DS test — Électronique (Ch1 · Ch2 · Ch3)

BF (\(\omega\to0\)) : \(Z_C=\dfrac1{jC\omega}\to\infty\), chaque condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Sortie ouverte ⇒ aucun courant dans les résistances, donc pas de chute de tension : \(s=e\), soit \(\underline H\to1\).

HF (\(\omega\to\infty\)) : \(Z_C\to0\), le condensateur de sortie est équivalent à un fil qui relie \(s\) à la masse : \(s=0\), soit \(\underline H\to0\).

Cadre

Régime sinusoïdal forcé, notations complexes. On note \(\underline a\) le potentiel du nœud A (entre les deux résistances), la masse étant à 0 V. Posons \(x=RC\omega\) (on a bien \(x=\omega/\omega_0\)).

Étape 1 — dernière cellule (sortie ouverte ⇒ pont diviseur)

\[ \underline s=\frac{\dfrac1{jC\omega}}{R+\dfrac1{jC\omega}}\,\underline a=\frac{\underline a}{1+jRC\omega}=\frac{\underline a}{1+jx} \]

Étape 2 — loi des nœuds en A (courants sortants = courant entrant)

\[ \frac{\underline e-\underline a}{R}=jC\omega\,\underline a+\frac{\underline a-\underline s}{R} \]

On multiplie par \(R\) : \(\underline e-\underline a=jx\,\underline a+(\underline a-\underline s)\).

Avec \(\underline a-\underline s=\underline a-\dfrac{\underline a}{1+jx}=\underline a\,\dfrac{jx}{1+jx}\) :

\[ \underline e=\underline a\left[1+jx+\frac{jx}{1+jx}\right]=\underline a\,\frac{(1+jx)^2+jx}{1+jx}=\underline a\,\frac{1-x^2+3jx}{1+jx} \]

Étape 3 — \(\underline s\) en fonction de \(\underline e\)

\[ \underline H=\frac{\underline s}{\underline e}=\frac{\underline a}{1+jx}\cdot\frac{1+jx}{\underline a\,(1-x^2+3jx)}\ \Longrightarrow\ \boxed{\ \underline H=\frac{1}{1-x^2+3jx}\ } \]

Par identification avec \(\underline H=\dfrac{1}{1-x^2+3jx}\) :

\(Q=\tfrac13<\tfrac12\) : le discriminant du dénominateur est positif (\(\Delta=9-4=5>0\)) ⇒ régime apériodique, pas de résonance (voir Q5).

Les asymptotes se coupent en \(x=1\) à 0 dB ; la courbe réelle passe 9,5 dB en dessous (pas de bosse). La phase passe continûment de \(0\) à \(-180^\circ\), avec \(-90^\circ\) en \(x=1\).

On part de \(\underline s\,(1-x^2+3jx)=\underline e\) avec \(jx=jRC\omega\leftrightarrow RC\,\dfrac{d}{dt}\) et \(-x^2=(jx)^2\leftrightarrow(RC)^2\dfrac{d^2}{dt^2}\) :

\[ \boxed{(RC)^2\,\ddot s+3RC\,\dot s+s=e} \]

Équation caractéristique : \((RC)^2r^2+3RC\,r+1=0\), \(\Delta=9(RC)^2-4(RC)^2=5(RC)^2>0\) :

\[ r_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2RC}\ \Rightarrow\ r_1=-\frac{0{,}382}{RC}=-3{,}82\times10^{3}\ \text{s}^{-1},\quad r_2=-\frac{2{,}618}{RC}=-2{,}62\times10^{4}\ \text{s}^{-1} \]

avec \(RC=1{,}0\times10^3\times100\times10^{-9}=100\ \mu\text{s}\). Constantes de temps : \(\tau_1=262\ \mu\text{s}\), \(\tau_2=38{,}2\ \mu\text{s}\).

Définition : \(|\underline H(x_c)|=\dfrac{H_{max}}{\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}\) ⇒ \((1-x_c^2)^2+9x_c^2=2\).

On développe : \(1-2x_c^2+x_c^4+9x_c^2=2\), soit \(x_c^4+7x_c^2-1=0\). Avec \(X=x_c^2>0\) :

\[ X=\frac{-7+\sqrt{49+4}}{2}=\frac{-7+\sqrt{53}}2=0{,}140\ \Rightarrow\ x_c=0{,}374 \]

Un RC simple aurait \(f_c=f_0=1{,}59\ \text{kHz}\) : la bande passante est ici 2,7 fois plus étroite, bien plus que pour deux RC isolés (\(x_c=0{,}644\), soit 1,02 kHz) : c'est l'effet de charge de la question 2. En contrepartie la coupure est plus raide (−40 dB/déc).

Non : \(R_u\) se retrouve en parallèle avec le condensateur de sortie, ce qui modifie l'impédance vue par la dernière cellule et donc \(\underline H\) (la fonction établie en Q2 vaut « en sortie ouverte »).

Le suiveur fonctionne en régime linéaire car la rétroaction se fait sur la borne \(-\) (voir Ex 4).

Pont diviseur de tension (sortie ouverte) :

\[ \underline H=\frac{1/(jC\omega)}{R+1/(jC\omega)}=\frac1{1+jRC\omega}=\frac1{1+j\,f/f_c},\qquad f_c=\frac1{2\pi RC} \]

\(RC=1{,}0\times10^3\times159\times10^{-9}=159\ \mu\text{s}\), donc \(f_c=\dfrac1{2\pi\times159\times10^{-6}}=1{,}00\ \text{kHz}\).

Valeur moyenne : le créneau passe autant de temps à \(+E_0\) qu'à \(-E_0\) ⇒ \(\langle e\rangle=0\).

Fréquences : un signal périodique de période \(T=1/f=100\ \mu\text{s}\) contient le fondamental \(f_1=f=10\ \text{kHz}\) et ses harmoniques \(f_k=kf\). Ici le signal est impair (seulement des sinus) et \(e(t+T/2)=-e(t)\) ⇒ seuls les rangs impairs existent : \(10,\ 30,\ 50,\ 70\ \text{kHz}\dots\)

\[ e(t)=\frac{4E_0}{\pi}\sum_{k\ \text{impair}}\frac{\sin(k\omega t)}{k}=6{,}37\sin\omega t+2{,}12\sin3\omega t+1{,}27\sin5\omega t+\dots\quad(\omega=2\pi f) \]

Les amplitudes décroissent en \(1/k\).

Principe de superposition (système linéaire) : chaque harmonique est traité séparément avec \(f_k/f_c=10k\), puis \(S_k=G_kE_k\).

\[ s(t)\approx0{,}634\sin(\omega t-84{,}3^\circ)+0{,}0707\sin(3\omega t-88{,}1^\circ)+0{,}0255\sin(5\omega t-88{,}9^\circ)+\dots \]

Rapports : \(E_3/E_1=\tfrac13=0{,}33\) alors que \(S_3/S_1=\dfrac{0{,}0707}{0{,}634}=0{,}112\approx\dfrac19\). Les harmoniques de sortie décroissent donc en \(\mathbf{1/k^2}\) (au lieu de \(1/k\) en entrée), et tous sont déphasés de \(\approx-90^\circ\) : c'est la signature d'un signal triangulaire (la série de Fourier d'un triangle décroît en \(1/k^2\)).

Si \(f\gg f_c\) : \(\underline H=\dfrac1{1+jRC\omega}\approx\dfrac1{jRC\omega}\), donc \(j\omega\,\underline s=\underline e/(RC)\), soit en temporel :

\[ s(t)\approx\frac1{RC}\int e(t)\,dt\quad(\text{à une constante près, nulle car }\langle s\rangle=0). \]

Sur une demi-période \(T/2=50\ \mu\text{s}\), \(e=\pm E_0\) est constant : \(s\) varie linéairement de \(\Delta s=\dfrac{E_0\,T/2}{RC}=\dfrac{5\times50\times10^{-6}}{159\times10^{-6}}=1{,}57\ \text{V}\) crête-à-crête.

Cohérence : un triangle d'amplitude crête \(s_{max}\) a un fondamental de \(\dfrac8{\pi^2}s_{max}=0{,}81\times0{,}79=0{,}64\ \text{V}\), proche de \(S_1=0{,}634\ \text{V}\). ✔

Il faut que le filtre laisse passer les harmoniques significatifs : \(f_c\gg k_{max}f\) avec \(k_{max}\approx10\) (les fronts raides contiennent beaucoup d'harmoniques élevés). Ici \(f_c=1\ \text{kHz}\) impose :

À 10 kHz, au contraire, \(T/2=50\ \mu\text{s}\ll\tau\) : on observe un triangle, pas un créneau.

Valeur moyenne : \(\langle e\rangle=\dfrac{V_0}{2}=2{,}0\ \text{V}\) (composante continue, à \(f=0\)).

Fréquences : fondamental \(f_1=1\ \text{kHz}\), puis seulement les harmoniques impairs \(3,\ 5,\ 7,\dots\ \text{kHz}\) (le signal moins sa moyenne vérifie \(e(t+T/2)=-e(t)\)).

Le spectre d'amplitude (figure de la question 2, à gauche) comporte une raie en 0 de 2 V puis des raies décroissantes en \(1/k\).

Formules : \(G=\dfrac1{\sqrt{1+Q^2(x-1/x)^2}}\), \(\varphi=-\arctan\!\big[Q(x-1/x)\big]\), avec \(x=f_k/f_0\).

\(f=0\) : \(x\to0\), \(Q(x-1/x)\to-\infty\) donc \(\underline H\to0\) : la composante continue est supprimée (\(\langle s\rangle=0\)).

Seul l'harmonique de rang 3 (\(f_3=f_0\)) passe intégralement ; tous les autres sont fortement atténués.

\[ s(t)\approx0{,}849\sin(3\omega t)+0{,}095\sin(\omega t+87{,}9^\circ)+\dots \]

Par superposition, \(s\) est la somme des harmoniques pondérés par le gain à leur fréquence. Comme le filtre est sélectif (\(Q=10\), bande passante \(\Delta f=f_0/Q=300\ \text{Hz}\)), il ne laisse passer que le voisinage de \(f_0=3\ \text{kHz}\), c'est-à-dire l'harmonique 3 : la sortie est quasi sinusoïdale à \(3f=3\ \text{kHz}\), même si l'entrée est rectangulaire.

Règle : les discontinuités (fronts raides) sont portées par les hautes fréquences ; la composante continue par \(f=0\). Un filtre qui bloque \(f=0\) mais garde les fronts est un passe-haut ; un passe-bas fait l'inverse.

Pour un RLC série (sortie sur \(R\)) : \(\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}\) et \(Q=\dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}\).

\(C=\dfrac1{L\omega_0^2}=\dfrac1{10^{-2}\times(2\pi\times3000)^2}=281\ \text{nF}\) ; \(R=\dfrac1Q\sqrt{\dfrac LC}=\dfrac1{10}\sqrt{\dfrac{10^{-2}}{2{,}81\times10^{-7}}}=18{,}8\ \Omega\).

Équation différentielle (loi des mailles \(e=u_R+u_L+u_C\), \(i=u_R/R\), \(s=u_R\)) :

\[ e=s+\frac LR\dot s+\frac1{RC}\!\int s\,dt\ \Rightarrow\ \boxed{LC\,\ddot s+RC\,\dot s+s=RC\,\dot e} \]

Coefficients : \(LC>0\), \(RC>0\), \(1>0\) — tous de même signe. Équation caractéristique \(LCr^2+RCr+1=0\), de partie réelle \(-\dfrac R{2L}=-942\ \text{s}^{-1}<0\).

L'amplitude libre décroît en \(e^{-t/\tau}\) avec \(\tau=\dfrac{2L}{R}=\dfrac{Q}{\pi f_0}=\dfrac{10}{\pi\times3000}=1{,}06\ \text{ms}\).

Un filtre très sélectif (\(Q\) grand) a un transitoire long : le compromis sélectivité/rapidité est général (\(\tau\propto Q/f_0\)).

La sortie est reliée à l'entrée inverseuse \(v_-\) par \(R_2\) : il y a une rétroaction négative. Si \(v_-\) augmente, \(s\) diminue (et inversement), ce qui stabilise le montage : le régime linéaire est possible (et stable, voir Q5).

\(v_+=e\) (pas de courant dans la liaison). \(R_1\) et \(R_2\) forment un diviseur de tension (\(i_-=0\)) : \(v_-=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}s=\beta s\). Avec \(v_+=v_-\) :

\[ e=\beta s\ \Rightarrow\ \boxed{s=\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)e=10\,e} \]

Gain \(+10>0\) : non inverseur (\(s\) en phase avec \(e\)). \(G_{dB}=20\log10=20\ \text{dB}\). Impédance d'entrée infinie.

Le modèle de l'ALI réel : \(\underline s=\underline\mu\,(\underline v_+-\underline v_-)=\underline\mu\,(\underline e-\beta\underline s)\). Donc :

\[ \underline s\,(1+\beta\underline\mu)=\underline\mu\,\underline e\ \Rightarrow\ \underline H=\frac{\underline\mu}{1+\beta\underline\mu} \]

On remplace \(\underline\mu\) et on multiplie numérateur et dénominateur par \(1+j\omega/\omega_a\) :

\[ \underline H=\frac{\mu_0}{1+\dfrac{j\omega}{\omega_a}+\beta\mu_0}=\frac{\dfrac{\mu_0}{1+\beta\mu_0}}{1+\dfrac{j\omega}{\omega_a(1+\beta\mu_0)}} \]

Le montage est un passe-bas du premier ordre, dont la bande passante est élargie d'un facteur \(1+\beta\mu_0\) par la contre-réaction.

\(f_a=\dfrac{1\ \text{MHz}}{\mu_0}=\dfrac{10^6}{2\times10^5}=5\ \text{Hz}\) ; \(\beta=0{,}1\) donc \(\beta\mu_0=2\times10^4\) et \(1+\beta\mu_0=20\,001\).

Le produit \(H_0f_c\) est égal au produit gain-bande de l'ALI : on échange gain contre bande passante. À 500 kHz (\(\gg f_c\)), le gain réel est \(\approx10/\sqrt{1+25}\approx2\) : non, il faudrait un gain \(\le\) environ 2 (soit \(\beta\approx0{,}5\)) pour amplifier correctement à 500 kHz.

De \(\underline H=\dfrac{H_0}{1+j\omega/\omega_c}\) on tire (\(j\omega\leftrightarrow d/dt\)) :

\[ \boxed{\frac1{\omega_c}\frac{ds}{dt}+s=H_0\,e} \qquad\text{avec}\ \frac1{\omega_c}=1{,}59\ \mu\text{s} \]

Équation caractéristique : \(\dfrac r{\omega_c}+1=0\Rightarrow r=-\omega_c=-6{,}28\times10^5\ \text{s}^{-1}<0\).

Maintenant \(v_+=\beta s\) et \(v_-=e\) : \(\underline s=\underline\mu\,(\beta\underline s-\underline e)\), d'où \(\underline s\,(1-\beta\underline\mu)=-\underline\mu\,\underline e\) :

\[ \underline H=\frac{-\mu_0}{1-\beta\mu_0+\dfrac{j\omega}{\omega_a}} \]

Équation différentielle :

\[ \boxed{\frac1{\omega_a}\frac{ds}{dt}+(1-\beta\mu_0)\,s=-\mu_0\,e}\quad\text{avec}\ 1-\beta\mu_0=-19\,999<0 \]

Racine : \(r=+\omega_a(\beta\mu_0-1)=2\pi\times5\times19\,999=+6{,}28\times10^5\ \text{s}^{-1}>0\).

La divergence exponentielle fait croître \(|s|\) en quelques microsecondes jusqu'à la saturation \(s=\pm V_{sat}=\pm15\ \text{V}\) : l'ALI quitte le régime linéaire et le montage est en régime saturé (c'est un comparateur à hystérésis, voir Ch4). L'hypothèse \(v_+=v_-\) est alors fausse : \(\varepsilon\) est grand, pas nul.

\(R_2\) relie la sortie à l'entrée inverseuse : rétroaction négative ⇒ stable, régime linéaire possible. Hypothèses de l'ALI idéal en régime linéaire : \(i_+=i_-=0\) et \(\varepsilon=0\). Ici \(v_+=0\) (masse), donc \(v_-=0\) : l'entrée \(-\) est une masse virtuelle.

Loi des nœuds en \(v_-\) (potentiel nul, \(i_-=0\)) : le courant qui traverse \(Z_1\) est \(\dfrac{\underline e-0}{Z_1}\) et il traverse ensuite \(R_2\) :

\[ \frac{\underline e-0}{Z_1}+\frac{\underline s-0}{R_2}=0\ \Rightarrow\ \underline H=-\frac{R_2}{Z_1} \]

Avec \(Z_1=R_1+\dfrac1{jC\omega}=\dfrac{1+jR_1C\omega}{jC\omega}\) :

\[ \boxed{\underline H=-\frac{jR_2C\omega}{1+jR_1C\omega}} \]

On pose \(x=\omega/\omega_1\) avec \(\omega_1=1/(R_1C)\) : \(R_2C\omega=\dfrac{R_2}{R_1}\,x\), donc

\[ \underline H=-\frac{R_2}{R_1}\,\frac{jx}{1+jx} \]

Vérification qualitative : à très haute fréquence \(Z_C\to0\), \(Z_1\to R_1\) et on retrouve l'inverseur \(-R_2/R_1\) ; à très basse fréquence \(Z_C\to\infty\) donc \(\underline H\to0\) ✔.

Phase : \(-10\,jx=10x\,e^{-j\pi/2}\) en BF (le signe « − » vaut \(e^{\pm j\pi}\) et \(\arg(jx)=+90^\circ\), d'où \(-180^\circ+90^\circ=-90^\circ\)) ; en \(x=1\) : \(-5-5j\) est dans le 3ᵉ quadrant, \(\varphi=-135^\circ\) ; HF : \(-10\) donc \(-180^\circ\) (continuité avec la BF).

Pour \(x\ll1\) : \(\underline H\approx-jR_2C\omega\Rightarrow\underline s=-R_2C\,(j\omega\,\underline e)\), soit :

\[ s(t)\approx-R_2C\,\frac{de}{dt} \]

\(R_2C=10^4\times10^{-7}=1{,}0\ \text{ms}\). Valable pour \(f\ll f_1\approx1{,}6\ \text{kHz}\) (en pratique \(f\lesssim160\ \text{Hz}\) pour 0,5 % d'erreur environ sur le gain). En HF le montage est un simple amplificateur inverseur de gain \(-10\) : il ne dérive plus.

Le signal est la somme d'une composante continue (\(\omega=0\)) et d'une sinusoïde : par superposition, on traite chacune avec son propre \(\underline H\).

Continu : \(\underline H(0)=0\) ⇒ la composante continue de 1 V est bloquée (comme le fait tout passe-haut : le condensateur est chargé et ne laisse plus passer le courant continu).

Sinusoïde en \(x=1\) : \(|\underline H|=\dfrac{10}{\sqrt2}=7{,}07\), \(\varphi=-135^\circ=-\dfrac{3\pi}4\) (voir Q4), donc l'amplitude de sortie est \(7{,}07\times0{,}2=1{,}41\ \text{V}\) :

Saturation : en HF le gain vaut \(|H_\infty|=10\), il faut \(10\,E_m\le V_{sat}=15\ \text{V}\) soit \(E_m\le\boxed{1{,}5\ \text{V}}\). Au-delà, la sortie est écrêtée et le régime n'est plus linéaire.