Continuité de fonctions réelles

On lève la forme \(\tfrac00\) par quantité conjuguée :

Posons \(P(x)=x^5-3x+1\), polynôme donc continu sur \([0,1]\). On calcule :

Comme \(P(0)\) et \(P(1)\) sont de signes opposés et \(P\) continue, le TVI donne un \(c\in\,]0,1[\) tel que \(P(c)=0\).

Posons \(g(x)=f(x)-x\), continue sur \([0,1]\). Comme \(f\) est à valeurs dans \([0,1]\) :

Si \(g(0)=0\) ou \(g(1)=0\), on a un point fixe. Sinon \(g(0)>0>g(1)\) : le TVI fournit \(c\in\,]0,1[\) avec \(g(c)=0\).

\(f_1\) : \(x^2\) (\(x\leqslant2\)), \(a-x^2\) (\(x>2\))

Continuité en \(2\) : \(4=a-4\).

\(a=8\)

\(f_2\) : \(\sqrt{x^2+a^2}\) (\(x<0\)), \(1+b\) (\(x=0\)), \(bx+2a\) (\(x>0\))

En \(0\) : \(|a|=1+b=2a\). \(|a|=2a\Rightarrow a\geqslant0\) et \(a=2a\Rightarrow a=0\), puis \(1+b=0\).

\(a=0,\ b=-1\)

\(f_3\) : \((x-2)^2\) (\(x<5\)), \(a\) (\(x=5\)), \((2x-b)^2\) (\(x>5\))

En \(5\) : \(9=a=(10-b)^2\Rightarrow 10-b=\pm3\).

\(a=9,\ b=7\) ou \(b=13\)

(a) \(\dfrac{x^3+8}{x+2}\) en \(-2\)

\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\), donc \(=x^2-2x+4\to12\).

Prolongeable, \(\tilde f(-2)=12\).

(b) \(\dfrac1{x-3}-\dfrac1{x^2-2x-3}\) en \(-1\)

\(=\dfrac{x}{(x-3)(x+1)}\) : dénom \(\to0\), num \(\to-1\), limites latérales \(\mp\infty\).

Non prolongeable (pas de limite finie).

(c) \(\dfrac{x}{1+e^{1/x}}\) en \(0\)

\(x\to0^+\) : \(e^{1/x}\to+\infty\), quotient \(\to0\). \(x\to0^-\) : \(e^{1/x}\to0\), quotient \(\to0\).

Prolongeable, \(\tilde f(0)=0\).

(d) \(x\cos(1/x)\) en \(0\)

\(|x\cos(1/x)|\leqslant|x|\to0\).

Prolongeable, \(\tilde f(0)=0\).

\(f_1\) : \(x^2\) (\(x\leqslant0\)), \(2x-1\) (\(x>0\))

\(f_1(0)=0\). Gauche : \(x^2\to0=f_1(0)\) ✓. Droite : \(2x-1\to-1\neq0\).

Continue à gauche, discontinue à droite (saut).

\(f_2\) : \(\dfrac{x+\sqrt{x^2}}{x}\) (\(x\neq0\)), \(1\) (\(x=0\))

\(\sqrt{x^2}=|x|\) : pour \(x>0\), \(\tfrac{x+x}x=2\) ; pour \(x<0\), \(\tfrac{x-x}x=0\). \(f_2(0)=1\).

Droite \(\to2\neq1\), gauche \(\to0\neq1\) : discontinue des deux côtés.

\(f_3\) : \(x\lfloor1/x\rfloor\) (\(x\neq0\)), \(1\) (\(x=0\))

\(\lim_{x\to0}x\lfloor1/x\rfloor=1\) (gendarmes) \(=f_3(0)\).

Continue à gauche et à droite en \(0\).

\(f_1\) : \(\dfrac{x+1}{x^2+1}\) (\(x\leqslant0\)), \(1+\ln(x+1)\) (\(x>0\))

Continue sur chaque morceau. En \(0\) : gauche \(=1\), \(f_1(0)=1\), droite \(=1+\ln1=1\).

Continue sur \(\mathbb R\).

\(f_2\) : \(\dfrac{x^2+3x}{x^2+1}\) (\(x>-1\)), \(e^{x+1}\) (\(x\leqslant-1\))

En \(-1\) : \(f_2(-1)=e^0=1\) (gauche \(\to1\)), mais droite \(\to\dfrac{1-3}{2}=-1\neq1\).

Continue sur \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) ; saut en \(-1\).

\(f_3\) : \(x^2\sin(\pi/x)\) (\(x\neq0\)), \(0\) (\(x=0\))

\(|x^2\sin(\pi/x)|\leqslant x^2\to0=f_3(0)\).

Continue sur \(\mathbb R\).

\(f_4\) : \(x^2\) si \(\lfloor x\rfloor\) impair, \(x\) si \(\lfloor x\rfloor\) pair

Discontinuités possibles aux entiers \(n\). À droite \(\lfloor x\rfloor=n\), à gauche \(\lfloor x\rfloor=n-1\). Continuité \(\iff\) \(n^2=n\) au raccord, i.e. \(n\in\{0,1\}\).

Continue sur \(\mathbb R\) sauf aux entiers \(n\in\mathbb Z\setminus\{0,1\}\) (sauts).

(a) Réciproque

Si \(x\in\mathbb Q\), \(y=x-1\in\mathbb Q\) et \(x=y+1\) ; si \(x\notin\mathbb Q\), \(y=x+1\notin\mathbb Q\) et \(x=y-1\).

\(f^{-1}(y)=\begin{cases}y+1&y\in\mathbb Q\\ y-1&y\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}\) (donc \(f^{-1}=f\), involution).

(b) Discontinue partout

Soit \(a\in\mathbb R\). Prenons \((x_n)\subset\mathbb Q\) et \((y_n)\subset\mathbb R\setminus\mathbb Q\) tendant vers \(a\). Alors \(f(x_n)=x_n-1\to a-1\) et \(f(y_n)=y_n+1\to a+1\). Deux limites différentes \(\Rightarrow\) pas de limite.

(a) \(f\) continue sur \([a,b]\) \(\Rightarrow f([a,b])\) fermé borné

Vrai : par le TVI l'image est un intervalle, et par le théorème des bornes atteintes elle vaut \([\min f,\max f]\).

(b) \(f\) continue sur \(]a,b[\) \(\Rightarrow f(]a,b[)\) ouvert borné

Faux : ex. \(x\mapsto x^2\) sur \(]-1,1[\) donne \([0,1[\) (ni ouvert), ou \(x\mapsto\tfrac1x\) sur \(]0,1[\) donne \(]1,+\infty[\) (non borné).

(c) \(f\) continue sur \(]a,b[\) \(\Rightarrow f(]a,b[)\) ouvert (pas forcément borné)

Faux : même contre-exemple \(x^2\) sur \(]-1,1[\) donne \([0,1[\), qui n'est pas ouvert.

(a) Fonction \(f\)

\(f:[0,5]\to\mathbb R\), \(f(t)\) = distance parcourue à l'instant \(t\), avec \(f(0)=0\), \(f(5)=20\). Hypothèse : \(f\) est continue (la distance varie sans saut).

(b) Fonction \(g\)

\(g(t)=f(t+1)-f(t)\) sur \([0,4]\) : distance parcourue sur l'heure débutant en \(t\). \(g\) est continue.

(c) Proposition & preuve

Objectif : \(\exists t\in[0,4],\ g(t)=4\). Or \(g(0)+g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=f(5)-f(0)=20\), de moyenne \(4\). Donc au moins un \(g(k)\leqslant4\) et un \(g(j)\geqslant4\) (sinon la somme serait \(<20\) ou \(>20\)). Par le TVI appliqué à \(g\) continue, il existe \(t\) entre eux tel que \(g(t)=4\).

(d) « Tout intervalle de 2 h = 8 km » ?

Faux : « n'importe quel » exigerait \(f(t+2)-f(t)=8\) pour tout \(t\), c.-à-d. une allure constante. Contre-exemple : parcourir \(20\) km en \(2\) h puis s'arrêter — l'intervalle \([0,2]\) donne \(20\neq8\).

Conjecture : \(f\) est constante.

\(f(I)\) est un intervalle (image d'un intervalle par une fonction continue). Or \(f(I)\) est un ensemble fini. Le seul intervalle fini (comme ensemble) est un singleton : un intervalle contenant deux points distincts en contient une infinité.

Puisque \(0\in f([0,1])\), il existe \(a\) avec \(f(a)=0\) ; puisque \(1\in f([0,1])\), il existe \(b\) avec \(f(b)=1\). Posons \(g(x)=f(x)-x\), continue. Alors :

Par le TVI (\(g\) continue prenant une valeur \(\leqslant0\) et une \(\geqslant0\)), il existe \(c\) tel que \(g(c)=0\).