Dérivabilité de fonctions réelles

\(f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\). Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f'\) est celui de \(1-x\) :

\(f'>0\) sur \(]-\infty,1[\) (croissante), \(f'<0\) sur \(]1,+\infty[\) (décroissante) : maximum en \(x=1\), \(f(1)=e^{-1}\).

En \(0\) : \(f(0)=0\), \(f'(0)=(1-0)e^0=1\).

Posons \(g(x)=e^x-1-x\), dérivable, \(g'(x)=e^x-1\). Ainsi \(g'(x)<0\) pour \(x<0\), \(g'(x)>0\) pour \(x>0\) : \(g\) admet un minimum global en \(0\), de valeur \(g(0)=e^0-1-0=0\).

La fonction \(\ln\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\) avec \((\ln)''(x)=-\dfrac1{x^2}<0\) : \(\ln\) est concave. Par définition de la concavité (avec \(t=\tfrac12\)) :

\[ \ln\!\Big(\frac{a+b}2\Big)\geqslant\frac12\ln a+\frac12\ln b=\ln\sqrt{ab}. \]

La fonction \(\ln\) étant strictement croissante, on peut « ôter le \(\ln\) » :

(a) \(\dfrac{e^{3x+2}-e^2}{x}\), \(f(x)=e^{3x+2}\), \(f(0)=e^2\)

\(f'(x)=3e^{3x+2}\).

\(f'(0)=3e^2\)

(b) \(\dfrac{\cos x-1}{x}\), \(f=\cos\), \(f(0)=1\)

\(f'(0)=-\sin0\).

\(0\)

(c) \(\dfrac{\ln(2-x)}{x-1}\), \(f(x)=\ln(2-x)\), \(f(1)=0\)

\(f'(x)=\dfrac{-1}{2-x}\), \(f'(1)=-1\).

\(-1\)

(d) \(\dfrac{e^{\cos x}-1}{x-\pi/2}\), \(f(x)=e^{\cos x}\), \(f(\pi/2)=1\)

\(f'(x)=-\sin x\,e^{\cos x}\), \(f'(\pi/2)=-1\).

\(-1\)

(a) \(\dfrac{f(a+x)-f(a-x)}{2x}\)

\(=\dfrac12\Big[\dfrac{f(a+x)-f(a)}{x}+\dfrac{f(a)-f(a-x)}{x}\Big]\to\dfrac12(f'(a)+f'(a))\).

\(f'(a)\)

(b) \(\dfrac{f(x)g(a)-f(a)g(x)}{x-a}\)

On insère \(\pm f(a)g(a)\) : \(=g(a)\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a)\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}\).

\(g(a)f'(a)-f(a)g'(a)\)

(c) \(\dfrac{f(a+h^2)-f(a+h)}{h}\)

\(=\dfrac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}\cdot h-\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)\cdot0-f'(a)\).

\(-f'(a)\)

(a) \(\dfrac{\cos x-1}{x}\to\dfrac{-\sin x}1\)

\(0\)

(b) \(\dfrac{e^x-1}{2x}\to\dfrac{e^x}2\)

\(\tfrac12\)

(c) \(\dfrac{\ln(1+x)\ln(1-x)}{e^x-1}\)

Numérateur \(\sim(x)(-x)=-x^2\), dénom \(\sim x\).

\(0\)

(d) \(\dfrac{x\sin(2x)}{1-\cos x}\)

Numérateur \(\sim2x^2\), dénom \(\sim\tfrac{x^2}2\).

\(4\)

(e) \(x^{1/x}\) en \(0^+\)

\(=e^{(\ln x)/x}\), et \(\dfrac{\ln x}{x}\to-\infty\).

\(0\)

(f) \(\big(1+\tfrac1{2x}\big)^{3x}\) en \(+\infty\)

\(=e^{3x\ln(1+1/(2x))}\), \(3x\cdot\tfrac1{2x}\to\tfrac32\).

\(e^{3/2}\)

(a) \(C^0\)

Continuité en \(0\) : \(\lim_{0^-}e^x=1=f(0)=c\).

\(c=1\) (\(a,b\) libres).

(b) \(C^1\)

Il faut \(c=1\) et raccord des dérivées : \(f'_g(0)=1\), \(f'_d(0)=b\), d'où \(b=1\).

\(c=1,\ b=1\) (\(a\) libre).

(c) \(C^2\)

Raccord de \(f''\) : \(f''_g(0)=1\) (limite de \(e^x\)), \(f''_d(0)=2a\), d'où \(a=\tfrac12\).

\(c=1,\ b=1,\ a=\tfrac12\).

(d) \(C^3\)

Raccord de \(f'''\) : à gauche \(e^x\to1\), à droite \((2a)'=0\). Il faudrait \(1=0\).

Impossible (aucun \(a,b,c\) : \(e^x\) n'est jamais polynomiale).

(a) \(C^\infty(\mathbb R^*)\)

Affine par morceaux : sur \(x<0\), \(f'=\alpha\), \(f^{(k)}=0\) (\(k\geqslant2\)) ; sur \(x>0\), \(f'=\gamma\), \(f^{(k)}=0\) (\(k\geqslant2\)).

(b) Limites de \(f'\)

\(\lim_{0^-}f'=\alpha\) ; \(\lim_{0^+}f'=\gamma\)

(c) Conditions

• (i) \(C^0(\mathbb R)\) : \(0=\beta=\delta\), donc \(\boxed{\beta=0,\ \delta=0}\).
• (ii) \(f'_g(0)\) : \(\dfrac{\alpha x-\beta}x=\alpha-\tfrac\beta x\) fini \(\iff\beta=0\), et alors \(f'_g(0)=\alpha\).
• (iii) \(f'_d(0)\) : \(\dfrac{\gamma x+\delta-\beta}x\) fini \(\iff\delta=\beta\), et alors \(f'_d(0)=\gamma\).
• (iv) \(f\) dérivable sur \(\mathbb R\) \(\iff\beta=\delta=0\) et \(\alpha=\gamma\) (raccord des dérivées) — c.-à-d. \(f(x)=\alpha x\).

(a) Continue ?

En \(0\) : gauche \(\to0\), \(f(0)=e^0-1=0\), droite \(\to0\).

Continue sur \(\mathbb R\).

(b) Dérivable ?

\(f'_g(0)=1\), \(f'_d(0)=\lim\tfrac{e^x-1}x=1\) : dérivable, \(f'(0)=1\). \(f'(x)=1\) (\(x<0\)), \(e^x\) (\(x\geqslant0\)), continue en \(0\).

Dérivable, de classe \(C^1\).

(c) Deux fois dérivable ?

\(f''_g(0)=0\) (\(f'=1\) constante à gauche), \(f''_d(0)=\lim\tfrac{e^x-1}x=1\). \(0\neq1\).

Non deux fois dérivable en \(0\).

(a) Continue ?

\(|x^2\sin(1/x)|\leqslant x^2\to0=f(0)\).

Continue sur \(\mathbb R\).

(b) Dérivable ?

\(f'(0)=\lim x\sin(1/x)=0\). Pour \(x\neq0\) : \(f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\). Or \(\lim_{x\to0}f'(x)\) n'existe pas (\(\cos(1/x)\) oscille).

Dérivable sur \(\mathbb R\), mais \(f'\) discontinue en \(0\) (pas \(C^1\)).

(c) Deux fois dérivable ?

\(f''(0)=\lim\tfrac{f'(x)-0}x\) fait intervenir \(\tfrac{\cos(1/x)}x\), sans limite.

Non deux fois dérivable.

(a) \(|\cos x-\cos y|\leqslant|x-y|\)

\(f=\cos\), \(f'=-\sin\), \(|f'|=|\sin|\leqslant1\). Par l'IAF, \(\cos\) est \(1\)-lipschitzienne.

(b) \(\big|\ln\tfrac{x+2}{y+2}\big|\leqslant|x-y|\) sur \([-1,1]\)

Posons \(g(t)=\ln(t+2)\) sur \([-1,1]\) : \(g'(t)=\dfrac1{t+2}\), et \(t+2\in[1,3]\) donne \(|g'(t)|\leqslant1\). Par l'IAF, \(|g(x)-g(y)|=\big|\ln\tfrac{x+2}{y+2}\big|\leqslant|x-y|\). ∎

(a) \([1,e]\) stable

\(f'(x)=\dfrac{2\ln x}{(\ln x+1)^2}\geqslant0\) sur \([1,e]\) : \(f\) croissante, donc \(f([1,e])=[f(1),f(e)]=[2,e]\subseteq[1,e]\).

(b) Point fixe unique

\(f(x)=x\iff2x=x(\ln x+1)\iff\ln x=1\iff x=e\).

Unique point fixe : \(e\).

(c) \(k\)-lipschitzienne

Avec \(t=\ln x\in[0,1]\), \(f'=\dfrac{2t}{(t+1)^2}\) croît de \(0\) à \(\tfrac12\). Donc \(|f'|\leqslant\tfrac12\).

\(k=\tfrac12\)

(d) Majoration

\(|u_n-e|\leqslant k^n|u_0-e|=\Big(\tfrac12\Big)^n(e-1)\).

\(|u_n-e|\leqslant\dfrac{e-1}{2^n}\)

(e) Rang pour \(10^{-3}\)

\(\dfrac{e-1}{2^n}\leqslant10^{-3}\iff2^n\geqslant10^3(e-1)\approx1718\). Or \(2^{10}=1024<1718<2048=2^{11}\).

\(n=11\)

(a) \(f_1=(x^2+1)e^{3x}\)

\(u=x^2+1\) (\(u,u',u''\) puis \(0\)), \(v^{(m)}=3^m e^{3x}\). Seuls \(k=0,1,2\) :

\[ f_1^{(n)}=e^{3x}\Big[3^n(x^2+1)+n\cdot2x\cdot3^{n-1}+\tfrac{n(n-1)}2\cdot2\cdot3^{n-2}\Big]. \]

\(f_1^{(n)}=3^{n-2}e^{3x}\big[9x^2+6nx+n^2-n+9\big]\)

(b) \(f_2=(x^3+x^2+1)e^{-x}\)

\(u=x^3+x^2+1\) (jusqu'à \(u'''=6\)), \(v^{(m)}=(-1)^m e^{-x}\). Seuls \(k=0,1,2,3\) :

\(f_2^{(n)}=(-1)^n e^{-x}\big[x^3+(1-3n)x^2+(3n^2-5n)x+1+n(n-1)(3-n)\big]\)

(c) \(f_3=x^2(1+x)^n\) (dérivée \(n\)-ième, même \(n\))

\(u=x^2\) (\(u,u',u''\) puis \(0\)), \(v=(1+x)^n\) avec \(v^{(n-k)}=\dfrac{n!}{(n-k)!}(1+x)^{k}\cdots\). Seuls \(k=0,1,2\) :

\[ f_3^{(n)}=\binom n0 x^2\,n!+\binom n1 2x\,\tfrac{n!}{1!}(1+x)+\binom n2 2\,\tfrac{n!}{2!}(1+x)^2. \]

\(f_3^{(n)}=n!\Big[x^2+2n\,x(1+x)+\tfrac{n(n-1)}2(1+x)^2\Big]\)