Interrogation n°1 de cette année — corrigé complet

Forme indéterminée. La base \(\dfrac{12+5n}{2+5n}\to1\) et l'exposant \(n\to+\infty\) : forme \(1^\infty\). On passe à l'exponentielle : \[ U_n=\exp\big(n\ln(\text{base})\big). \]

Écrire la base comme \(1+\)(quelque chose qui tend vers 0). \[ \frac{12+5n}{2+5n}=\frac{(2+5n)+10}{2+5n}=1+\frac{10}{5n+2}. \] Ici \(v_n=\dfrac{10}{5n+2}\to0\).

Équivalent du logarithme. Comme \(v_n\to0\), \(\ln(1+v_n)\sim v_n\) (car \(\ln(1+v)\sim v\) quand \(v\to0\)).

Équivalent de l'exposant, puis sa limite. \[ n\ln\!\Big(1+\frac{10}{5n+2}\Big)\sim\frac{10n}{5n+2}\ \xrightarrow[n\to+\infty]{}\ \frac{10}{5}=2. \] Un équivalent d'une suite qui a une limite finie \(\ell\) a la même limite : l'exposant tend vers \(2\).

Conclusion. Par continuité de l'exponentielle :

Contrôle numérique. \(n=10^6\) : \(U_n\approx7{,}38904\) et \(e^2\approx7{,}38906\). ✔

Interprétation. C'est la version « discrète » de \(\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\to e^{a}\) : ici \(\frac{10}{5n+2}\approx\frac{2}{n}\), donc \(a=2\).

Changement de variable. On pose \(X=x+\dfrac\pi2\). Alors \(x\to-\dfrac\pi2\iff X\to0\), et \(\dfrac23\big(x+\frac\pi2\big)^2=\dfrac23X^2\).

Réécriture de \(\sin x\). \(x=X-\dfrac\pi2\), donc \[ \sin x=\sin\!\Big(X-\frac\pi2\Big)=-\cos X \qquad(\text{car }\sin(\theta-\tfrac\pi2)=-\cos\theta). \] Donc \(\sin^2x=\cos^2X=1-\sin^2X\).

Numérateur. \(\ln\!\Big(\dfrac1{\sin^2x}\Big)=-\ln(\sin^2x)=-\ln\big(1-\sin^2X\big)\).

Équivalents. \(\sin^2X\to0\), donc \(\ln(1-\sin^2X)\sim-\sin^2X\) (c'est \(\ln(1+v)\sim v\) avec \(v=-\sin^2X\to0\)). Donc \[ -\ln(1-\sin^2X)\sim\sin^2X\sim X^2, \] car \(\sin X\sim X\) et un équivalent peut être élevé au carré.

Quotient. Un quotient d'équivalents est un équivalent : \[ \frac{-\ln(1-\sin^2X)}{\frac23X^2}\sim\frac{X^2}{\frac23X^2}=\frac32. \]

Contrôle (autre méthode). \(\ln(\cos^2X)=2\ln(\cos X)\) et \(\cos X=1-\frac{X^2}{2}+o(X^2)\), donc \(\ln\cos X=-\frac{X^2}{2}+o(X^2)\). Le numérateur vaut \(-2\ln\cos X=X^2+o(X^2)\) : on retrouve \(\dfrac{X^2}{\frac23X^2}=\dfrac32\). ✔

Étape 1 — Simplifier avant tout. Pour \(x\neq0\), on divise numérateur et dénominateur par \(-2x\) : \[ f(x)=\frac{1}{2x^2-\frac32x+1}=\frac{1}{1-\frac32x+2x^2}. \] (Vérification : \(\frac{-4x^3}{-2x}=2x^2\), \(\frac{3x^2}{-2x}=-\frac32x\), \(\frac{-2x}{-2x}=1\).)

Étape 2 — Forme \(\dfrac1{1+u}\). On pose \(u=-\dfrac32x+2x^2\to0\). Formule : \(\dfrac1{1+u}=1-u+u^2+o(u^2)\).

Étape 3 — Puissances de \(u\) à l'ordre 2. \[ u=-\frac32x+2x^2,\qquad u^2=\frac94x^2+o(x^2)\quad(\text{les termes en }x^3,x^4\text{ sont des }o(x^2)). \]

Étape 4 — Assemblage. \[ f(x)=1-\Big(-\frac32x+2x^2\Big)+\frac94x^2+o(x^2)=1+\frac32x+\Big(-2+\frac94\Big)x^2+o(x^2). \] Or \(-2+\dfrac94=\dfrac{-8+9}{4}=\dfrac14\).

Contrôle numérique. \(x=0{,}01\) : \(f=\dfrac1{1-0{,}015+0{,}0002}=\dfrac1{0{,}9852}\approx1{,}015022\) ; le DL donne \(1+0{,}015+0{,}000025=1{,}015025\) (écart en \(x^3\)). ✔

Cadre. \(\sqrt[4]{1-2x}=(1+u)^{1/4}\) avec \(u=-2x\to0\), donc \(\alpha=\dfrac14\).

Coefficients du binôme généralisé.

Remplacement. \(u=-2x\), \(u^2=4x^2\), \(u^3=-8x^3\) : \[ (1-2x)^{1/4}=1+\frac14(-2x)-\frac3{32}(4x^2)+\frac7{128}(-8x^3)+o(x^3). \] Terme par terme : \(\frac14\cdot(-2)=-\frac12\) ; \(-\frac{3}{32}\cdot4=-\frac38\) ; \(\frac{7}{128}\cdot(-8)=-\frac{7}{16}\).

Contrôle numérique. \(x=0{,}01\) : \(\sqrt[4]{0{,}98}\approx0{,}9949621\) ; le DL donne \(1-0{,}005-0{,}0000375-0{,}000000438\approx0{,}9949621\) (écart \(\sim10^{-8}\), de l'ordre de \(x^4\)). ✔

Étape 1 — Revenir en 0. On pose \(X=x-\dfrac\pi6\), donc \(x=X+\dfrac\pi6\) et \(X\to0\). Le DL se fait en \(X\) : \[ f(x)=\ln\!\Big(2\sin\!\big(X+\tfrac\pi6\big)\Big). \]

Étape 2 — Formule d'addition. \[ \sin\!\Big(X+\frac\pi6\Big)=\sin X\cos\frac\pi6+\cos X\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}\sin X+\frac12\cos X. \] Donc \(2\sin\big(X+\frac\pi6\big)=\sqrt3\sin X+\cos X\).

Étape 3 — DL₃ de l'intérieur. \(\sin X=X-\dfrac{X^3}{6}+o(X^3)\) et \(\cos X=1-\dfrac{X^2}{2}+o(X^3)\) : \[ \sqrt3\sin X+\cos X=1+\sqrt3X-\frac{X^2}{2}-\frac{\sqrt3}{6}X^3+o(X^3). \]

Étape 4 — On pose \(u\) et on applique \(\ln(1+u)\). \[ u=\sqrt3X-\frac{X^2}{2}-\frac{\sqrt3}{6}X^3+o(X^3)\to0,\qquad \ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}+o(u^3). \] Puissances de \(u\) (on garde jusqu'à \(X^3\)) : \[ u^2=\big(\sqrt3X\big)^2+2\cdot\sqrt3X\cdot\Big(-\frac{X^2}{2}\Big)+o(X^3)=3X^2-\sqrt3X^3+o(X^3), \] \[ u^3=\big(\sqrt3X\big)^3+o(X^3)=3\sqrt3X^3+o(X^3). \]

Étape 5 — Assemblage. \[ \ln(1+u)=\Big(\sqrt3X-\frac{X^2}{2}-\frac{\sqrt3}{6}X^3\Big)-\frac12\big(3X^2-\sqrt3X^3\big)+\frac13\big(3\sqrt3X^3\big)+o(X^3). \] Regroupement par puissance :

• \(X\) : \(\sqrt3\) ;
• \(X^2\) : \(-\dfrac12-\dfrac32=-2\) ;
• \(X^3\) : \(-\dfrac{\sqrt3}{6}+\dfrac{\sqrt3}{2}+\sqrt3=\sqrt3\Big(-\dfrac16+\dfrac36+\dfrac66\Big)=\dfrac{8\sqrt3}{6}=\dfrac{4\sqrt3}{3}\).

Contrôle. Le terme constant est \(\ln(2\sin\frac\pi6)=\ln1=0\) ✔ (le DL commence bien à l'ordre 1). Le terme en \(X\) est \(f'(\frac\pi6)=\cot\frac\pi6=\sqrt3\) ✔ (car \(f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}\)). Le terme en \(X^2\) est \(\frac{f''}{2}\) avec \(f''=-\frac{1}{\sin^2x}=-4\) en \(\frac\pi6\) : \(\frac{-4}{2}=-2\) ✔.

Étape 1 — DL de \(\arcsin\) à l'ordre 3. \(\arcsin'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2}\). Avec \(u=-x^2\) et \(\alpha=-\dfrac12\) : \[ (1+u)^{-1/2}=1-\frac12u+o(u)\ \Longrightarrow\ \arcsin'(x)=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2). \] On intègre le DL (autorisé), avec \(\arcsin0=0\) : \[ \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3). \]

Étape 2 — Numérateur. \[ x-\arcsin x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\ \sim\ -\frac{x^3}{6}. \]

Étape 3 — Dénominateur. \(\arcsin x\sim x\), donc \(x^2\arcsin x\sim x^3\).

Étape 4 — Quotient. \[ \frac{x-\arcsin x}{x^2\arcsin x}\sim\frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3}=-\frac16. \]

Contrôle. Avec le DL à l'ordre 5, \(\arcsin x=x+\frac{x^3}6+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)\) : numérateur \(-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}\), dénominateur \(x^3+\frac{x^5}{6}\), le quotient vaut \(-\frac16+O(x^2)\to-\frac16\). ✔