SI AM2 (2ᵉ année) · Association de liaisons

Accouplement par goupille — arbre / poulie

Résumé de cours annoté (pour présentation) + correction complète et détaillée de l'application « Accouplement par goupille » (2 versions). Objectif : déterminer, à partir d'un graphe des liaisons, la liaison équivalente entre l'arbre et la poulie, et juger si le montage est isostatique — en tenant compte du rotulage volontaire introduit pour éviter l'hyperstatisme. Source : CM de SI (photo transmise le 2026-09-21).

Sommaire

1. Résumé de cours annoté — à retenir pour la présentation
2. Application — Version 1 (poulie large, largeur 22)
3. Application — Version 2 (poulie mince, largeur 10)
4. Conclusion — quelle association privilégier ?

1. Résumé de cours annoté

Les points marqués ★ important sont ceux à mettre en avant à l'oral : ce sont eux qui font tourner tout l'exercice.

1.1 Torseur cinématique / torseur des actions transmissibles

★ Important — définitions Une liaison entre deux solides autorise certains mouvements relatifs (les DDL, 3 rotations \(R_x,R_y,R_z\) + 3 translations \(T_x,T_y,T_z\)) et bloque les autres. Le torseur cinématique \(\{\mathcal V_{2/1}\}=\{\vec\Omega_{2/1};\ \vec V(A\in2/1)\}_A\) décrit les mouvements permis (paramètres libres = DDL). Le torseur des actions mécaniques transmissibles \(\{\mathcal T_{1\to2}\}=\{\vec R;\ \vec M_A\}_A\) est son complémentaire : ce qui est bloqué cinématiquement peut transmettre un effort ; ce qui est libre transmet un effort nul (liaison parfaite). Toujours : DDL + composantes d'effort transmissibles = 6.

1.2 Liaisons usuelles utilisées dans cet exercice

Liaison	DDL	Torseur cinématique en \(O\)	Torseur d'effort en \(O\)
Pivot glissant d'axe \((O,\vec x)\)	2 : \(R_x,T_x\)	\(\{\omega_x\vec x;\ v_x\vec x\}_O\)	\(\{Y\vec y+Z\vec z;\ M\vec y+N\vec z\}_O\)
Sphère-cylindre (linéaire annulaire) d'axe \((O,\vec x)\)	4 : \(R_x,R_y,R_z,T_x\)	\(\{\vec\Omega;\ v_x\vec x\}_O\)	\(\{Y\vec y+Z\vec z;\ \vec0\}_O\)
Sphérique (rotule) de centre \(O\)	3 : \(R_x,R_y,R_z\)	\(\{\vec\Omega;\ \vec0\}_O\)	\(\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ \vec0\}_O\)
Pivot d'axe \((O,\vec x)\)	1 : \(R_x\)	\(\{\omega_x\vec x;\ \vec0\}_O\)	\(\{Y\vec y+Z\vec z;\ M\vec y+N\vec z\}_O\)
Encastrement	0	\(\{\vec0;\ \vec0\}_O\)	\(\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ L\vec x+M\vec y+N\vec z\}_O\)

1.3 Modéliser un contact cylindrique réel (goupille)

★ Important — règle longueur / diamètre Pour un assemblage cylindrique réel (ex. la goupille dans son trou), on compare la longueur de contact \(L\) à son diamètre \(D\) :

\(L\gtrsim D\) (contact « long ») → le contact résiste aux moments transversaux → pivot glissant (bloque les 2 rotations perpendiculaires à l'axe).
\(L\ll D\) (contact « court ») → le contact ne peut pas résister au basculement → on dégrade en sphère-cylindre (les rotations perpendiculaires à l'axe redeviennent libres).

C'est ce paramètre — la largeur de la poulie traversée par la goupille — qui distingue les deux versions de l'exercice pour la liaison goupille/poulie.

1.4 Éviter l'hyperstatisme : le rotulage volontaire

★ Important — principe du rotulage Quand deux liaisons différentes guident/bloquent le même mouvement relatif entre deux solides (ici : le contact direct arbre/poulie et la goupille, qui bloquent tous deux la rotation autour de l'axe de l'arbre), les rendre toutes les deux rigides crée une redondance (hyperstatisme) : il faudrait un alignement parfait, impossible à garantir à l'usinage. La solution classique — la même que pour un montage à deux roulements (une rangée pivot, l'autre rotulée) — est de donner volontairement du jeu de rotulage à l'une des deux liaisons, pour qu'elle absorbe les petits défauts d'alignement sans se substituer à l'autre.

Application à la goupille Ici, c'est la goupille qui a la fonction de verrouiller la rotation (c'est le rôle d'un accouplement) : ses deux engagements (dans l'arbre et dans la poulie) doivent donc rester des guidages « fermes » (pivot glissant). C'est le contact direct arbre/poulie — simple portée cylindrique, sans rôle de verrouillage — qui reçoit le rotulage : on le modélise par une liaison sphérique (rotule) plutôt que par un pivot glissant serré.

1.5 Association de liaisons — série et parallèle

★ Important — les 2 règles de composition Série (liaisons en chaîne \(1\!-\!3\!-\!2\), solide intermédiaire 3) : les torseurs cinématiques s'additionnent (composition des mouvements), exprimés au même point : \(\{\mathcal V_{2/1}\}=\{\mathcal V_{2/3}\}+\{\mathcal V_{3/1}\}\).

Parallèle (\(n\) liaisons entre les mêmes 2 solides, ex. le contact direct 1/2 et la chaîne via 3) : la liaison équivalente doit respecter toutes les liaisons à la fois → on prend l'intersection des torseurs cinématiques (les mouvements communs seulement).

Méthode pratique Pour composer deux torseurs simples, on regarde composante par composante (\(R_x,R_y,R_z,T_x,T_y,T_z\)) : en série on garde libre une composante dès qu'au moins une des deux liaisons la laisse libre ; en parallèle on ne garde libre qu'une composante laissée libre par les deux liaisons à la fois.

1.6 Isostatisme d'une association

★ Important — degré d'hyperstatisme Pour \(p\) solides reliés en boucle fermée, le nombre d'équations statiques indépendantes est \(N_e=6(p-1)\). Si \(N_s\) est la somme des composantes d'effort transmissibles de toutes les liaisons réelles du graphe : \[ \boxed{\,h=N_s-N_e\,} \] \(h=0\) : montage isostatique. \(h>0\) : hyperstatique (sur-contraint, tolérances serrées, risque de blocage au montage). \(h<0\) : il subsiste une mobilité \(m\) (le graphe ne suffit pas à tout bloquer). Ici, avec le rotulage volontaire, on aura toujours \(h\le0\) : c'est un choix assumé (préférer un peu de mobilité résiduelle inoffensive à un blocage à l'assemblage).

2. Application — Version 1 (poulie large, largeur 22)

Énoncé Version 1 — arbre 1 (φ20) et poulie 2 (largeur 22) accouplés par une goupille élastique 3 (φ8) selon l'axe z — Énoncé — Version 1 : arbre 1 (Ø20) / poulie 2 (largeur 22) / goupille élastique 3 (Ø8) selon \(\vec z\), point \(O\) = intersection des axes.

Un arbre 1 (Ø20) est en liaison avec une poulie 2 (de largeur 22) par l'intermédiaire d'une goupille élastique 3 (Ø8).

Q1 — Graphe des liaisons

Trois solides, deux chemins entre 1 et 2 : le contact direct arbre/poulie (liaison 1/2), et la chaîne via la goupille (liaisons 1/3 puis 3/2). Ces deux chemins sont en parallèle entre 1 et 2.

Graphe des liaisons — Version 1. Contact direct 1/2 volontairement rotulé, en parallèle avec la chaîne 1/3/2 (goupille, guidage ferme).

Q2 — Liaison \(\mathscr L_{1/2}\) (contact direct arbre/poulie)

Analyse du contact

Ce contact cylindrique n'a pas de fonction de verrouillage : c'est la goupille qui bloque la rotation. Pour éviter l'hyperstatisme (§1.4 — principe du rotulage volontaire, comme pour un montage à deux roulements), on le modélise avec du jeu de rotulage → liaison sphérique (rotule) de centre \(O\).

\[ \{\mathcal V_{1/2}\}=\{\vec\Omega;\ \vec0\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{2\to1}\}=\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ \vec0\}_O \] 3 DDL (les 3 rotations) — 3 composantes d'effort transmissibles (les 3 forces, aucun moment).

Q3 — Liaison \(\mathscr L_{3/2}\) (goupille / poulie)

Analyse du contact

La goupille traverse toute la largeur de la poulie : longueur de contact \(L=22\) pour un diamètre de goupille \(D=8\) : \(L\gg D\) (contact très long) → liaison pivot glissant d'axe \((O,\vec z)\) (l'axe de la goupille) : c'est un des deux guidages « fermes » qui verrouillent la rotation.

\[ \{\mathcal V_{3/2}\}=\{\omega_z\vec z;\ v_z\vec z\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{2\to3}\}=\{X\vec x+Y\vec y;\ L\vec x+M\vec y\}_O \] 2 DDL (\(R_z,T_z\)) — 4 composantes d'effort transmissibles (\(F_x,F_y,M_x,M_y\), perpendiculaires à \(\vec z\)).

Q4 — Liaison \(\mathscr L_{1/3}\) (arbre / goupille)

Analyse du contact

Le trou diamétral de la goupille traverse l'arbre sur toute son épaisseur : longueur de contact \(L=20\) (le diamètre de l'arbre) pour un diamètre de goupille \(D=8\) : \(L\gg D\) → à nouveau une liaison pivot glissant d'axe \((O,\vec z)\), le second guidage ferme de la goupille.

\[ \{\mathcal V_{1/3}\}=\{\omega_z'\vec z;\ v_z'\vec z\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{3\to1}\}=\{X'\vec x+Y'\vec y;\ L''\vec x+M''\vec y\}_O \] 2 DDL (\(R_z,T_z\)) — 4 composantes d'effort transmissibles, même forme que \(\mathscr L_{3/2}\).

Q5 — Liaison équivalente \(\mathscr L_{1/2}^{eq}\)

Étape 1 — composer la chaîne \(1\!-\!3\!-\!2\) (série → somme)

\(\mathscr L_{1/3}\) et \(\mathscr L_{3/2}\) sont deux pivots glissants du même axe \((O,\vec z)\). Leur somme ne fait qu'un : la chaîne équivaut, entre 1 et 2, à un pivot glissant d'axe \((O,\vec z)\) (2 DDL libres : \(R_z,T_z\) ; tout le reste bloqué : \(R_x,R_y,T_x,T_y\)).

Étape 2 — combiner avec le contact direct rotulé (parallèle → intersection)

Le contact direct \(\mathscr L_{1/2}\) (rotule) laisse libres \(R_x,R_y,R_z\) et bloque \(T_x,T_y,T_z\). La chaîne laisse libres \(R_z,T_z\) et bloque \(R_x,R_y,T_x,T_y\). Composante par composante :

\(R_x\) : libre côté rotule, bloqué côté chaîne → l'intersection bloque.
\(R_y\) : libre côté rotule, bloqué côté chaîne → l'intersection bloque.
\(R_z\) : libre des deux côtés → reste libre.
\(T_x,T_y\) : bloqués des deux côtés → restent bloqués.
\(T_z\) : bloqué côté rotule, libre côté chaîne → l'intersection bloque.

Le point clé \(R_y\) — la rotation qui permettrait à la poulie de glisser sur l'arbre — est bloquée par la chaîne (la goupille), alors que la rotule du contact direct la laissait libre : c'est bien la goupille qui verrouille le couple, exactement son rôle. Seule \(R_z\) (rotation autour de la goupille elle-même) subsiste : un jeu résiduel minime et sans conséquence fonctionnelle.

Liaison équivalente : pivot d'axe \((O,\vec z)\). \[ \{\mathcal V_{1/2}^{eq}\}=\{\omega_z\vec z;\ \vec0\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{2\to1}^{eq}\}=\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ M\vec y+N\vec z\}_O \] 1 DDL résiduel (\(R_z\)), 5 composantes d'effort transmissibles — la rotation autour de l'arbre (\(R_y\)) et les 3 translations sont bloquées : le couple est transmis.

Q6 — Isostatisme

Somme des composantes d'effort transmissibles des 3 liaisons réelles du graphe (pas de la liaison équivalente) :

\[ N_s = \underbrace{3}_{\mathscr L_{1/2}\ (\text{rotule})}+\underbrace{4}_{\mathscr L_{3/2}}+\underbrace{4}_{\mathscr L_{1/3}}=11 \]

3 solides en boucle fermée : \(N_e=6(3-1)=12\).

\[ h=N_s-N_e=11-12=-1 \]

\(h=-1<0\) : cohérent avec la mobilité résiduelle \(m=1\) trouvée en Q5 (\(m+h=0\), bon indicateur de cohérence du calcul). Le montage n'est pas parfaitement isostatique, mais très proche : un unique DDL résiduel, sans incidence sur la fonction — c'est le prix, volontaire et maîtrisé, du rotulage qui évite l'hyperstatisme.

3. Application — Version 2 (poulie mince, largeur 10)

Énoncé Version 2 — arbre 1 (φ20) et poulie 2 (largeur 10, disque mince) accouplés par une goupille élastique 3 (φ8) — Énoncé — Version 2 : arbre 1 (Ø20) / poulie 2 (largeur 10, disque mince) / goupille élastique 3 (Ø8).

Un arbre 1 (Ø20) est en liaison avec une poulie 2 (de largeur 10) par l'intermédiaire d'une goupille élastique 3 (Ø8).

Q1 — Graphe des liaisons

Même topologie qu'en Version 1. Le rotulage volontaire du contact direct 1/2 (§1.4) ne dépend pas de la largeur de la poulie : il reste identique. Seule la liaison \(\mathscr L_{3/2}\) change de nature, parce que c'est elle dont la longueur de contact dépend directement de cette largeur.

Graphe des liaisons — Version 2. Seule \(\mathscr L_{3/2}\) se dégrade (poulie trop mince pour rester un guidage ferme) ; le rotulage de \(\mathscr L_{1/2}\) est inchangé.

Q2 — Liaison \(\mathscr L_{1/2}\) (contact direct arbre/poulie)

Analyse du contact

Le rotulage volontaire (§1.4) est un choix de conception indépendant de la largeur de la poulie : il s'applique ici de la même façon qu'en Version 1. Liaison sphérique (rotule) de centre \(O\).

Q3 — Liaison \(\mathscr L_{3/2}\) (goupille / poulie)

Analyse du contact

La goupille (Ø8) ne traverse plus que l'épaisseur mince de la poulie, \(L=10\) : \(L\) n'est plus nettement supérieur à \(D=8\) (engagement court, presque un simple « anneau » de contact) → le contact ne peut plus résister au basculement → liaison sphère-cylindre (linéaire annulaire) d'axe \((O,\vec z)\).

\[ \{\mathcal V_{3/2}\}=\{\vec\Omega;\ v_z\vec z\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{2\to3}\}=\{X\vec x+Y\vec y;\ \vec0\}_O \] 4 DDL (\(R_x,R_y,R_z,T_z\)) — 2 composantes d'effort transmissibles (\(F_x,F_y\) seulement, aucun moment).

Q4 — Liaison \(\mathscr L_{1/3}\) (arbre / goupille)

Analyse du contact

L'arbre n'a pas changé de dimension entre les deux versions : longueur de contact \(L=20\) pour \(D=8\), toujours \(L\gg D\) → liaison pivot glissant d'axe \((O,\vec z)\), identique à la Version 1.

Q5 — Liaison équivalente \(\mathscr L_{1/2}^{eq}\)

Étape 1 — composer la chaîne \(1\!-\!3\!-\!2\) (série → somme)

\(\mathscr L_{1/3}\) (pivot glissant \(z\) : libère \(R_z,T_z\)) et \(\mathscr L_{3/2}\) (sphère-cylindre \(z\) : libère \(R_x,R_y,R_z,T_z\)) : en série, une composante reste libre dès qu'une des deux la libère. Le pivot glissant ne libère rien que la sphère-cylindre ne libère déjà → la somme est la plus permissive des deux : sphère-cylindre d'axe \((O,\vec z)\) (4 DDL libres : \(R_x,R_y,R_z,T_z\)).

Étape 2 — combiner avec le contact direct rotulé (parallèle → intersection)

Contact direct \(\mathscr L_{1/2}\) (rotule) libère \(R_x,R_y,R_z\). Chaîne libère \(R_x,R_y,R_z,T_z\). Composante par composante :

\(R_x\) : libre des deux côtés → reste libre.
\(R_y\) : libre des deux côtés → reste libre.
\(R_z\) : libre des deux côtés → reste libre.
\(T_x,T_y\) : bloqués des deux côtés → restent bloqués.
\(T_z\) : bloqué côté rotule, libre côté chaîne → l'intersection bloque.

Liaison équivalente : sphérique (rotule) de centre \(O\). \[ \{\mathcal V_{1/2}^{eq}\}=\{\vec\Omega;\ \vec0\}_O \qquad,\qquad \{\mathcal T_{2\to1}^{eq}\}=\{X\vec x+Y\vec y+Z\vec z;\ \vec0\}_O \] 3 DDL (les 3 rotations), 3 composantes d'effort transmissibles (les 3 forces, aucun moment).

Ce que ça signifie Cette fois, la goupille ne parvient plus à bloquer \(R_y\) : la liaison \(\mathscr L_{3/2}\), devenue trop courte (poulie mince), libère elle-même les 3 rotations — la chaîne entière n'oppose donc plus aucune résistance à la rotation autour de l'arbre. La liaison équivalente reste une rotule : les translations sont bloquées, mais les 3 rotations sont libres. La poulie peut tourner par rapport à l'arbre : ce n'est plus un accouplement fonctionnel.

Q6 — Isostatisme

\[ N_s = \underbrace{3}_{\mathscr L_{1/2}\ (\text{rotule})}+\underbrace{2}_{\mathscr L_{3/2}\ (\text{sphère-cyl.})}+\underbrace{4}_{\mathscr L_{1/3}}=9 \qquad,\qquad N_e=6(3-1)=12 \] \[ h=N_s-N_e=9-12=-3 \]

\(h=-3<0\), cohérent avec la mobilité \(m=3\) trouvée en Q5 (\(m+h=0\)). Le montage n'est pas isostatique : il manque 3 liaisons pour être rigide. L'assemblage se comporte comme un véritable mécanisme (la rotule), pas comme un accouplement.

4. Conclusion — quelle association privilégier en construction ?

	Version 1 (poulie large, 22)	Version 2 (poulie mince, 10)
Liaison \(\mathscr L_{3/2}\) (goupille/poulie)	Pivot glissant (contact long)	Sphère-cylindre (contact court)
Liaison équivalente 1/2	Pivot d'axe \((O,\vec z)\), 1 DDL résiduel	Sphérique/rotule, 3 DDL
Degré d'hyperstatisme	\(h=-1\) (quasi-isostatique)	\(h=-3\) (sous-contraint)
Transmet le couple (\(R_y\) bloquée) ?	Oui	Non : la poulie peut tourner sur l'arbre

On privilégie la Version 1 (poulie large, engagement long pour la goupille dans la poulie). Le rotulage volontaire du contact direct 1/2 (même principe dans les deux versions) évite déjà l'hyperstatisme ; ce qui différencie vraiment les deux versions, c'est la longueur d'engagement de la goupille dans la poulie : en Version 1 elle reste un guidage ferme (pivot glissant) qui, combiné à la goupille dans l'arbre, verrouille la rotation autour de l'axe — l'accouplement transmet le couple, avec un unique DDL résiduel inoffensif (\(h=-1\)). En Version 2, la poulie trop mince dégrade ce même contact en sphère-cylindre : la goupille perd sa capacité de verrouillage, la liaison équivalente n'est plus qu'une rotule (\(h=-3\)) — la poulie peut tourner librement, l'accouplement ne remplit plus sa fonction. Règle de construction à retenir : le rotulage volontaire (ici sur le contact direct) sert à éviter l'hyperstatisme, mais il faut que l'élément qui verrouille (ici la goupille) garde, lui, un engagement suffisamment long dans chacune des deux pièces qu'il traverse — sinon c'est la fonction même de l'accouplement qui disparaît.

📂 Documents donnés

Énoncés de l'application (extraits de la photo du CM de SI transmise le 21/09/2026).

Énoncés

La photo d'origine du CM n'a pas été conservée : seuls ces deux extraits d'énoncé sont disponibles.