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Maths · M02 — Équations différentielles

Équations différentielles

1er ordre : équation homogène, solution particulière (identification, superposition), variation de la constante, problèmes de Cauchy, équations à variables séparables. 2ème ordre à coefficients constants : équation caractéristique, second membre, résonance, changements de variable (Euler-Cauchy).

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Équations différentielles
Solution homogène (1er ordre)\(y'+a(x)y=0\Rightarrow y=Ce^{-A(x)}\), \(A\) primitive de \(a\)
Solution générale (1er ordre)\(y=y_h+y_p\) ; \(y_p\) par identification ou variation de la constante : \(y=C(x)e^{-A(x)}\), \(C'(x)e^{-A(x)}=b(x)\)
Superpositionsi \(b=b_1+b_2\), sommer les solutions particulières associées
Variables séparables\(y'=f(x)g(y)\Rightarrow\displaystyle\int\tfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx\)
Équation caractéristique (2nd ordre)\(ar^2+br+c=0\) : \(\Delta>0\) : \(y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\) ; \(\Delta=0\) : \(y_h=(A+Bx)e^{rx}\) ; \(\Delta<0\) : \(y_h=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
Second membre \(P(x)e^{\lambda x}\)chercher \(y_p=Q(x)e^{\lambda x}\), \(\deg Q=\deg P\), sauf résonance (\(\lambda\) racine) : multiplier par \(x\) ou \(x^2\)
Second membre sinusoïdalessayer \(a\cos\omega x+b\sin\omega x\), ou passer par les complexes \(e^{i\omega x}\)
Équation d'Euler–Cauchy\(x^2y''+\alpha xy'+\beta y=0\) : poser \(t=\ln x\), \(z(t)=y(e^t)\) → coefficients constants en \(z\)

1. Résumé de cours détaillé

1.1 Équations du 1er ordre \(y'+a(x)y=b(x)\)

Solution homogène \(y'+a(x)y=0\Rightarrow y=Ce^{-A(x)}\) où \(A\) est une primitive de \(a\).
Solution générale \(y=y_h+y_p\). Trouver \(y_p\) par identification (forme du second membre) ou variation de la constante : poser \(y=C(x)e^{-A(x)}\), alors \(C'(x)e^{-A(x)}=b(x)\). Superposition : si \(b=b_1+b_2\), sommer les particulières.
Variables séparables \(y'=f(x)g(y)\Rightarrow\int\tfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx\). Problème de Cauchy : la condition initiale fixe la constante.

1.2 Équations du 2ème ordre \(ay''+by'+cy=d(x)\) (coeff. constants)

Équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) \(\Delta>0\) (racines \(r_1,r_2\)) : \(y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\). \(\Delta=0\) (racine double \(r\)) : \(y_h=(A+Bx)e^{rx}\). \(\Delta<0\) (\(r=\alpha\pm i\beta\)) : \(y_h=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\).
Second membre & résonance Pour \(P(x)e^{\lambda x}\) : chercher \(y_p=Q(x)e^{\lambda x}\), \(\deg Q=\deg P\), sauf si \(\lambda\) est racine de l'équation caractéristique — multiplier alors par \(x\) (racine simple) ou \(x^2\) (racine double). \(\cos/\sin(\omega x)\) : essayer \(a\cos\omega x+b\sin\omega x\) (ou passer par les complexes \(e^{i\omega x}\)).
Euler-Cauchy \(x^2y''+\alpha xy'+\beta y=0\) : poser \(t=\ln x\) (\(z(t)=y(e^t)\)), \(xy'=\dot z\), \(x^2y''=\ddot z-\dot z\) → équation à coefficients constants en \(z\).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — 1er ordre avec Cauchy♦♦◊
\(y'+y=e^x\), \(y(0)=0\).

\(y_h=Ce^{-x}\) ; \(y_p=\tfrac12e^x\) (identification). \(y=Ce^{-x}+\tfrac12e^x\), \(y(0)=C+\tfrac12=0\).

\(y=\tfrac12(e^x-e^{-x})=\operatorname{sh}x\)
Exercice B — 2ème ordre avec résonance♦♦♦
\(y''-2y'+y=e^x\).

Char \((r-1)^2\), racine double \(1\). \(e^x\) résonne doublement : \(y_p=ax^2e^x\), \((D-1)^2(ax^2e^x)=2ae^x=e^x\Rightarrow a=\tfrac12\).

\(y=(A+Bx)e^x+\tfrac12x^2e^x\)
Exercice C — Oscillateur amorti♦♦◊
\(y''+2y'+5y=0\).

Char \(r^2+2r+5=0\), \(\Delta=-16\), \(r=-1\pm2i\).

\(y=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)\)

3. Correction intégrale des TD

TD1 (1er ordre, 9 exercices) et TD2 (2ème ordre, 9 exercices), résolus intégralement. Constante \(+C\) sous-entendue.

TD1 — Équations du 1er ordre

Exercice 1 — Équations homogènes♦♦◊

(1) \(y'+3y=0\)

\(y=Ce^{-3t}\)

(2) \(y'+\sin(3t)y=0\)

\(y=Ce^{\cos(3t)/3}\)

(3) \(y'+\tfrac{e^t}{e^t+1}y=0\)

\(y=\tfrac{C}{e^t+1}\)

(4) \(y'+\tfrac1{1+x^2}y=0\)

\(y=Ce^{-\arctan x}\)

(5) \(y'+\cos(x)y=0\)

\(y=Ce^{-\sin x}\)

(6) \(y'+\tfrac{x}{1+x^2}y=0\)

\(y=\tfrac{C}{\sqrt{1+x^2}}\)

(7) \(y'-\tfrac2xy=0\) sur \(\mathbb R_+^*\)

\(y=Cx^2\)

Exercice 2 — Solution particulière de \(y'-2y=g\)♦♦◊

(1) \(g=3\)

\(y_p=-\tfrac32\)

(2) \(g=t^2\)

\(y_p=-\tfrac12t^2-\tfrac12t-\tfrac14\)

(3) \(g=e^{4t}\)

\(y_p=\tfrac12e^{4t}\)

(4) \(g=3e^{2t}\) (résonance)

\(y_p=3te^{2t}\)

(5) \(g=\sin2t\)

\(y_p=-\tfrac14\cos2t-\tfrac14\sin2t\)

(6) \(g=4\sin2t-2t^2\)

\(y_p=-\cos2t-\sin2t+t^2+t+\tfrac12\)

Exercice 3 — Identification & superposition♦♦♦

(1) \(y'+y=\sin x+\sin2x\)

\(y=Ce^{-x}-\tfrac12\cos x+\tfrac12\sin x-\tfrac25\cos2x+\tfrac15\sin2x\)

(2) \(y'+y=(x^2-2x+2)e^{2x}\)

\(y=Ce^{-x}+\big(\tfrac{x^2}3-\tfrac{8x}9+\tfrac{26}{27}\big)e^{2x}\)

(3) \(y'-3y=x^2e^x+xe^{3x}\) (résonance sur \(e^{3x}\))

\(y=Ce^{3x}+\big(-\tfrac12x^2-\tfrac12x-\tfrac14\big)e^x+\tfrac12x^2e^{3x}\)

Exercice 4 — Variation de la constante♦♦♦

(1) \(y'-2xy=e^{x+x^2}\)

\(y_h=Ce^{x^2}\), \(C'=e^x\).

\(y=e^{x+x^2}+Ce^{x^2}\)

(2) \(y'+\tfrac1xy=e^x\) sur \(\mathbb R_+^*\)

\(y_h=\tfrac Cx\), \(C'=xe^x\).

\(y=\tfrac{(x-1)e^x+C}x\)

(3) \(y'+\tfrac1xy=\tfrac x{x-1}\) sur \(]1,\infty[\)

\(C'=\tfrac{x^2}{x-1}=x+1+\tfrac1{x-1}\).

\(y=\tfrac1x\big(\tfrac{x^2}2+x+\ln(x-1)+C\big)\)

(4) \(y'-(2x-\tfrac1x)y=1\) sur \(]0,\infty[\)

\(y_h=\tfrac{e^{x^2}}x\), \(C'=xe^{-x^2}\).

\(y=\tfrac{Ce^{x^2}}x-\tfrac1{2x}\)

(5) \(y'-y=x^ke^x\)

\(C'=x^k\).

\(y=\big(\tfrac{x^{k+1}}{k+1}+C\big)e^x\)

(6) \(y'+y\tan x=\cos^2x\)

\(y_h=C\cos x\), \(C'=\cos x\).

\(y=\tfrac12\sin2x+C\cos x\)

Exercice 5 — Problèmes de Cauchy♦♦♦

(1) \(y'+2y=-4,\ y(1)=-3\)

\(y=-e^{2-2t}-2\)

(2) \(2y'-3y=9,\ y(-1)=1\)

\(y=4e^{3(t+1)/2}-3\)

(3) \(y'=-\tfrac12y+e^t,\ y(0)=1\)

\(y=\tfrac13e^{-t/2}+\tfrac23e^t\)

(4) \(y'-\tfrac14y=1-t,\ y(0)=0\)

\(y=-12e^{t/4}+4t+12\)

(5) \(y'+2y=e^{-2t},\ y(0)=-1\) (résonance)

\(y=(t-1)e^{-2t}\)

(6) \(\tfrac13y'+y=t^2+2-e^{3t},\ y(0)=0\)

\(y=-\tfrac{31}{18}e^{-3t}+t^2-\tfrac23t+\tfrac{20}9-\tfrac12e^{3t}\)

(7) \(x^2y'+xy=1,\ y(1)=2\) (\(x>0\))

\(y=\tfrac{\ln x+2}x\)

(8) \(y'-2xy=(1-2x)e^x,\ y(1)=0\)

\(y=e^x-e^{x^2}\)

Exercice 6 — Équation d'une famille♦♦◊
Solutions \(x\mapsto\dfrac{C+x}{1+x^2}\).

\((1+x^2)y=C+x\), on dérive : \((1+x^2)y'+2xy=1\).

\((1+x^2)y'+2xy=1\)
Exercice 7 — Variables séparables♦♦◊

(1) \(y'=\tfrac{t}{1+t^2}y\)

\(\tfrac{y'}y=\tfrac t{1+t^2}\), \(\ln|y|=\tfrac12\ln(1+t^2)+K\).

\(y=C\sqrt{1+t^2}\)

(2) \(y'=\tfrac{2t}{1+y^2},\ y(0)=0\)

\((1+y^2)y'=2t\), \(y+\tfrac{y^3}3=t^2\).

\(y^3+3y=3t^2\) (implicite)

Exercice 8 — Raccordement en 0 (\(|t|y'+y=\tfrac1{1+t}\))♦♦♦

1) Sur \(I_1=]0,\infty[\)

\(ty'+y=(ty)'=\tfrac1{1+t}\).

\(y=\tfrac{\ln(1+t)+C_1}{t}\)

2) Sur \(I_2=]-1,0[\)

(a) \(y'-\tfrac1ty=-\tfrac1{t(1+t)}\) ; (b) \(y_h=Ct\) ; (c) \(\tfrac1{t^2(1+t)}=-\tfrac1t+\tfrac1{t^2}+\tfrac1{1+t}\) ; (d-e) variation de la constante :

\(y=C_2t+t\ln\big|\tfrac t{1+t}\big|+1\)

3) Sur \(I=]-1,\infty[\)

(a) \(f(0)=1\). (c) La continuité impose \(C_1=0\) (sinon \(y\to\pm\infty\) en \(0^+\)) ; \(C_2\) reste libre. (d) \(\lim_{t\to0^-}\tfrac{f(t)-f(0)}t=C_2+\ln\big|\tfrac t{1+t}\big|\to-\infty\).

Dérivée à droite \(=-\tfrac12\), à gauche \(=-\infty\) : \(f\) est continue en \(0\) mais non dérivable. (E) n'a donc pas de solution dérivable sur tout \(I\) — seulement des solutions sur \(I_1\) et \(I_2\) séparément.
Exercice 9 — Loi de refroidissement de Newton♦♦◊
\(\theta'=\lambda(\theta_a-\theta)\).

1) Solutions

\(\theta(t)=\theta_a+Ce^{-\lambda t}\)

2) \(\theta_a=31\), \(\theta(0)=10\), \(\theta(10)=17\), temps pour \(25°\)

\(\theta=31-21e^{-\lambda t}\), \(e^{-10\lambda}=\tfrac23\Rightarrow\lambda=\tfrac1{10}\ln\tfrac32\). Pour \(25°\) : \(e^{-\lambda t}=\tfrac27\).

\(t=\dfrac{10\ln(7/2)}{\ln(3/2)}\approx30{,}9\) min

TD2 — Équations du 2ème ordre

Exercice 1 — Équations homogènes♦♦◊

(1) \(y''+4y'-5y=0\)

\((r+5)(r-1)\).

\(y=Ae^{-5x}+Be^x\)

(2) \(y''-2y'+y=0\)

\((r-1)^2\).

\(y=(A+Bx)e^x\)

(3) \(y''+2y'+2y=0\)

\(r=-1\pm i\).

\(y=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)\)

(4) \(y'=2y''\)

\(2r^2-r=0\).

\(y=A+Be^{x/2}\)

(5) \(y+2y''=0\)

\(r=\pm\tfrac i{\sqrt2}\).

\(y=A\cos\tfrac x{\sqrt2}+B\sin\tfrac x{\sqrt2}\)

(6) \(y-2y''=0\)

\(r=\pm\tfrac1{\sqrt2}\).

\(y=Ae^{x/\sqrt2}+Be^{-x/\sqrt2}\)

Exercice 2 — Équation d'une famille♦♦◊
\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}\).

Racines \(2,-1\), \((r-2)(r+1)=r^2-r-2\).

\(y''-y'-2y=0\)
Exercice 3 — Second membre♦♦♦

(1) \(y''+4y'+4y=e^{-x}\)

\(y=(A+Bx)e^{-2x}+e^{-x}\)

(2) \(y''-4y'+4y=\sin x\)

\(y=(A+Bx)e^{2x}+\tfrac4{25}\cos x+\tfrac3{25}\sin x\)

(3) \(y''-2y'+y=2e^x\) (résonance double)

\(y=(A+Bx)e^x+x^2e^x\)

(4) \(y''+3y'+2y=e^x\)

\(y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+\tfrac16e^x\)

(5) \(y''+3y'+2y=e^{-x}\) (résonance)

\(y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+xe^{-x}\)

(6) \(y''+2y'+y=2e^{-x}\) (résonance double)

\(y=(A+Bx)e^{-x}+x^2e^{-x}\)

(7) \(y''+y'-2y=8\sin2x\)

\(y=Ae^{-2x}+Be^x-\tfrac25\cos2x-\tfrac65\sin2x\)

Exercice 4 — Second membre polynomial♦♦♦

(1) \(y''-2y'+5y=2\)

\(y=e^x(A\cos2x+B\sin2x)+\tfrac25\)

(2) \(y''-5y'+6y=x^2+1\)

\(y=Ae^{2x}+Be^{3x}+\tfrac{x^2}6+\tfrac{5x}{18}+\tfrac{37}{108}\)

(3) \(y''+y'-6y=1-8x-30x^2\)

\(y=Ae^{-3x}+Be^{2x}+5x^2+3x+2\)

(4) \(y''+y'=3+2x\) (0 racine)

\(y=A+Be^{-x}+x^2+x\)

(5) \(y''+4y=4+2x-8x^2-4x^3\)

\(y=A\cos2x+B\sin2x-x^3-2x^2+2x+2\)

Exercice 5 — Cauchy (2ème ordre)♦♦♦

(1) \(y''-2y'+y=x,\ y(0)=y'(0)=0\)

\(y=(x-2)e^x+x+2\)

(2) \(y''-3y'+2y=2,\ y(0)=3,y'(0)=2\)

\(y=2e^x+1\)

(3) \(y''-3y'+2y=xe^x,\ y(1)=y'(1)=0\)

\(y=2e^{2x-1}-\tfrac12(x+1)^2e^x\)

(4) \(y''-2y'+2y=e^x\sin x,\ y(\tfrac\pi2)=y'(\tfrac\pi2)=0\) (résonance)

\(y=\tfrac{\pi-2x}4e^x\cos x\)

Exercice 6 — Divers seconds membres♦♦♦

(1) \(y''-y=e^{2x}-e^x\) (résonance sur \(e^x\))

\(y=Ae^x+Be^{-x}+\tfrac13e^{2x}-\tfrac12xe^x\)

(2) \(y''+y'+y=\cos x\)

\(y=e^{-x/2}(A\cos\tfrac{\sqrt3x}2+B\sin\tfrac{\sqrt3x}2)+\sin x\)

(3) \(y''-2y'+y=\sin^2x\)

\(y=(A+Bx)e^x+\tfrac12+\tfrac3{50}\cos2x+\tfrac2{25}\sin2x\)

(4) \(y''+y'+y=e^x\cos x\)

\(y=e^{-x/2}(A\cos\tfrac{\sqrt3x}2+B\sin\tfrac{\sqrt3x}2)+\tfrac{e^x}{13}(2\cos x+3\sin x)\)

(5) \(y''-4y'+3y=(2x+1)e^{-x}\)

\(y=Ae^x+Be^{3x}+\big(\tfrac x4+\tfrac5{16}\big)e^{-x}\)

(6) \(y''-4y'+3y=(2x+1)e^x\) (résonance)

\(y=Ae^x+Be^{3x}-\big(\tfrac12x^2+x\big)e^x\)

(7) \(y''-2y'+y=(x^2+1)e^x+e^{3x}\) (résonance double)

\(y=(A+Bx)e^x+\big(\tfrac{x^4}{12}+\tfrac{x^2}2\big)e^x+\tfrac14e^{3x}\)

(8) \(y''-4y'+4y=\tfrac12\cosh2x\)

\(y=(A+Bx)e^{2x}+\tfrac{x^2}8e^{2x}+\tfrac1{64}e^{-2x}\)

Exercice 7 — Équation d'Euler-Cauchy♦♦♦
\(x^2y''-3xy'+4y=0\) sur \(\mathbb R_+^*\).

1-3) Nature & changement \(z(t)=y(e^t)\)

Linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants (Euler). \(\dot z=xy'\), \(\ddot z=x^2y''+xy'\), d'où \(x^2y''=\ddot z-\dot z\). L'équation devient \(\ddot z-4\dot z+4z=0\).

4-5) Résolution

Char \((r-2)^2\), \(z=(A+Bt)e^{2t}\), donc \(y=z(\ln x)\).

\(y=(A+B\ln x)\,x^2\)
Exercice 8 — Changements de variable♦♦♦

(1) \(y''-y'-e^{2x}y=e^{3x}\), \(t=e^x\)

Devient \(\ddot y-y=t\).

\(y=Ae^{e^x}+Be^{-e^x}-e^x\)

(2) \(x^2y''+3xy'+y=\tfrac1{x^2}\), \(t=\ln x\)

Devient \(\ddot y+2\dot y+y=e^{-2t}\).

\(y=\tfrac{A+B\ln x}x+\tfrac1{x^2}\)

(3) \(y''+\tan x\,y'-y\cos^2x=0\), \(t=\sin x\)

Devient \(\ddot y-y=0\).

\(y=Ae^{\sin x}+Be^{-\sin x}\)

(4) \(4xy''+2y'-y=0\), \(t=\sqrt x\)

Devient \(\ddot y-y=0\).

\(y=Ae^{\sqrt x}+Be^{-\sqrt x}\)

(5) \(y''-4y'+4y=\tfrac{e^{2x}}{x^2}\), \(y=e^{2x}z\), \(y(1)=1,y'(1)=0\)

Devient \(z''=\tfrac1{x^2}\), \(z=-\ln x+C_1x+C_2\).

\(y=e^{2x}\big(-\ln x+(1-2e^{-2})x+3e^{-2}-1\big)\)

Exercice 9 — Masse-ressort amorti♦♦♦
\(2x''+2x'+5x=0\), \(x(0)=2\), \(x'(0)=3\sqrt3-1\).

1) Solutions

Char \(2r^2+2r+5=0\), \(r=-\tfrac12\pm\tfrac32i\).

\(x=e^{-t/2}(A\cos\tfrac{3t}2+B\sin\tfrac{3t}2)\)

2) Conditions initiales

\(A=2\), \(-\tfrac12A+\tfrac32B=3\sqrt3-1\Rightarrow B=2\sqrt3\).

\(x=e^{-t/2}\big(2\cos\tfrac{3t}2+2\sqrt3\sin\tfrac{3t}2\big)\)

3) Limite

\(x(t)\to0\) (amortissement)

4) Premier \(t_0>0\) avec \(x(t_0)=0\)

\(\tan\tfrac{3t}2=-\tfrac1{\sqrt3}\Rightarrow\tfrac{3t}2=\tfrac{5\pi}6\).

\(t_0=\dfrac{5\pi}9\)

Module M02 (S2). Sources : Equations Differentielles-V2026, TD1 (1er ordre) et TD2 (2ème ordre). Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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