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Maths · M02 — Calcul matriciel

Calcul matriciel

Ensemble \(M_{n,p}(\mathbb K)\), matrices particulières ; addition, produit par un scalaire, produit matriciel et ses pièges ; matrice identité, puissances, binôme de Newton ; inverse (définition, formule \(2\times2\), propriétés) ; matrices triangulaires et diagonales, transposée, trace, matrices symétriques.

Sommaire du chapitre
📌 Fiche mémo — Calcul matriciel
Produit \(AB\)défini ssi colonnes(\(A\))=lignes(\(B\)) ; \((n,p)\times(p,q)\to(n,q)\), \(c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\)
Non-commutativité\(AB\neq BA\) en général ; \(AB=0\) n'implique pas \(A=0\) ou \(B=0\) ; \(AB=AC\not\Rightarrow B=C\)
Binôme de Newton matricielvalable seulement si \(AB=BA\) : \((A+B)^p=\sum_k\binom pkA^{p-k}B^k\)
Identité & nilpotence\(I_n\) neutre, \(A^0=I_n\) ; \(A\) nilpotente si \(\exists k,\ A^k=0\)
Inverse \(2\times2\)\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) si \(ad-bc\neq0\)
Propriétés de l'inverse\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) ; \((A^p)^{-1}=(A^{-1})^p\) ; pas de formule pour \((A+B)^{-1}\)
Triangulaire / diagonaleinversible \(\iff\) coefficients diagonaux tous non nuls ; \(\operatorname{diag}(d_i)^p=\operatorname{diag}(d_i^p)\)
Transposée\((AB)^T=B^TA^T\) ; \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
Trace\(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) ; \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\)
Décomposition sym/antisym\(A=\underbrace{\tfrac{A+A^T}2}_{\text{sym.}}+\underbrace{\tfrac{A-A^T}2}_{\text{antisym.}}\), unique

1. Résumé de cours détaillé

\(\mathbb K\) désigne \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\) ; \(n,p,q\in\mathbb N^*\).

1.1 Ensemble des matrices

Matrice Une matrice \(A=(a_{ij})\) est un tableau de coefficients de \(\mathbb K\), de taille \(n\times p\) (\(n\) lignes, \(p\) colonnes) ; \(a_{ij}\) est à la ligne \(i\), colonne \(j\). Ensemble noté \(M_{n,p}(\mathbb K)\). Si \(n=p\) : matrice carrée, \(M_n(\mathbb K)\).
Matrices particulières Diagonale : coefficients nuls hors diagonale. Vecteur ligne (\(n=1\)), vecteur colonne (\(p=1\)). Matrice nulle \(0_{n,p}\) : neutre de l'addition.

1.2 Addition et produit par un scalaire

Opérations \(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\) (coefficient par coefficient, même taille exigée) ; \(\lambda A=(\lambda a_{ij})\). L'écriture \(A\lambda\) n'est pas définie. La somme est commutative, associative, de neutre \(0\).

1.3 Produit matriciel

Produit Pour \(A\in M_{n,p}\), \(B\in M_{p,q}\) : \(AB=(c_{ij})\in M_{n,q}\) avec \[ c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}. \] Défini ssi nombre de colonnes de \(A\) = nombre de lignes de \(B\). Règle : \((n,p)\times(p,q)\to(n,q)\). « Ligne \(L_i\) par colonne \(C_j\) ».
Trois pièges 1) Non commutatif : \(AB\neq BA\) en général. 2) \(AB=0\) n'implique pas \(A=0\) ou \(B=0\). 3) \(AB=AC\) n'implique pas \(B=C\) (sauf si \(A\) inversible).
Propriétés \((A+B)C=AC+BC\), \(A(B+C)=AB+AC\), \((\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda(AB)\), associativité \((AB)C=A(BC)\).

1.4 Identité, puissances, binôme

Identité & puissances \(I_n=(\delta_{ij})\) (symbole de Kronecker) est neutre : \(AI_p=A\), \(I_nA=A\). \(A^0=I_n\), \(A^k=\underbrace{A\times\cdots\times A}_{k}\). \(A\) est nilpotente si \(\exists k\geqslant1,\ A^k=0\).
Binôme de Newton matriciel Valable seulement si \(AB=BA\) : \((A+B)^p=\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\binom pk A^{p-k}B^k\). Sinon, déjà \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\).

1.5 Inverse d'une matrice

Inverse \(A\in M_n(\mathbb K)\) est inversible s'il existe \(B\in M_n(\mathbb K)\) avec \(AB=BA=I_n\) ; \(B=A^{-1}\) est unique. Alors \(AX=B\) admet l'unique solution \(X=A^{-1}B\).
Formule \(2\times2\) \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) inversible \(\iff ad-bc\neq0\), et alors \(A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
Propriétés \((A^{-1})^{-1}=A\) ; \((\lambda A)^{-1}=\tfrac1\lambda A^{-1}\) ; \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) ; \((A^p)^{-1}=(A^{-1})^p\). Aucune formule pour \((A+B)^{-1}\).

1.6 Triangulaires, diagonales

Triangulaire / diagonale Triangulaire supérieure : \(i>j\Rightarrow a_{ij}=0\). Diagonale : \(i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0\). Puissances faciles : \(\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)^p=\operatorname{diag}(d_1^p,\dots,d_n^p)\).
Inversibilité Une matrice triangulaire (donc diagonale) est inversible \(\iff\) tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

1.7 Transposée, trace, symétrie

Transposée \(A^T=(a_{ji})\in M_{p,n}\). \((A^T)^T=A\), \((\lambda A+\mu B)^T=\lambda A^T+\mu B^T\), \((AB)^T=B^TA^T\), \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\).
Trace \(\operatorname{tr}(A)=a_{11}+\cdots+a_{nn}\). \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\), \(\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}A\), \(\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}A\), \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\).
Symétrie \(A\) symétrique si \(A=A^T\), antisymétrique si \(A^T=-A\) (diagonale nulle). Décomposition unique : \(A=\underbrace{\tfrac{A+A^T}2}_{\text{sym.}}+\underbrace{\tfrac{A-A^T}2}_{\text{antisym.}}\).

2. Exercices d'entraînement (créés)

Exercice A — Puissance par diagonalisation♦♦◊
\(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\). Calculer \(A^n\) via \(A=I+N\) puis vérifier.

Ici \(A\) est triangulaire. Écrivons \(A=D+N\) avec \(D=\operatorname{diag}(2,3)\) et \(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) — mais \(DN\neq ND\), le binôme ne s'applique pas. On procède par récurrence : \(A^n=\begin{pmatrix}2^n&c_n\\0&3^n\end{pmatrix}\). De \(A^{n+1}=A^n A\) : \(c_{n+1}=2^n\cdot1+c_n\cdot3=2^n+3c_n\), \(c_1=1\).

Résolvons \(c_{n+1}=3c_n+2^n\) : solution \(c_n=3^n-2^n\) (on vérifie \(c_1=3-2=1\), et \(3(3^n-2^n)+2^n=3^{n+1}-2^{n+1}\) ✓).

\(A^n=\begin{pmatrix}2^n&3^n-2^n\\0&3^n\end{pmatrix}\).
Exercice B — Matrice nilpotente♦♦◊
\(N=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\). Montrer que \(N\) est nilpotente et calculer \((I+N)^n\).

\(N^2=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\), \(N^3=0\) : \(N\) est nilpotente d'indice \(3\).

Comme \(I\) et \(N\) commutent, binôme : \((I+N)^n=I+nN+\binom n2N^2\) (les termes \(N^k=0\) pour \(k\geqslant3\)).

\((I+N)^n=\begin{pmatrix}1&n&2n+\tfrac{3n(n-1)}2\\0&1&3n\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Exercice C — Polynôme annulateur & inverse♦♦♦
\(A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\). Trouver un polynôme annulateur de degré 2 et en déduire \(A^{-1}\).

\(\operatorname{tr}A=5\), \(\det A=6-2=4\). Toute matrice \(2\times2\) vérifie \(A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=0\) (Cayley-Hamilton) :

\[ A^2-5A+4I=0. \]

D'où \(A(A-5I)=-4I\), soit \(A^{-1}=\dfrac{5I-A}4=\dfrac14\begin{pmatrix}2&-1\\-2&3\end{pmatrix}\).

\(A^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}2&-1\\-2&3\end{pmatrix}\) (cohérent avec la formule \(\tfrac1{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)).

3. Correction intégrale du TD — Matrices

Feuille sans corrigé officiel : les 17 exercices sont résolus intégralement.

Exercice 1 — Dimensions des produits♦◊◊

1) \(A=(a\ b\ c)\in M_{1,3}\), \(B=\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}\in M_{3,1}\)

\(AB\) : \(1\times1\) ; \(BA\) : \(3\times3\)

2) \(A\in M_{n,p}\), \(B\in M_{p,q}\), \(C\in M_{q,n}\)

\(AB\) : \(n\times q\) ; \(BC\) : \(p\times n\) ; \(CA\) : \(q\times p\) ; \(ABC\) : \(n\times n\)

Exercice 2 — Opérations \(2\times2\)♦◊◊
\(A=\begin{pmatrix}2&1\\3&5\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-1&0\\2&-3\end{pmatrix}\).

\(A+B\)

\(\begin{pmatrix}1&1\\5&2\end{pmatrix}\)

\(3A-B\)

\(\begin{pmatrix}7&3\\7&18\end{pmatrix}\)

\(A^2\)

\(\begin{pmatrix}7&7\\21&28\end{pmatrix}\)

\(B^2\)

\(\begin{pmatrix}1&0\\-8&9\end{pmatrix}\)

Exercice 3 — Produits♦♦◊

a) \(\begin{pmatrix}2&3\\1&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&7\\-3&4\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}-19&26\\7&-9\end{pmatrix}\)

b) \(\begin{pmatrix}3&4&0\\-2&6&-3\\7&-4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}26\\29\\-7\end{pmatrix}\)

c) \(\begin{pmatrix}3&4&0\\-2&6&-3\\7&-4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-5\\5&-6\\-1&-7\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}26&-39\\29&-5\\-7&-18\end{pmatrix}\)

d) \((2\ \ 2\ \ -1)\begin{pmatrix}2&-5\\5&-6\\-1&-7\end{pmatrix}\)

\((15\ \ -15)\)

Exercice 4 — \(AB\), \(BA\), \(AA^T\), \(BB^T\)♦♦◊
\(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\4&-1&3\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\\3&1\end{pmatrix}\).

\(AB\) (\(2\times2\))

\(\begin{pmatrix}1&2\\14&7\end{pmatrix}\)

\(BA\) (\(3\times3\))

\(\begin{pmatrix}6&0&3\\-2&-1&0\\10&2&3\end{pmatrix}\)

\(AA^T\) (\(2\times2\))

\(\begin{pmatrix}5&7\\7&26\end{pmatrix}\)

\(BB^T\) (\(3\times3\))

\(\begin{pmatrix}2&-1&4\\-1&1&-3\\4&-3&10\end{pmatrix}\)

Comparaison : \(AB\neq BA\) (tailles différentes) ; \(AA^T\) et \(BB^T\) ont des tailles différentes. \(AA^T\) et \(BB^T\) sont symétriques.

\(A^2\) et \(B^2\) n'existent pas : \(A\) et \(B\) ne sont pas carrées.
Exercice 5 — \(M^k\) par récurrence♦♦◊
\(M=\begin{pmatrix}m&1\\0&1\end{pmatrix}\).

1) \(M^2\), \(M^3\)

\(M^2=\begin{pmatrix}m^2&m+1\\0&1\end{pmatrix}\), \(M^3=\begin{pmatrix}m^3&m^2+m+1\\0&1\end{pmatrix}\)

2) Conjecture et preuve

On conjecture \(M^k=\begin{pmatrix}m^k&1+m+\cdots+m^{k-1}\\0&1\end{pmatrix}\). Récurrence : \(M^{k+1}=M^kM\) donne le coin haut-droit \(m^k\cdot1+(1+\cdots+m^{k-1})\cdot1=1+m+\cdots+m^k\).

\(M^k=\begin{pmatrix}m^k&\frac{m^k-1}{m-1}\\0&1\end{pmatrix}\) (\(m\neq1\)), et \(\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\) si \(m=1\).
Exercice 6 — \(A^n\) via \(B=A-I\)♦♦♦
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(B=A-I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\).

\(B^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\), \(B^3=0\) (nilpotente). Donc \(B^n=0\) pour \(n\geqslant3\).

\(A=I+B\), et \(I,B\) commutent : \(A^n=\sum_{k=0}^n\binom nk B^k=I+nB+\binom n2B^2\).

\(A^n=\begin{pmatrix}1&n&\frac{n(n-1)}2\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Exercice 7 — \(A^n\) et \(B^n\)♦♦♦
\(A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\).

\(A^2=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}=2A\), donc \(A^3=2A^2=4A\), et par récurrence \(A^n=2^{n-1}A\).

\(A^n=2^{n-1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\) (\(n\geqslant1\)).

\(B^2=\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}\), \(B^3=\begin{pmatrix}1&7\\0&8\end{pmatrix}\). Conjecture \(B^n=\begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}\), coin haut-droit \(1\cdot1+(2^n-1)\cdot2=2^{n+1}-1\) ✓.

\(B^n=\begin{pmatrix}1&2^n-1\\0&2^n\end{pmatrix}\).
Exercice 8 — \(A^2=6A\)♦♦◊
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\).

Chaque ligne de \(A\) vaut \((1,2,3)\), et \((1,2,3)\cdot A=(1+2+3)(1,2,3)=6(1,2,3)\). Donc \(A^2=6A\).

\(A^n=6^{n-1}A\) pour \(n\geqslant1\).
Exercice 9 — Polynôme annulateur → inverse♦♦♦
\(A=\begin{pmatrix}4&-1\\2&1\end{pmatrix}\).

1) \(A^2-5A+6I_2=0\)

\(A^2=\begin{pmatrix}14&-5\\10&-1\end{pmatrix}\), \(5A=\begin{pmatrix}20&-5\\10&5\end{pmatrix}\), \(6I=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}\) : la somme donne \(0\) ✓.

2) Inverse

\(A(A-5I)=-6I\Rightarrow A^{-1}=\dfrac{5I-A}6=\dfrac16\begin{pmatrix}1&1\\-2&4\end{pmatrix}\).

\(A^{-1}=\dfrac16\begin{pmatrix}1&1\\-2&4\end{pmatrix}\)
Exercice 10 — Idem♦♦♦
\(A=\begin{pmatrix}2&-1\\-2&3\end{pmatrix}\).

1) Polynôme du 2ⁿᵈ degré annulateur

\(\operatorname{tr}A=5\), \(\det A=4\) : \(A^2-5A+4I=0\) (vérifié : \(A^2=\begin{pmatrix}6&-5\\-10&11\end{pmatrix}\)). Polynôme \(X^2-5X+4\).

2) Inverse

\(A(A-5I)=-4I\Rightarrow A^{-1}=\dfrac{5I-A}4=\dfrac14\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\).

\(A^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\)
Exercice 11 — Inverses \(2\times2\)♦♦◊
Formule \(A^{-1}=\tfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).

\(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(\det=-2\)

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{pmatrix}\)

\(B=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\), \(\det=-2\)

\(B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac12\end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}2&1\\-1&4\end{pmatrix}\), \(\det=9\)

\(C^{-1}=\frac19\begin{pmatrix}4&-1\\1&2\end{pmatrix}\)

\(D=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}\), \(\det=0\)

Non inversible

\(E=\begin{pmatrix}4&1\\5&9\end{pmatrix}\), \(\det=31\)

\(E^{-1}=\frac1{31}\begin{pmatrix}9&-1\\-5&4\end{pmatrix}\)

Exercice 12 — Inverses \(3\times3\) par polynôme♦♦♦

1) \(A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\)

\(A^2=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}=2I_3-A\). Donc \(A^2+A=2I\Rightarrow A(A+I)=2I\).

\(A^{-1}=\dfrac{A+I}2=\dfrac12\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\)

2) \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&-1&1\\1&-2&0\end{pmatrix}\)

\(A^2=\begin{pmatrix}3&-4&2\\1&-1&-1\\1&2&0\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}5&0&2\\0&3&1\\1&-2&4\end{pmatrix}\), d'où \(A^3-A=4I\Rightarrow A(A^2-I)=4I\).

\(A^{-1}=\dfrac{A^2-I}4=\dfrac14\begin{pmatrix}2&-4&2\\1&-2&-1\\1&2&-1\end{pmatrix}\)

Exercice 13 — Inverse paramétrée♦♦◊
\(A=\begin{pmatrix}m&2\\2&m\end{pmatrix}\), \(m\in\mathbb R\).

1) Condition d'inversibilité

\(\det A=m^2-4\).

Inversible \(\iff m\neq\pm2\)

2) Inverse

\(A^{-1}=\dfrac1{m^2-4}\begin{pmatrix}m&-2\\-2&m\end{pmatrix}\)

Exercice 14 — Équation matricielle♦♦♦
Trouver \(x,y\in\mathbb R\) : \(\begin{pmatrix}1&-2\\-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&-6\\10&12\end{pmatrix}\).

Le produit vaut \(\begin{pmatrix}x-6&y-8\\-2x+12&-2y+16\end{pmatrix}\). L'identification donne \(x-6=-5\), \(y-8=-6\), \(-2x+12=10\), \(-2y+16=12\), soit \(x=1\), \(y=2\) (les deux équations restantes sont automatiquement vérifiées).

\(x=1,\ y=2\) (solution unique)
Exercice 15 — Noyau \(AX=0\)♦♦◊
\(A=\begin{pmatrix}1&-2\\-4&8\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).

\(AX=\begin{pmatrix}x-2y\\-4x+8y\end{pmatrix}=0\). La seconde ligne \(=-4(x-2y)\) : une seule équation \(x=2y\). \(\det A=8-8=0\) : infinité de solutions.

\(\{(2y,y)\,:\,y\in\mathbb R\}=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)
Exercice 16 — Diagonalisation \(M=PDP^{-1}\)♦♦♦
\(M=\begin{pmatrix}0&-1\\3&4\end{pmatrix}\), \(P=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-3\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\).

1) \(P^{-1}\)

\(\det P=3-1=2\).

\(P^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}-3&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\)

2) \(M=PDP^{-1}\)

\(PD=\begin{pmatrix}-1&3\\1&-9\end{pmatrix}\), puis \((PD)P^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}0&-2\\6&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\3&4\end{pmatrix}=M\) ✓.

3) \(M^n=PD^nP^{-1}\)

Récurrence : \(M^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}\) (les \(P^{-1}P=I\) se télescopent).

4) \(M^n\)

\(D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}\), \(PD^n=\begin{pmatrix}-1&3^n\\1&-3^{n+1}\end{pmatrix}\).

\(M^n=\dfrac12\begin{pmatrix}3-3^n&1-3^n\\3^{n+1}-3&3^{n+1}-1\end{pmatrix}\) (vérifié en \(n=1\) : \(=M\)).
Exercice 17 — \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)♦♦◊
\(A,B\in M_n(\mathbb R)\) inversibles.

On calcule \((AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=AA^{-1}=I\), et de même \((B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I\).

Donc \(B^{-1}A^{-1}\) est l'inverse de \(AB\) ; par unicité de l'inverse :

\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). ∎ (Attention à l'inversion de l'ordre.)

Module M02 (S2). Sources : Cours-Matrices-V2026.pdf et TD1-2026 Matrices. Corrigé rédigé intégralement (pas de corrigé officiel fourni).

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