big(\sum\lambda_iv_i=0\Rightarrow\text{tous }\lambda_i=0\big)\). Liée sinon (un vecteur est combinaison des autres). Dans \(\mathbb R^2\) : liée \(\iff\) colinéaires ; dans \(\mathbb R^3\) : \(3\) vecteurs liés \(\iff\) coplanaires.
Génératrice, base Génératrice de \(E\) : tout vecteur de \(E\) est combinaison des \(v_i\) (\(E=\operatorname{Vect}(v_i)\)). Base = famille libre et génératrice : tout \(v\) s'écrit de façon unique \(v=\sum\lambda_ie_i\) (coordonnées).

1.4 Dimension & rang

Dimension \(\dim E\) = cardinal d'une base. \(\dim\mathbb K^n=n\), \(\dim\mathbb R_n[X]=n+1\), \(\dim M_{n,p}=np\), \(\dim\{0\}=0\). \(\mathbb R[X]\), \(\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)\) ne sont pas de dimension finie.
Le bon nombre de vecteurs Si \(\dim E=n\) et \(\mathcal F\) compte exactement \(n\) vecteurs, alors : \(\mathcal F\) base \(\iff\) libre \(\iff\) génératrice. (Il suffit de vérifier l'une des deux.) Pour un sev \(F\subseteq E\) : \(\dim F\leqslant\dim E\), et \(F=E\iff\dim F=\dim E\).
Rang \(\operatorname{rg}(v_1,\dots,v_p)=\dim\operatorname{Vect}(v_1,\dots,v_p)\). Vaut \(p\iff\) la famille est libre.
Théorème des quatre dimensions \[ \dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G). \] En particulier \(F\oplus G=E\iff \dim F+\dim G=\dim E\) et \(F\cap G=\{0\}\).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — Base & coordonnées♦♦◊
Montrer que \((u,v,w)\) avec \(u=(0,1,1)\), \(v=(1,0,1)\), \(w=(1,1,0)\) est une base de \(\mathbb R^3\), et donner les coordonnées de \(x=(1,1,1)\).

\(\det\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}=0(0-1)-1(0-1)+1(1-0)=0+1+1=2\neq0\) : famille libre de \(3\) vecteurs dans \(\dim=3\), donc base.

\(x=au+bv+cw\) : \(b+c=1,\ a+c=1,\ a+b=1\Rightarrow a=b=c=\tfrac12\).

\(x=\tfrac12(u+v+w)\), coordonnées \(\big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big)\).
Exercice B — Sev de polynômes♦♦◊
Décrire \(F=\{P\in\mathbb R_2[X]\,:\,P(1)=0\}\) comme un \(\operatorname{Vect}\) et donner \(\dim F\).

\(P(1)=0\iff(X-1)\mid P\), donc \(P=(X-1)(aX+b)\), \((a,b)\in\mathbb R^2\).

\(F=\operatorname{Vect}\big(X(X-1),\ X-1\big)=\operatorname{Vect}(X^2-X,\ X-1)\), \(\dim F=2\).
Exercice C — Quatre dimensions♦♦♦
Dans \(E\) de dimension \(5\), \(\dim F=3\), \(\dim G=4\). Que dire de \(\dim(F\cap G)\) ?

\(F+G\subseteq E\) contient \(G\) : \(4\leqslant\dim(F+G)\leqslant5\). Par le théorème des quatre dimensions \(\dim(F\cap G)=\dim F+\dim G-\dim(F+G)=7-\dim(F+G)\).

\(\dim(F+G)\in\{4,5\}\Rightarrow\dim(F\cap G)\in\{3,2\}\). En particulier \(F\cap G\neq\{0\}\) (jamais supplémentaires ici).

3. Correction intégrale du TD — Espaces vectoriels

Feuille sans corrigé officiel : les 13 exercices sont résolus intégralement.

Exercice 1 — QCM (justifié)♦♦◊

Q1 : \(E=\{x-y+z=0\}\) (plan par l'origine)

Vrai : \((0,0,0)\in E\) ; \(E\) stable par \(\cdot\) ; \(E\) est un e.v. (Faux : « pas stable par addition ».)

Q2 : \(E=\{(x,y)\,:\,x-y\geqslant0\}\)

Stable par \(+\) (deux différences positives), mais pour \(\lambda=-1\), \((1,0)\in E\) et \((-1,0)\notin E\).

Vrai : \(E\) non vide ; stable par addition. (Faux : stable par \(\cdot\) ; sev.)

Q3 : \(E=\{e^xe^y=1\}\)

\(e^{x+y}=1\iff x+y=0\iff x=-y\), droite par l'origine.

Vrai : \(E=\{x=-y\}\) ; \(E\) est un e.v.

Q4 : \(E=\{e^xe^y=0\}\)

\(e^{x+y}>0\) toujours : \(E=\varnothing\).

Vrai : \(E\) n'est pas un e.v. (vide, sans vecteur nul).

Exercice 2 — Combinaison linéaire ?♦♦◊

1) \(u=(1,2)\) sur \(u_1=(1,-2),u_2=(2,3)\)

\(a+2b=1,\ -2a+3b=2\Rightarrow a=-\tfrac17,\ b=\tfrac47\).

Oui : \(u=-\tfrac17u_1+\tfrac47u_2\)

2) idem avec \(u_3=(-4,5)\) en plus

\(u_1,u_2\) engendrent déjà \(\mathbb R^2\).

Oui (une infinité de façons)

3) \(u=(2,5,3)\) sur \(u_1=(1,3,2),u_2=(1,-1,4)\)

\(a+b=2,\ 3a-b=5\Rightarrow a=\tfrac74,b=\tfrac14\), mais \(2a+4b=\tfrac{18}4=4{,}5\neq3\).

Non

Exercice 3 — Sev de \(\mathbb R^3\) ?♦♦◊

\(E_1=\{3x-7y=z\}\)

\(3x-7y-z=0\) : plan par l'origine.

Sev (\(\dim2\))

\(E_2=\{x+y+3z=2\}\)

\((0,0,0)\notin E_2\).

Pas un sev

\(E_3=\{x+y-z=0\text{ et }x-y+2z=0\}\)

Intersection de deux plans par l'origine ; résolution : \((x,-3x,-2x)\).

Sev \(=\operatorname{Vect}(1,-3,-2)\) (\(\dim1\))

Exercice 4 — Appartenance à \(\operatorname{Vect}(v_1,v_2)\)♦♦♦
\(v_1=(1,2,3,4)\), \(v_2=(1,-2,3,-4)\).

1) \((x,1,y,1)\in\operatorname{Vect}(v_1,v_2)\) ?

Composantes 2 et 4 : \(2(a-b)=1\) et \(4(a-b)=1\), soit \(a-b=\tfrac12\) et \(a-b=\tfrac14\) : contradiction.

Impossible

2) \((x,1,1,y)\in\operatorname{Vect}(v_1,v_2)\) ?

\(2(a-b)=1\), \(3(a+b)=1\Rightarrow a=\tfrac5{12},b=-\tfrac1{12}\), d'où \(x=a+b=\tfrac13\), \(y=4(a-b)=2\).

Oui : \(x=\tfrac13,\ y=2\)

Exercice 5 — Décrire comme \(\operatorname{Vect}(\mathcal F)\)♦♦♦

1) \(F_1=\{P\in\mathbb R_3[X]\,:\,P(1)=0\}\)

\((X-1)\mid P\), \(P=(X-1)(aX^2+bX+c)\).

\(\operatorname{Vect}(X^2(X-1),\,X(X-1),\,X-1)\), \(\dim3\)

2) \(F_2=\{P'\,:\,P\in\mathbb R_n[X]\}\)

Dérivées \(=\mathbb R_{n-1}[X]\).

\(\operatorname{Vect}(1,X,\dots,X^{n-1})\), \(\dim n\)

3) \(F_3=\{a(x^3-1)+b(x^2-2)+c(x+4)\}\)

Trois générateurs de degrés distincts, libres.

\(\operatorname{Vect}(x^3-1,\,x^2-2,\,x+4)\), \(\dim3\)

4) \(F_4=\{P\in\mathbb R_4[X]\,:\,P(1)=P(2)=0\}\)

\((X-1)(X-2)\mid P\).

\(\operatorname{Vect}\big((X-1)(X-2)X^2,\,(X-1)(X-2)X,\,(X-1)(X-2)\big)\), \(\dim3\)

5) \(F_5=\{P\in\mathbb R_2[X]\,:\,\int_0^1P=0\}\)

\(\tfrac a3+\tfrac b2+c=0\Rightarrow c=-\tfrac a3-\tfrac b2\).

\(\operatorname{Vect}(X^2-\tfrac13,\,X-\tfrac12)\), \(\dim2\)

6) \(F_6=\{P\in\mathbb R_2[X]\,:\,P'=0\}\)

\(P\) constant.

\(\operatorname{Vect}(1)\), \(\dim1\)

7) \(F_7=\{P\in\mathbb R_3[X]\,:\,P''=0\}\)

\(P\) affine.

\(\operatorname{Vect}(1,X)\), \(\dim2\)

Exercice 6 — Somme directe♦♦◊
\(F=\{x-y-z=0\}\), \(G=\{y=z=0\}\). Montrer \(F\oplus G=\mathbb R^3\).

\(\dim F=2\) (\(F=\operatorname{Vect}((1,1,0),(1,0,1))\)), \(\dim G=1\) (\(G=\operatorname{Vect}(1,0,0)\)). \(F\cap G\) : \(y=z=0\) et \(x=y+z=0\Rightarrow\{0\}\).

Décomposition (analyse-synthèse) : \((x,y,z)=\underbrace{(y+z,y,z)}_{\in F}+\underbrace{(x-y-z,0,0)}_{\in G}\), unique.

\(F\cap G=\{0\}\) et \(\dim F+\dim G=3=\dim\mathbb R^3\) : \(F\oplus G=\mathbb R^3\). ∎
Exercice 7 — Libre ou liée dans \(\mathbb R^3\) ?♦♦◊

1) \((1,1,0),(4,1,4),(2,-1,4)\)

\(\det=0\) ; relation \(2v_1-v_2+v_3=0\).

Liée

2) \((1,0,1),(0,2,2),(3,7,1)\)

\(\det=-18\neq0\).

Libre

3) \((1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)\)

\(v_1+v_2-v_3=0\).

Liée

Exercice 8 — Bases de \(\mathbb R^3\) ?♦♦◊

\(S_1=\{(1,-1,0),(2,-1,2)\}\)

Seulement 2 vecteurs.

Non (pas génératrice)

\(S_2=\{(1,-1,0),(2,-1,2),(1,0,a)\}\)

\(\det=a-2\).

Base \(\iff a\neq2\)

\(S_3=\{(1,1,3),(3,4,5),(-2,5,7),(8,-1,9)\}\)

\(4>3\) vecteurs.

Non (toujours liée)

\(S_4=\{(1,2,1),(2,9,0),(3,3,4)\}\)

\(\det=-1\neq0\).

Base

Exercice 9 — Base ? sinon sev engendré♦♦♦

1) \((1,1,1),(3,0,-1),(-1,1,-1)\)

\(\det=8\neq0\).

Base

2) \((1,2,3),(3,0,-1),(1,8,13)\)

\(\det=0\), \(v_3=4v_1-v_2\).

Rang 2 : \(\operatorname{Vect}(v_1,v_2)\) (un plan)

3) \((1,2,-3),(1,0,-1),(1,10,-11)\)

\(\det=0\), \(v_3=5v_1-4v_2\).

Rang 2 : \(\operatorname{Vect}(v_1,v_2)\) (un plan)

Exercice 10 — Dimension d'un espace de solutions♦♦◊
Solution générale \(x_1=-s-t,\ x_2=s,\ x_3=-t,\ x_4=0,\ x_5=t\).

\((x_1,\dots,x_5)=s(-1,1,0,0,0)+t(-1,0,-1,0,1)\). Ces deux vecteurs sont indépendants (composantes \(x_2\) et \(x_5\)).

Dimension \(2\), base \(\{(-1,1,0,0,0),\,(-1,0,-1,0,1)\}\).
Exercice 11 — \(F\), \(G\) et supplémentarité♦♦♦
\(F=\{x-2y+z=0\}\), \(G=\{2x-y+2z=0\}\).

1) Bases & dimensions

\(F\) : \(x=2y-z\Rightarrow\operatorname{Vect}((2,1,0),(-1,0,1))\), \(\dim F=2\). \(G\) : \(y=2x+2z\Rightarrow\operatorname{Vect}((1,2,0),(0,2,1))\), \(\dim G=2\).

2) \(F\cap G\)

\(x-2y+z=0\) et \(2x-y+2z=0\Rightarrow y=0,\ x=-z\).

\(F\cap G=\operatorname{Vect}(-1,0,1)\), \(\dim1\)

3) Famille réunie

\(\dim(F+G)=2+2-1=3\) : la réunion des 4 vecteurs engendre \(\mathbb R^3\). Mais \(4>3\) : elle n'est pas libre.

4) Supplémentaires ?

Le critère correct est \(F\cap G=\{0\}\) et \(F+G=\mathbb R^3\) (le « rappel » de l'énoncé est erroné). Ici \(F\cap G\neq\{0\}\).

Non supplémentaires (\(F\cap G\) est une droite).
Exercice 12 — Rang d'une famille♦♦◊
\(v_1=(1,0,1,0)\), \(v_2=(0,1,1,1)\), \(v_3=(-1,1,0,1)\) dans \(\mathbb R^4\).

\(v_1-v_2+v_3=(0,0,0,0)\), donc \(v_3=v_2-v_1\) ; \(v_1,v_2\) indépendants.

\(\operatorname{rg}(v_1,v_2,v_3)=2\).
Exercice 13 — Base selon \(t\)♦♦◊
\(v_1=(1,0,t)\), \(v_2=(1,1,t)\), \(v_3=(t,0,1)\).

\(\det\begin{pmatrix}1&1&t\\0&1&0\\t&t&1\end{pmatrix}=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&t\\t&1\end{pmatrix}=1-t^2\) (développement selon la 2ᵉ ligne).

Base de \(\mathbb R^3\iff 1-t^2\neq0\iff t\neq\pm1\).

Module M02 (S2). Sources : Espaces Vectoriels - V2026, Esp-Vect-de-Dimension Finie-V2026 et TD Espaces Vectoriels V2026. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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